compattezza negli spazi euclidei - Pagina web di Matapp

Settimana N° 5
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
§ 10.
COMPATTEZZA IN SPAZI METRICI ED EUCLIDEI
(Cfr.)*
(10.1) Teorema. Sia X uno spazio metrico e C ⊂ X un sottoinsieme, con la
topologia indotta†. Le seguenti proposizioni sono equivalenti:
(i) C è compatto (Heine-Borel).
(ii) Ogni insieme infinito di punti di C ha un punto di accumulazione in
C (Bolzano-Weierstrass).
(iii) Ogni successione in C ammette una sottosuccessione che converge in
C (i.e. C è compatto per successioni).
Dim. Cominciamo a dimostrare che (i ) =⇒ (ii ), cioè che ¬(ii ) =⇒ ¬(i ). Se è
vero ¬(ii ), esiste un insieme infinito A ⊂ C di punti di C che non ha nessun
punto di accumulazione in C (cioè nessun punto di C è di accumulazione per
A, e quindi in particolare nessun punto di A è di accumulazione per A).
Questo significa che ogni a ∈ A non è di accumulazione, e quindi per ogni
a ∈ A esiste un intorno aperto Ua di a tale che Ua ∩ A non contiene altri
punti oltre ad a, cioè
(10.2)
Ua ∩ A = {a}
Si consideri ora il ricoprimento aperto di A:
∪
Ua .
A⊂
a∈A
Per la (10.2), il ricoprimento {Ua } di A non ammette nessun sottoricoprimento, e dato che se A è infinito anche il ricoprimento è infinito, risulta
*Cfr: Sernesi Vol II, Cap III, §9 [1].
†Equivalentemente: sia C uno spazio metrico, quindi.
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#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
che A non è compatto. Per mostrare che C non è compatto, basta osservare
che A è chiuso in C (dal momento che nessun punto di C è di accumulazione
per A, la chiusura di A in C è uguale a A): se C fosse compatto anche A
dovrebbe essere compatto, per (8.15). Quindi C non è compatto.
Ora mostriamo che (ii ) =⇒ (iii ). Sia {xi }i∈J una successione di punti di C e
A ⊂ C l’insieme dei punti di {xi }i∈J . Se A è un insieme finito, allora c’è (in
modo banale) una sottosuccessione {xi }i∈J0 con J0 ⊂ J che converge in C: basta
prendere una successione costante. Altrimenti, A è un insieme infinito,
e dunque per (ii ) esiste un punto x̄ ∈ C che è di accumulazione per A. Per
definizione, questo vuol dire che per ogni ϵ > 0 l’intersezione
Bϵ ( x̄ ) ∩ ( A ∖ { x̄}) ̸= ∅.
Cioè, per ogni ϵ > 0 esiste y ∈ A, y ̸= x̄ per cui
y ∈ Bϵ ( x̄ )
(ricordiamo anche che y ∈ A ⇐⇒ y = xn per qualche n). Dato che X è uno
spazio metrico, segue che per ogni ϵ > 0 Bϵ ( x̄ ) ∩ A ha infiniti punti (vedi
anche esercizio (5.2)). Ora, definiamo la successione {nk } per induzione:
si scelga y ∈ B1 ( x̄ ) ∩ A. Allora esiste n1 tale che xn1 = y. Supponiamo di aver
1
definito nk . Definiamo ϵ k+1 =
, ed allora esistono infinite scelte per
k+1
y ∈ Bϵk+1 ( x̄ ) ∩ A, dunque infinite soluzioni (intere) dell’equazione
xn ∈ Bϵk+1 ( x̄ ).
Dato che sono infinite, ne esiste una per n > nk , che chiamiamo nk+1 . È facile
vedere che la sottosuccessione {xnk } converge a x̄ ∈ C.
Infine mostriamo che (iii ) =⇒ (i ). Questa è la parte più difficile della
dimostrazione. Per prima cosa, supponiamo di avere un ricoprimento {Uα } di
C costituito esclusivamente da intorni circolari Uα = Brα (cα ) e mostriamo
che
(10.3) esiste δ > 0 per cui per ogni x ∈ C l’intorno Bδ ( x ) è contenuto in
qualche Uα .
Dimostrazione del lemma (10.3). Dobbiamo mostrare che per ogni x ∈ C esiste
Uα = Brα (cα ) tale che Bδ ( x ) ⊂ Brα (cα ). Se ciò non fosse vero, dovrebbe essere
vero che per ogni δ > 0 esiste x = x (δ ) ∈ C tale che per ogni α Bδ ( x ) ̸⊂ Bα .
Consideriamo la successione δn = 1n . Allora, per ogni n ≥ 1 si può definire
un elemento xn ∈ C per cui
(10.4)
∀α, Bδn ( xn ) ̸⊂ Uα .
Di nuovo, consideriamo che per ipotesi (iii ) è vera, e quindi la successione {xn } ammette una sottosuccessione {xnk } che converge ad un certo y ∈ C.
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§ 10.
COMPATTEZZA IN SPAZI METRICI ED EUCLIDEI
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Dal momento che C è ricoperto dagli aperti Ui , esiste un aperto Uαy del
ricoprimento che contiene y, cioè tale che
lim xnk = y ∈ Uαy .
k
Ma per ipotesi Uαy è aperto, quindi esiste un raggio r > 0 tale che Br (y) ⊂ Uαy ,
e se k è grande abbastanza si ha che xnk ∈ Br/2 (y) (dalla convergenza della
sottosuccessione) e quindi per la disuguaglianza triangolare che
Br/2 ( xnk ) ⊂ Br (y) ⊂ Uαy .
Dato che per k abbastanza grande δnk < 2r , si può trovare un k per cui
Bδnk ( xnk ) ⊂ Br (y) ⊂ Uαy .
Ma questo contraddice la definizione degli {xn } (equazione (10.4)), per cui
l’ipotesi è falsa. Abbiamo mostrato che esiste δ > 0 per cui per ogni x ∈ C
⨳
l’intorno Bδ ( x ) è contenuto in qualche Ui del ricoprimento aperto.
Ora, mostriamo che
(10.5) per ogni ϵ > 0 l’insieme C può essere ricoperto da un numero finito
di intorni circolari di raggio ϵ .*
Dimostrazione del lemma (10.5). Se ciò non fosse vero, per un certo ϵ > 0,
si scelga x1 ∈ C; dato che Bϵ ( x1 ) non può ricoprire C (per ipotesi), esiste
x2 ∈ C tale che x2 ̸∈ Bϵ ( x1 ). Analogamente, si scelga x3 ∈ C ∖ ( Bϵ ( x1 ) ∪ Bϵ ( x2 )), e
per induzione
 n

∪

xn+1 ∈ C ∖  Bϵ ( xi ) .
i=1
La successione (di infiniti punti distinti) esiste perché
n
∪
Bϵ ( xi )
i=1
non può mai coprire C. Inoltre, se h ̸= k si ha
d ( xh , xk ) ≥ ϵ,
e quindi la successione {xi }i non può avere sottosuccessioni convergenti.
Ma dato che stiamo assumendo (iii ) vera, ogni successione in C deve avere
almeno una sottosuccessione convergente, e questa proprità è contraddetta
dall’esistenza della successione {xi }. Quindi l’ipotesi era falsa, e per
ogni ϵ > 0 l’insieme C è ricoperto da un numero finito di intorni circolari
di raggio ϵ.
⨳
*La proprietà che per ogni ϵ > 0 l’insieme C può essere ricoperto da un numero finito
di intorni sferici di raggio ϵ ha un nome: si dice che C è totalmente limitato. È chiaro
che se C è totalmente limitato, allora è limitato. Purtroppo in generale non è vero il
viceversa.
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#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
Sia quindi C ricoperto da un numero finito di intorni circolari Bϵ (c j ) di
raggio ϵ e {Uα } il ricoprimento di C di intorni circolari definito sopra,
con ϵ < δ. Dato che ϵ < δ, per ogni intorno Bϵ (c j ) (nell’insieme finito di
intorni che ricopre C) esiste un intorno Uα = Uα( j ) tale che Bϵ (c j ) ⊂ Uα( j ) .
L’insieme finito di intorni {Uα( j ) } j ricopre C, dato che Bϵ (c j ) ricopre C, ed è
quindi un sottoricoprimento finito di {Uα }. Per concludere la dimostrazione,
bisogna trovare sottoricoprimenti finiti per ricoprimenti aperti generici,
e non solo per ricoprimenti di intorni della base di intorni circolari. Ma
⨳
questo segue da (8.22).
(10.6) Nota. Osserviamo che abbiamo di fatto dimostrato il seguente lemma
(chiamato lemma del numero di Lebesgue):
(10.7) Sia X uno spazio metrico compatto, e {Uα } un ricoprimento aperto di
X. Allora esiste δ > 0 (chiamato numero di Lebesgue del ricoprimento {Uα })
tale che per ogni x ∈ X esiste α tale che x ∈ Bδ ( x ) ⊂ Uα .
Dim. Se Uα è composto da intorni sferici (palle), allora si tratta esattamente di (10.3). Altrimenti, gli Uα sono unioni di intorni circolari
perché aperti, e quindi possiamo sostituire ad ogni Uα = ∪i Bα,i l’insieme
di Bα,i di cui è unione, ed ottenere un ricoprimento per cui vale (10.3).
Quindi per ogni x ∈ X esiste α, i tale che x ∈ Bδ ( x ) ⊂ Bα,i , e quindi esiste α
⨳
tale che x ∈ Bδ ( x ) ⊂ Uα , dato che Bα,i ⊂ Uα .
(10.8) Nota. Se X non è uno spazio metrico (o metrizzabile), le tre proprietà non sono necessariamente equivalenti. Ci sono esempi di spazi per
cui vale (i ) ma non vale (iii ) (nella nota (10.16) a pagina 75: si dice che
è compatto ma non compatto per successioni). Ma ci sono anche spazi per
cui vale (iii ) ma non (i ) (cioè X = ω1 è compatto per successioni ma non lo
è per ricoprimenti; ω1 è semplicemente un certo insieme con la topologia
degli intervalli, rispetto ad un ordine totale, che però non riusciamo
a definire in questo corso; un esempio –opzionale– si può trovare nella
nota (10.17) a pagina 76). In generale, però vale (i ) =⇒ (ii ) (guardare la
dimostrazione…), e (iii ) =⇒ (ii ).
(10.9) Nota. L’intervallo [0, 1] di Q non è compatto. Per (10.1), basta trovare
una successione in [0, 1] che converge a un numero irrazionale. Un esempio è
quello delle troncate n-esime delle cifre decimali di un irrazionale di [0, 1].
Esempi costruttivi di successioni di questo tipo sono molto interessanti:
una cosa è dire che esiste una successione di razionali che converge a
q, un’altra cosa è definire una funzione (ricorsiva, per esempio) o un
algoritmo
che genera tali razionali. In altre parole, fissato per esempio
√
q = 2/2 dovrebbe essere possibile scrivere un programma che per k assegnato
calcola in modo esatto tutte le prime k cifre decimali di q. È possibile in
questo modo scrivere un programma che calcola in modo esatto tutte le prime
k cifre decimali anche di π? È vero che per ogni x ∈ R esiste un programma
che per k assegnato calcola in modo esatto tutte le prime k cifre decimali
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COMPATTEZZA IN SPAZI METRICI ED EUCLIDEI
di x (di qualsiasi irrazionale)? Stiamo parlando naturalmente di programmi
in senso astratto. Nei casi concreti, programmi che impiegano 10100 anni
per terminare non sono di grande utilità (si veda più avanti anche (12.18)
a pagina 95).
A Spigot Algorithm* for the Digits of π
import sys
def main():
k, a, b, a1, b1 = 2L, 4L, 1L, 12L, 4L
while 1:
p, q, k = k*k, 2L*k+1L, k+1L
a, b, a1, b1 = a1, b1, p*a+q*a1, p*b+q*b1
d, d1 = a/b, a1/b1
while d == d1:
output(d)
a, a1 = 10L*(a%b), 10L*(a1%b1)
d, d1 = a/b, a1/b1
def output(d):
sys.stdout.write(str(d))
sys.stdout.flush()
if __name__ == "__main__":
main()
(10.10) Sia X uno spazio metrico e C ⊂ X un sottoinsieme. Se C è compatto,
allora C è chiuso e limitato.
Dim. Ogni spazio metrico è di Hausdorff (vedi esercizio (4.4)), e ogni
compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso (vedi (8.16)), per cui se
C è compatto di X allora C è chiuso. Dobbiamo quindi mostrare che C è
limitato. Sia x0 un punto di X e Bn ( x0 ) la successione crescente di intorni
circolari di raggio n ∈ N. Dato che {Bn ( x0 )}n è un ricoprimento aperto di C,
deve ammettere un sottoricoprimento finito, cioè deve esistere n0 ∈ N per
⨳
cui C ⊂ Bn0 ( x0 ), cioè C è limitato.
(10.11) Teorema (Heine-Borel). L’intervallo unitario [0, 1] ⊂ R è compatto.
Prima dimostrazione. Sia {Ui }i∈J un ricoprimento di [0, 1] e definiamo
{
F = t ∈ I : [0, t ] è coperto da una famiglia finita
di aperti di {Ui }i∈J }}
Si vede che 0 ∈ F (e quindi F non è vuoto) e che t ∈ F, 0 ≤ s < t =⇒ s ∈ F. Si
consideri m = sup F (l’estremo superiore di F, che esiste per gli assiomi
(7.1)). Allora t < m =⇒ t ∈ F e t > m =⇒ t ̸∈ F. Vediamo se m ∈ F oppure no. Dato
che m ∈ [0, 1] e {Ui } ricopre [0, 1], esiste im ∈ J per cui m ∈ Uim . Ma Uim è aperto,
e dunque esiste un intorno circolare di raggio ϵ tale che Bϵ (m) ⊂ Uim . Visto
che m − ϵ ∈ F, l’intervallo [0, m − ϵ ] è ricoperto da un numero finito di aperti
Ui , che uniti ad Uim costituiscono un numero finito di aperti che copre
[0, m], e dunque m ∈ F, cioè
F = [0, m].
*A Spigot Algorithm for the Digits of π, S. Rabinowitz, S. Wagon (The American
Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 3 (Mar., 1995), pp. 195-203 ).
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#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
Ora, se m < 1, allora un ricoprimento finito di [0, m] sarebbe anche ricoprimento finito di [0, m + ϵ ] per un certo ϵ abbastanza piccolo, per cui deve
essere m = 1, cioè F = [0, 1] (in altre parole, abbiamo trovato il ricoprimento
⨳
finito di [0, 1]).
Seconda dimostrazione. Sia {Ui }i∈J un ricoprimento aperto di I0 = [0, 1]. Supponiamo per assurdo che non ammetta sottoricoprimenti finiti. Dividiamo I0
1
nelle due metà di lunghezza :
2
1
1
[0, 1] = [0, ] ∪ [ , 1].
2
2
Se entrambe le metà fossero ricoperte da un numero finito di Ui , cadremmo
in contraddizione, per cui almeno una delle due non lo è, e la chiamiamo I1 .
Dividendo I1 in due metà, possiamo di nuovo applicare lo stesso argomento
per definire I2 , e così via una successione In di intervalli chiusi non
ricopribili da un numero finito di aperti Ui , di lunghezza 2−n , e con la
proprietà In ⊂ In−1 per ogni n ≥ 1.
I0 ⊇ I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ . . . .
Ora, se definiamo
I∞ =
∞
∩
In ,
i=0
osserviamo che I∞ non può avere più di un punto (infatti, x, y ∈ I∞ =⇒
∀n ≥ 0, x, y ∈ In =⇒ ∀n ≥ 0, |x − y| ≤ 2−n , che implica |x − y| = 0). Come conseguenza
dell’esistenza dell’estremo superiore in R, si può mostrare (vedi esercizio
(5.3)) che I∞ non è vuoto, e che
I∞ = {inf (max In ) = sup(min In )}.
Sia p ∈ I∞ . Dato che p ∈ I, esiste i p ∈ J per cui p ∈ Ui p , e quindi esiste un
ϵ > 0 tale che
Bϵ ( p) ⊂ Ui p .
Ma se n è abbastanza grande, In ⊂ Bϵ ( p), e dunque esiste un n per cui
In ⊂ Bϵ ( p) ⊂ Ui p :
ciò contraddice l’ipotesi che ogni In non si può coprire con un insieme
⨳
finito di Ui (un solo Ui p è sufficiente!).
La seconda dimostrazione (bisezione) può essere modificata in questo
modo, dato che grazie al Teorema (10.1) basta mostrare che ogni sottoinsieme
infinito A di [0, 1] ha un punto di accumulazione in [0, 1]: in I0 = [0, 1] ci sono
infiniti punti di A, e quindi in una delle due metà [0, 1/2], [1/2, 1] ce
ne devono essere infiniti. E così per induzione, si ottiene una catena
I0 ⊃ I1 ⊃ . . . ⊃ In ⊃ . . . di intervalli di ampiezza 2−n che converge al punto di
accumulazione di A (esercizio!).
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§ 10.
COMPATTEZZA IN SPAZI METRICI ED EUCLIDEI
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(10.12) Corollario. Per ogni a<b ∈ R, l’intervallo [a, b] è compatto.
Dim. Dato che l’intervallo [a, b] è omeomorfo all’intervallo [0, 1], segue
⨳
immediatamente da (10.11).
(10.13) Teorema (Heine-Borel II). Se X = Rn con la metrica euclidea, allora
C ⊂ X è compatto se e solo se chiuso e limitato.
Dim. La proposizione (10.10) è la parte “solo se”. Viceversa, se C ⊂ Rn è
limitato, allora è contenuto nel parallelepipedo del tipo
C ⊂ [a, b]n ⊂ Rn ,
che è compatto per il corollario (10.12) unito al teorema (8.23). Quindi,
se C è chiuso in X, è chiuso anche in [a, b]n e quindi è un sottoinsieme
chiuso di uno spazio compatto, e quindi è compatto per la proposizione
(8.15).
⨳
(10.14) Corollario (Bolzano-Weierstrass). Ogni insieme infinito e limitato
in Rn ha almeno un punto di accumulazione.
Dim. Un insieme infinito e limitato in Rn è anche, come sopra, un sottoinsieme infinito del compatto [a, b]n per qualche a, b. Per (10.1), (ii ), esiste
quindi un punto di accumulazione.
⨳
(10.15) Teorema. Una funzione continua f : X → R definita su un dominio
compatto X ha massimo e minimo.
Dim. Dato che X è compatto, f ( X ) è compatto e quindi chiuso e limitato in
R. Dato che è limitato, sia l’estremo superiore M = sup( f ( X )) che l’estremo
inferiore m = inf ( f ( X )) esistono finiti. Gli estremi m e M appartengono alla
chiusura f ( X ) (vedi esercizio (4.2)), che coincide con f ( X ) dato che f ( X ) è
chiuso, quindi m ∈ f ( X ), M ∈ f ( X ), e quindi sia m che M sono assunti in X,
cioè m = min x∈X f ( x ), M = max x∈X f ( x ).
⨳
(10.16) Nota (Opzionale). Consideriamo, come nella nota (9.1) a pagina 60,
la topologia prodotto di una famiglia qualsiasi di spazi. Per esempio,
l’insieme delle parti X = 2[0,1] dell’intervallo [0, 1], che possiamo identificare con l’insieme di tutte le funzioni f : [0, 1] → {0, 1}. Nella topologia
(prodotto) di X una successione { fn } converge a f¯ se e soltanto se per
ogni α ∈ [0, 1] fn (α ) converge a f¯(α ). Con la topologia prodotto e il teorema
di Tychonoff, dato che {0, 1} è compatto, allora anche X è compatto. Ora
costruiamo una successione fn in X che non converge puntualmente, e per
cui nessuna sottosuccessione converge puntualmente. Per ogni t ∈ [0, 1] sia
t = a0 , a1 a2 a3 . . . an . . .
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#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
la rappresentazione in cifre binarie di t, cioè
t=
∞
∑
a j 2− j .
j=0
Poniamo
f n ( t ) = an ,
cioè fn (t ) è uguale all’n-esima cifra nella rappresentazione binaria di t.
Ora, se fnk è una sottosuccessione qualsiasi, sia α ∈ [0, 1] un numero qualsiasi
le cui cifre binarie α = a0 , a1 a2 . . . soddisfano
ank = k
mod 2.
Allora fnk (α ) = k mod 2, e la sottosuccessione fnk non converge puntualmente.
Quindi X è compatto, ma non è vero che ogni successione in X ammette
almeno una sottosuccessione convergente. Segue qundi dal Teorema (10.1)
che sullo spazio X di tutte le funzioni [0, 1] → {0, 1} non è possibile definire
una metrica che induca la topologia della convergenza puntuale (non è
metrizzabile nella topologia prodotto/della convergenza puntuale).
Consideriamo ora in X l’insieme D ⊂ X delle funzioni f : [0, 1] → {0, 1} che
sono uguali a 1 solo in un numero finito di punti di [0, 1]. Sia x ∈ X un punto
arbitrario di X; se U ⊂ X è un aperto della base della topologia prodotto
di X, allora esistono k punti α1 , . . . , αk ∈ [0, 1] e k valori y1 , . . . , yk ∈ {0, 1} tali
che
U = { f ∈ X : ∀i = 1 . . . k, f (αi ) = yi },
e quindi gli intorni U di x ∈ X sono gli insiemi di funzioni f : [0, 1] → {0, 1}
che coincidono con x su un insieme finito di punti α1 , . . . , αk . In ogni intorno
quindi cadono sempre punti di D oltre ad x, cioè ogni x è di accumulazione
per D (D è denso in X). Però le successioni di punti in D non possono
convergere (puntualmente!) che a funzioni x : [0, 1] → {0, 1} che sono uguali a
1 al massimo in un insieme numerabile di punti. Quindi ci sono punti di
accumulazione per D che non sono limiti di successioni di punti in D.
(10.17) Nota (Opzionale). Modifichiamo l’esempio della nota (10.16), per
ottenere uno spazio che è compatto per successioni ma non compatto. Sia
{0, 1}I l’insieme di tutte le funzioni (non necessariamente continue) I → {0, 1},
dove I = [0, 1] ⊂ R ha la topologia metrica e {0, 1}I ha la topologia della
convergenza puntuale (cioè quella prodotto di una infinità non numerabile
(I) di copie di {0, 1}, analogamente alla nota precedente). Per ogni f : I → {0, 1},
il supporto di f è definito da
S ( f ) = {t ∈ [0, 1] : f (t ) = 1}.
Sia ora X ⊂ {0, 1}I il sottospazio definito da
}
{
X = f ∈ {0, 1}I : S ( f ) è numerabile. ⊂ {0, 1}I ,
con la topologia indotta.
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§ 11.
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SPAZI METRICI COMPLETI
(10.18) Per ogni successione { fn } di elementi di X esiste una sottosuccessione fnk convergente in X: X è compatto per successioni.
Dim. L’unione di tutti i supporti delle fn è unione numerabile di insiemi
numerabili, e quindi anch’esso è numerabile:
S = ∪n S ( fn ) ≈ N.
Ora, le funzioni fn |S, le restrizioni delle fn all’unione dei supporti S,
costituiscono una successione in I S (lo spazio di tutte le funzioni da S a
{0, 1}). Ma si può mostrare che {0, 1}S ≈ {0, 1}N è metrico (è l’insieme di Cantor
dell’esercizio (6.22) a pagina 108) e compatto (nella topologia prodotto,
per il teorema di Tychonoff o per l’esercizio (6.22)), e quindi esiste una
sottosuccessione fnk |S che converge in I S , cioè una sottosuccessione per cui
per ogni t ∈ S si ha che fnk (t ) converge. Ma se t ̸∈ S, fnk = 0 per definizione,
e quindi fnk (t ) converge per ogni t ∈ I, e dunque converge ad una funzione f¯.
Il supporto di f¯ è per forza numerabile (contenuto in S), e quindi f¯ ∈ X,
dunque X è compatto per successioni.
⨳
D’altra parte vale il seguente lemma.
(10.19) X non è compatto (per ricoprimenti).
Dim. Per ogni t ∈ I, l’insieme
{
}
At = f ∈ X : f (t ) = 0
è un aperto di X (è un elemento della base di aperti nella topologia
prodotto di {0, 1}I ∩ X). Per ogni f ∈ X esiste certamente t ∈ I tale che f (t ) = 0,
perché altrimenti il supporto S ( f ) sarebbe non numerabile. Quindi
X ⊂ ∪t∈[0,1] At
è un ricoprimento aperto. Ma X non può essere coperto da un numero finito
di At : per ogni insieme finito t1 , . . . , tn esiste certamente f ∈ X tale che
f (t1 ) = 1, . . . , f (tn ) = 1,
cioè f ̸∈ Ati per i = 1, . . . , n. Quindi X non è compatto.
§ 11.
⨳
SPAZI METRICI COMPLETI
(11.1) Definizione. Una successione {xn }n in uno spazio metrico si dice di
Cauchy se per ogni ϵ > 0 esiste un intero N = N (ϵ ) per cui
n, m > N =⇒ d ( xn , xm ) < ϵ .
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#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
(11.2) Una successione convergente in uno spazio metrico è di Cauchy.
Dim. Se limn xn = x̄, allora per ogni ϵ > 0 esiste n0 > 0 tale che n > n0 =⇒
d ( x̄, xn ) < ϵ . Quindi se n, m > n0 si ha (per la disuguaglianza triangolare)
d ( xn , xm ) ≤ d ( xn , x̄ ) + d ( x̄, xm ) < 2ϵ ,
e quindi la successione è di Cauchy.
⨳
(11.3) Ogni successione di Cauchy è limitata.
Dim. Per definizione, esiste N ≥ 1 tale che m, n ≥ N =⇒ d ( xn , xm ) < 1. Ma allora
in particolare per ogni n ≥ N d ( xn , xN ) < 1 e quindi per ogni n ≥ 1
d ( xn , x1 ) ≤ M = max{d ( x1 , x2 ), d ( x1 , x3 ), . . . , d ( x1 , xN )} + 1,
e dunque {xn } ⊂ BM ( x1 ) è limitata.
⨳
(11.4) Definizione. Uno spazio metrico X si dice completo se ogni successione di Cauchy in X converge in X.
(11.5) Uno spazio metrico X è completo se e solo se ogni successione di
Cauchy in X ammette una sottosuccessione convergente.
Dim. È ovvio che se è completo allora ogni successione di Cauchy converge,
e dunque basta prendere la successione stessa {xn }. Supponiamo invece che
ogni successione di Cauchy ammetta una sottosuccessione convergente. Sia
{xn } una successione di Cauchy e {xnk } la sottosuccessione convergente a x̄ ∈ X.
Per ogni ϵ > 0 esiste N tale che
m, n > N =⇒ d ( xn , xm ) < ϵ /2,
ed un K tale che k > K =⇒ nk > N e
d ( xnk , x̄ ) < ϵ /2.
Ma allora se n > N si ha per ogni k > K
d ( xn , x̄ ) ≤ d ( xn , xnk ) + d ( xnk , x̄ ) < ϵ ,
cioè {xn } converge a x̄.
⨳
(11.6) Corollario. Se X è uno spazio metrico compatto, allora X è completo.
Dim. Per (10.1), ogni successione in X ammette una sottosuccessione convergente. In particolare, quindi, ogni successione di Cauchy in X ammette
una sottosuccessione convergente. Ma allora per (11.5) lo spazio metrico
X è completo.
⨳
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§ 11.
SPAZI METRICI COMPLETI
79
(11.7) Siano X e Y due spazi metrici con metriche d X e dY . Allora X × Y è
uno spazio metrico con la metrica prodotto definita da
√
d (( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )) = d X ( x1 , x2 )2 + dY (y1 , y2 )2
Dim. Esercizio (3.20).
⨳
(11.8) Se X e Y sono spazi metrici completi, allora X × Y con la metrica
prodotto è uno spazio metrico completo.
Dim. Esercizio (-1.1).
⨳
(11.9) Un sottospazio S ⊂ X di uno spazio metrico completo è completo se e
solo se è chiuso in X.
Dim. Esercizio (-1.2).
⨳
(11.10) Teorema. La retta reale R è uno spazio metrico completo. Per ogni
n ≥ 1 lo spazio euclideo Rn è completo.
Dim. Cominciamo a mostrare che R è completo. Se {xn } è una successione di
Cauchy, allora per (11.3) è una successione limitata che per (10.14) ha
una sottosuccessione convergente ad un limite in R (se non fosse infinita
sarebbe immediato trovare il limite…). Ma per (11.5) allora {xn } converge
in R, e dunque R è completo. La seconda parte dell’enunciato segue da
(11.8).
⨳
(11.11) Nota. Il campo Q non è completo: come sopra, basta trovare successioni di razionali convergenti a numeri irrazionali.
(11.12) Nota. Per gli spazi metrici, la compattezza e la completezza sono
concetti vicini, ma non equivalenti. Infatti, R è completo, ma non è
certamente compatto. Esistono anche spazi metrici compatti che non sono completi? Come visto in (11.6), uno spazio metrico compatto è anche
completo. Il legame può essere dato in modo più preciso, dato che vale
una generalizzazione del Teorema di Heine-Borel (che si chiama anch’esso
Teorema di Heine-Borel): uno spazio metrico è compatto se e soltanto se
esso è completo e totalmente limitato. Ricordiamo che uno spazio metrico è
totalmente limitato quando vale la proprietà della proposizione (10.5) a
pagina 71 (si veda la nota a pie’ di pagina). Comunque, anche se è vero che
uno spazio metrico compatto è certamente completo, in generale uno spazio
compatto non è necessariamente metrizzabile, e quindi a fortiori può non
essere completo.
(11.13) Esempio. Sia X = N con la metrica discreta. È uno spazio metrico
limitato (la distanza tra due punti non è mai maggiore di 1), ma non
è uno spazio metrico totalmente limitato. Infatti, se ϵ ≤ 1, X non può
essere coperto da un numero finito di intorni circolari di raggio ϵ (tali
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80
#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
intorni contengono solo un punto, il centro, e N ha infiniti elementi). Le
successioni di Cauchy in X sono tutte e sole le successioni definitivamente
costanti, che sono convergenti. Pertanto X è uno spazio metrico completo.
Ovviamente X non è compatto, dal momento che non ha un numero finito di
punti (uno spazio con la topologia discreta è compatto se e soltanto se ha
un numero finito di punti).
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§ 11.
81
SPAZI METRICI COMPLETI
§ 11.1.
OPZIONALE: COSTRUZIONE DI R (CANTOR)
*(-1.1) Dimostrare che se X e Y sono spazi metrici completi, allora X × Y
con la metrica prodotto è uno spazio metrico completo.
*(-1.2) Un sottospazio S ⊂ X di uno spazio metrico completo è completo se e
solo se è chiuso in X.
*(-1.3) Si consideri Q con la topologia generata dagli intervalli aperti
(a, b), con a, b ∈ Q, a < b (generata dalla metrica d ( x, y) = |x − y|, notiamo che
è una metrica a valori razionali). Dimostrare che se {xn } e {yn } sono due
successioni di Cauchy in Q, allora la somma {xn + yn } e il prodotto {xn yn } sono
successioni di Cauchy in Q. (Suggerimento: per la moltiplicazione usare
il fatto che ogni successione di Cauchy è limitata (11.3))
*(-1.4) Consideriamo l’insieme R di tutte le successioni di Cauchy su Q.
Dimostrare che R è un anello commutativo con unità, cioè che valgono i
seguenti assiomi:
(i) ∀x, y, z ∈ R, ( x + y) + z = x + (y + z ), ( xy)z = x (yz ).
(ii) ∀x, y ∈ R, x + y = y + x, xy = yx.
(iii) ∃0 ∈ R : ∀x ∈ Rx + 0 = x; ∃1 ∈ R : ∀x ∈ R, x ̸= 0 =⇒ 1x = x.
(iv) ∀x ∈ R, ∃ unico y ∈ R : x + y = 0.
(v) ∀x, y, z ∈ R, x (y + z ) = xy + xz.
*(-1.5) Sia R come nell’esercizio precedente l’anello delle successioni di
Cauchy, e N ⊂ R il sottoinsieme definito da
N = {{xn } ∈ R : lim xn = 0 ∈ Q}.
n
Mostrare che N è un ideale in R, cioè che N è un sottogruppo additivo e se
{xn } è una successione di Cauchy e {zn } una successione di Cauchy convergente
a zero allora la successione {zn xn } converge a zero. Dedurre che il quoziente
(algebrico) R := R/N è un anello (cioè l’insieme di classi di equivalenza
di successioni di Cauchy, dove {xn } ≡ {yn } ⇐⇒ limn ( xn − yn ) = 0).
*(-1.6) Dimostrare che R, definito come quoziente nell’esercizio precedente, è un campo, che contiene il campo dei razionali Q come sottocampo.
(Suggerimento: basta far vedere che se {xn } ̸∈ N, allora esiste ϵ > 0 per cui
se n è abbastanza grande xn > ϵ (oppure xn < −ϵ ), e dunque…)
*(-1.7) Dimostrare che la relazione di ordine di Q può essere estesa a
R ponendo x < y ⇐⇒ y − x > 0 (e dunque è sufficiente descrivere l’insieme
dei numeri reali positivi, cioè le classi di equivalenza di successioni
di Cauchy che sono definitivamente positive), e cioè che R è un campo
ordinato.
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82
#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
*(-1.8) Dimostrare che R (definito sopra) è completo (cioè che ogni successione di Cauchy in R converge). (Suggerimento: una successione in R è una
successione di classi di equivalenza di successioni: possiamo scrivere la
successione {xn } come {[an,k ]}, dove xn è uguale alla classe di equivalenza [an,k ]
della successione di Cauchy (in k) {an,k }k )
*(-1.9) Dimostrare che R ha la proprietà dell’estremo superiore (cioè che
ogni sottoinsieme limitato superiormente ha estremo superiore in R). (Suggerimento: utilizzare un argomento di tipo “bisezione di intervalli” per
associare ad un insieme limitato superiormente una successione decrescente
di intervalli chiusi, e quindi la successione di Cauchy degli estremi –
razionali – di questi intervalli; vedi la seconda dimostrazione di (10.10))
*(-1.10) Se invece della metrica euclidea in Q si ripete il procedimento
degli esercizi precedenti partendo dalla metrica discreta su Q, cosa si
ottiene? Cosa sono le successioni di Cauchy? Il quoziente R/N è ancora una
estensione del campo dei razionali Q? Quale?
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83
Esercizi
ESERCIZI
*(5.1) Si consideri su N la famiglia τ di insiemi formata dall’insieme
vuoto ∅ e dagli tutti i sottoinsiemi di N con complementare finito. Sia X
uno spazio topologico e {xn } una successione in X (vista come una funzione
f : N → X, definita da ∀n ∈ N : f (n) := xn ).
(i) Dimostrare che τ è una topologia per N.
(ii) Dimostrare che se {xn } è una successione convergente, allora la corrispondente funzione f : N → X è continua all’infinito, cioè la controimmagine di ogni intorno del limite x̄ = limn xn ∈ X è un aperto di N (nella
topologia dei complementari finiti).
(iii) È vero che f è continua?
(iv) La seguente famiglia di sottoinsiemi di N è una topologia per N?
L’insieme vuoto, N, i sottoinsiemi finiti, e i sottoinsiemi con
complementare finito.
(5.2) Dimostrare che un punto di accumulazione a di un sottoinsieme A ⊂ X
di uno spazio metrico X ha la seguente proprietà: ogni intorno di a in X
interseca A in infiniti punti.
*(5.3) Si consideri in un campo totalmente ordinato una famiglia di intervalli chiusi In = [an , bn ] decrescenti In ⊃ In+1 , per n → ∞. Si dimostri che
se X ha la proprietà dell’estremo superiore (cioè ogni insieme limitato
superiormente ammette estremo superiore), allora
∩
In ̸= ∅.
n
(5.4) Dimostrare che il cilindro {( x, y, z ) ∈ R3 : x 2 + y2 = 1 ∧ z2 ≤ 1} con il bordo su
z = 1 identificato ad un punto è omeomorfo al cono {( x, y, z ) ∈ R3 : z2 = x 2 + y2 ∧ 0 ≤
z ≤ 1}.
(5.5) Dimostrare che il toro, definito come nell’esempio (7.10), è omeomorfo a S 1 × S 1 (dove S 1 è la circonferenza di raggio 1).
(5.6) Dimostrare che lo spazio dell’esempio (7.11) è omeomorfo ad una sfera
di dimensione 2.
*(5.7) Dimostrare che il piano proiettivo, definito come nell’esempio (7.12),
è omeomorfo al quoziente S 2 /∼ , dove x ∼ y ⇐⇒ x = ±y (antipodale).
(5.8) Dimostrare che incollando lungo il bordo due nastri di Möbius si
ottiene una bottiglia di Klein (che cos’è una bottiglia di Klein?).
(5.9) Quali dei seguenti spazi è compatto?
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84
#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
(i) Q.
(ii) La sfera S 2 .
(iii) La sfera S 2 meno un numero finito di punti.
(iv) La sfera S 2 meno un disco chiuso.
(v) La striscia di Möbius.
(5.10) Dimostrare che ogni sottospazio di uno spazio di Hausdorff è di
Hausdorff.
(5.11) Consideriamo il seguente sottoinsieme di R2 (munito della topologia
euclidea):
X = {( x, y) ∈ R2 : xy ̸∈ Z}.
(i) È aperto? È chiuso?
(ii) Consideriamo la circonferenza C di raggio 1 e centro (0, 0) di equazione
x 2 + y2 = 1. L’intersezione C ∩ X è aperta nella topologia di C? È chiusa?
E nella topologia di R2 ?
(iii) Discutere della compattezza di X e C ∩ X.
(5.12) Si consideri l’intervallo
√
√
[0, 2) = {x ∈ R : 0 ≤ x < 2} ⊂ R.
(i) È chiuso nella topologia Euclidea?
√ √
(− 2, 2) ⊂ R con la topologia indotta da quella di
(ii) Sia X l’intervallo
√
R. Dato che [0, 2) è anche un sottoinsieme di X, esso è un chiuso della
topologia di X?
√
(iii) Calcolare l’insieme di tutti i maggioranti di [0, 2) in R.
(iv) Trovare, se esiste, un sottoinsieme Y ⊂ R tale che l’insieme di tutti
i maggioranti di Y in R non è un chiuso di R.
(5.13) Si consideri il sottoinsieme X di Q definito da
X={
q
: q ∈ N}.
q+1
(i) Determinare i punti di accumulazione di X.
(ii) X è un chiuso di Q?
√
(iii) Sia {an } una successione di frazioni di Q che converge a 2 (̸∈ Q!) e
Y l’insieme dei suoi elementi Y = {an : n ∈ N} ⊂ Q. In questo caso Y è un
chiuso di Q?
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Esercizi
(5.14) Sia C ⊂ Q un sottospazio compatto di Q (campo dei numeri razionali
con la topologia Euclidea).
(i) Dimostrare che C è chiuso in Q.
(ii) Dimostrare che C è limitato in Q.
(iii) Dimostrare che C è anche un chiuso di R. (Suggerimento: Dato che
l’inclusione i : Q → R è una funzione continua (rispetto alle topologie
Euclidee di Q e R)…)
(iv) Dedurre che l’interno di C è vuoto.
**(5.15) Su Z sia B la famiglia di tutte le progressioni aritmetiche (Ua,n =
{a + kn : k ∈ Z} ⊂ Z, con n ̸= 0). Dimostrare che:
(i) La famiglia B è una base per una topologia di Z.
(ii) In questa topologia, le progressioni Ua,n sono sia aperti che chiusi.
(iii) L’unione di un numero finito di progressioni aritmetiche è un chiuso.
(iv) Se Ap = U0,p denota l’insieme dei multipli del numero p, si dimostri
che
∪
Ap
A=
p primo
non può essere chiuso, visto che il suo complementare ha un numero
finito di elementi.
(v) Dedurre che esistono infiniti numeri primi.
(Harry Furstenberg: è una topologia metrizzabile!)
(5.16) Mostrare che se K1 e K2 sono due sottospazi compatti di uno spazio
topologico X, allora l’unione K1 ∪ K2 ⊂ X è un sottospazio compatto di X.
*(5.17) Si consideri N̄ = N ∪ {∞}, con ∞ ̸∈ N.
(i) L’insieme vuoto, N̄, tutti i sottoinsiemi di N e i sottoinsiemi di N̄ con
complementare finito e che contengono ∞ costituiscono una topologia?
(ii) N̄ è compatto rispetto a questa topologia?
(iii) Quali sono le funzioni continue N̄ → X? È vero che sono le successioni
convergenti, se si pone x∞ = limn xn ? Cioè, data una successione xn
convergente a x ∈ X, è vero che la funzione f : N̄ → X definita da
f (n) = xn , f (∞) = x è continua? Viceversa, data una f : N̄ → X continua,
allora la successione xn = f (n) converge a f (∞)?
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#5.
COMPATTEZZA NEGLI SPAZI EUCLIDEI
(iv) Se X è uno spazio topologico di Hausdorff, si consideri l’insieme
X̂ = X ∪ {∞} (dove ∞ ̸∈ X), e la seguente famiglia di sottoinsiemi di
X̂: l’insieme vuoto, X̂, gli aperti di X ⊂ X̂ e tutti i complementari
X̂ ∖ K, al variare di K ⊂ X sottospazio compatto di X ⊂ X̂. Mostrare che
si tratta di una topologia. (X̂ è detto compattificazione ad un punto
di X, o anche compattificazione di Alexandroff; nel caso in cui X è
anche localmente compatto – cioè quando ogni punto di X ha un intorno
compatto – anche X̂ è Hausdorff)
(v) Mostrare che la topologia del punto precedente rende X̂ compatto, e l’inclusione X → X̂ una funzione continua, iniettiva e aperta (omeomorfismo
sull’immagine/embedding).
(5.18) Dimostrare in modo rigoroso l’esercizio (3.21) di pagina 49: Sia X
l’unione delle circonferenze {( x, y) ∈ R2 : ( x − 1n )2 + y2 = ( 1n )2 }, per n = 1, 2, 3 . . . con
la topologia indotta da R2 , e sia Y lo spazio ottenuto identificando tutti
gli interi Z ⊂ R ad un punto. Allora X e Y non sono omeomorfi.
Suggerimento: procedere come segue.
(i) Mostrare che ( x − 1n )2 + y2 =
e quindi X è limitato.
1
n2
⇐⇒ x 2 + y2 =
2x
n
=⇒ x 2 + y2 ≤ 2x ⇐⇒ ( x − 1)2 + y2 ≤ 1,
(ii) Mostrare che Z = {( x, y, t ) ∈ R2 × [0, 1] : x 2 + y2 = 2tx} è (chiuso e limitato in R3 ,
e quindi) compatto.
(iii) Usando la continuità della proiezione Z → [0, 1], definita da ( x, y, t ) → t,
mostrare che il sottospazio X̂ = {( x, y, t ) ∈ Z : t = 0 ∨ t −1 ∈ N} è chiuso e
limitato in R3 , e quindi compatto.
(iv) Dedurre che X è compatto.
1
}, e per ogni
3
k ∈ Z, Uk ⊂ Y l’insieme Uk = {[t ] ∈ Y : k < t < k + 1}. Mostrare che U e Uk sono
aperti nella topologia quoziente di Y .
(v) Sia U ⊂ Y l’insieme definito da U = {[t ] ∈ Y : mink∈Z |t − k| <
(vi) Mostrare che {U} ∪ {Uk }k∈Z è un ricoprimento aperto di Y .
(vii) Mostrare che il ricoprimento aperto appena definito non ammette
sottoricoprimenti finiti di Y , e quindi Y non è compatto.
(5.19) Sia X = R, con la topologia conumerabile, cioè i cui aperti sono
tutti e soli i sottoinsiemi di R con complementare numerabile.* Dimostrare
i seguenti fatti. (Si tratta di un esempio di spazio non Hausdorff che ha
la proprietà di unicità del limite)
*Cioè, finiti oppure in corrispondenza biunivoca con N. Approfondimenti sull’argomento
di questo esercizio: Between T 1 and T 2 . Albert Wilansky (The American Mathematical Monthly.
Vol 74. No. 3, 1967, pp. 261–266.
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Esercizi
(i) La definizione di topologia conumerabile è ben posta; i chiusi sono i
sottoinsiemi numerabili di R.
(ii) Lo spazio X non è di Hausdorff.
(iii) Se x̄ è il limite di una successione xn in X, allora l’insieme C =
{xn : n ∈ N} ∖ { x̄} è chiuso in X, e quindi il suo complementare X ∖ C è un
intorno aperto di x̄.
(iv) Esiste N ∈ N tale che n > N =⇒ xn = x̄.
(v) Per ogni successione convergente {xn }, il limite x̄ è unico: se y ̸= x̄
allora y non è limite di xn .
(vi) Se Y ⊂ X è un insieme numerabile, allora la topologia indotta su Y da
quella conumerabile di X è la topologia discreta.
(vii) Se K ⊂ X è compatto, allora K è finito, e quindi è un chiuso di X.
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