Progressioniecontornicur

I problemi di base dell’analisi infinitesimale
CENNI ALLE SUCCESSIONI
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Sappiamo fare una somma infinita? Solo in alcuni casi (per adesso!).
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Gauss e il maestro. Sommare tutti i numeri da 1 a 100. Gauss a 10 anni ci riuscì senza fare
calcoli. n(n+1)/2 (100+0)+(99+1)+(98+2)+…+(51+49)+50 cioè 100 per 50 volte più 50 cioè
nn/2+n/2 cioè n(n+1)/2
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Come si fa a sapere se una proprietà vera per alcuni numeri, può essere generalizzata a tutti i
numeri?
Principio di induzione:Una proprietà dipendente da un numero naturale n, è vera per ogni n, se:
 La proprietà è vera per n=1.
 Dall’ipotesi che sia vera per n, consegue che è pure vera per n+1.
Esempio
formula di Gauss;

1+q+q2+q3+q4+…+qn=(1-qn+1)/(1-q)

12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6
Def. Si dice successione reale ogni funzione avente per dominio l’insieme N dei numeri naturali
diversi da zero e per codominio un insieme di numeri reali. …f(n)=an…
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Una successione può essere crescente o decrescente; limitata o illimitata come le funzioni.
Successioni particolari:

Progressioni aritmetiche: la differenza an-an-1=k. Questa costante si dice ragione=d
 Se d>0 implica progressione crescente; se d<0 ….
 an=a1+(n-1)d (infatti a2=a1+d; a3=a1+2d etc.etc.)
 In una prog. aritmetica limitata si ha:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
 Sn=n(a1+an)/2
infatti
Sn=a1+…+an
ma
Sn=an+…+a1
sommando
2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1) = (a1+an)n implica la tesi.

Progressioni geometriche: il rapporto an/an-1=k. Questa costante si dice ragione=q.
 Se q>0 implica progressione dello stesso segno; se q<0 segno alternato…
 Se q>1 progressione crescente; se 0<q<1 prog. Decrescente; se q=1 costante.
 an=a1qn-1
(infatti a2=a1q; a3=a1q2….).
 In una prog. geom. Limitata si ha: a1an=a2an-1=a3an-2=…
 Sn=a1(1-qn)/(1-q)
infatti
Sn=a1+…+an =
a1 +
a1q+a1q2+…+a1qn-1
moltiplicando per ambo i membri per q e sottraendo: qSn-Sn=a1qn-a1 racc. …
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Limite delle successioni come le funzioni.
liman 
n
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l finito  successioni convergente.
  successioni divergente.
indeterminato  successioni indeterminata.
Teorema delle successioni monotone: Una successione crescente (dec.) e limitata converge
verso l’estremo superiore (inf.). Una succ. cresc. e non limitata diverge all’infinito.
IL PROBLEMA DEI CONTORNI CURVILINEI.
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Lunghezza di un segmento AB è definita e calcolabile nel piano cartesiano dalla metrica
euclidea. Dobbiamo definire:

la lunghezza di una linea curva? (multiplo di un segmentino unitario?)

Misura della lunghezza di una linea curva (somma di infiniti segmentini?).
Def.. Si dice arco di curva un insieme di punti in corrispondenza biunivoca. con un segmento
della retta reale tale che abbia le seguenti caratteristiche:
 L’ordinamento lineare dei punti.
 La finitezza (cioè esiste un minimo ed un massimo)
 La continuità (ad ogni intorno di punti del segmento deve esistere un intorno di punti
dell’arco e viceversa).
Def. Si dice lunghezza di un arco di curva, il limite delle lunghezze delle poligonali che
approssimano sempre meglio la curva e che hanno lunghezze sempre inferiori alla
lunghezza vera della curva.
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Tale definizione è solo nominale, in quanto essa ricorre a procedimenti all’infinito e non ci
dice materialmente come calcolare la lunghezza di tale curva, infatti più la poligonale
approssima meglio la curva, più è composta da tanti tratti che al limite divengono infiniti.
Quindi il vero problema è sommare infiniti termini ognuno dei quali tende a zero.

Esempi:
Spirale strutturata da semicirconferenze di
metà raggio. Le lunghezze delle





n

;
a


;
a



;......;
a


semicirconferenze sono: a
0
1
2
n
i somma di
2
2
4
2
i

0
una progressione geometrica di ragione ½, quindi la lunghezza della curva infinita è 2.
 La curva di Kock: curva patologica pur racchiudendo una superficie finita la sua lunghezza è infinita .