Esercizi di formalizzazione (a cura di Claudio Ternullo)

1
Tavole di verità
Costruire tavole di verità per i seguenti enunciati proposizionali :
1. P → P
2. P → ¬P
3. ¬(P → P )
4. P → Q
5. (P ∨ Q) → P
6. (P ∧ Q) → P
7. P ↔ ¬(P ∨ Q)
8. (P ∧ Q) ∧ ¬(P ∨ R)
9. ¬((P ∧ Q) ↔ (P ∨ Q))
10. (P → (Q ∧ R)) → (P → R)
11. (P ↔ Q) ↔ ¬(P ↔ ¬Q)
12. (P ∧ Q) ∧ (P ↔ Q)
13. ((P ∧ Q) → R) → ((P → R) ∧ (Q → R))
14. ((P ∨ Q) → R)) ↔ ((P → R) ∧ (Q → R))
15. ((P → Q) ∧ (R → S)) → ((P ∨ R) → (Q ∨ S))
Costruendo opportune tavole di verità, dire se i seguenti enunciati proposizionali
sono logicamente veri, falsi o contingenti :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
(P ∧ Q) ↔ ¬(¬P ∨ ¬Q) [LV]
(P ∨ Q) ↔ ¬(¬P ∧ ¬Q) [LV]
¬(P → Q) ∧ ¬P [LF]
(P ∨ (Q → R)) ↔ ((P ∨ Q) → (Q ∨ R)) [LV]
(¬P ∨ Q) ↔ (¬Q ∨ P ) [LI]
((P → Q) → P ) → P [LV]
((P → R) ∧ (Q → R)) ↔ (R → (P ∨ Q)) [LI]
¬(P ↔ Q) ↔ ((P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∨ Q)) [LV]
(P ↔ Q) ↔ (¬P ↔ ¬Q) [LV]
1
2
Formalizzazione di enunciati ed inferenze
Formalizzare i seguenti enunciati della logica proposizionale 1 :
1) Comprerò la macchina solo se mi faranno uno sconto.
2) Per quanto la logica sia affascinante, molti studenti la odiano.
3) Se mi telefona solo Daniela, andrò alla festa con lei, ma se mi telefona anche
Giuliana, non andrò alla festa con nessuna delle due.
4) Vengo purché venga anche Giovanni.
5) Se né i Russi né gli Americani ridurranno i loro armamenti, la guerra sarà
inevitabile.
6) Socrate è un filosofo greco, e, se è un filosofo, è saggio.
7) Condizione necessaria perché tu vinca la gara è che vi partecipi. [p ="vinci
la gara", q ="partecipi alla gara", p → q]
8) Condizione sufficiente perché tu vinca la gara è che tu faccia un buon tempo.
[p ="fai un buon tempo", q ="vinci la gara", p → q]
9) Condizione necessaria e sufficiente per fare il militare è essere in buona salute.
[p ="fare il militare", q ="essere in buona salute", p ↔ q]
Formalizzare le seguenti inferenze nel linguaggio della logica proposizionale e
dire se sono valide o meno:
(a) Se John è un comunista, allora è ateo. John è ateo, dunque è un comunista.
(b) Se la temperatura e la pressione dell’aria rimangono costanti (traduz.="se
la temperatura rimane costante [p] e la pressione dell’aria rimane costante [q]),
non c’è pioggia [¬r]. La temperatura è rimasta costante [p]. Quindi, se c’è
pioggia [r], la pressione dell’aria rimane costante [q]. [p ∧ q → ¬r, p ` r → q.
Non valida]
(c) Se x finisce in 0, è divisibile per 5. x non finisce in 0. Quindi, non è divisibile
per 5.
(d) Se a = 0 [p] o b = 0 [q], allora ab = 0 [r]. Ma ab 6= 0 [¬r]. Quindi, a 6= 0
[¬p] e b 6= 0 [¬q]. [p ∨ q → r, ¬r ` ¬p ∧ ¬q. Valida]
(e) Condizione sufficiente perché f sia integrabile è che g sia limitata. Condizione necessaria perché h sia continua è che f sia integrabile. Quindi, se g è
integrabile o h continua, allora f è integrabile.
(f) Carmelo non può essere contemporaneamente una stella del basket e fumare
sigarette. Carmelo non è una star del basket. Quindi, Carmelo fuma sigarette.
(g) Se Luigi guidava la macchina, Francesco è innocente. Se Andrea ha sparato
il colpo, allora Francesco non è innocente. Quindi, se Andrea ha sparato il colpo,
allora Luigi non guidava la macchina.
1 Per tutti gli esercizi a seguire, si danno le soluzioni esclusivamente di quelli non svolti
durante le esercitazioni.
2
3
Formalizzazione fine
Formalizzare nel linguaggio della logica predicativa i seguenti enunciati 2 :
1) Tullio ha visto Marzia, l’ha perdonata e ne ha sposato la cugina. [Tullio= t,
Marzia= m, la cugina di Marzia= c1 (m), V 2 (x, y) ="x vede y", P 2 (x, y) ="x
perdona y", S 2 (x, y) ="x sposa y". V 2 (t, m) ∧ P 2 (t, m) ∧ S 2 (t, c1 (m))]
2) Il sindaco di Milano visiterà Napoli se il sindaco del capoluogo del Piemonte
visiterà Milano. [Milano= m, Napoli= n, Piemonte= p, c1 (x) ="capoluogo di
x", s1 (x) ="sindaco di x", s1 (c1 (p)) ="il sindaco del capoluogo del Piemonte",
s1 (m) ="il sindaco di Milano", V 2 (x, y) ="x visita y". V 2 (s1 (c1 (p)), m) →
V 2 (s1 (m), n).]
3) O Giovanni è scemo oppure, se è furbo, lo nasconde bene.
4) Condizione necessaria perché Assuntina riceva la pensione è che sia anziana
o suo figlio sia invalido.
5) Otto meno tre fa cinque se e solo se cinque più tre fa otto.
6) La retta che passa per A e B biseca la perpendicolare a r.
7) La somma del quadrato costruito su a e del quadrato costruito su b è uguale
al quadrato costruito su c.
8) Il sommo sacerdote di Gerusalemme affidò Gesù a Pilato e questi lo crocifisse.
9) Se Mohamed salirà sull’aereo, lo farà schiantare sull’abitazione di Bush.
10) Se Silvano tradirà sua moglie con la sorella di Amilcare, lei lo tradirà
con lo stesso Amilcare. [Silvano= s, Amilcare= a, s1 (x) ="sorella di x",
s1 (a) ="sorella di Amilcare", m1 (x) ="moglie di x", m1 (s) ="moglie di Silvano", T 3 (x, y, z) ="x tradisce y con z". T 3 (s, m1 (s), s1 (a)) → T 3 (m1 (s), s, a).]
11) La divisibilità di otto per due è equivalente al suo essere pari.
12) Il prefetto di Palermo ha fatto sfondare la porta della casa di don Vito e ne
ha arrestato il figlio.
13) Il figlio di Anna non gioca con il figlio di Carlo se Carlo non gli porta una
caramella.
14) Le seguenti due cose non possono essere vere insieme: Giovanni dorme e
Giovanni passeggia.
15) Livia sostiene l’esame e, se lo passa, va in vacanza. [Livia= l, l’esame= e,
S 2 (x, y) ="x sostiene y", P 2 (x, y) =" x passa y", V 1 (x) ="x va in vacanza".
S 2 (l, e) ∧ (P 2 (l, e) → V 1 (l)).]
16) Se Livia sostiene l’esame e non lo passa, non va in vacanza. [(S 2 (l, e) ∧
¬P 2 (l, e)) → ¬V 1 (l).]
17) Il minimo comune multiplo tra sette e il quadrato di tre non è maggiore di
ottanta. [7 = a, 3 = b, 80 = c, q 1 (x) ="il quadrato di x", q 1 (b) ="il quadrato di
3", m2 (x, y) ="il minimo comune multiplo di x e y", m2 (a, q 1 (b)) ="il minimo
comune multiplo di sette e il quadrato di tre", M 2 (x, y) ="x è maggiore di y".
¬M (m2 (a, q 1 (b)), c).]
18) Se Valentina suona, il conducente dell’8 si ferma e la fa scendere.
19) O Giovanni mangia se è affamato oppure dorme se è stanco.
20) Il centravanti dell’Inter dribbla il terzino del Milan e si presenta davanti al
portiere del Milan.
2 Non
svolti durante le esercitazioni 1, 8-13, 15-29. Si riporta la soluzione solo di alcuni.
3
21) Giovanni visiterà Parigi a condizione che sua madre gli paghi il viaggio.
[Giovanni= g, Parigi= p, m1 (x) ="madre di x", m1 (g) ="madre di Giovanni", viaggio= v, V 2 (x, y) ="x visita y", P 3 (x, y, z) ="x paga y a z".
P 3 (m1 (g), v, g) → V 2 (g, p).]
22) Se Maria raccomanderà Stefania al presidente dell’azienda, quest’ultimo
l’assumerà.
23) Wiles dimostrò la congettura di Taniyama e così dimostrò il teorema di
Fermat.
24) Se Mario ha urlato di gioia, allora o l’Inter ha battuto la Roma oppure
l’Inter ha perso ma lui non sa il risultato. [Mario= m, Inter= i, Roma= r,
il risultato= s, U 1 (x) ="x urla di gioia", B 2 (x, y) ="x batte y", P 1 (x) ="x
perde", S 2 (x, y) ="x sa y". U 1 (m) → (B 2 (i, r) ∨ (P 1 (i) ∧ ¬S 2 (m, r))).]
25) Né Kohl né Saddam Hussein sono più presidenti dei loro stati.
26) Giovanni e Renato mangiano e, se l’auto di Giovanni si rompe, Renato la
porta dal suo meccanico.
27) L’enunciato a è deducibile da b se e solo se b è conseguenza logica di a.
28) Serena è bella e Giovanna la invidia ma non la invita.
29) Tullio adora Benigni ma odia Paolo Villaggio e non ne vede il film.
30) Cento è maggiore di novantanove, tuttavia è minore di centouno e centodue.
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