La probabilità

Concetti base
Probabilità
La probabilità
Antonello Maruotti
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A. Maruotti
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Outline
1 Concetti base
2 Probabilità
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Concetti base
Probabilità
Definizioni base
Esperimento casuale (o aleatorio): seppur ripetuto nelle medesime
condizioni non necessariamente fornisce sempre lo
stesso risultato.
Evento elementare: un possibile risultato di un esperimento
aleatorio.
Spazio campionario: insieme degli eventi elementari, S.
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A. Maruotti
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Concetti base
Probabilità
Esempi
m1
da
ca
ro
m2
Esperimento
Lancio di una moneta
Lancio di un dado
Estrarre una carta
Partita dell’A.S.Roma
Lancio di due monete
Spazio campionario
T,C
1,2,3,4,5,6
1♣,2♠,3♡,4♢
vince, pareggia, perde
(T,T),(T,C),(C,T),(C,C)
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A. Maruotti
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Concetti base
Probabilità
Definizioni base (continua)
Evento: è un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario,
si verifica quando si verifica uno degli eventi
elementari che lo compongono.
Evento complementare di A: è l’evento "non si verifica A", è
formato da tutti gli eventi elementari che non sono in
A, ma in S. Si indica con Ā.
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A. Maruotti
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Concetti base
Probabilità
Esempi (continua)
m1
da
ca
ro
m2
Evento
Testa
Pari
2,4,6
Cuori
1♡,2♡,. . . ,K♡
Vince,
Testa al primo lancio
(T,T), (T,C)
Evento complementare
Croce
Dispari
1,3,5
Quadri, Fiori, Picche
1♢,. . . ,K♢,1♣,. . . ,K♣,1♠,. . . ,K♠
Pareggia o Perde
Croce al primo lancio
(C,T), (C,C)
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A. Maruotti
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Concetti base
Probabilità
Intersezione di eventi
Definizione
Dati due eventi A e B, l’evento intersezione è formato dagli eventi
elementari contenuti sia in A, sia in B.
A ∩ B accade se A e B accadono simultaneamente.
Due eventi si dicono incompatibili se non possono accadere
simultaneamente. Ovviamente A e B sono incompatibili se e
solo se A ∩ B = ∅
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A. Maruotti
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Concetti base
Probabilità
Unione di eventi
Definizione
Dati due eventi A e B, l’evento unione è formato dagli eventi
elementari contenuti in A e/o in B.
A ∪ B si verifica se accade A oppure B.
Un insieme di eventi è collettivamente esaustivo se almeno
uno si verifica sicuramente ⇒ A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = S.
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A. Maruotti
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Concetti base
Probabilità
Esempi (continua)
m1
Evento
A = Testa, B= Croce
da
A = Pari,B = 1, C = 2
ca
A = Asso, B = Cuori
ro
A = Vince, B = Perde,
C = Pareggia
A = Testa al primo lancio
B = Testa al secondo lancio
m2
Intersezione/Unione
A ∩ B = ∅,
A∪B =S
A ∩ B = ∅,
A∩C =C
A ∪ B = {1, 2, 4, 6},
A∪C =A
A ∩ B = {1♡},
A ∪ B = {1♡, 2♡, . . . , K ♡,
1♢, 1♣, 1♠}
A ∩ B = ∅, A ∪ B = C̄
A ∩ B = {(T , T )},
A ∪ B = {(T , T ), (T , C ), (C , T )}
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A. Maruotti
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Concetti base
Probabilità
Definizioni
Classica: la probabilità di un evento è il rapporto tra casi
favorevoli e casi possibili (purchè ugualmente
possibili).
Frequentista: la probabilità di un evento è la frequenze di
accadimento dell’evento su un numero infinito di
prove.
Soggettiva: la probabilità di un evento è quanto siamo disposti a
scommettere sull’accadimento dell’evento per
ricevere 1 se accade.
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A. Maruotti
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Concetti base
Probabilità
Postulati
La probabilità è una funzione definita nello spazio campionario S
che gode delle seguenti proprietà
P(S) = 1
P(∅) = 0
0 ≤ P(A) ≤ 1, ∀A
P(Ā) = 1 − P(A), ∀A
Se A e B sono incompatibili, allora: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Attenzione!!!
A ∩ B ̸= ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
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A. Maruotti
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Concetti base
Probabilità
Probabilità condizionata
La probabilità di A condizionata a B è la probabilità di A sapendo
che B si è verificato.
P(A | B) =
P(A∩B)
P(B)
⇒ Probabilità condizionata di A dato B
P(B | A) =
P(A∩B)
P(A)
⇒ Probabilità condizionata di B dato A
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A. Maruotti
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Concetti base
Probabilità
Indipendenza
Definizione
Due eventi A e B si dicono indipendenti se il verificarsi dell’uno
non modifica la probabilità di verificarsi dell’altro
In formule, A e B sono indpendenti se
P(A ∩ B) = P(A)P(B)
La definizione di indipendenza è così formulata perchè implica
P(A | B) = P(A)
e
P(B | A) = P(B)
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A. Maruotti
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