Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili
1) Il problema del paracadute
Un corpo in moto in un fluido viscoso (aria, acqua) è sottoposto a una forza di contrasto FR detta
resistenza viscosa, diretta sempre in senso opposto alla velocità. In un regime di piccole velocità (nell’aria
fino a circa 30 m/s 108 km/h ), stabilito il tipo di fluido, modulo di FR è proporzionale alla velocità e alle
dimensioni lineari del corpo (cioè le resistenze viscose su due oggetti di forma uguale, stanno fra loro come
il rapporto delle rispettive dimensioni lineari). Il problema della caduta verticale di un oggetto in
un fluido (ad esempio un paracadute) in un regime di piccole velocità si affronta introducendo
un riferimento con un asse delle ordinate orientato verso il basso, in modo che la velocità venga
F
R
positiva. Indicando con v , a , FR e W le componenti (quindi con segno al loro interno) di
velocità, accelerazione, resistenza viscosa e peso lungo tale asse, la resistenza viscosa si scrive
introducendo una costante di proporzionalità b specifica del corpo che cade:
FR bv
mg
y
dove [b ] [ Ns/m] e il segno meno indica che la resistenza viscosa ha sempre verso opposto alla velocità.
Scriviamo la seconda legge della dinamica lungo l’asse y :
ma FR W
m
dv
bv mg
dt
Come si vede, poiché mg resta costante ma bv aumenta d’intensità al crescere di v durante la caduta,
dopo una fase iniziale in cui la velocità cresce, il corpo raggiunge una velocità limite v di caduta, costante,
quando l’accelerazione si annulla, cioè per:
m
dv
bv mg 0
dt
v
mg
b
Cerchiamo ora l’andamento v(t ) della velocità nel tempo, risolvendo il corrispondente problema di Cauchy.
Assumiamo che il paracadute parta con velocità iniziale v0 , e integriamo l’equazione differenziale che è a
variabili separabili:
dv
bv mg
m
dt
v(0) v0
dv
dt
m
bv mg
v(0) v0
moltiplicando ambo i membri per b allo scopo di ottenere a numeratore la derivata del denominatore:
(b)dv
b
bv mg m dt
ln | bv mg |
b
t C
m
Osservando che bv mg 0 perché il corpo accelera verso il basso (quindi nel verso delle y positive) e
pertanto la forza in basso mg supera sempre la resistenza verso l’alto bv , possiamo eliminare il modulo e
passare dai logaritmi agli esponenziali. Introducendo un’unica costante d’integrazione C per ambo i
membri, otteniamo:
bv mg
b
t C
m
e
b
mg eC m t
v(t )
e
b
b
Dobbiamo ora calcolare la costante di integrazione (in forma esponenziale eC ) imponendo la condizione
iniziale:
v0
mg eC 0
e
b
b
v(t )
eC mg v0b
v0
Sostituendo si ottiene infine la funzione v(t ) che esprime l’andamento della v
velocità durante la caduta:
v(t )
v0
b
mg m t
)e
mg
(v 0
b
b
v0
Come si vede, calcolando il limite ritroviamo v lim v(t )
t
t
mg
. Il caso particolare in cui il corpo inizia a
b
cadere con velocità nulla si trova inserendo v0 0 :
b
v(t )
t
t
mg
(1 e m ) v (1 e )
b
m /b
con
2) La barretta in caduta nel campo magnetico
R
Il problema della barra che cade in un campo magnetico restando a contatto con due
rotaie conduttrici, è riconducibile a quello di un oggetto su cui agisce una resistenza
viscosa, cioè sottoposto a una forza del tipo bv . Infatti, se | B | è l’intensità del campo
I
magnetico (come in figura), L la lunghezza della barretta, R la resistenza complessiva
FM
dell’apparato, il modulo della forza magnetica FM si scrive:
|B | L |v |
|B | 2 L2 | v |
| FM | |I || L || B | sin 90
(L | B | 1)
R
R
mg
y
Il verso di FM è opposto alla velocità di caduta, quindi la sua componente FM lungo l’asse y (anche qui
diretto in basso per semplicità) è legata alla componente v della velocità dalla relazione seguente:
FM
|B | 2 L2
v bv
R
con b
|B | 2 L2
R
Quindi il problema di Cauchy che regola la caduta della barretta nel campo magnetico
è lo stesso del paracadute che cade partendo fermo. La soluzione si ottiene inserendo
il corrispettivo valore di b nella formula:
dv
m
bv mg
dt
v(0) 0
|B |2L2
t
mR )
mgR
v(t )
(1 e
2 2
|B | L
con la velocità limite pari a v lim v(t )
t
v (1 e
t
v(t )
v
)
v0 0
mg
mgR
e la costante di tempo v /g .
b
|B | 2 L2
t
