Programma Dettagliato
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GEOMETRIA DIFFERENZIALE A.A. 2016/2017 LUCA VITAGLIANO Carte, Atlanti e Varietà. Carte su un insieme. Dimensione di una carta. Sottocarte. Esempi. Mappe di transizione. Carte compatibili. Atlanti. Dimensione di un atlante. Esempi. Carte compatibili con un atlante. Atlanti compatibili. Atlanti massimali. Strutture lisce. Ogni atlante è contenuto in un unico atlante massimale. Due atlanti determinano la stessa struttura liscia sse sono compatibili. Topologia indotta da un atlante. La topologia indotta da un atlante è l’unica tale che tutti i domini coordinati sono aperti e tutte le carte sono omeomorfismi. Esempio: la topologia del sottospazio di S n coincide con la topologia indotta dalla struttura liscia. Varietà. Proprietà topologiche da proprietà dell’atlante. Esempi: Spazio euclideo standard, spazi vettoriali e affini, sfere, spazio proiettivo. Prodotto di varietà. Esempi: spazi euclidei standard come prodotto, tori. Sottovarietà aperte. Il gruppo lineare generale. Funzioni e Mappe Lisce. Funzioni lisce. Algebra delle funzioni lisce. La liscezza è una proprietà locale. Lemma di incollamento per le funzioni. Esistenza di funzioni lisce. Funzioni a bernoccolo. Partizioni dell’unità. Separabilità di chiusi mediante funzioni lisce. Mappe lisce. Le mappe lisce sono continue. Topologia di Zarisski. La liscezza è una proprietà locale. Lemma di incollamento per le mappe lisce. L’identità è una mappa liscia. La composta di mappe lisce è liscia. Pull-back mediante una mappa liscia. Diffeomorfismi. Pull-back lungo un diffeomorfismo. Varietà diffeomorfe. Varietà diffeomorfe hanno algebre di funzioni lisce isomorfe. Esempi. Sottovarietà. Sistemi regolari. Teorema delle funzioni implicite. Teorema della funzione inversa. Sottovarietà. Esempi. Sottovarietà aperte come sottovarietà. Carte adatte e carte indotte. Struttura differenziabile indotta su una sottovarietà. Proprietà universale dell’inclusione di una sottovarietà. Funzioni lisce su una sottovarietà. Funzioni lisce su una sottovarietà chiusa. Vettori Tangenti. Vettori tangenti ad un aperto stellato di Rn e derivazioni applicate. Spazio tangente ad una varietà. Vettori coordinati. Velocità di una curva. Mappa tangente ad una mappa liscia. Regola della catena. Spazio tangente ad una sottovarietà. Spazio tangente ad una sottovarietà aperta. Teorema del vettore tangente. Componenti di un vettore tangente in una base coordinata. Mappe tangenti e matrici Jacobiane. Cambiamento di coordinate. Spazio tangente ad uno spazio vettoriale. Spazio tangente ad uno spazio affine. Spazio tangente ad un prodotto di varietà. 1 2 LUCA VITAGLIANO Rango di una Mappa Liscia. Rango di una mappa liscia in un punto. mappe di rango pieno. Immersioni, sommersioni e diffeomorfismi locali. Esempi. Teorema del Rango. Immagine e fibre di una mappa di rango costante. Spazio tangente alle fibre di una sommersione. Embeddings. Sottovarietà immerse e embedded. Campi Vettoriali. Campi vettoriali. Campi coordinati. Strutture algebriche sullo spazio dei campi vettoriali. Commutatore di campi vettoriali. Algebre di Lie. Campi vettoriali e campi di vettori. Campi lisci di vettori. Fibrato tangente. Coordinate standard. Mappa tangente ad una mappa liscia. Rappresentazioni locali in coordinate standard. Fibrato tangente ad una sottovarietà aperta. Sezioni lisce del fibrato tangente. Campi vettoriali come sezioni del fibrato tangente. Restrizione di un campo vettoriale ad una sottovarietà aperta. Lemma di incollamento per i campi vettoriali. Il modulo dei campi vettoriali su un dominio coordinato è libero. Rappresentazione locale di un campo vettoriale. Rappresentazione locale del commutatore. Campi vettoriali e mappe lisce. Campi vettoriali relazionati. Naturalità del commutatore. Esempi. Flussi e Derivata di Lie. Curve integrali di campi vettoriali. Curve integrali di campi relazionati. Esistenza e unicità di curve integrali massimali. Flusso di un campo vettoriale. Teorema fondamentale del flusso. Flussi astratti. Generatore infinitesimale di un flusso. Campi vettoriali e flussi massimali. Campi completi. Derivata di Lie di una funzione liscia lungo un campo vettoriale. Derivata di Lie di un campo vettoriale lungo un altro campo vettoriale. Campi vettoriali che commutano. Simmetrie e simmetrie infinitesimali. Fibrati Vettoriali. Fibrati vettoriali. Fibrati vettoriali banali. Mappe di transizione. Lemma del Fibrato Vettoriale. Somma diretta di fibrati vettoriali. Fibrato duale di un fibrato vettoriale. Modulo delle sezioni di un fibrato vettoriale. Sezioni del fibrato duale. Fibrato Cotangente e Forme Differenziali. 1-forme. Covettori e fibrato cotangente. Forme coordinate. Differenziale di una funzione. Differenziale in un punto. Rappresentazione coordinata del differenziale. Funzioni con differenzile nullo. Pullback di covettori lungo una mappa liscia. Pull-back di 1-forme. Proprietà del pullback. Restrizione di una 1-forma ad una sottovarietà. Forme multilineari alternanti su un modulo. Prodotto esterno. Algebre graduate e loro omomorfismi. Forme multilineari alternanti su uno spazio vettoriale. Una base per le k-forme. Algebra delle forme differenziali su una varietà. Fibrato dei multi-covettori. Pull-back di multicovettori lungo una mappa liscia. Pull-back di k-forme. Il pull-back è un omomorfismo di algebre graduate. Derivazioni graduate di un’algebra graduata. prodotto interno di una forma per un campo vettoriale. Derivata di Lie di una forma lungo un campo vettoriale. Differenziale di de Rham. Calcolo di Cartan. Naturalità del calcolo di Cartan. Coomologie di de Rham. GEOMETRIA DIFFERENZIALE 3 DipMat, Università degli Studi di Salerno & Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, GC Salerno, via Giovanni Paolo II n◦ 123, 84084 Fisciano (SA) Italy. E-mail address: [email protected]
