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Matematica
III - 1
Radicali (vedi Bergamini modulo H unità 1 e AVallardi cap. 5)
La nozione di radice n-esima di un numero si deriva da quella di elevazione a potenza (come si
definisce la sottrazione a partire dall'addizione e la divisione a partire dalla moltiplicazione). Così per
radice n-esima di un numero a si intende un numero b tale che bn = a.
Per esempio uno è radice quadrata di uno perchè 12 = 1. Però anche -1 è radice quadrata di uno perchè
(-1)2 = 1. Oppure, quali sono le radici quadrate di -1? Non ci sono radici reali di -1 ma però ci sono due
radici immaginarie (o complesse) i e -i. Nel campo complesso, ad ogni numero corrispondono n radici
n-esime distinte (salvo per il numero 0).
Si parla di radicale quando si usa il simbolo n a per indicare la radice n-esima di un numero a.
n
si legge "radice ennesima di a"
n è detto indice ed è un naturale positivo, a è detto radicando.
Qui prenderemo in considerazione unicamente dei radicandi reali.
Se n è uguale a due, si parla di radice quadrata e si puo' omettere di indicarlo.
Quando l'indice n è uguale a tre, si parla di radice cubica.
a
Esiste una certa ambiguità nella notazione dei radicali. Si distingue tra radici algebriche, principali e
aritmetiche, senza che a questa distinzione corrispondano delle notazioni particolari. In genere però
s'intende il radicale n a come radice aritmetica o radice principale.
Radici algebriche
Parleremo di radice algebrica in riferimento alla nozione di base della radice per cui avremo:
b è radice algebrica n-esima di a ⇔ b n = a
(⇔ si legge "se e solo se")
Se n è pari e a positivo avremo due valori reali che elevati ad n danno a.
Nei casi in cui n è dispari avremo un solo valore b reale che elevato ad n da a.
Nei casi in cui n è pari e a negativo, non avremo dei valori di b reali che elevati ad n danno a.
Esempi:
la radice quadrata algebrica di 4 vale ±2.
se ci si limita ai valori reali la radice cubica algebrica di -27 vale -3 (e le radici complesse?)
se si lavora con i complessi la radice quadrata di -1 vale ±i
Per avere un'idea del perchè si parla di radice algebrica, consideriamo l'equazione x2 = 1. L'equazione è
soddisfatta dai numeri che elevati al quadrato danno uno. Anche applicando la formula risolutiva delle
equazioni di secondo grado giungeremmo alla conclusione che sia +1 che -1 sono soluzioni
dell'equazione. Diremo che +1 e -1 sono le radici quadrate algebriche di 1.
Radici principali
Si parla di radice principale quando s'intende considerare un solo valore per ogni radice:
Se la radice algebrica reale è una sola, essa coincide con la radice principale.
Se le radici algebriche reali sono due, quella positiva sarà anche quella principale.
Se nessuna radice algebrica è reale, la radice complessa con l'argomento (positivo) più piccolo sarà
quella principale
Esempi:
la radice quadrata principale di 4 vale +2
la radice cubica principale di -27 vale -3
la radice quadrata principale di -1 vale +i
( 4 = 2)
( 3 −27 = -3)
( −1 = i)
Matematica
III - 2
Radici aritmetiche
Si parla di radice aritmetica quando il radicando è reale e positivo o nullo e la radice è reale e
positiva o nulla. Così per dei radicandi positivi o nulli la radice aritmetica coincide con quella
principale, e dei radicandi negativi la radice aritmetica non se ne occupa.
Esempi:
-
la radice quadrata arimetica di 4, che notiamo 4 , vale 2
3
−27 non è una radice arimetica perchè il radicando è negativo però possiamo passare da una
radice principale con indice dispari e radicando negativo ad un'aritmetica "estraendo" il segno
meno. Così 3 −27 = − 3 27 = -3 ( d −a = − d a , per a > 0 e d dispari).
Potenze frazionarie
Definiremo l'elevazione a potenza frazionaria ( mn ∈ Q, n ∈ N*) tramite l'uguaglianza
m
a n = n am
dove a è un numero reale positivo, e la radice a secondo membro è intesa come radice aritmetica
Osservazioni:
non definiamo la potenza frazionaria per a = 0 perchè per m negativo avremmo un diviso zero
se la frazione mn ridotta ai minimi termini possiede un denominatore dispari, potremmo considerare
anche gli a negativi. Dovremmo però fare attenzione ai problemi di segno quando passiamo, nei
3
6
calcoli, da una frazione ad una frazione equivalente ((−8) 5 = (−8) 10 ?).
la macchinetta calcolatrice segnala un errore se elevo ad un numero negativo lo zero o se elevo ad
un razionale con "denominatore pari" un numero negativo.
Regole di calcolo
Elenchiamo ora una serie di regole di calcolo valide per delle radici aritmetiche e per a, b positivi
prodotto di radici con stesso indice
n
rapporto di radici con stesso indice
n
potenza di una radice
radice di una radice
moltiplicazione o divisione di
indice e esponente
razionalizzare un denominatore
costituito da un solo radicale
razionalizzare un denominatore
tramite il binomio coniugato
radicale doppio,
se a2 - b è un quadrato perfetto
a =
b
n
a
n
b
1
1
(a $ b) n = a n $ b n
1
n
1
(a) n = a 1
b
bn
p
1
( n a )p = n ap
(a n ) p = a n
a =
(a p ) n = a p $ n
n p
n
1
a$b = n a $ nb
am =
n
n$p
1
am
1
a! b
a! b =
n$p
n
p
a m$p =
n
=
=
1
a
n
ap
a n−m
a
a+ a 2 −b
2
!
1
m$p
m+p
= a −1 $ a
n−m
n
m
−m
n
1
1
1
a 2 !b
a− a 2 −b
2
1
a n = a n$p = a n+p
a
a" b
a−b
1
1
2
=
...
a 2 "b
a−b
1
2
Matematica
III - 3
qualche esempio di manipolazione di radicali (vedi Bergamini modulo H unità 1)
Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice
32 = 16 $ 2 = 4 2 $ 2 = 4 2
a 2 $ b 3 $ c 4 = a $ b $ c 2 $ b se a, b ≥ 0
Trasporto di un fattore dentro il segno di radice
3 5 = 3 2 $ 5 = 35
a $ b $ c2 $ b =
a2 $ b3 $ c4
se a, b ≥ 0
Riduzione di radicali allo stesso indice
3 $ 3 3 6 3 = 6 33 $ 6 32 $ 6 3 = 6 33 $ 32 $ 3 = 3
Razionalizzazione del denominatore
5
3
=
5
3
$
3
3
=
5 3
3
3
2 = 2 $
3
4
4
3
3
2
23 2
=
=
2
2
3
2
3 + 5
7( 3 + 5 ) 7
=
= ( 3 + 5)
3+5
8
3 + 5
7
7
=
$
3 − 5
3 − 5
Radicale doppio
3− 5 =
3+ 9−5
2
−
3− 9−5
2
=
5
2
−
1
2
=
10
2
−
2
2
Potenze frazionarie di numeri negativi o nulli
Abbiamo definito l'elevazione a potenza frazionaria (a n , con mn ∈ Q, n ∈ N*) unicamente per dei
numeri positivi (a > 0). Così facendo ci siamo messi al riparo da inconsistenze che potrebbero
verificarsi se il numero elevato fosse negativo o nullo e volessimo comunque utilizzare le regole di
calcolo valide per le potenze intere. Vedremo più tardi che anche l'elevazione a potenza reale la si
definisce per dei numeri positivi. Tratteremo infatti la funzione esponenziale dove un numero positivo è
elevato ad una potenza che è una variabile reale (ax con a ∈ R+ e x ∈ R ). Per ora vediamo cosa fare nei
casi in cui non sappiamo se il numero elevato o da elevare a potenza frazionaria è negativo o positivo o
nullo.
m
Caso in cui il numero puo' essere nullo
La difficoltà che viene da un numero nullo elevato a potenza frazionaria è la stessa che abbiamo
nell'elevazione intera quando l'esponente è negativo o nullo. La risolviamo in genere ponendo delle
condizioni di esistenza, per esempio a0 ⇒ C.E. a ≠ 0 oppure a-3 ⇒ C.E. a ≠ 0.
Caso in cui il numero puo' essere negativo
Le difficoltà che incontriamo derivano dal fatto che un numero negativo elevato a potenza pari è un
numero positivo, ugale al suo opposto elevato alla stessa potenza ((-a)2 = (a)2) . Queste difficoltà le
risolviamo ponendo delle condizioni di esistenza (per esempio a ⇒ C.E. a ≥ 0) e seguendo alcune
regole durante la "manipolazione". Consideriamo i due casi seguenti:
passaggio da pari a dispari:
quando una lettera è elevata ad una potenza pari e si vuole passare ad un esponente dispari, lo si può
fare a patto di prenderne il valore assoluto. Esempio: a 2 = |a|
passaggio da dispari a pari:
quando una lettera è elevata ad una potenza dispari e si vuole passare ad un esponente pari, lo si può
fare distinguendo due casi. Esempio: a = a 2 se a ≥ 0, a = − a 2 se a < 0
Matematica
III - 4
equazioni con radicali
Vediamo ora come procedere di fronte ad un'equazione che presenta dei radicali. Il procedimento che in
genere utilizziamo per risolvere questo tipo di equazioni è quello di elevare al quadrato (o ad un'altra
potenza) i due membri dell'equazione in modo da eliminare i radicali. Quando eleviamo ad una potenza
pari i due membri di un equazione non otteniamo in generale un'equazione equivalente ma sappiamo
però che tutte le soluzioni della prima equazione devono essere soluzione anche della seconda.
In simboli potremmo scrivere: A = B ⇒ A2 = B2
O, se notiamo S1 l'insieme delle soluzioni dell'equazione A = B e S2 quello dell'equazione A2 = B2,
possiamo scrivere che S1 ⊆ S2 ma non che S1 = S2.
Questo ci obbliga a verificare che le soluzioni trovate lo siano anche per l'equazione di partenza.
Proviamo ad elencare le tappe di un procedimento con l'ausilio di un esempio
equazione di partenza
condizioni di esistenza1
Se lavoriamo con i numeri reali richiediamo che il
radicando di un radicale di indice pari sia positivo o nullo.
Questa esigenza si traduce dunque in una o più
disequazioni
"Manipolazione" delle espressioni
5x − 1 − x = 1
5x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1/5
x≥0
queste disequazioni sono entrambe
soddisfatte se x ≥ 1/5.
Conoscendo le regole di calcolo riguardanti i radicali
possiamo forse semplificare o riarrangiare le espressioni in
modo più conveniente.
Isolare un radicale
Con le regole per ottenere equazioni equivalenti cerchiamo
di isolare un radicale. Cerchiamo cioè di ottenere
un'equazione dove il membro di sinistra (o di destra)
consista unicamente in un radicale.
Eleviamo al quadrato o ad un altra potenza a seconda
dell'indice del radicale isolato
Semplificare e di nuovo isolare un radicale
(se ce ne sono ancora)
Di nuovo eleviamo (se necessario)
Quando sono spariti i radicali cerchiamo di risolvere
l'equazione rimasta
5x − 1 = 1 + x
5x − 1 = 1 + 2 x + x
2x − 1 =
4x 2 − 4x + 1 = x
4x 2 − 5x + 1 = 0
x 1,2 =
Da ultimo verifichiamo (è obbligatorio) se le soluzioni
trovate funzionano per l'equazione di partenza.
In generale non bisogna accontentarsi di confrontarle con
le condizioni di esistenza. Queste potrebbero essere
incomplete.
1
x
5! 25−16
8
=
5!3
8
=…
1
1/4
Se inseriamo i valori 1 e 1/4
nell'equazione di partenza vediamo che
solo l'uno è soluzione.
Da notare il fatto che 1/4 non era
escluso dalle condizioni di esistenza
espresse sopra.
Se determinare le condizioni di esistenza presenta difficoltà maggiori e non è richiesto esplicitamente, possiamo saltare
questa tappa contando sulla verifica finale delle soluzioni.