GEOMETRIA DIFFERENZIALE
A.A. 2016/2017
LUCA VITAGLIANO
Carte, Atlanti e Varietà. Carte su un insieme. Dimensione di una carta. Sottocarte. Esempi. Mappe di transizione. Carte compatibili. Atlanti. Dimensione di
un atlante. Esempi. Carte compatibili con un atlante. Atlanti compatibili. Atlanti
massimali. Strutture lisce. Ogni atlante è contenuto in un unico atlante massimale.
Due atlanti determinano la stessa struttura liscia sse sono compatibili. Topologia indotta da un atlante. La topologia indotta da un atlante è l’unica tale che tutti i domini
coordinati sono aperti e tutte le carte sono omeomorfismi. Esempio: la topologia del
sottospazio di S n coincide con la topologia indotta dalla struttura liscia. Varietà. Proprietà topologiche da proprietà dell’atlante. Esempi: Spazio euclideo standard, spazi
vettoriali e affini, sfere, spazio proiettivo. Prodotto di varietà. Esempi: spazi euclidei
standard come prodotto, tori. Sottovarietà aperte. Il gruppo lineare generale.
Funzioni e Mappe Lisce. Funzioni lisce. Algebra delle funzioni lisce. La liscezza è
una proprietà locale. Lemma di incollamento per le funzioni. Esistenza di funzioni lisce.
Funzioni a bernoccolo. Partizioni dell’unità. Separabilità di chiusi mediante funzioni
lisce. Mappe lisce. Le mappe lisce sono continue. Topologia di Zarisski. La liscezza
è una proprietà locale. Lemma di incollamento per le mappe lisce. L’identità è una
mappa liscia. La composta di mappe lisce è liscia. Pull-back mediante una mappa
liscia. Diffeomorfismi. Pull-back lungo un diffeomorfismo. Varietà diffeomorfe. Varietà
diffeomorfe hanno algebre di funzioni lisce isomorfe. Esempi.
Sottovarietà. Sistemi regolari. Teorema delle funzioni implicite. Teorema della
funzione inversa. Sottovarietà. Esempi. Sottovarietà aperte come sottovarietà. Carte
adatte e carte indotte. Struttura differenziabile indotta su una sottovarietà. Proprietà
universale dell’inclusione di una sottovarietà. Funzioni lisce su una sottovarietà. Funzioni lisce su una sottovarietà chiusa.
Vettori Tangenti. Vettori tangenti ad un aperto stellato di Rn e derivazioni applicate. Spazio tangente ad una varietà. Vettori coordinati. Velocità di una curva. Mappa
tangente ad una mappa liscia. Regola della catena. Spazio tangente ad una sottovarietà.
Spazio tangente ad una sottovarietà aperta. Teorema del vettore tangente. Componenti
di un vettore tangente in una base coordinata. Mappe tangenti e matrici Jacobiane.
Cambiamento di coordinate. Spazio tangente ad uno spazio vettoriale. Spazio tangente
ad uno spazio affine. Spazio tangente ad un prodotto di varietà.
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LUCA VITAGLIANO
Rango di una Mappa Liscia. Rango di una mappa liscia in un punto. mappe di
rango pieno. Immersioni, sommersioni e diffeomorfismi locali. Esempi. Teorema del
Rango. Immagine e fibre di una mappa di rango costante. Spazio tangente alle fibre di
una sommersione. Embeddings. Sottovarietà immerse e embedded.
Campi Vettoriali. Campi vettoriali. Campi coordinati. Strutture algebriche sullo
spazio dei campi vettoriali. Commutatore di campi vettoriali. Algebre di Lie. Campi
vettoriali e campi di vettori. Campi lisci di vettori. Fibrato tangente. Coordinate
standard. Mappa tangente ad una mappa liscia. Rappresentazioni locali in coordinate
standard. Fibrato tangente ad una sottovarietà aperta. Sezioni lisce del fibrato tangente. Campi vettoriali come sezioni del fibrato tangente. Restrizione di un campo
vettoriale ad una sottovarietà aperta. Lemma di incollamento per i campi vettoriali. Il
modulo dei campi vettoriali su un dominio coordinato è libero. Rappresentazione locale
di un campo vettoriale. Rappresentazione locale del commutatore. Campi vettoriali e
mappe lisce. Campi vettoriali relazionati. Naturalità del commutatore. Esempi.
Flussi e Derivata di Lie. Curve integrali di campi vettoriali. Curve integrali di
campi relazionati. Esistenza e unicità di curve integrali massimali. Flusso di un campo
vettoriale. Teorema fondamentale del flusso. Flussi astratti. Generatore infinitesimale
di un flusso. Campi vettoriali e flussi massimali. Campi completi. Derivata di Lie di una
funzione liscia lungo un campo vettoriale. Derivata di Lie di un campo vettoriale lungo
un altro campo vettoriale. Campi vettoriali che commutano. Simmetrie e simmetrie
infinitesimali.
Fibrati Vettoriali. Fibrati vettoriali. Fibrati vettoriali banali. Mappe di transizione. Lemma del Fibrato Vettoriale. Somma diretta di fibrati vettoriali. Fibrato
duale di un fibrato vettoriale. Modulo delle sezioni di un fibrato vettoriale. Sezioni del
fibrato duale.
Fibrato Cotangente e Forme Differenziali. 1-forme. Covettori e fibrato cotangente. Forme coordinate. Differenziale di una funzione. Differenziale in un punto.
Rappresentazione coordinata del differenziale. Funzioni con differenzile nullo. Pullback di covettori lungo una mappa liscia. Pull-back di 1-forme. Proprietà del pullback. Restrizione di una 1-forma ad una sottovarietà. Forme multilineari alternanti
su un modulo. Prodotto esterno. Algebre graduate e loro omomorfismi. Forme multilineari alternanti su uno spazio vettoriale. Una base per le k-forme. Algebra delle
forme differenziali su una varietà. Fibrato dei multi-covettori. Pull-back di multicovettori lungo una mappa liscia. Pull-back di k-forme. Il pull-back è un omomorfismo
di algebre graduate. Derivazioni graduate di un’algebra graduata. prodotto interno di
una forma per un campo vettoriale. Derivata di Lie di una forma lungo un campo vettoriale. Differenziale di de Rham. Calcolo di Cartan. Naturalità del calcolo di Cartan.
Coomologie di de Rham.
GEOMETRIA DIFFERENZIALE
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DipMat, Università degli Studi di Salerno & Istituto Nazionale di Fisica Nucleare,
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