Secondo principio della termodinamica

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Secondo principio della termodinamica
Macchine termiche cicliche
− Macchine termiche: macchine che producono lavoro
scambiando calore con opportune sorgenti
− Si produce lavoro >0 che si ottiene a causa del calore fornito
− Affinché la trasformazione sia ciclica devo riportare il tutto al
punto iniziale
− Le macchine termiche che considereremo hanno il pregio di
essere “continuative” ovvero producono quantità finite di lavoro
per ogni ciclo
Bilancio energetico di un ciclo
Considero un cilindro; fornisco al cilindro una quantità i calore Q
con cui il pistone viene alzato producendo lavoro sul sistema.
Per riportare il pistone in posizione utile per reiniziare il ciclo
potrei:
− Comprimere con lavoro meccanico il pistone
− Mettere a contatto il cilindro con una sorgente ideale capace di
prelevare calore
Nel primo caso il lavoro esterno fatto sul sistema è identico a
quello fornito dal sistema all’ambiente, anzi gli inevitabili attriti
fanno si che il lavoro esterno per ricondurre il pistone alla
posizione di partenza sia superiore al lavoro fornito dal sistema !
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Nel secondo caso è la sorgente che assorbe calore che si occupa di
riportare il pistone in posizione.
Una macchina termica per funzionare ha bisogno di una caldaia
che fornisca il calore Q2 e un refrigerante che preleva la quantità di
calore Q1
Esempi di macchine termiche
Lavoro disponibile in un ciclio
Il bilancio energetico del ciclo è dato da
L = Q2 + Q1 = Q2 − Q1
Le due sorgenti sono a temperature differenti con
T2 > T1
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Gli enunciati del secondo principio della termodinamica
E’ possibile trasformare completamente il lavoro in calore
attraverso l’attrito
L⇒Q
è altrettanto possibile la trasformazione inversa ?
Q⇒L
La risposta è NO
Il secondo principio della termodinamica definisce i limiti delle
trasformazioni e può essere formulato in due enunciati:
Enunciato di Lord Kelvin:
è impossibile realizzare una
trasformazione ciclica il cui unico
risultato sia quello di assorbire calore
da un’unica sorgente di calore e
trasformarla integralmente in lavoro
Produco lavoro utilizzando 2 sorgenti di calore
Esempio: motore termico
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Enunciato di Clausius: è impossibile
realizzare una trasformazione il cui unico
risultato sia quello di far passare calore
da un corpo più freddo ad uno più caldo
Fornisco lavoro esterno
Esempio: frigorifero
SI DIMOSTRA CHE I DUE ENUNCIATI
SONO EQUIVALENTI
Non-Clausius implica non-Kelvin
Se fosse possibile portare calore da un corpo freddo ad uno più
caldo (violazione di Clausius) potrei produrre lavoro con una
macchina termica che lavora fra Q2 e Q1 poi prelevare calore Q1
dalla sorgente a temperatura T1 e ridarlo indietro alla sorgente a
temperatura T2
In questo modo:
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1. nella prima fase ho
prodotto un lavoro L= Q2 Q1, avendo la mia
sorgente a temperatura T2
fornito il calore Q2 e la
mia sorgente a temperatura T1 assorbito il calore Q1.
2. nella seconda fase la sorgente a temperatura T2 riceve anche il
calore Q1 ridatole dalla macchina non-Clausius
Alla fine del ciclo ho prelevo calore Q2 - Q1 da una sola sorgente e
ho prodotto lavoro L= Q2 - Q1 uguale (non-Kelvin)
Non-Kelvin implica non-Clausius
Ammettendo falso l'enunciato di
Lord Kelvin potrei usare una
macchina non-Kelvin:
1. capace di prelevare una
quantità Q1 di calore a una
sorgente a temperatura T1,
di trasformarlo integralmente in lavoro.
2. Trasformare, per attrito, il lavoro in calore Q2 tale da essere
assorbito dalla sorgente a temperatura T2, con T2> T1
L'effetto complessivo è equivalente al passaggio del calore Q1
dalla sorgente a temperatura T1 alla sorgente alla temperatura T2>
T1 (non-Clausius) .
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Rendimento di una macchina termica
Il rendimento di una macchina termica misura la percentuale di
conversione di calore in lavoro prodotto dal sistema
η=
Q 2 − Q1
Q2
0 ≤η <1
Cosa significa quest’ultima uguaglianza?
E’ praticamente una nuova formulazione (la terza !) del secondo
principio della termodinamica: il fattore di conversione di energia
termica in lavoro non può mai essere il 100 %; per esserlo dovrei
avere Q1=0 (violazione di Kelvin)
Trasformazioni reversibili e irreversibili
Una trasformazione reversibile
AB è una trasformazione di un
sistema termodinamico fatta in
modo tale che, quando è
conclusa, è possibile riportare il
sistema nello stato A
ripercorrendo a ritroso il
cammino AB, ripassando per tutti
gli stati già “vissuti dal sistema”,
riportando contemporaneamente
alle condizioni iniziali anche l’ambiente circostante.
Una trasformazione reversibile deve rispondere a tre requisiti:
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− essere quasistatica
− non essere accompagnata da fenomeni dissipativi
− il sistema deve scambiare calore soltanto con sorgenti di
calore
In meccanica i fenomeni d’urto elastico sono reversibili: potrei
invertire la freccia del tempo vedendo lo stesso un fenomeno fisico
accettabile.
Non tutti i fenomeni meccanici sono reversibili in particolare non
lo sono tutti quelli che si svolgono in presenza di forze dissipative.
Fenomeni di combustione ed esplosivi sono tipicamente
irreversibili
Il teorema di Carnot
Tra le trasformazioni reversibili sono particolarmente importanti
quelle relative alle macchine termiche reversibili.
Una macchina reversibile è un dispositivo che compie una
trasformazione ciclica reversibile. Se tale trasformazione è
composta di più fasi, ognuna di esse deve essere una
trasformazione reversibile.
Grazie a questo concetto, è possibile dimostrare un teorema molto
importante, il teorema di Carnot, che si riferisce a una macchina
termica qualunque che funzioni con due sole sorgenti di calore,
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rispettivamente alle temperature T , e
T2
1
macchina «lavora tra le temperature
T1
(con
T1 < T2
); si dice che tale
eT.
2
Più precisamente, il teorema di Carnot stabilisce che, data una
macchina reversibile R, il cui rendimento è η e un'altra macchina
R
qualunque S, con rendimento η , che lavora tra le stesse due
S
temperature di R, si ha sempre
ηR ≥ ηS
L’uguaglianza vale se e soltanto se anche la macchina S è
reversibile.
Scriviamo il rendimento della macchina reversibile:
η R = 1−
dove
Q1R e Q2R
Q1R
Q2R
sono le quantità di calore che la macchina R scambia
con le sorgenti di calore che si trovano, rispettivamente, alle
temperature T , e T .
1
Indicando con
2
Q1S e Q2S
le corrispondenti quantità relative alla
macchina S, possiamo scrivere anche
η S = 1−
Q1S
Q2S
I lavori compiuti dalle due macchine sono
WtotR = Q2R − Q1R
Dimostriamo la formula η
R
eW
S
tot
= Q2S − Q1S
≥ ηS
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Per questo mostreremo che, se essa non fosse vera, sarebbe
possibile costruire una macchina in contraddizione con l'enunciato
di Lord Kelvin del secondo principio della termodinamica.
Consideriamo per assurdo la relazione
ηR < ηS
Sostituendo in tale espressione le formule per i rendimenti avrò
1−
Q1R
Q2R
< 1−
Q1S
Q2S
da cui
Q1R
Q2R
>
Q1S
Q2S
Facciamo ora tre passi successivi:
1) Regoliamo il funzionamento della macchina R in modo da avere
Q2R = Q2S
In queste condizioni i denominatori della disequazione
Q1R
Q2R
>
Q1S
Q2S
sono eguali, per cui possiamo scrivere più semplicemente
Q1R − Q1S > 0
2) Approfittiamo del fatto che la macchina R è reversibile per farla
funzionare in senso inverso. In questo modo otteniamo la
macchina R , passando alla quale le quantità
Q1R
,
Q2R
e W cambiano
R
tot
soltanto di segno, ma restano eguali in valore assoluto.
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3) Consideriamo ora la
macchina composta
S⊕R
costituita da un ciclo della
macchina S seguito da un ciclo
della macchina R .
La macchina
S⊕R
produce un lavoro
W totS ⊕ R = W totS + W totR = W totS − W totR
da cui avrò
(
)
W totS ⊕ R = Q2S − Q1S − Q2R − Q1R = Q1R − Q1S
Ricordando la relazione precedente
Q1R − Q1S > 0
, tale lavoro è
positivo, cioè lavoro utilizzabile in pratica. Ma la sorgente di
calore alla temperatura
T2
alla macchina S il calore
è rimasta inalterata visto che ha ceduto
Q2S
e poi ha ricevuto la stessa quantità di
calore dalla macchina R .
Concludendo, se fosse vera la relazione η
R
< ηS
, considerata per
assudo, potremmo costruire una macchina termica
compiere il lavoro W
S ⊕R
tot
S⊕R
capace di
sfruttando solamente il calore prelevato
dalla sorgente a temperatura T , in contraddizione con l’enunciato
1
di Kelvin.
Deve quindi essere abbandonata la relazione η
valida la relazione η
R
R
< ηS
risultando
≥ ηS
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Il rendimento di una macchina irreversibile è sempre minore del
rendimento di una macchina reversibile che funzioni tra le stesse
temperature.
Ciclo di Carnot
Carnot propose il
ciclo omonimo: si
tratta di una macchina
reversibile che
funziona con due sole
sorgenti di calore: si
tratta della
trasformazione ciclica più semplice che si possa concepire.
Il ciclo di Carnot è costituito da quattro fasi consecutive:
1. espansione isoterma
2. espansione adiabatica
3. compressione isoterma
4. compressione adiabatica che riporta il sistema nello stato
iniziale.
Il teorema di Carnot assicura che il rendimento di tutte le macchine
reversibili che lavorano tra le stesse due temperature è lo stesso,
possiamo senz'altro introdurre un'altra semplificazione utilizzando
il fluido omogeneo più semplice che esista, cioè il gas perfetto.
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1. Espansione isoterma. All'inizio il sistema si trova nello stato
A, alla temperatura T2. A questo punto si procede
all'espansione isoterma AB; per ottenerla, diminuiamo in
modo quasistatico la pressione esercitata dal pistone sul gas.
Nello stesso tempo, manteniamo costante la temperatura del
gas mettendolo a contatto con una sorgente di calore alla
temperatura T2. Cosi facendo la macchina assorbe il calore Q2.
2. Espansione adiabatica. Giunti allo stato B, isoliamo
termicamente il gas e continuiamo a diminuire la pressione. Il
risultato è l'espansione adiabatica BC, al termine della quale il
sistema si porta alla temperatura T1 < T2.
3. Compressione isoterma. Partendo dallo stato C ricominciamo
ad aumentare la pressione (sempre in modo quasistatico)
mentre il gas è in contatto con una sorgente di calore alla
temperatura T1. In tal modo otteniamo una compressione
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isoterma CD del gas, nel corso della quale esso cede il calore
Q1 alla sorgente.
4. Compressione adiabatica. Infine, per concludere il cielo è
necessario ritornare allo stato A. Per ottenere ciò, isoliamo
ancora una volta, dal punto di vista termico, il gas e
continuiamo a diminuire la pressione in modo quasistatico.
Otteniamo la compressione adiabatica DA, che riporta il
sistema alla pressione e al volume iniziali e, quindi, alla
temperatura T2.
Il lavoro compiuto è uguale all'area della parte di piano racchiusa
all’interno del grafico che rappresenta la trasformazione ciclica.
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