"di verità"

CALCOLO
PROPOSIZIONALE
UN PROBLEMA DI DEDUZIONE LOGICA
(da un test d’ingresso)

Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti se
andare al cinema. Si sa che:
Se Corrado va al cinema, allora ci va anche Antonio;
 Condizione necessaria perché Antonio vada al cinema è che ci
vada Bruno.


Il giorno successivo possiamo affermare con certezza che:
1) Se Corrado è andato al cinema, allora ci è andato anche Bruno
2) Nessuno dei tre amici è andato al cinema
3) Se Bruno è andato al cinema, allora ci è andato anche Corrado
4) Se Corrado non è andato al cinema, allora non ci è andato
nemmeno Bruno

Come si formalizza il concetto di passaggio di deduzione
valido?
IL CALCOLO PROPOSIZIONALE

E’ il nucleo di (quasi) tutte le logiche. Limitato potere
espressivo, ma sufficiente per introdurre il concetto di
deduzione valida

Le proposizioni atomiche sono asserzioni a cui sia
assegnabile in modo univoco un valore di verità in
accordo ad una interpretazione del mondo a cui si
riferiscono

“dichiarativi sono non già tutti i discorsi, ma quelli in cui
sussiste una enunciazione vera oppure falsa”
Aristotele
ESEMPI DI PROPOSIZIONI “ATOMICHE”
1.
Roma è la capitale d’Italia
2.
La Francia è uno stato del continente asiatico
3.
1+1 = 2
4.
2+2 = 3
ESEMPI DI NON PROPOSIZIONI
1.
Che ora è?
2.
Leggete queste note con attenzione
3.
X+1 = 2
SINTASSI E SEMANTICA
●
●
Introduciamo la sintassi e la semantica del calcolo
proposizionale
La sintassi definisce il linguaggio ovvero le asserzioni
(formule):
-simboli proposizionali (proposizioni atomiche)
-connettivi logici
●
La semantica definisce il significato delle formule,
ovvero il loro valore di verita'
-dipende dal valore di verita dei simboli proposizionali
CONNETTIVI LOGICI
Connettivo
Forma simbolica
Operazione corrispondente
not
~p
and, e
p
q
congiunzione
or, oppure
se p allora q
p se e solo se q
p se q
p ˬ q
pq
pq
pq
disgiunzione
implicazione
equivalenza
conseguenza
˰
negazione
SINTASSI DELLE FORMULE
PROPOSIZIONALI (GRAMMATICA)
Prop ::=
Prop  Prop | Prop ˬ Prop | Prop
Prop  Prop | Prop  Prop |
Atom | ~Atom
Atom ::=
T | F | Ide | (Prop)
Ide ::=
p | q | …| P | Q | …
˰ Prop |
SEMANTICA (SIGNIFICATO) DELLE
FORMULE PROPOSIZIONALI

Tabelle di verità dei connettivi logici:
˰q
pˬq
pq
pq
pq
T
T
T
T
F
T
F
F
T
T
F
T
T
F
F
T
F
F
T
T
T
p
q
T
F
~p
T
T
T
F
F
T
T
F
T
F
F
F
T
T
F
F
F
T
F
p
Il valore di verita' di una formula composta si ottiene a
partire dal valore di verita' delle sottoformule
 Si osservi in particolare il valore di verità di
un’implicazione (o di una conseguenza)

CALCOLO PROPOSIZIONALE PER
FORMALIZZARE ENUNCIATI: ESEMPIO

Tre amici, Antonio, Bruno e Corrado, sono incerti se
andare al cinema.


Introduciamo tre proposizioni:
 A  “Antonio va al cinema”
 B  “Bruno va al cinema”
 C  “Corrado va al cinema”
Si sa che:
Se Corrado va al cinema, allora ci va anche Antonio;
C  A
 Condizione necessaria perché Antonio vada al cinema è che ci
vada Bruno.
A B

CALCOLO PROPOSIZIONALE PER
FORMALIZZARE ENUNCIATI: ESEMPIO

Il giorno successivo possiamo affermare con certezza che:
Se Corrado è andato al cinema, allora ci è andato anche Bruno
C  B
 Nessuno dei tre amici è andato al cinema
∧


(~A)
˰
(~B)
˰
(~C)
(~
Se Bruno è andato al cinema, allora ci è andato anche Corrado
B  C
 Se Corrado non è andato al cinema, allora non ci è andato
nemmeno Bruno
 (~C)  (~B)


Per rispondere alla domanda del test, dobbiamo capire quale di queste
quattro proposizioni è conseguenza logica delle proposizioni precedenti
TAUTOLOGIE E CONTRADDIZIONI

Una tautologia è una formula del calcolo proposizionale
che vale T per qualunque valore T/F assegnato alle
variabili proposizionali

Esempio: p ˬ p (vedi tabella di verità)

Una contraddizione è una formula che vale F per
qualunque valore T/F assegnato alle variabili
proposizionali

Quindi P è una tautologia se e solo se ~P è una
contraddizione
IMPLICAZIONI E EQUIVALENZE

Diciamo che
p implica tautologicamente q
se e solo se
pq
è una tautologia
p è tautologicamente equivalente a q
se e solo se
p≡q
è una tautologia

In entrambi i casi e' sufficiente costruire la
corrispondente tabella di verita'
DIMOSTRAZIONE DI TAUTOLOGIE

Per dimostrare che p è una tautologia possiamo

Usare le tabelle di verità


Del tutto meccanico, richiede di considerare 2n casi, dove n è il numero
di variabili proposizionali in p
Mostrare che non è una tautologia

individuando valori delle variabili proposizionali che rendono falsa p
ESEMPIO DI TAULTOLOGIA: TRANSITIVITA’
DELL’IMPLICAZIONE:
p
q
r
pq
qr
(p  q) 
(q  r)
pr
((p  q)  (q  r))
 (p  r)
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
F
F
T
F
F
T
F
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
F
T
T
T
F
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
T
EQUIVALENZE PER IMPLICAZIONI

(p  q)  ((~p) ˬ q)
(elim- )
~p ˬ q
p
q
pq
~p
T
T
T
F
T
T
F
F
F
F
F
T
T
T
T
F
F
T
T
T

(p  q)  (p  q) ˰ (q  p)
(elim-  )

(p  q)  (q  p)
(elim-)
EQUIVALENZE PER LA NEGAZIONE
~(~ p)  p
(Doppia negazione)
p ˬ ~p)  T
(Terzo escluso)
p ˰ ~p)  F
(Contraddizione)
~(p ˰ q)  (~p) ˬ (~q)
~(p ˬ q)  (~p)
~T  F
~F  T

(De Morgan)
˰  ~q)
(T:F)
(F:T)
Esercizio: dimostrare le equivalenze con tabelle di verità
ESEMPI DI IMPLICAZIONI

Dimostrare che le seguenti formule sono tautologie
usando le tabelle di verita'
 (p
 (p
p
˰
(p  q))  q
˰
q)  p
 p ˬ q)
ESEMPI DI IMPLICAZIONI

Dimostrare che le seguenti formule non sono tautologie
usando le tabelle di verita'
 (p
ˬ q)  p
p
 p

˰
q)
((p ˬ ~r)) ˰ (p  q))  q
PASSO DI DEDUZIONE VALIDO
Torniamo indietro al problema della deduzione
 Il concetto di conseguenza logica si puo' formalizzare in
modo intuitivo usando la semantica dell'implicazione
 E' corretto dedurre una conclusione P da un insieme di
premesse
G1 ............ Gn
sse la sequente formula e' una tautologia

(G1 ˰ ....
˰
Gn)  P
MODUS PONENS
 Abbiamo
dimostrato che la seguente formula e'
una tautologia
(p
˰
(p  q))  q
valgono le premesse p, (p  q)
possiamo dedurre q
 Se
TORNIAMO ALL’ESEMPIO DAL TEST


Premesse:
 Se Corrado va al cinema, allora ci va anche Antonio; ( C  A )
 Condizione necessaria perché Antonio vada al cinema è che ci vada
Bruno. ( A  B )
Il giorno successivo possiamo affermare con certezza che:
 Se Corrado è andato al cinema, allora ci è andato anche Bruno


(CB)
Nessuno dei tre amici è andato al cinema

( (~A )
˰
(~B)
˰
(~C) )
Se Bruno è andato al cinema, allora ci è andato anche Corrado
 ( B  C )
 Se Corrado non è andato al cinema, allora non ci è andato nemmeno
Bruno
 ( (~C)  (~B) )


Basta determinare quale delle seguenti formule è una tautologia:
˰ A  B) )  ( C  B )
2) ( (C  A) ˰ A  B) )  ( (~A) ˰ (~B) ˰ (~C) )
1) ( (C  A)
3) ( (C  A)
˰ A  B) )  ( B  C )
4) ( (C  A)
˰ A  B) )  ( (~ C)  ~B) )

Si possono verificare con tabelle di verità

Abbiamo gia' dimostrato che (1) è una tautologia

Esercizio: mostrare che (2), (3) e (4) non sono tautologie
CONSEGUENZA LOGICA
Sia Γ un insieme di formule proposizionali (asserzioni
che hanno valore T o F)
 Una intepretazione assegna un valore di verita' alle
proposizioni elementari


Una intepretazione che rende veri tutte le formule
proposizionali in Γ è detta un modello di Γ

Se una formula Q è vera in tutti i modelli di Γ si dice
che
Q è conseguenza logica di Γ (Γ Q)
CONSEGUENZA LOGICA

Dato Γ, il numero di possibili interpretazioni è finito: se
n è il numero di proposizioni elementari in Γ, il numero
di possibili interpretazioni è 2^n.

Si possono usare le tabelle di verita' per decidere se
Γ Q

Modo alternativo per formulare la che la conclusione Q
e' deducibile dall'insieme delle premesse Γ
Esercizi: usare le tabelle di verita'
 Dimostrare
che q e' conseguenza logica delle
premesse: p, (p  q)
 Dimostrare che q non e' conseguenza logica delle
premesse p, ((p ˰ r ) q)
 Dimostrare
che (q  p)  (~ p  ~q)
FORMALIZZAZIONE DI ENUNCIATI:
ESEMPI

Piove e fa molto freddo

Fa freddo, ma non piove

Se ci sono nuvole e non c’è vento, allora piove

Piove solo se ci sono nuvole e non c’è vento

Nevica, ma non fa freddo se ci si copre

Se ci si copre, allora fa freddo o nevica
Formalizzazione di implicazioni in linguaggio
naturale
Scrivere la proposizione rappresentata da ognuna delle
seguenti frasi in italiano:
 Se P, allora Q
 P è una conseguenza di Q
 P è condizione necessaria e sufficiente per Q
 P è condizione necessaria per Q
 P è condizione sufficiente per Q
 P vale solo se vale Q
 P vale se vale Q
 P vale se e solo se vale Q