Imprese e reti d`impresa - 6. Elementi di teoria dei giochi non

Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi
Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash
Giochi ripetuti e folk theorem
Imprese e reti d’impresa
6. Elementi di teoria dei giochi non cooperativi
Giuseppe Vittucci Marzetti1
Corso di laurea triennale in Scienze dell’Organizzazione
Facoltà di Sociologia
Università degli Studi di Milano-Bicocca
A.A. 2012-13
1 Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale, Università degli Studi di Milano-Bicocca, Via
Bicocca degli Arcimboldi 8, 20126, Milano, E-mail: [email protected]
Giuseppe Vittucci Marzetti
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Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi
Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash
Giochi ripetuti e folk theorem
Layout
1
Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash
Cos’è la teoria dei giochi
Definizione di gioco
Funzione di risposta ottima
Equilibrio di Nash
2
Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi
Giochi in forma estesa
Equilibri di Nash e minacce non credibili
Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
3
Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash
Giochi di contrattazione
Soluzione di contrattazione di Nash
Soluzione generalizzata di Nash
4
Giochi ripetuti e folk theorem
Giochi e supergiochi
Dilemma del prigioniero ripetuto
Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali
Giochi ripetuti un numero finito di volte
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Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi
Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash
Giochi ripetuti e folk theorem
Cos’è la teoria dei giochi
Definizione di gioco
Funzione di risposta ottima
Equilibrio di Nash
Cos’è la teoria dei giochi
La teoria dei giochi è quella branca dell’economia che studia le scelte di
soggetti razionali in contesti strategici
Soggetto razionale è un agente in grado di:
valutare le conseguenze di ogni propria azione;
esprimere un sistema coerente di preferenze su tali conseguenze;
selezionare la scelta cui è associata la conseguenza preferita.
Un contesto di scelta è strategico quando le conseguenze di
un’azione per un soggetto dipendono, oltre che dalle sue scelte, ma
anche dalle scelte compiute da altri soggetti razionali.
Nascita della moderna teoria dei giochi comunemente fatta risalire al
1944, anno di pubblicazione del libro Theory of Games and
Economic Behavior di John von Neumann e Oskar Morgenstern.
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Cos’è la teoria dei giochi
Definizione di gioco
Funzione di risposta ottima
Equilibrio di Nash
Definizione di gioco
Per caratterizzare un gioco è necessario definire tre elementi:
giocatori (players);
strategie (strategies), ovvero possibili azioni di ogni giocatore;
guadagni/perdite (payoffs) di ogni giocatore in ogni combinazione
possibile di strategie (strategy profile).
In termini formali, un gioco generico Γ in forma normale è definito
come:
Γ = h N , {S1 , S2 , . . . , SN }, {u1 , u2 , . . . , uN } i
dove
N = {1, 2, . . . , N} è l’insieme dei giocatori;
Si (i ∈ N ) è l’insieme delle strategie del giocatore i;
ui (.) (i ∈ N ) è la payoff function del giocatore i, ovvero la funzione
che associa ad ogni possibile combinazione strategica (strategy
profile) il payoff del giocatore i, cioè un numero che misura il
guadagno del giocatore.
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Cos’è la teoria dei giochi
Definizione di gioco
Funzione di risposta ottima
Equilibrio di Nash
Un classico esempio: il dilemma del prigioniero
Due giocatori: N = {A, B};
Strategie: SA = SB = {C , NC };
Funzioni dei payoff:
uA (C , C ) = −5, uA (C , NC ) = 0, uA (NC , C ) = −7,
uA (NC , NC ) = −1;
uB (C , C ) = −5, uB (C , NC ) = −7, uB (NC , C ) = 0,
uB (NC , NC ) = −1;
B
A
C
C
−5,−5
NC
0,−7
NC
−7, 0
−1,−1
Tabella: Matrice dei payoff
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Definizione di gioco
Funzione di risposta ottima
Equilibrio di Nash
Funzione di risposta ottima
Risposta ottima (best reply o best response) di un giocatore:
strategia che massimizza il payoff del giocatore, date e costanti le
strategie degli altri giocatori.
Es.: la risposta ottima di A quando B confessa (sB = C ) è
confessare (sA = C ).
Funzione di risposta ottima (best reply function) del giocatore i:
funzione che, ad ogni combinazione strategica degli altri giocatori,
associa la risposta ottima di i:
bi (s−i ) = argmax ui (si , s−i )
si ∈Si
dove con s−i si indicano le strategie giocate da tutti i giocatori
escluso i;
Es.: la funzione di risposta ottima di A è bA (NC ) = bA (C ) = C .
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Funzione di risposta ottima
Equilibrio di Nash
Equilibrio di Nash
Equilibrio di Nash: profilo strategico (s) tale
che la strategia di ogni giocatore è una
risposta ottima alle strategie degli altri:
si∗ ∈ bi (s∗−i ),
∀i ∈N
Definizione equivalente:
ui (si∗ , s∗−i )
≥
ui (si , s∗−i ),
John Forbes Nash Jr.
∀ si ∈ Si , ∀ i ∈ N
In un equilibrio di Nash nessun giocatore ha
un incentivo a deviare;
Nel dilemma del prigioniero l’unico equilibrio
di Nash è s∗ = (C , C ).
(1928)
Nobel Memorial Prize in
Economics 1994
Nel 1994 Nobel per le Scienze Economiche assegnato a J. Harsanyi, J. Nash e R.
Selten “per la loro analisi pionieristica degli equilibri nella teoria dei giochi non
cooperativi”.
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Equilibri di Nash e minacce non credibili
Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi in forma estesa
Nei giochi in forma normale (strategic form) i giocatori agiscono
simultaneamente;
Nei giochi dinamici le scelte sono effettuate in un determinato
ordine temporale;
La rappresentazione dei giochi dinamici—in forma estesa (extensive
form)—utilizza una struttura ad albero:
ciascun vertice rappresenta un punto di decisione per un giocatore;
le ramificazioni sono le azioni che il giocatore può compiere;
a ciascun vertice finale è associato un vettore di payoff.
E
IN
I
F
F
-2,-2
A
E
A
F
-1,-2 -2,-1
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OUT
0,3
A
1,1
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Equilibri di Nash e minacce non credibili
Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Equilibri di Nash e minacce non credibili
La nozione di equilibrio di Nash non riesce ad escludere i casi di
minacce non credibili (non credible threats).
Esempio:
un’impresa (E ) deve decidere se entrare (IN) o meno (OUT ) in un
mercato;
l’incumbent (I ) deve decidere se ingaggiare una guerra dei prezzi (F )
o non ingaggiarla (A);
due equilibri di Nash: (OUT ,F ) e (IN,A);
...ma (OUT ,F ) contiene una minaccia non credibile: una volta che
E è entrato ad I non conviene guerreggiare.
E
I
E
IN
F
-1,-1
A
1,1
OUT
0,2
0,2
IN
F
(-1,-1)
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OUT
I
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A
(0,2)
(1,1)
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Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
In base al principio di razionalità sequenziale,
la strategia di un giocatore dovrebbe
specificare risposte ottime ad ogni nodo
dell’albero.
Secondo la definizione di Selten, un equilibrio
di Nash è perfetto nei sottogiochi (Subgame
Perfect Nash equilibrium, SPNE) se le
strategie di equilibrio costituiscono un
equilibrio di Nash in ciascun sottogioco;
Sottogioco (subgame): parte del gioco in
forma estesa che inizia in un nodo (contenuto
in un insieme di informazione di cui è l’unico
elemento) e contiene tutti i nodi che seguono.
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Reinhard Selten (1930)
Nobel Memorial Prize in
Economics 1994
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Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Per eliminare gli equilibri di Nash non perfetti nei sottogiochi
possibile usare l’induzione a ritroso (backward induction):
1
2
3
vai agli ultimi nodi di decisione e seleziona le risposte ottime dei
giocatori cui spetta muovere in ciascuno di quei nodi;
vai in ciascuno dei nodi precedenti e seleziona la risposta ottima sulla
base delle strategie individuate nello step 1;
continua il processo fino a giungere al nodo iniziale.
E
IN
OUT
I
F
-1,-1
A
0,2
1,1
Figura: Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi nel gioco di entrata
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Soluzione di contrattazione di Nash
Soluzione generalizzata di Nash
Giochi di contrattazione
Un gioco di contrattazione (bargaining game o Nash bargaining game) è
un semplice gioco con due giocatori utilizzato per modellare i processi di
negoziazione:
Due giocatori devono accordarsi sulla divisione di un bene, supposto
infinitamente divisibile (es.: una somma di denaro, X);
Se la somma delle due richieste (x1 e x2 ) è:
minore o uguale alla quantità del bene disponibile (x1 + x2 ≤ X ),
entrambi ricevono quanto chiesto;
maggiore della quantità del bene disponibile (x1 + x2 > X ), non si
raggiunge un accordo e i giocatori ricevono rispettivamente d1 e d2 .
Payoff del giocatore i (i ∈ {1, 2}):
xi se x1 + x2 ≤ X
ui (xi , xj ) =
di se x1 + x2 > X
(d1 , d2 ) denominato punto di disaccordo (disagreement point) e
corrispondente all’utilità che ciascun giocatore è in grado di
garantirsi in caso di mancato accordo.
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Giochi di contrattazione
Soluzione di contrattazione di Nash
Soluzione generalizzata di Nash
Giochi di contrattazione
x2
X
A
B
d2
d1
X
x1
Area celeste: spazio dei profili strategici ammissibili;
Segmento AB: insieme degli equilibri di Nash del gioco di
contrattazione.
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Soluzione di contrattazione di Nash
Soluzione di contrattazione di Nash (Nash bargaining solution):
combinazione di strategie (x1∗ , x2∗ ) tale che
(x1∗ − d1 )(x2∗ − d2 ) ≥ (x1 − d1 )(x2 − d2 )
per ogni coppia di strategie ammissibili (x1 , x2 ).
Nash dimostra che tale soluzione è l’unica che soddisfa
simultaneamente gli assiomi di:
Pareto-ottimalità: non è possibile incrementare il benessere di uno
dei due giocatori senza diminuire quello dell’altro;
Invarianza: rispetto a trasformazioni affini positive della funzione di
utilità: ui′ (xi , xj ) = a + b · ui (xi , xj );
Simmetria: indipendente dall’identità dei giocatori;
Indipendenza dalle alternative irrilevanti: se
due giochi hanno identico punto di disaccordo;
lo spazio di payoff del primo è interamente contenuto nello spazio dei
payoff del secondo;
la soluzione del secondo gioco fa parte allo spazio delle soluzioni
ammissibili del primo gioco;
allora i due giochi devono avere la stessa soluzione.
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Soluzione di contrattazione di Nash
x2
X
A
E
d2
B
d1
x1∗ =
X − d1 − d2
+ d1
2
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X
x2∗ =
x1
X − d1 − d2
+ d2
2
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Soluzione di contrattazione di Nash
Soluzione generalizzata di Nash
Soluzione generalizzata di Nash
Senza l’assioma di simmetria possibile caratterizzare famiglia di
soluzioni generalizzate di Nash, uniche rispetto ad un parametro che
misura il potere contrattuale (bargaining power ) α (0 < α < 1);
Soluzione generalizzata di Nash (generalized Nash solution):
combinazione di strategie (x1∗ , x2∗ ) tale che
(x1∗ − d1 )α (x2∗ − d2 )1−α ≥ (x1 − d1 )α (x2 − d2 )1−α
per ogni coppia di strategie ammissibili (x1 , x2 ).
Soluzioni:
x1∗ = α(X − d1 − d2 ) + d1
x2∗ = (1 − α)(X − d1 − d2 ) + d2
Con identico potere contrattuale (α = 1/2) soluzione generalizzata
coincidente con quella originaria di Nash.
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Giochi e supergiochi
Dilemma del prigioniero ripetuto
Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali
Giochi ripetuti un numero finito di volte
Giochi e supergiochi
Supergioco
Sequenza di giochi giocati da uno stesso insieme di giocatori.
Supergiochi con dipendenza temporale
Supergioco in cui i payoff di ogni gioco costituente (stage game) in una
fase t dipendono dalla successione delle strategie giocate dai giocatori
nelle fasi precedenti.
Giochi ripetuti
Supergiochi in cui il gioco costituente è lo stesso in ogni fase.
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Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali
Giochi ripetuti un numero finito di volte
Dilemma del prigioniero ripetuto
In ciascuno di T periodi due giocatori (A e B) giocano un dilemma
del prigioniero come quello in tabella;
Giocatori impazienti che scontano i payoff futuri ad un tasso δ
(0 < δ < 1);
Payoff di ogni giocatore dato dal flusso scontato dei payoff generati
in ciascun gioco costituente:
Gi = ui (s1,0 , s2,0 ) + δui (s1,1 , s2,1 ) + . . . + δ T ui (s1,T , s2,T )
=
T
X
δ t ui (s1,t , s2,t )
t=0
B
A
D
D
d,d
C
w ,l
C
l,w
c,c
Tabella: Matrice dei payoff (l < d < c < w )
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Dilemma del prigioniero ripetuto
Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali
Giochi ripetuti un numero finito di volte
Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali
Passare dal dilemma del prigioniero semplice a quello ripetuto fa
emergere possibili equilibri cooperativi (NC , NC ) nel gioco
costituente;
Trigger strategy (Friedman, 1971): ogni giocatore i ∈ N S
inizia giocando C ;
continua a giocare C fino a quando l’altro gioca C ;
gioca D per sempre in caso contrario.
Trigger strategy equilibrio di Nash
P∞ se, per ciascun giocatore,
guadagni della cooperazione ( t=0 δ t c) maggiori di quelli della
defezione
P∞e conseguente punizione da parte dell’altro
(w + t=1 δ t d), cioè se:
!
∞
∞
X
X
δd
c
t
t
−w −
≥0
δd =
δ c− w+
1−δ
1−δ
t=1
t=0
δ≥
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w −c
w −d
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Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali
Giochi ripetuti un numero finito di volte
Folk theorem
In base ad una popolare versione debole del folk theorem, nei giochi
ripetuti, se gli agenti non sono troppo impazienti esistono sempre
profili strategici che in equilibrio supportano miglioramenti paretiani
rispetto ad equilibri di Nash statici, cioè relativi al gioco costituente,
subottimali;
Folk theorem (Friedman (1971)
Sia s∗ un equilibrio statico con payoff u∗ . Per ogni vettore di payoff u
tale che ui ≥ ui∗ per tutti i giocatori i, esiste un δ̄ < 1 tale che, per ogni
δ > δ̄, c’è un equilibrio perfetto nei sottogiochi con payoff u.
Intuizione: con giocatori pazienti e gioco ripetuto per un numero
infinito di volte, qualsiasi guadagno finito di un periodo annullato da
una anche piccola perdita di utilità in ciascun periodo futuro.
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Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali
Giochi ripetuti un numero finito di volte
Giochi ripetuti un numero finito di volte e paradosso della
catena di vendita
In caso di dilemma del prigioniero ripetuto un numero finito di volte,
unico equilibrio di Nash quello di non cooperazione (dimostrazione
via backward induction):
Nell’ultimo periodo non ci sarà nessun vantaggio a non deviare
dall’equilibrio cooperativo;
Allora neanche nel periodo precedente potrà esserci qualche
vantaggio a non deviare;
...
Nel primo periodo non ci sarà nessun incentivo a deviare....
Proposizione dimostrata da Selten (1978) e anche nota come
paradosso della catena di vendita (chain store paradox).
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