FARE MATEMATICA IN CLASSE:
LA GEOMETRIA
(Brunetto Piochi, Franca Abazia, Rossella Bruno, Giada Giuliani, Francesca
Rammairone, Anna Salvini, Antonella Taddei)
“Geometrizzare” l’esperienza del mondo che ci circonda è un’attività matematica primaria che
precede la stessa attività del contare. Fin da piccoli infatti si tende prevalentemente e
spontaneamente ad interessarsi alla rappresentazione delle esperienze attraverso l’attività graficopittorica, prima ancora di numerare gli stessi oggetti intorno a noi. Tale attività grafico-pittorica
tende a rappresentare ed interpretare l’esperienza della realtà che ci circonda; la matematica a un
certo punto ci offre alcuni strumenti specifici per descrivere tali realtà. La geometria nasce dunque
dall’osservazione, dalle manipolazioni, dalle costruzioni e dalle rappresentazioni di semplici
oggetti, dall’eseguire piegature, tagli, assemblaggi, dal guardare allo specchio se stessi e il mondo
circostante... La successiva “geometrizzazione” richiede una capacità di “interpretazione” che
permetta di staccarsi da una visione ingenua per approdare ad una comprensione razionale
complessa.
Il pensiero geometrico si forma attraverso diversi livelli di insegnamento-apprendimento durante
tutto l’arco della vita scolastica, ma con la presenza contemporanea sia dell’aspetto concreto che di
quello razionale della geometria, anche se predomina ora l’uno ora l’altro dei due, a seconda del
momento dell’esperienza scolastica. Troppo spesso ci si trova in classe davanti a studenti che con
tutta evidenza non sono riusciti a integrare questi aspetti: per loro la geometria è un insieme di
nomi, definizioni e formule. Come tale viene rimossa o rifiutata. Per poter recuperare un corretto
rapporto con la geometria che ne consenta l’utilizzo adeguato al livello scolastico in questione,
bisogna far loro riscoprire gli aspetti “pratici”..
Il saper operare con le figure, il disegno o la costruzione di esse diventano di fatto strumenti
essenziali per l’apprendimento geometrico: rappresentando le figure se ne visualizzano
caratteristiche e proprietà, poiché le proprietà dell’oggetto geometrico si traducono graficamente
tramite relazioni spaziali. Tuttavia il passaggio inverso, che permette di risalire dal disegno
all’oggetto geometrico, è conseguenza di un’interpretazione da parte di un soggetto umano: il
riconoscimento visivo delle proprietà spaziali associate a proprietà geometriche non è spontaneo ma
necessita di un apposito apprendimento. Un disegno (anche geometrico) può essere infatti
interpretato in molti modi nei diversi contesti e la percezione interviene nel costruire
un’interpretazione, che può naturalmente essere errata, soprattutto quando le conoscenze teoriche
dei chi “legge” il disegno sono limitate e non gli permettono di passare oltre una prima lettura
percettiva.
All’interno di questa concezione dell’apprendimento geometrico trovano spazio e rilevanza tutte
quelle attività che si pongono come esperienze, per dir così, di confine, presentando aspetti ludici e
grafici e contemporaneamente offrendo occasioni di matematizzazione più astratta.
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TANGRAM
Il Tangram è un antichissimo gioco cinese. E' conosciuto come "Le sette pietre della saggezza"
perché si diceva che la padronanza di questo gioco fosse la chiave per ottenere saggezza e talento.
Poco o nulla si sa circa le origini del gioco (forse XVIII secolo); persino l'etimologia del nome non
è chiara, ma ancor oggi esso continua a divertire e a incuriosire anche per le sue applicazioni nella
geometria.
Tradizionalmente, il Tangram è ottenuto dalla scomposizione di un quadrato in sette figure
geometriche (2 triangoli piccoli, 1 medio e 2 grandi, 1 parallelogramma e 1 quadrato), detti tan, ma
ci sono anche altre varianti con diversi numeri e tipi di pezzi.
Il gioco consiste nel riprodurre delle figure in cui non siano evidenziate le disposizioni dei singoli
pezzi, con la sola regola di utilizzare tutti e sette i tan senza mai sovrapporli.
Le praticamente infinite possibilità di combinazione dei tan permettono di creare forme
geometriche diverse e immagini stilizzate di persone, animali, oggetti e altre creazioni della
fantasia.
Fra gli obiettivi didattici collegati a questo gioco si possono considerare i seguenti:
- raffigurare con forme geometriche
- operare con figure piane e riconoscerle, anche se diversamente orientate nel piano
- confrontare superfici e riconoscere l'equiestensione di figure piane
- eseguire traslazioni, rotazioni e ribaltamenti; realizzare composizioni di isometrie
E’ un gioco che favorisce certamente la concentrazione e risulta un ottimo esercizio matematico
per la comprensione delle figure e dello spazio, un gioco sicuramente utile come punto di
partenza anche nelle scuole superiori. I problemi geometrici che sorgono dal Tangram sono molti
e a vari livelli di difficoltà. Per questo viene inserito, come proposta didattica, in molti progetti
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didattici, a partire, ad esempio, dal celebre School Mathematics Project della Cambridge
University, che rimane ancora oggi uno dei più importanti riferimenti per la didattica della
matematica.
Il tangram è stato utilizzato in vari interventi all’interno del progetto “INNOVARE”. Nell’allegata
raccolta
di
materiale
multimediale
si
trovano
due
file
(tangram_figure_1.doc
e
ttangram_figure_2.doc) con le figure che si possono proporre, a vari livelli di difficoltà, comprese le
soluzioni delle stesse. Le soluzioni sono ovviamente molto utili e possono essere presentate (magari
solo per un certo tempo, come fosse un gioco di memoria…) per superare momenti di blocco, nel
caso nessuno riesca a costruire la figura.
Si vuole sottolineare due aspetti del gioco che solo parzialmente sono intervenuti nelle attività
proposte, ma che legano comunque in maniera diretta il Tangram a proposte disciplinari
significative nel biennio della scuola secondaria di II grado:
- si può costruire il Tangram partendo da un piano cartesiano, su cui si assegnino le coordinate dei
punti che facciano da estremi dei vari segmenti (si consiglia di usare la misura 8 o 16 per il lato del
quadrato; nel primo caso si potranno usare come vertici del quadrato i punti (0,0), (0,8), (8,0), (8,8)
se si vuole rimanere nel solo I quadrante, oppure i punti (-4,-4), (-4,+4), (+4,--4), (+4,+4) se si
vuole utilizzare l’attività anche come lavoro sui numeri relativi)
- fra le figure proposte, particolarmente interessanti risultano i “paradossi”: figure apparentemente
simili, ma che in realtà differiscono leggermente a causa della diversa disposizione dei pezzi; la
ricerca delle differenze e la loro verbalizzazione risulta un esercizio assai significativo dal punto di
vista della geometrizzazione dello spazio.
ISIS “G. Vasari” di Figline Valdarno
(docenti Francesca Rammairone, Rossella Bruno, Giada Giuliani)
Nel primo incontro il tangram è stato presentato più che altro come gioco stimolando così la
curiosità soprattutto degli alunni più apatici nei confronti della materia e anche della scuola in
generale, i quali hanno messo alla prova se stessi nella realizzazione di figure geometriche piane
prima più semplici poi via via più complesse.
Tutti gli alunni hanno inoltre realizzato con cartoncino procuratosi personalmente i sette pezzi del
tangram (quindi dimostrando un interesse reale nei confronti dell’attività), per averne un kit
personale da poter utilizzare anche nei momenti extrascolastici.
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Nel secondo incontro, tenutosi verso metà maggio, cioè dopo aver introdotto il calcolo letterale e
quindi l’uso dei monomi, è stato possibile calcolare perimetri e aree di figure geometriche piane
elementari e perimetri delle figure realizzate durante il primo incontro:.
Sia L = lato del tan quadrato e D = ipotenusa dei tan triangoli piccoli.
Osservando in che modo sono costruiti i sette tan a partire dal quadrato grande, quali sono
le dimensioni (i lati) degli altri tan in funzione di L e D?
Prendi una figura che abbiamo costruito la volta precedente e calcola quindi il perimetro in
funzione di L e D.
Ti viene in mente qualche relazione tra L e D?
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IPSIA “ Leonardo da Vinci “ di Firenze (docenti: Anna Salvini , Franca Abazia)
All’inizio il Tangram è stato presentato come un semplice gioco che ha favorito la concentrazione
e la comprensione delle figure e dello spazio. Poi però ha avuto la sua evoluzione quando gli stessi
allievi hanno capito che non potevano limitarsi alla costruzione pezzo per pezzo delle figure
proposte.
Alcuni alunni hanno subito voluto provare cosa fosse veramente il Tangram e lì sono iniziate le
difficoltà che per alcuni si sono tradotte in sfide, per altri in rinunce…
Davanti alla complessità della realizzazione delle figure molti hanno sviluppato strategie risolutive
non sempre vincenti ma comunque degne di essere analizzate con il resto della classe.
Nelle lezioni successive i ragazzi hanno chiesto di “rifare” il Tangram e questo ci ha permesso di
approfondire la geometria delle figure a cominciare da quelle elementari ed in particolare dal
quadrato. Il Tangram ci ha permesso di recuperare le proprietà di alcune figure geometriche e di
calcolarne sia la misura dei perimetri che delle aree. Particolare difficoltà è nata nell’applicare il
teorema di Pitagora e nell’estrazione della radice quadrata di un numero che non era quadrato
perfetto.
Inoltre dopo vari esercizi di calcolo numerico abbiamo potuto introdurre il calcolo letterale in
particolare i monomi. Il formalismo del calcolo letterale ha consentito agli alunni di utilizzare
meglio la radice di 2 ed esprimere con maggiore padronanza le formule relative ai perimetri e alle
aree.
Inoltre il Tangram ci è stato utile anche per un primo approccio alla costruzione di semplici
algoritmi.
Oltre ai pezzi tecnici, abbiamo utilizzato alcune fotocopie da libri di testo:
“ MATEMATICA 1 ( IDEE METODI APPLICAZIONI ) “ O. BARTOLINI – G. DE RINALDIS –
MARIETTI SCUOLA (pag. 23)
“ LINEE ESSENZIALI DI MATEMATICA 1 “ L. SCAGLIANTI – F. BRUNI – EDITRICE L A
SCUOLA (pag. 272-273)
L’attiività è stata anche oggetto di verifiche, mediante interrogazioni orali
con esercizi alla
lavagna e alcune domande su un compito in classe relative alle figure e alle formule (ri)scoperte.
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LAVORANDO CON LA CARTA
IPSIA “ Leonardo da Vinci “ di Firenze
(docente Franca Abazia)
A seguito del successo ottenuto durante il primo anno dalle proposte geometriche a partire da un
lavoro concreto sulle figure, ho pensato di proporre alla nuova classe 1^ un lavoro analogo, che
partisse dalle piegature della carta per giungere alla riscoperta di alcuni concetti e formule
fondamentali. Ho pertanto proposto di costruire un quadrato senza l'uso del righello, a partire da
un foglio di carta di formato classico A4.
Ho fornito ai ragazzi la scheda di seguito riportata, la quale conteneva oltre alle istruzioni per il
lavoro, anche i richiami ad alcuni concetti elementari di base, Questa scheda è anche riprodotta fra i
materiali multimediali in allegato (file Foglio_A4.doc), a disposizione degli insegnanti che la
volessero utilizzare.
DAL RETTANGOLO AL QUADRATO
Vogliamo costruire un quadrato senza l'uso del righello, ma avendo a disposizione un foglio di
carta di formato DIN – A4.
Cerca di seguire con precisione le seguenti istruzioni.
• Piegare il lato inferiore del foglio in modo da sovrapporlo al bordo destro del foglio stesso
(precisione!)
• Ora il lato sinistro si trova a dividere il foglio
• Tracciare una riga
• Piegare lungo la riga
• Spiegare la prima piegatura
• Si è ottenuto il quadrato
Una sola piegatura ci ha permesso di passare dal rettangolo al quadrato. Infatti il quadrato ha molte
simmetrie, in particolare ha 4 assi di simmetria. Riesci a vederli?
- due si ottengono congiungendo i punti medi dei due lati opposti
- due sono le diagonali
[ Si dice che una figura ha un ASSE DI SIMMETRIA quando ogni suo punto ha per simmetrico
rispetto all'asse un punto appartenente alla figura ].
Per realizzare il quadrato ci siamo serviti proprio di una diagonale. Infatti nel rettangolo i lati
opposti sono paralleli e hanno la stessa lunghezza. Tutti gli angoli misurano 90°. Per avere un
quadrato i lati devo essere anche tutti uguali. Perciò, piegando lungo la diagonale, due lati contigui
si sovrappongono.
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[ CONTIGUI o CONSECUTIVI: due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune
ADIACENTI: due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi e uno è il prolungamento
dell'altro].
L'angolo destro di 90° risulterà dimezzato: infatti la diagonale nel quadrato ha questa proprietà.
Inoltre il quadrato ha altre proprietà: fissato il quadrato esattamente nel centro, esso assume la
stessa posizione ruotando di 90°, 180°, 270° , 360°.
Cosa farebbe il rettangolo ? Il rettangolo assume le stesse posizioni solo se lo facciamo ruotare di
180° e di 360° intorno al punto centrale. Inoltre il rettangolo ha solo due assi di simmetria: le
congiungenti i punti medi dei lati opposti.
Dopo la prima piegatura del foglio abbiamo ottenuto un triangolo isoscele con un angolo retto. La
linea di piegatura è la diagonale del quadrato. Se accostiamo questa piegatura al lato lungo di un
altro foglio vediamo che le due lunghezze coincidono. Questo perché il formato DIN – A4 della
carta ha il lato lungo che è sempre 1,41 volte il lato corto (per la precisione tale rapporto è 2 : 1 )..
La lunghezza del lato del quadrato è sempre nello stesso rapporto con quella della diagonale, come
dimostra il Teorema di Pitagora. Infatti, se prendiamo uguale 1 il lato del rettangolo abbiamo che
2 e questa sarà la misura del lato maggiore del
12 12 2
rettangolo.
Il formato A4 è un formato usato in tutto il mondo ad eccezione dell'America. E' invece una misura
standard in uso in Germania dal 1922.
La serie A0, A1, A2, A3, A4, A5, … è definita dalla proprietà che ciascuno può essere ottenuto
tagliando a metà quello precedente (scelta conveniente sia per la fabbricazione che per le
fotocopie) e tutti hanno la stessa forma. Quindi per generare una forma simile senza la calcolatrice,
possiamo prendere un quadrato e ricavarne un altro con un'area pari alla metà di quello dato. Da
questo si può realizzare il rettangolo A4 prendendo il lato del quadrato interno come lato minore e
il lato del quadrato esterno come lato maggiore, oppure il lato del quadrato interno come lato
maggiore e metà del lato del quadrato esterno come minore.
Per verificare questi risultati prendiamo tre fogli A4 e poniamoli, sovrapponendoli, uno in
verticale sul lato minore, l'altro in orizzontale sul lato maggiore e infine il terzo con il lato
maggiore coincidente con la diagonale del quadrato interno al primo rettangolo.
Questa lezione è stata apprezzata dagli studenti, che hanno collaborato con interesse e
partecipazione. Inoltre la realizzazione del quadrato è risultata abbastanza semplice ed anche le
proprietà delle figure sono state scoperte in modo molto partecipato. E' naturale che la presenza di
2 abbia creato una certa curiosità e qualche difficoltà, subito superata con l'uso della calcolatrice.
Inoltre da parte degli alunni c'è stata la riscoperta del concetto di similitudine, già affrontata alla
Scuola Secondaria di I grado, anche come applicazioni non solo all'aritmetica con le proporzioni ma
come applicazione alla realtà : piante di città, carte geografiche, ecc.
Da questa esperienza si sono aperti altri percorsi, un po' meno tradizionali, ma sicuramente più
vicini a studenti di un corso professionale con i quali è stata realizzata l’attività. Riportiamo ad
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esempio l’attività proposta, dopo aver imparato a costruire un triangolo equilatero, sempre con le
piegature, per (ri)scoprire l’esagono regolare e le sue proprietà
DAL TRIANGOLO ALL’ESAGONO
Abbiamo imparato a costruire il triangolo equilatero e ora vogliamo provare a usarlo per realizzare
un’altra figura, che vedremo essere formata da sei triangoli equilateri. Infatti, il triangolo e
l’esagono hanno molte cose in comune.
Prendiamo un triangolo già realizzato con un foglio di carta DIN- A4. Pieghiamo ora il triangolo
lungo un suo asse di simmetria in modo che due angoli si sovrappongano. In questo caso possiamo
verificare che tale asse coincide proprio con la mediana, l’altezza e la bisettrice relativa a un
vertice, ma questo solo perché il triangolo equilatero è ANCHE isoscele sulla base considerata !
Ora riapriamo il triangolo e pieghiamolo lungo un altro asse di simmetria (anche in questo caso
vediamo che baricentro, ortocentro e incentro coincidono), Ci accorgiamo, riaprendolo, che le due
linee di piegatura s’incontrano in un punto che per noi sarà un punto molto importante. Infatti,
pieghiamo uno dopo l’altro i tre angoli del triangolo fino al punto trovato in modo che i tre vertici
convergano tutti in questo punto (precisione!). Ebbene, l’esagono regolare è realizzato.
Sembra strano che “nascondendo” un angolo se ne ottengano due e così da tre sono diventati sei!
Se andiamo a misurare la lunghezza del segmento che unisce il vertice con il punto d’incontro
degli assi di simmetria, vediamo che questo misura il doppio rispetto al segmento che ha per
estremi il punto trovato e il punto medio del lato. Allora piegando i tre angoli con il vertice che
poggia sul centro del triangolo, il segmento più grande risulta a sua volta dimezzato.
Dobbiamo ora verificare che effettivamente questo sia un esagono regolare. Realizzando più
esagoni e sovrapponendoli verifichiamo la regolarità della figura. Possiamo però in modo più
preciso considerare la misura degli angoli. Ogni angolo di un triangolo equilatero misura 60°.
Piegando ogni angolo in modo che arrivi al centro del triangolo, ogni lato si dimezza, per cui si
formano nuovi triangoli equilateri, in totale ne abbiamo sei tra quelli ottenuti con la piegatura e
quelli vicini.
Le simmetrie dell’esagono sono aumentate rispetto a quelle del triangolo. Infatti, per riportare un
esagono regolare nella posizione che corrisponda a quella che la precedeva, la rotazione può essere
di 60° e di tutti i suoi multipli, mentre per il triangolo equilatero erano necessarie rotazioni di 120°,
240° e di 360°.
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Anche il numero degli assi di simmetria è raddoppiato: tre diagonali e tre rette che congiungono i
punti medi dei lati opposti.
A che serve l’esagono? Uno degli usi più frequenti è la tassellatura e in particolare le
pavimentazioni o i rivestimenti di piastrelle. Anche in natura abbiamo una tassellatura molto nota:
il favo delle api, che non serve solo per contenere il miele, ma anche per allevarvi le larve; queste,
viste dall’alto, hanno un aspetto circolare. Ecco quindi un’altra proprietà: in un esagono regolare,
ma anche in tutte le figure regolari, è possibile inscrivere circonferenze.
Anche questa lezione è piaciuta molto; ha portato gli allievi nel mondo reale, partendo da un foglio
di carta: alcuni hanno raccontato le esperienza vissute in famiglia perché i loro parenti sono
piastrellisti, altri, incuriositi dalle api, hanno deciso che chiederanno informazioni
anche al
professore di Scienze Naturali.
Nel materiale multimediale allegato si trovano altri spunti utilizzabili in classe.
GEOMETRIA PER IL LABORATORIO
IPSIA “Leonardo Da Vinci” di Firenze (Consiglio di Classe della 1^ e 2^ OTR)
Di particolare rilievo per la riuscita del progetto sono risultate due attività, svolte rispettivamente
in 1^ OTR (a.s. 2008-2009) e nella stessa classe, diventata 2^ OTR (a.s.2009-2010). Le attività
sono state progettate e gestite dalla maggioranza del Consiglio di Classe, coinvolgendo
direttamente i docenti di Laboratorio, Fisica, Matematica, Italiano. Crediamo che questa
testimonianza del fatto che discipline diverse possano concorrere a uno stesso fine sia sttaa
fondamentale nella riuscita della proposta che, dal punto di vista matematico, ha riguardato
soprattutto la riscoperta di alcune formule e proprietà geometriche1 .
L’attività in laboratorio nella prima classe ha riguardato la progettazione e realizzazione in
laboratorio di alcuni pezzi. In Figura il progetto di uno di tali pezzi; entrambi i progetti osno
allegati fra il materiale multimediale. In seconda invece è stata realizzata una panchina da
installare poi come oggetto d’uso nel cortile della scuola (il resoconto completo dell’esperienza si
trova in altro capito di questo volume)
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Abbiamo utilizzato e distribuito alcune schede (riportate fra il materiale multimediale allegato) tratte dal volume
“MATEMATICA PER PROBLEMI (MOD. A PER COMINCIARE)“ di C CREMASCHI – ED. ZANICHELLI
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