Polinomio di Bernoulli
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In matematica, i polinomi di Bernoulli si incontrano nello studio di molte funzioni speciali e in
particolare della funzione zeta di Riemann e della funzione zeta di Hurwitz. Questo in gran parte è
dovuto al fatto che essi costituiscono la sequenza di Sheffer relativa all'ordinario operatore di
derivazione. Contrariamente alle successioni di polinomi ortogonali, la successione dei polinomi di
Bernoulli è caratterizzata dal fatto che il numero delle intersezioni con l'asse delle x nell'intervallo
unitario non cresce illimitatamente al crescere del grado dei polinomi. Al crescere del grado i
polinomi di Bernoulli, sottoposti ad appropriate omotetie, approssimano le funzioni seno e coseno.
Indice
1 Funzioni generatrici
2 Caratterizzazione mediante un operatore differenziale
3 Formula esplicita
4 I numeri di Bernoulli e i numeri di Eulero
5 Espressioni esplicite per i polinomi dei gradi minori
6 Differenze
7 Derivate
8 Traslazioni
9 Simmetrie
10 Serie di Fourier
11 Inversione
12 Collegamento con i fattoriali decrescenti
13 Teoremi di moltiplicazione
14 Integrali
15 Bibliografia
Funzioni generatrici
La funzione generatrice dei polinomi di Bernoulli è
.
La funzione generatrice dei polinomi di Eulero è invece
Caratterizzazione mediante un operatore differenziale
I polinomi di Bernoulli si possono anche definire come
dove D := d/dx denota la differenziazione rispetto alla x e la frazione va sviluppata come serie
formale di potenze.
Formula esplicita
Una formula esplicita per i polinomi di Bernoulli è la seguente
.
Si osserva la rilevante somiglianza con l'espressione mediante la serie globalmente convergente per
la funzione zeta di Hurwitz. In effetti si ha
Bn(x) = − n (1 − n,x)
dove (s,q) denota la zeta di Hurwitz; in un certo senso, la zeta di Hurwitz estende i polinomi di
Bernoulli ai valori non interi della n.
Una formula esplicita per i polinomi di Eulero è data da
.
I numeri di Bernoulli e i numeri di Eulero
I numeri di Bernoulli sono dati da
.
A loro volta i numeri di Eulero sono dati da
.
Espressioni esplicite per i polinomi dei gradi minori
I primi componenti della successione dei polinomi di Bernoulli sono:
.
I polinomi di Eulero dei gradi più bassi sono invece
Differenze
I polinomi di Bernoulli e quelli di Eulero ubbidiscono molte relazioni fornite dal calcolo umbrale:
.
Derivate
Ciascuna delle due successioni di polinomi è una sequenza polinomiale e più precisamente una
sequenza di Appel:
.
Traslazioni
Queste identità sono equivalenti ad affermare che ciascuna di queste sequenze polinomiali è una
sequenza di Appel. (Un altro esempio di queste sequenze è fornito dai polinomi di Hermite.)
Simmetrie
.
Serie di Fourier
La serie di Fourier dei polinomi di Bernoulli è anche una serie di Dirichlet e un caso speciale di
funzione zeta di Hurwitz
Inversione
Può essere utile esprimere le potenze della variabile come combinazioni lineari dei polinomi di
Bernoulli. Specificamente si ha
.
Queste uguaglianze e le espressioni esplicite dei polinomi di Bernoulli vanno viste come le identità
di collegamento tra le due basi dello spazio vettoriale dei polinomi fornite dalle potenze della
variabile e dai polinomi di Bernoulli.
Collegamento con i fattoriali decrescenti
Un'altra coppia di successioni di identità di collegamento fra basi dello spazio vettoriale dei polinomi
riguarda i polinomi di Bernoulli e i fattoriali decrescenti. I polinomi di Bernoulli sono espressi come
combinazioni lineari di fattoriali decrescenti (x)k dalle
dove
e
denota il numero di Stirling di seconda specie. Viceversa i fattoriali decrescenti sono espressi come
combinazioni lineari di polinomi di Bernoulli:
dove
denota il numero di Stirling di prima specie.
Teoremi di moltiplicazione
Questi teoremi di moltiplicazione sono stati dati da Joeseph Ludwig Raabe nel 1851:
Integrali
Integrali indefiniti
Integrali definiti
Bibliografia
Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. Handbook of Mathematical Functions with
Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover (Vedi Chapter 23
(http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_804.htm))
Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer, (Chapter 12.11)
Jesus Guillera, Jonathan Sondow, Double integrals and infinite products for some classical
constants via analytic continuations of Lerch's transcendent
(http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0506/0506319.pdf) (2005) (Rassegna della relazione tra
funzione zeta di Hurwitz e funzione transcendente di Lerch.)
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Ultima modifica per la pagina: 06:32, 5 nov 2008.
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