Esercizi per la prova scritta Disequazioni + Geometria 1

Esercizi per la prova scritta
Disequazioni + Geometria 1
1. La disequazione – ‫ ݔ > ݔ‬ha per soluzione:
–‫; ݔ > ݔ‬
Soluzione
ሿ−∞, 0ሾ
−‫ ݔ‬− ‫ > ݔ‬0 ;
−2‫ > ݔ‬0 ;
2‫ < ݔ‬0 ;
0
−∞
‫<ݔ‬0
+∞
2. La disequazione ሺ‫ ݔ‬− 1ሻଶ + 9‫ݔ‬ሺ‫ ݔ‬− 1ሻ > ‫ ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 4 − ሺ1 + 3‫ݔ‬ሻሺ1 − 3‫ݔ‬ሻ ha per soluzione:
ሺ‫ ݔ‬− 1ሻଶ + 9‫ݔ‬ሺ‫ ݔ‬− 1ሻ > ‫ ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 4 − ሺ1 + 3‫ݔ‬ሻሺ1 − 3‫ݔ‬ሻ ;
Soluzione
‫ ݔ‬ଶ + 1 − 2‫ ݔ‬+ 9‫ ݔ‬ଶ − 9‫ ݔ > ݔ‬ଶ − 4‫ ݔ‬+ 4 − ሺ1 − 9‫ ݔ‬ଶ ሻ ;
+1 − 2‫ ݔ‬− 9‫ > ݔ‬−4‫ ݔ‬+ 4 − 1 ;
−2‫ ݔ‬− 9‫ ݔ‬+ 4‫ > ݔ‬+4 − 1 − 1 ;
−7‫ > ݔ‬+2 ;
7‫ < ݔ‬−2 ;
2
‫<ݔ‬− .
7
−∞
−
2
൨−∞, − ൤
7
2
7
+∞
‫ ݔ‬− 2 ‫ ݔ‬− 1 3‫ ݔ‬+ 1
1
−
≥
− 2 ൬‫ ݔ‬+ ൰
4
2
3
6
Soluzione
3. Qual è la soluzione della disequazione:
‫ ݔ‬− 2 ‫ ݔ‬− 1 3‫ ݔ‬+ 1
1
−
≥
− 2‫ ݔ‬− ;
4
2
3
3
‫ݔ‬−2
‫ݔ‬−1
3‫ ݔ‬+ 1
1
12 ∙
− 12 ∙
≥ 12 ∙
− 12 ∙ 2‫ ݔ‬− 12 ∙ ;
4
2
3
3
3ሺ‫ ݔ‬− 2ሻ − 6ሺ‫ ݔ‬− 1ሻ ≥ 4ሺ3‫ ݔ‬+ 1ሻ − 24‫ ݔ‬− 4 ;
3‫ ݔ‬− 6 − 6‫ ݔ‬+ 6 ≥ 12‫ ݔ‬+ 4 − 24‫ ݔ‬− 4 ;
3‫ ݔ‬− 6‫ ݔ‬− 12‫ ݔ‬+ 24‫ ≥ ݔ‬0 ;
9‫ ≥ ݔ‬0 ;
‫≥ݔ‬0 ;
ሾ0, +∞ሾ
−∞
0
+∞
4.
‫ݔ‬−2
≤0
‫ݔ‬+1
‫ݔ‬−2≥0
‫ݔ‬+1>0
ܰ
‫ܦ‬
−4‫ ݔ‬+ 2‫ ≤ ݔ‬3 + 2
൝
2‫ ݔ‬+ 27 > 3‫ ݔ‬+ 18
5. Risolvi il seguente sistema di disequazioni:
5
‫≥ݔ‬−
2
൞
−
‫ܦ‬
‫ > ݔ‬−1
−4‫ ݔ‬− 2 ≤ −2‫ ݔ‬+ 3
൝2
‫ݔ‬+9 > ‫ݔ‬+6
3
−
ܰ
‫ ≥ ݔ‬+2
‫<ݔ‬9
5
− ≤‫<ݔ‬9
2
−∞
−
−1
+
+
5
2
9
5
2
9
−
‫ ≤ ݔ‬−1 ∨ ‫ > ݔ‬0
‫ۓ‬
ۖ
−2 < ‫ < ݔ‬0 ∨ 0 < ‫ < ݔ‬2
‫۔‬
ۖ
‫ > ݔە‬0
+
−
−2‫ ≤ ݔ‬5
൝
2‫ ݔ‬− 3‫ > ݔ‬18 − 27
−
+
2
+
൝
2‫ ≥ ݔ‬−5
−‫ > ݔ‬−9
+∞
5
൤− , 9൤
2
6. Risolvi il seguente sistema di disequazioni :
‫ ݔۓ‬+ 1
ۖ ଷ ≥0
‫ݔ‬
‫ ݔ ۔‬ସ − 4‫ ݔ‬ଶ < 0
ۖ2‫ ݔ‬ଷ > 0
‫ە‬
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ሾ0 < ‫ < ݔ‬2ሿ
2
1. In una fabbrica di giocattoli, si producono pupazzi che vengono rivenduti a € 7,00 ciascuno. Sapendo che i costi
fissi mensili (affitto, luce, acqua, stipendi, ecc.) ammontano a € 2100,00 e che il costo del materiale per ogni
pupazzo è di €3,50, determina quanti pupazzi devono essere prodotti mensilmente affinché il bilancio non vada
in perdita. Se la fabbrica riuscisse a produrre soltanto 500 pupazzi al mese, quanto dovrebbe essere il prezzo di
rivendita di un pupazzo affinché il bilancio non vada in perdita.
(Risolvi il problema sia algebricamente sia graficamente)
Soluzione
݊‫ݔ = ݅ݖݖܽ݌ݑ݌ ݅݁݀ ݋ݎ݁݉ݑ‬
Ponendo:
ܴ݅ܿܽ‫݋ݐݏ݋ܥ ≥ ݋ݒ‬
7‫ ≥ ݔ‬2100 + 3,5‫; ݔ‬
si ha:
14‫ ≥ ݔ‬4200 + 7‫; ݔ‬
14‫ ݔ‬− 7‫ ≥ ݔ‬4200 ;
7‫ ≥ ݔ‬4200
‫ ≥ ݔ‬600 .
Pertanto, affinché il bilancio non vada in perdita, la fabbrica deve produrre almeno 600 pupazzi al mese.
Punto di pareggio
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3
ܲ‫ݖ = ݋ݖݖܽ݌ݑ݌ ݊ݑ ݅݀ ݋ݖݖ݁ݎ‬
Ponendo:
ܴ݅ܿܽ‫݋ݐݏ݋ܥ ≥ ݋ݒ‬
500‫ ≥ ݖ‬2100 + 3,5 ∙ 500 ;
si ha:
500‫ ≥ ݖ‬2100 + 1750 ;
500‫ ≥ ݖ‬3850 ;
‫ ≥ ݖ‬7,7
Pertanto, se la fabbrica riuscisse a produrre soltanto 500 pupazzi al mese, affinché il bilancio non vada in
perdita, il prezzo di rivendita di un pupazzo dovrebbe essere almeno di €7,70 .
Punto di pareggio
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4
1. Dimostra che la somma degli angoli esterni di un quadrilatero è congruente a un angolo giro.
Dimostrazione
La diagonale del quadrilatero
quadrilatero in due triangoli.
divide
il
Essendo la somma degli angoli interni di un
triangolo congruente a un angolo piatto, si ha che
la somma degli angoli interni del quadrilatero è
congruente a 2 angoli piatti.
Inoltre, come si evince dal grafico, la somma di un
qualsiasi angolo esterno con l’angolo interno ad
esso adiacente è congruente a un angolo piatto.
Pertanto la somma di tutti gli angoli interni e di
tutti gli angoli esterni del quadrilatero è pari a 4
angoli piatti.
Si conclude perciò, che la somma degli angoli
esterni di un quadrilatero è congruente a 2 angoli
piatti, cioè a un angolo giro.
෡ concavo. Dimostra che l’angolo convesso AD
෡C è
2. Considera un quadrilatero concavo ABCD avente l’angolo D
෡
෠
෡
congruente alla somma degli angoli A , B , C del quadrilatero.
Dimostrazione
Tracciamo la retta BD.
Consideriamo il triangolo ABD.
Ricordando che la somma degli angoli interni di
un triangolo è 180°, si ha:
෡‫ܤ‬
‫ܣ‬෡ + ‫ܤܣ‬෠‫ ≅ ܦ‬180° − ‫ܦܣ‬
෡ ‫ ≅ ܧ‬180° − ‫ܦܣ‬
෡‫ܤ‬
Ma ‫ܦܣ‬
෡ E ≅ A෡ + AB
෡D
Pertanto: AD
෡‫ܥ‬
‫ܥ‬෡ + ‫ܤܦ‬෠‫ ≅ ܥ‬180° − ‫ܦܤ‬
Consideriamo il triangolo BDC.
෡ ‫ ≅ ܥ‬180° − ‫ܦܤ‬
෡‫ܥ‬
Ma ‫ܦܧ‬
෡ ‫ܥ ≅ ܥ‬෡ + ‫ܤܦ‬෠‫ܥ‬
Pertanto: ‫ܦܧ‬
෡ ‫ ≅ ܥ‬AD
෡ E + ‫ܦܧ‬
෡ ‫ ≅ ܥ‬A෡ + AB
෡D + ‫ܥ‬෡ + ‫ܤܦ‬෠‫ ≅ ܥ‬A෡ + B
෡ + ‫ܥ‬෡ .
‫ܦܣ‬
Si conclude quindi che l’angolo convesso:
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5
3. Dimostra che in un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti.
Dimostrazione
I due triangoli ADH e BCK sono congruenti per il IV C.C.T.R.
Infatti:
AD ≅ BC per ipotesi
‫ ܭܥ ≅ ܪܦ‬perché altezze del trapezio
Pertanto gli angoli ‫ܣ‬መ e ‫ܤ‬෠ adiacenti alla base maggiore
sono congruenti.
෡ e ‫ܥ‬መ adiacenti alla base minore sono
Anche gli angoli ‫ܦ‬
congruenti, perché somma di angoli congruenti.
Infatti:
෡ ‫ܥܭ ≅ ܪ‬መ ‫ ܤ‬per la dimostrazione precedente.
‫ܦܣ‬
෡ ‫ܥܦ ≅ ܥ‬መ ‫ ≅ ܭ‬90° perché le altezze sono perpendicolari alle basi.
‫ܦܪ‬
4. Dimostra che, in un trapezio isoscele in cui i lati obliqui sono congruenti alla base minore, le diagonali sono
bisettrici degli angoli adiacenti alla base maggiore.
Ipotesi
‫ ܦܥܤܣ‬è un trapezio isoscele
‫ܥܤ ≅ ܥܦ ≅ ܦܣ‬
Tesi
‫ܣܥ‬መ‫ܣܤ ≅ ܦ‬መ‫ܥ‬
‫ܤܣ‬෠‫ܤܥ ≅ ܦ‬෠‫ܦ‬
⇒
Dimostrazione
‫ܣܥ‬መ‫ܥܣ ≅ ܦ‬መ ‫ ܦ‬perché ‫ ܦܥܣ‬è un triangolo isoscele.
‫ܥܣ‬መ ‫ܣܥ ≅ ܦ‬መ‫ ܤ‬perché angoli alterni interni
Per la proprietà transitiva si ha: ‫ܣܥ‬መ‫ܣܥ ≅ ܦ‬መ‫ܤ‬
In modo analogo si dimostra l’altra parte della tesi.
5. Sia O il punto di intersezione delle diagonali di un parallelogramma ABCD. Traccia una retta r passante per O e
indica con P il suo punto di intersezione con il lato AB e con Q il suo punto di intersezione con il lato CD. Dimostra
che O è il punto medio dei PQ.
Ipotesi
‫ ܦܥܤܣ‬è un parallelogramma
O è il punto di incontro delle
diagonali
Tesi
⇒
OP≅ ܱܳ
Dimostrazione
I triangoli ܱ‫ ܲܤܱ ≅ ܳܦ‬per il II C.C.T. Infatti:
‫ܱܦ‬෠ܳ ≅ ܱܲ෠‫ ܤ‬perché opposti al vertice
ܱ‫ ܤܱ ≅ ܦ‬perché le diagonali si incontrano nel loro punto medio
෡ ܳ ≅ ܲ‫ܤ‬෠ܱ perché alterni interni
ܱ‫ܦ‬
Pertanto si conclude che: OP≅ ܱܳ .
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6. In un parallelogramma ABCD, sia M il punto medio di AD ed N il punto medio di BC. Dimostra che:
a. AN E MC sono paralleli
Ipotesi
‫ ܦܥܤܣ‬è un
parallelogramma
‫ܦܯ ≅ ܯܣ‬
‫ܥܰ ≅ ܰܤ‬
Tesi
⇒
‫ܥܯ ∥ ܰܣ‬
Dimostrazione
Ricordando il teorema: “Se un quadrilatero ha due lati opposti congruenti e paralleli, allora è un
parallelogramma”, si ha che: ‫ ܯܥܰܣ‬è un parallelogramma.
Infatti:
ଵ
ଵ
Essendo ABCD un parallelogramma, si ha che: ‫ ܥܤ ≅ ܦܣ‬e conseguentemente: ‫ ≅ ܯܣ‬ଶ ‫ ≅ ܦܣ‬ଶ ‫; ܰܥ ≅ ܥܤ‬
mentre ‫ ܥܰ ∥ ܯܣ‬perché segmenti appartenenti ai lati opposti ‫ ܥܤ ݁ ܦܣ‬del parallelogramma.
Essendo ‫ ܯܥܰܣ‬un parallelogramma, si conclude che: ‫ ܥܯ ∥ ܰܣ‬.
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