Equazioni differenziali al Liceo - un ponte fra Matematica e Fisica

Ruben Sabbadini, Liceo Farnesina - Roma
Equazioni
differenziali:
matematica & realtà
Convegno Matematica & Realtà
(Hotel Esplanade - Viareggio)
9-11 Ottobre 2015
La novità delle recenti
indicazioni nazionali
per la matematica
sono le
equazioni
differenziali
non è una
cattiva cosa
è una
grande opportunità
(non è vero che sono difficili)
sono un’importante
finestra sulla
realtà
non solo per la
fisica
ma per molte altre materie
è anche possibile
vederne
le soluzioni
senza
risolverle!
(ve ne darò un saggio)
Ricordate
la Meccanica quantistica
è la soluzione di
un’equazione
differenziale
l’equazione di Schroedinger
non vi preoccupate
sarà un giochetto
anche per gli
studenti
è più divertente che difficile!
Crescita di una popolazione
(di batteri)
all’inizio ho N0 batteri
Riuscite a convincervi
che la crescita
è proporzionale a N0 ?
più sono, più si riproducono
Come si scrive?
se N(t) è il numero di
batteri in funzione di t,
la crescita è:
Come si scrive
che N(t) è
proporzionale alla
crescita?
N(t) può essere:
•
•
•
•
un polinomio? No!
un logaritmo? No!
un seno o coseno? No
….
C’è un’unica possibilità:
N(t) = N0 e
a t:
Ecco a cosa servono
gli esponenziali!
(ecco cos’è
x
e !)
L’unica funzione …
… simile alla sua
derivata!
proprio quello che ci serve!
da N(t) = N0 e
at
abbiamo:
per cui (sostituendo in
):
a
t
a
t
N0 e = k N0 a e
ovvero 1 = k a
(polinomio caratteristico)
Quindi questa
si riduce a:
1=ka
(polinomio caratteristico)
a N(t) si sostituisce 1
e a alla sua derivata
1=ka
(polinomio caratteristico)
(se volete essere colti è la
Trasformata di Laplace)
Agli studenti serve
questa regola:
1=ka
(polinomio caratteristico)
da sostituire in
at
N(t) = N0 e
Quindi:
t/k
N(t) = N0 e :
(Cabri ci permette di
“vedere” tutto questo!)
0
1
y' = A*y
A = 0,10
=
-0,35
N0
1
1
Vediamo un’equazione
a coifficienti variabili:
(neanche a variabili separabili!)
0
1
y' = (y^2-x)/(x^2+1)
= 0,74
1
1
Crescita di un conto
in banca
Abbiamo un capitale
iniziale C0
e un tasso di interesse i
al primo anno:
C = C0(1+i)
all’n-simo anno:
n
C = C0(1+i)
Se ricevessimo un interesse
mensile pari a i/12
al primo anno
12
C = C0(1+i/12)
con un interesse giornaliero
C = C0
365
(1+i/365)
Se lo frazionassimo
al minuto, al secondo,
ad una frazione k-esima
di anno
al primo anno
k
C = C0(1+i/k)
mandando k all’infinito
al primo anno
k
C =lim C0(1+i/k) =
it
= C0 e (t in anni)
Si arriva allo stesso risultato
da dC/dt=iC
infatti:
a= i1
(polinomio caratteristico)
da sostituire in
it
a
t
C(t) = C0 e = C0 e
Circuito RC
Vr(t)
R
+
V
-
+
Vc(t)
C
-
Due generatori
V-vC = vR = Ri
Vr(t)
Circuito RC
R
+
V
C
Vc(t)
-
V-vC = vR = Ri
ma:
vC = q/C (legge
del condensatore)
quindi: V - q/C = Ri
Vr(t)
Circuito RC
in V - q/C = Ri
ci sono 2 variabili (q e i)
Allora deriviamo:
+
V
R
C
Vc(t)
-
con questo
polinomio caratteristico!
La stessa
equazione di prima!
O
Circuito RC
Vc/Vr
V
Vr
-f.s.
0
f.s.
f.s. 10 V
Vr(t) = 5,32 V
Vc
R = 3,1 k
t
-f.s.
V = 5,6 V
C = 6,0 mF
f.s.
-f.s.
0
f.s.
f.s. 2.0 A
I(t) = 1,72 A
0
t
t (s )
I
Imax
I
0
10 f.s.
V
Vc(t)= 0,28 V
t
t
Vediamo un’Equazione
differenziale del II ordine:
(tipicamente la legge di Newton
che governa tutta la meccanica)
Conviene fare semplici
manipolazioni matematiche:
è la velocità v!
(sono abbastanza standard ma …
non si insegnano!)
deriviamo rispetto a x invece che t!)
Quindi da:
otteniamo facilmente
(integrando):
(la legge di conservazione dell’ energia!)
Ma a noi serve così:
(questo è, ovviamente,
(mai vista? lo so!
il lavoro)
gravi errori della didattica)
Cosa abbiamo fatto?
l’abbiamo trasformata in un’
equazione del I ordine!
(come quella dell’RC)
x
Equazione
Differenziale
1
0
Legge della Forza
x'' = d2x/dt2 = -A*x
A = 0,018
v = 1,73
1
1
Legge del Moto
Campo di Forze
Vettore Velocità
t
Questo descrive
…
x
0
il – indica una Forza di richiamo
O Pos iz ione di
equilibrio
1
m= 4
0
x'' = d2x/dt2 = -A*x
t
A = 0,018
v = 1,73
x0
k
t
…un moto armonico
g
Usiamo ora il metodo del
polinomio caratteristico
a = - k/m 1
2
Ovvero:
a = - k/m
2
Cosa insegniamo agli
studenti?
IMPOSSIBILE!
oppure NON È REALE!
Sbagliamo!
a = - k/m
2
La matematica della realtà
è più ricca della matematica
che insegniamo!
Un esponenziale complesso …
… è una funzione reale!
Sì!
Tra l’altro
(non lo dite a nessuno) …
… questi …
… funzionano con
esponenziali complessi
(e anche zero a denominatore!)
E sono
reali …
… come reali le funzioni che ne
descrivono il comportamento
Circuito RCL
Vr(t)
R
+
+
V
Vc(t)
C
-
-
L
+
Vl(t)
V - vC - vL = vR = Ri
Tre generatori
Vr(t)
R
Circuito RCL
+
V
V-vC -vL = vR = Ri
C
L
Vl(t)
ma: vC = q/C e vL = L di/dt
allora:
V- q/C - L di/dt = Ri
Vr(t)
Circuito RCL
R
+
V
C
L
Vl(t)
V- q/C - L di/dt = Ri
Allora deriviamo:
Vc(t)
Vr(t)
Circuito RCL
R
+
V
C
-
a cui corrisponde il
polinomio caratteristico!
-1/C - L a2 = k a
(polinomio caratteristico)
L
Vl(t)
Vc(t)
Vr(t)
Circuito RCL
R
+
V
C
L
L
2
a
- R a +1/C =0
(polinomio caratteristico)
da cui:
Vl(t)
Vc(t)
Vr(t)
Circuito RCL
R
+
V
C
-
Come abbiamo visto
con F=ma
il caso z=R2C2-LC>0
non è molto interessante
(è un circuito RC!)
L
Vl(t)
Vc(t
Vr(t)
Circuito RCL
R
+
V
…interessante è il caso
C
L
Vl(t)
z=R2C2-LC<0
soluzioni oscillanti (è una Radio!)
Ancora radicando negativo!
Vc(t)
Circuito RCL
<1
Vl/Vr
Sottosmorzamento
Vr
-f.s.
0
f.s.
f.s. 10 V
Vr(t) = 5,23 V
t
Vc
Vl
V-Vc
R = 50,1
t (ms )
V
I
I
C = 4,0
-f.s.
F
I(t) = 0,1044 A
V = 9,6 V
f.s.
-f.s.
0
f.s.
f.s. 0.2 A
L = 9,6 mH
h
0
Vc
t
0
t
20 f.s.
V
Vc(t) = 5,19 V
Vl(t)= -0,82 V
t
t
La meccanica quantistica è
soluzione dell’equazione di
Schroedinger
Anche l’equazione di
Schroedinger
è un’equazione del II ordine
Come quella del
moto armonico
Schroedinger
m. armonico
Le soluzioni le sappiamo
sono esponenziali complessi
v(t)= v0
i
w
t
e
sia per Schroedinger che
per il moto armonico
ma, come sappiamo,
i
w
t
e =
v(t)= v0
= v0 (cos wt + i sen wt)=
che vuol dire? perché i numeri
complessi?
I fisici parlano di
dualismo onda-corpuscolo
i
w
t
e =
v(t)= v0
= v0 (cos wt + i sen wt)=
corpuscolo
onda
dualismo onda-corpuscolo
i
w
t
e
v(t)= v0
=
= v0 (cos wt + i sen wt)
La stessa
si
può
“vedere”
matematica!
l’onda o il corpuscolo
a seconda del caso o
dell’esperimento
La differenza (scientifica e
didattica) della meccanica
quantistica
è che interessa poco la
soluzione dell’equazione di
Schroedinger
sono esponenziali complessi
(sen o cos) o reali (senh o cosh)
interessa poco la
soluzione
interessano le
condizioni al contorno
(come nei problemi classici
delle onde)
(come nei problemi classici
delle onde)
le onde stazionarie
non ci interessa la soluzione
(già la sappiamo)
ma quale/i soluzione/i?
soluzioni che
sono in numero discreto
(ecco perché quantistica!)
Buca di Potenzialex
0
1
x'' = d2x/dt2 = -A*x
A = 0,018
v = 1,73
1
1
t
Buca di potenziale teorica
(infinita)
E E4
E3
E2
E1
0
x
a
Buca di potenziale reale
(finita)
y
O dd solution
E4
E ve n solution
- E E3
ka
a tan
(a)
E2
0
E1
E0
-V 0
a
E 4 |E |
E3
E2
E1
E0 V0
|E |
“Ci son tante più cose
tra Cielo e Terra, Orazio,
di quanto ne prescriva
la tua filosofia”
(Schakespeare Amleto)
Fine
Ruben Sabbadini: [email protected]