Esercizi di logica discussi in due esercitazioni di

 Esercizi di logica discussi in due esercitazioni di novembre 2015. Molti sono esercizi tratti dai compiti di esame degli scorsi anni. Disegnare il circuito (con blocchi E, OPPURE e NON che corrisponde alla formula seguente: (a∧b) ∨ (¬b ∧ (c∨¬d)) Dire se la seguente formula è soddisfacibile o no. Spiegare il perchè (a∨b)∧(¬a∨(b∧¬c))∧c Disegnare il circuito (con blocchi E, OPPURE e NON che corrisponde alla formula seguente: (a∧b) ∨ (¬b ∧ (c∨¬d)) Dimostrare che ¬a∨b, ¬b∨c ⊧ ¬a∨c Dimostrare con la logica formale che "non vado al mare" e "se non piove vado al mare" implicano "piove". Realizzare il circuito che ha uscita 1 se la terza variabile è maggiore o uguale di entrambe le altre. Dire se la formula (a∧b) ∨ (a∨¬c) è soddisfatta dal modello {a=0, b=0, c=0}. Scrivere tutti i passi della valutazione. Disegnare il circuito che realizza la funzione booleana a E b usando solo porte logiche NON e OPPURE. Disegnare il circuito che fornisce in uscita uno quando il primo ingresso è diverso dagli altri due. Scrivere una formula booleana che ha esattamente tre interpretazioni che la soddisfano (ossia non ne ha altre oltre quelle tre). Realizzare il circuito che ha come ingresso un numero a tre bit senza segno e la cui uscita vale uno se il numero è multiplo di tre. Spiegare perchè una ditta produttrice di birra ha convenienza a mettere nella pubblicità la frase "o bevi o guidi", in termini di logica formale. Dimostrare, usando la logica formale, che "se rubo vado in prigione" non è equivalente a "se vado in prigione allora rubo". Elencare i modelli della formula (a∨b)∧(c→b). Scrivere i modelli nella forma {a=true, b=true, c=true}. Dire quante formule di due variabili, a meno di equivalenze, sono implicate da (a∧b)∨(¬a∧¬b). Giustificare la risposta. Determinare se i seguenti ragionamenti sono corretti. (a) Se i controllori di volo scioperano, allora prendero’ il treno. O scio-­‐ perano i controllori, oppure scioperano i piloti. Quindi prendero’ il treno. (b)Se i controllori di volo scioperano, allora prendero’ il treno. Se i piloti scioperano, allora prender_o il treno. O scioperano i controllori, oppure scioperano i piloti. Quindi prendero’ il treno. (c) Se ABC _e un triangolo equilatero, allora _e un poligono regolare. Se ABC e’ un triangolo isoscele, allora e’ un poligono regolare. ABC e’ un triangolo equilatero oppure isoscele. Quindi ABC e’ un poligono regolare. (d) Se piove Antonio non va a scuola. Se Antonio non va a scuola, la mamma e la maestra si inquietano. Quindi, se piove la maestra si inquieta. Gli scrigni di Porzia, un enigma da Shakespeare Uno dei più famosi enigmi della storia è quello chiamato gli scrigni di Porzia. viene raccontato addirittura nel "Mercante di Venezia" da Shakespeare. Porzia, uno dei personaggi, si deve sposare, è bellissima e ha molti pretendenti, ma non vuole un tizio qualsiasi, vuole che il suo futuro marito sia anche intelligente ed ecco cosa fa. Porzia aveva tre scrigni, uno d'oro, uno d'argento e uno di piombo e in uno c'era il suo ritratto. Porzia voleva scegliere il suo sposo sulla base della sua intelligenza e fece incidere le seguenti iscrizioni sugli scrigni: Scrigno d'oro: il ritratto è in questo scrigno Scrigno d'argento: il ritratto non è in questo scrigno Scrigno di piombo: il ritratto non è nello scrigno d'oro Porzia spiegò al suo pretendente che di queste tre affermazioni al massimo una era vera. Quale scrigno contiene il ritratto di Porzia? Variabili booleane Rit-­‐oro, Rit-­‐arg, Rit-­‐pio. Rit-­‐oro e’ vera se il ritratto si trova nello scrigno d’oro; falsa altrimenti. Analogamente le altre due variabili Rit-­‐arg (Rit-­‐pio) e’ vera o falsa a seconda se il ritratto si trova o meno nello scrigno d’argento (di piombo). Esprimiamo i vincoli Il Ritratto e’ in un solo scrigno Rit-­‐oro implica [(non Rit-­‐arg) e (non Rit-­‐pio)] Rit-­‐arg implica [(non Rit-­‐oro) e (non Rit-­‐pio)} Rit-­‐pio implica [(non Rit-­‐arg) e (non Rit-­‐oro)} Una sola affermazione fra quelle scritte sugli scrigni e’ vera Se e’ vera quella sullo scrigno d’oro sono false le altre due; quindi Rit-­‐oro implica [(non (non Rit-­‐arg)) e (non (non Rit-­‐oro)] Analogamente per gli altri due scrigni Scr-­‐arg : (non Rit-­‐arg) implica [(non Rit-­‐oro) e (non (non Rit-­‐oro))] Scr-­‐pio : (non Rit-­‐oro) implica [(non Rit-­‐oro) e (non (non Rit-­‐arg)] Siamo interessati a una interpretazione che rende vera tutte le formule [Rit-­‐oro implica (non Rit-­‐arg) e (non Rit-­‐pio)] e [Rit-­‐arg implica (non Rit-­‐oro) e (non Rit-­‐pio)] e [Rit-­‐pio implica (non Rit-­‐arg) e (non Rit-­‐oro)] e [Rit-­‐oro implica (non (non Rit-­‐arg)) e (non (non Rit-­‐oro)] e [non Rit-­‐arg implica (non Rit-­‐oro) e (non (non Rit-­‐oro))] e [non Rit-­‐oro implica (non Rit-­‐oro) e (non (non Rit-­‐arg)] non vogliamo ragionare e proviamo tutte le possibilita’ Rit-­‐oro=vero? quarta riga: Rit-­‐oro implica (Rit-­‐arg e Rit-­‐oro) : falso Rit-­‐arg=vero? Se Rit-­‐arg e sia Rit-­‐oro e Rit-­‐pio= falso tutte le affermazioni sono vere Rit-­‐pio=vero? Se Rit-­‐pio vero allora avremo che (non Rit-­‐oro) e’ vero; quindi la sesta riga implica (non Rit-­‐oro) e (Rit-­‐arg) che e’ falso Pertanto esiste una sola interpretazione che rende vere tutte le affermazioni: il ritratto si trova nello scrigno d’argento L'isola dei cavalieri e furfanti (dalle dispense di logica di Marta Cialdea) I seguenti sono esercizi di varia difficolta’; tutti si possono risolvere con il metodo precedente Nell'isola dei cavalieri e furfanti: (a) Antonio dice “io sono un furfante". Cos'e’ Antonio? (b) Incontriamo due abitanti, A e B. A dice: “Almeno uno di noi e’ un furfante". Cosa sono A e B? (c) Incontriamo due abitanti, A e B. A dice: “Io sono un furfante ma B non lo e’". Cosa sono A e B? (d) A dice: “Io e mia sorella siamo dello stesso tipo". Scoprite il tipo di almeno uno dei due. (e) A dice: “B e C sono entrambi cavalieri". Poi gli chiedete: “E’ vero che B _e un cavaliere?" e A risponde: “No". Cos'e’ A e cosa sono B e C? (f) Chiedete ad A: “B e C sono entrambi cavalieri?" Risponde di no. Poi gli chiedete: “B _e un cavaliere?" Risponde: “Si". Cosa sono A, B e C?