lezione n°7

DIDATTICA DELLA
MATEMATICA
7° Lezione
L’insegnamento della
geometria nella scuola primaria
Esempi e proposte
QUANDO INIZIARE?
«Geometria che passione! Dall’esperienza il metodo: un percorso per i
primi tre anni della scuola primaria» Paola Soffientini (articolo allegato)
COME INIZIARE?
Nella scuola primaria si pongono le basi di un
percorso che durerà nel tempo; non serve
quindi erudizione ma educazione dello sguardo.
Per introdurre perciò gli elementi basilari della
geometria è bene evitare le definizioni astratte,
spesso inesatte nei testi: la definizione è l’esito
di un percorso ed è efficace quando da il nome
ad una esperienza che si è fatta e su cui si è
riflettuto.
«I bambini della scuola primaria sono all’inizio di
un cammino, che verrà ripreso e approfondito
molte volte. Incominciamo il lavoro scolastico
sulla geometria seguendo un metodo generale:
proporre esperienze ricche, tenendo conto
anche delle esperienze di cui è già ricco il
bambino… accompagnandolo a decifrare,
osservare rappresentare , raccontare, fino ad
elaborare con l’immaginazione gli oggetti
astratti, ideali della geometria.»
(dal testo ‘Fare matematica’)
"la fantasia mette in atto delle operazioni che si potrebbero chiamare
di "estrapolazione", operando un "passaggio al limite". Per esempio,
dalla sensazione di un corpicciolo molto piccolo (e già questa
espressione esprime un giudizio molto soggettivo), la fantasia elabora
l’immagine del "punto geometrico". A questo proposito, vale la pena di
ricordare che negli "Elementi" di Euclide, e poi nella successiva
letteratura geometrica greca, il termine che oggi viene tradotto con
"punto" aveva il significato letterale di "segno": cioè indicava un
"posto" elementare ed indivisibile.
Analogamente, dalla osservazione di un filo teso la fantasia elabora
l’immagine di un segmento di retta, cioè di qualche cosa che non può
avere una realizzazione materiale, perché è, come si suol dire,
"infinitamente sottile". Osservazioni analoghe si possono fare su ciò
che la fantasia elabora quando si costruisce l'immagine di una porzione
di piano.
Tenendo presenti queste osservazioni, si usa dire che la geometria
tratta di oggetti della nostra esperienza "idealizzati"."
(C. F. Manara Che cosa è geometria)
DA COSA INIZIARE
«…sono numerosi gli autori, tra i quali ricordiamo Speranza,
che mettono in evidenza come la geometria prende le mosse
dall’esperienza spaziale, visiva e tattile (vedere e toccare gli oggetti) o
anche motoria (noi ci muoviamo tra gli oggetti e li spostiamo). Il primo
approccio alla geometria è quindi di tipo fisico; ma già fin dai primi
momenti si formano le “immagini mentali” che possono essere
visioni mentali, o anche capacità di interagire con la realtà spaziale.
Per questa ragione, acquista un forte significato didattico coinvolgere i
bambini in attività che partono da figure solide fin dal primo anno di
scuola primaria per poi passare, appena se ne sente la necessità, al
piano, e continuare negli anni successivi a “giocare” al passaggio tra
spazio e piano e viceversa.
In quest’ottica, è bene tener conto che i bambini all’ingresso nella
scuola primaria avranno già numerose competenze “ingenue” anche
relative al mondo 2D, acquisite in ambiente scolastico o
extrascolastico, che non devono essere sottovalutate»
(‘Prima vengono i solidi’ Silvia Sbaragli NRD, Bologna; articolo
allegato)
Proposta di percorso
(dal testo: Fare Matematica)
a) Rappresentazione mentale dello spazio
Attraverso la descrizione si verifica e si approfondisce l’uso
corretto dei termini ( fuori/dentro, chiuso/aperto,
vicino/lontano, davanti/dietro, sinistra/destra, sopra/sotto) ,
imparando a distinguere il riferimento a sé, e il riferimento ad
un punto fuori di sé.
Inizia la scoperta della distinzione tra direzione e verso, la
configurazione del piano orizzontale e direzione verticale, la
consapevolezza delle simmetrie del proprio corpo e la
lateralizzazione.
Riconoscere e denominare…
a) Nello spazio
Le prime esperienze avvengono nello spazio, per questo si
propone di iniziare il riconoscimento di forme dello spazio
tridimensionale, per poi passare al piano e alle linee.
Questa esplorazione ha lo scopo di acquisire un linguaggio
attraverso esperienze di cui si prende consapevolezza,
imparando a dare un nome alle figure che il bambino vede ed
agli oggetti che utilizza.
N.B.: attenzione alla parola ‘solido’ : nel linguaggio comune non
ha lo stesso significato che nel linguaggio geometrico.
b)…nel piano…
Per passare dai solidi alle superfici si possono fare
proiezioni e sezioni, ottenendo un tipo di forma
geometrica a cui è stata ‘tolta’ una dimensione: è un
primo passo verso gli enti geometrici ideali. Ci si muove
didatticamente per arrivare a riconoscere che nella
realtà non c’è il quadrato, ma oggetti a forma
quadrata…, e a saper distinguere la regione interna di
una figura dal suo contorno.
c) …elementi ad una sola dimensione…
Manipolando oggetti e disegnando si arriva a dare
senso ad altri termini: linea, lati di un poligono,
spigoli di un prisma, retta, semiretta, segmento.
N.B.: non introdurre termini che poi non vengono
ripresi, poiché la conoscenza della geometria è
conoscenza di relazioni, i nomi specifici servono ad
esprimere relazioni; non servono nomi che poi
vengono messi da parte.
d) …punti come elementi privi di dimensione…
Incontriamo gli estremi di una linea, il punto di
partenza, il punto di arrivo, i vertici di un cubo. Non
bisogna avere fretta di parlare del punto come
oggetto senza dimensioni; si può lasciare che i
termini fondamentali siano inizialmente solo
intuizioni e che la mente di ciascuno compia il lungo
processo personale di astrazione necessario per
arrivare ad una visione astratta. Si potrà a questo
punto arrivare a formalizzare e denominare in
modo più rigoroso.
L’infinito appare all’orizzonte
• «E che si possa prolungare una linea retta finita
continuamente in linea retta»
Sia con la retta che con il piano si incontrano oggetti illimitati;
è utile per aiutare l’immaginazione usare il metodo di Euclide:
partire da oggetti finiti e prolungarli indefinitamente.
• Attenzione a non dare immagini fuorvianti: dicendo che due
rette non parallele si incontrano in un punto accediamo
all’idea di rette e segmenti fatti di punti. Ma i punti in un
segmento sono infiniti , mentre se si disegna un segmento
fatto di punti, il loro numero non può essere che finito!
Tale ‘dissidio’ tra il linguaggio comune e il linguaggio
matematico è dovuto alla differenza tra il mondo fisico e il
mondo delle rappresentazioni astratte.
Quindi: non essere ingenui nel fornire immagini e paragoni
che potrebbero mostrarsi poi come un ‘ostacolo didattico
Costruire per dominare razionalmente
Per passare dalla denominazione degli oggetti
geometrici al riconoscimento di proprietà e relazioni
significative è necessario per i bambini costruire figure
geometriche e manipolarle.
È necessario quindi
introdurre l’uso degli strumenti (riga, squadra,
compasso) esercitando l’uso della manualità.
È necessaria anche una nomenclatura più complessa
che viene introdotta man mano che si opera.
Non è significativo, infatti, iniziare il lavoro con la
comunicazione verbale di definizioni astratte.
Apprendere in modo stabile
Si arriva così in modo naturale ad un primo
approfondimento razionale, continuamente
supportato dal piano dell’esperienza.
È il momento giusto per operare delle
classificazioni (triangoli, quadrilateri,…) delle
sistematizzazioni, delle schematizzazioni che
aiutino a memorizzare con facilità tutto il lavoro
svolto
Due nota bene
1) La perpendicolarità può essere inizialmente introdotta legandola
alle posizioni ‘verticale’ e ‘orizzontale’ perché appartengono
all’esperienza personale del movimento nello spazio, ma poi è
necessario passare lentamente ma in modo chiaro alla
configurazione geometrica
2) In geometria l’angolo ha un significato diverso che nel linguaggio
comune; in geometria l’angolo è ognuna delle parti di piano
delimitata da due semirette che hanno l’origine in comune, nel
linguaggio comune diciamo: ‘mettiti nell’angolo’, oppure ‘quella
casa fa angolo con l’Ufficio postale’.
Possono quindi essere utili esperienze preparatorie come semplici
piegature con la carta, costruzioni di ventagli,… per arrivare poi al
corretto significato e successivamente alle classificazioni relative.
DUE ESPERIENZE
• Percorso di geometria di Paola Soffientini
• Dal tridimensionale al bidimensionale di
Elena Scubla
LE TRASFORMAZIONI
GEOMETRICHE
TRASFORMARE
Ogni giorno facciamo esperienza di trasformazioni nello
spazio:
• ci si sposta nello spazio
• si cambia posto agli oggetti
• ci si guarda allo specchio
• si deformano cose ( con gli elastici, in cucina,..)
• la terra ruota su se stessa e intorno al sole
• …..
Dalla necessità di razionalizzare anche questo tipo di
esperienze nasce, in geometria, il concetto di
trasformazione geometrica
TRASFORMARE
Cosa vuol dire, in geometria, trasformare una
figura F in una figura F’ ?
Vuol dire che ogni punto di F si trasforma in uno
e un solo punto di F’ e viceversa.
Si apre così una questione interessante: quali
aspetti di una figura restano immutati e quali
no? Cioè quali sono gli invarianti?
La risposta a questa domanda classifica il tipo di
trasformazione che si sta attuando.
Siano F ed F’ due poligoni che si corrispondono in una
trasformazione.
• Se F ed F’ hanno lati ed angoli corrispondenti
congruenti, allora la trasformazione è un’isometria
• Se F ed F’ hanno angoli corrispondenti congruenti e
lati corrispondenti in proporzione, allora la
trasformazione è una similitudine
• Se F ed F’ non hanno né angoli corrispondenti
congruenti né lati corrispondenti in proporzione, ma il
numero di lati non varia , allora la trasformazione è una
affinità ( Es.: un quadrato che diventa un
parallelogramma)
Generalizziamo:
• Una trasformazione geometrica del piano è una
corrispondenza biunivoca del piano in se stesso, cioè ogni
punto del piano ha uno ed un solo corrispondente nel
piano stesso.
• I punti che corrispondono a se stessi si chiamano punti
uniti della trasformazione ed, in generale, quelle figure
che, trasformate, coincidono con se stesse si chiamano
elementi uniti della trasformazione.
• Le trasformazioni a cui ci riferiamo in questa sintesi
trasformano rette in rette, segmenti in segmenti, lasciano
inalterate cioè le caratteristiche essenziali delle figure
geometriche
• Se in una trasformazione i segmenti
corrispondenti sono congruenti, allora la
trasformazione è una isometria.
• Se il rapporto tra segmenti corrispondenti è
costante allora la trasformazione è una
similitudine.
• Se le figure trasformate mantengono solo le
caratteristiche fondamentali (numero di lati,
parallelismo tra rette, appartenenze) allora la
trasformazione è una generica affinità.
Esaminiamo
le trasformazioni
che compaiono nelle
Indicazioni Nazionali
Simmetria assiale (Riflessione)
Si dice simmetria assiale di asse r la trasformazione che associa ad ogni punto
della retta r se stesso e ad ogni punto P del piano, non appartenente ad r, il
punto Q tale che il segmento PQ sia perpendicolare ad r e tale che il punto
medio di PQ appartenga ad r.
r
SIMMETRIA CENTRALE
Si dice simmetria centrale di centro O la
trasformazione che ad O associa se stesso e
che ad ogni punto P, diverso da O, associa il
punto Q, per il quale O è punto medio del
segmento PQ
Scopriamo alcune proprietà:
a) con GeoGebra
b) con il disegno
 In una simmetria la distanza tra due punti è uguale alla distanza tra
le rispettive immagini.
 Il simmetrico di un segmento è ancora un segmento
 Il simmetrico di un angolo è un angolo della stessa ampiezza
 Il simmetrico di un triangolo è un triangolo congruente o
isometrico ad esso
 ……………..
Torniamo alle figure simmetriche
Ora si può lavorare su domande del tipo:
 Quali figure hanno assi di simmetria? Quanti?
 Quali figure hanno centri di simmetria?
Proviamo a rispondere:
a) Tra i triangoli?
b) Tra i quadrilateri?
c) Cosa possiamo dire del cerchio?
d) Cosa possiamo dire dei poligoni regolari?
Traslazione
La traslazione è una trasformazione che sposta ogni punto di una figura della
stessa distanza e nella stessa direzione e stesso verso.
Utilizzando un linguaggio più rigoroso, si può anche dire: la traslazione fa
corrispondere ad ogni punto P del piano un punto P’, tale che𝑃𝑃′=𝑣 ,
essendo 𝑣 il vettore assegnato.
Rotazione
Dato un piano ed un suo punto O, viene chiamata rotazione di centro O ed
angolo 𝛼, quella trasformazione del piano in sé che fa corrispondere ad ogni
punto P del piano il punto P’, anch’esso del piano, in modo che risulti:
· PÔP’ ≅ 𝛼
· OP’ ≅ OP
Si considera l’angolo 𝛼 positivo se la rotazione avviene in senso antiorario,
negativo se avviene in senso orario.
Scopriamo alcune proprietà:
a) con Geogebra
b) con il disegno
 In una traslazione e in una rotazione la distanza tra due punti è
uguale alla distanza tra le rispettive immagini.
 Il trasformato di un segmento è ancora un segmento
 Il trasformato di un angolo è un angolo della stessa ampiezza
 Il trasformato di un triangolo è un triangolo congruente ad esso
 ……………..
ISOMETRIE E CONGRUENZE
Tutte le trasformazioni che abbiamo introdotto conservano angoli e distanze,
mantengono cioè inalterate forma e dimensioni delle figure sulle quali
agiscono. Per tale ragione vengono chiamate isometrie.
C’è però una differenza:
 Se prendiamo una figura e la sua traslata, facendola muovere
quest’ultima nel piano, possiamo portarla a sovrapporsi alla figura di
partenza.
 Così accade per la figura ruotata
 Ma la stessa cosa non accade per la figura riflessa: se vogliamo portare la
trasformata a coincidere con la figura di partenza, dobbiamo uscire dal
piano ed effettuare un ribaltamento nello spazio
Per tale ragione rotazione e traslazione vengono chiamate congruenze, o
isometrie dirette o movimenti rigidi.
La simmetria assiale viene invece detta isometria indiretta, o ribaltamento
• E la simmetria centrale? Facciamo una ricerca
• Cosa accade se applichiamo ad un oggetto una
simmetria, e poi al risultato la stessa?
• Oppure una simmetria e poi un’altra diversa?
Proviamo con GeoGebra
CONCLUSIONI
 Applicando due volte la stessa simmetria si
torna alla posizione di partenza
 Applicando due simmetrie assiali con assi
paralleli si ottiene una traslazione
 Applicando due simmetrie assiali con assi
incidenti si ottiene una rotazione di angolo
doppio di quello individuato dai due assi
 Se gli assi sono perpendicolari si ottiene una
simmetria centrale, ma anche una rotazione
di 180°
la simmetria centrale è una
isometria diretta!!!
ATTIVITÀ
 Dipingere con la tempera metà foglio di carta da
pacchi poi piegarlo; cosa si ottiene?
 Oppure disegnare su un foglio piegato sopra uno
di carta carbone….si possono vedere sia
simmetrie centrali che riflessioni
 Osservare oggetti, foglie, fiori, il proprio corpo….
 Ci sono simmetrie tra le lettere dell’alfabeto?
 Usiamo gli specchi (ovviamente li usa solo il docente e i bimbi guardano,
oppure si mette in mano ai bambini materiale sicuro)
 ………
Qualche applicazione
Le cornicette
Qualche applicazione
Il caleidoscopio
è uno strumento ottico che si serve di specchi e frammenti di vetro o plastica colorati, per creare
una molteplicità di strutture simmetriche.
Il più rudimentale caleidoscopio è formato da un semplice tubo di cartone rivestito internamente
di almeno due specchi (montati solitamente fra loro in modo da formare angoli di 60°); nella
parte anteriore, separati dal corpo centrale da un vetro rotondo trasparente, sono inseriti dei
frammenti colorati di varie forme e colori. Un vetro smerigliato chiude il tubo all'estremità.
Immagine di un
caleidoscopio a tre specchi
Qualche applicazione
 La tassellazione del piano:
Una tassellazione del piano è una collezione di poligoni che godono di alcune
proprietà. I poligoni si chiamano facce della tassellazione; i loro spigoli (o lati) si
dicono spigoli della tassellazione; i loro vertici si dicono vertici della tassellazione.
Le proprietà da soddisfare sono le seguenti:
1) l’unione delle facce ricopre il piano;
2) date due facce si verifica una delle seguenti possibilità:
sono disgiunte (cioè prive di punti comuni)
hanno in comune uno spigolo
hanno in comune un vertice
3) ogni vertice appartiene ad un numero finito di facce.
http://archiviomacmat.unimore.it/geometria/geotupertu/mostrageotupertu/tassel.htm
 Verifica di equivalenze tra figure. (GeoGebra)
Nello spazio
L’argomento “simmetrie” può essere esteso alle figure solide, purché
lo si limiti al centro di simmetria ed ai piani di simmetria. La ricerca di
assi di simmetria in generale è molto impegnativa e non alla portata
dei bambini della scuola primaria. L’argomento, ad ogni buon conto,
non dovrebbe essere affrontato prima della IV classe.
Esempi:
 Lo specchio è un piano di simmetria
 Il nostro corpo ha un piano di simmetria?
 Un cubo ha piani di simmetria, quanti?
 E un cono?
 …………….
Omotetia
Definizione: Dato un numero reale k > 0, si definisce omotetia con
centro O e rapporto k quella trasformazione che fa corrispondere ad
un generico punto A del piano un punto A', allineato con O e con A,
tale che sia: OA'/OA = k.
L’omotetia, quindi, trasforma una figura
geometrica in una figura avente la stessa
forma di quella data, cioè simile a quella data;
precisamente:
gli angoli corrispondenti sono congruenti
i lati corrispondenti sono proporzionali.
L’omotetia è la base della riproduzione in scala.
Riprodurre in scala
Ridurre in scala è l'operazione fondamentale per
la rappresentazione su carta del territorio o di
qualsiasi oggetto , di grosse dimensioni.
Scala di riduzione: rapporto tra la lunghezza misurata
sulla carta geografica e la corrispondente lunghezza
reale sulla superficie della terra.
Tanto maggiore è la superficie che dobbiamo
rappresentare sulla carta è più grande sarà la scala di
riduzione che dobbiamo impiegare.
Es: Se su una carta geografica trovo scritto1:
1.000.000 significa che
1 cm sulla carta corrisponde a 1.000.000 di cm
nella realtà, cioè a 10 km.