La Ricerca in Didattica delle Matematiche
F. Spagnolo
• Il sistema di riferimento Sapere-Allievo-Insegnante-Situazione Didattica; (il lucido sul
sistema)
• L’epistemologia sperimentale come meta-paradigma: la posizione dell’insegnante
(Mediatore) e la posizione del ricercatore.
• Possiamo servirci di altri paradigmi per affrontare il problema? (il lucido sui paradigmi)
• Confronto Ricerca/Azione e Ricerca in Didattica. (Vedi lucido)
• L’epistemologia sperimentale è un paradigma che utilizza sia la riflessione epistemologica
e storico-epistemologica che quella sperimentale.
• E’ necessario:
1) un linguaggio appropriato per questo paradigma;
2) strumenti metodologici ad hoc;
3) strumenti statistici appropriati.
• Che cosa è l’analisi a-priori:
“Data una situazione/problema, si definisce analisi a-priori di detta situazione/problema
l’insieme delle: 1) rappresentazioni epistemologiche; 2) rappresentazioni storicoepistemologiche;
3) Comportamenti ipotizzati.
• Per “Rappresentazioni epistemologiche”
si intendono le rappresentazioni degli eventuali percorsi conoscitivi riguardo un
particolare concetto.
Tali rappresentazioni possono essere messe a punto da un soggetto apprendente o da una
comunità scientifica in un determinato periodo storico.
• Per “Rappresentazioni storico-epistemologiche”
si intendono le rappresentazioni dei percorsi conoscitivi (sintattici, semantici, pragmatici)
riguardo ad un particolare concetto.
• L’analisi a-priori di una situazione come garanzia per la Ricerca in Didattica.
• L’importanza di saper individuare i “problemi di ricerca” e quindi le “ipotesi” necessarie.
• Dalla scelta delle ipotesi alla loro falsificabilità.
• Gli strumenti per la falsificabilità: i questionari, le interviste (singole, a coppia, ecc.), le
registrazioni audio/video di situazioni didattiche complesse, ecc. .
• Come si traducono questi strumenti per l’analisi statistica.
• Analisi a-posteriori sui dati sperimentali e conclusioni riguardanti le ipotesi della ricerca.
Eventuali problemi aperti.
• La ripetibilità dell’esperienza e la sua comunicazione.
• L’analisi a-priori di una situazione problema: ESEMPIO.
1
L’analisi a-priori consente di individuare:
• lo “spazio degli eventi”1 riguardante la particolare situazione didattica rispetto alle
conoscenze professionali dell’insegnante ricercatore in un determinato periodo storico;
• il “buon problema”2, attraverso lo spazio degli eventi possibili, e quindi una “situazione
didattica fondamentale” per la classe di problemi alla quale la situazione didattica
afferisce;
• le variabili della situazione problema e delle variabili didattiche3;
Inoltre l’analisi a-priori può essere eseguita non solo per una situazione didattica in
generale ma anche per analizzare qualunque strumento di analisi e/o di verifica delle situazioni
di apprendimento/insegnamento.
Il nostro punto di partenza è generalmente legato alle ipotesi della ricerca in didattica
che costituiscono il punto di partenza di ogni nostro lavoro valutativo.
Una ipotesi relativa alla Ricerca in Didattica presenta alcune o tutte le seguenti
caratteristiche:
• Una ipotesi contiene un enunciato chiuso di didattica, ben formato4 nel linguaggio della
teoria e questo ci assicura la sua consistenza.
• Una ipotesi mette questo enunciato in relazione con una certa “contingenza”, in generale
un insegnamento o uno dei suoi elementi. Questa “contingenza” è determinata con l’aiuto
delle variabili osservabili che formano parti concretamente significative dei modelli
teorici.
Realtà ↔ contingenza ↔ modelli ↔ teoria.
• Una ipotesi afferma l’adeguatezza di questa corrispondenza con una argomentazione
sperimentale, in un modo logico (valido, probabile, ecc.).
• Una ipotesi è emessa da qualcuno (ricercatore, o insegnante, o istituzione) ed ha un certo
posto in un ragionamento, in un dibattito, in un progetto di spiegazione scientifica d’azione
(serve a qualcuno per qualche cosa).
Da questa ipotesi possono poi derivarne delle altre riguardo alle singole situazioni
didattiche.
Partendo da tale premessa è stato messo a punto un questionario con domande aperte aventi
come obiettivo quello di individuare le concezioni degli allievi (1° anno e del 3° anno
dell’Istituto professionale per il Commercio) riguardo l’utilizzo di un linguaggio algebrico
semi-formalizzato sia come passaggio dalla Lingua Naturale al Linguaggio Algebrico che
vicerversa.
Analizziamo, in questa sede, soltanto la Questione 2.
Quesito 2 (Verbalizzazione di relazioni e di espressioni algebriche):
( B + b) • h
a) La relazione d’uguaglianza A =
rappresenta la formula per calcolare
2
l’area del trapezio.
Tra le possibili formule equivalenti ricordiamo le seguenti:
1
Per “spazio degli eventi” si intende l’insieme delle possibili strategie risolutive corrette e non ipotizzabili in un determinato periodo storico da una
determinata comunità di insegnanti.
2
Il “buon problema” è quello che, rispetto alla conoscenza presa in esame, permette la migliore formulazione in termin ergonomici.
3
Le “variabili della situazione didattica” sono tutte le possibili variabili che intervengono, le “variabili didattiche” sono quelle che permettono un
cambiamento dei comportamenti degli allievi. Le variabili didattiche sono quindi un sotto insieme delle variabili della situazione didattica.
4
Nel linguaggio della Logica il termine “ben formato” riferito al linguaggio di una determinata teoria va interpretato come: “riconoscibile come vero
nel linguaggio della teoria”.
2
( B + b) • h
2
( B + b)
•h
Formula 3: A =
2
Formula 1: A =
B b
+ )•h
2 2
h
Formula 4: A = ( B + b) •
2
Formula 2: A = (
Osserva adesso le seguenti figure:
Figura a → Formula ...
?
?
---------------------------------- ---------------------
Figura b → Formula ...
?
?
---------------------------------- -------------------
Figura c → Formula ...
?
-----------------------------------
3
Associa alle figure date la relativa formula, scelta tra quelle sopra elencate, che ne
giustifichi l’interpretazione algebrica.
Inserisci al posto dei “?” la lettera che esprime il segmento indicato.
Una prima rappresentazione dell’Analisi a-priori del 2° quesito
Q2a A
B1
B2
B3
C1
1 L’alunno risponde
risponde
risponde
inserisce le
risponde correttame correttame correttame lettere al
nte alla
nte alla
nte alla
posto dei
prima
seconda
terza
“?” nella
correlazion correlazion correlazion prima
e
e
e
figura
0 NO
NO
NO
NO
NO
Q2b A1
1 L’alunno
risponde
alla 1a
correlazio
ne
0
NO
A2
l’alunno
risponde
alla 2 a
correlazio
ne
A3
l’alunno
risponde
alla 3 a
correlazio
ne
A4
l’alunno
risponde
alla 4 a
correlazi
one
NO
NO
NO
B1
associa
corrett.
la 1 a
formula
alla
relativa
definizio
ne
NO
C2
inserisce le
lettere al
posto dei
“?” nella
seconda
figura
NO
B2
associa
corrett.
la 2 a
formula
alla
relativa
definizio
ne
NO
C3
inserisce le
lettere al
posto dei
“?” nella
terza
figura
NO
B3
associa
corrett.
la 3 a
formula
alla
relativa
definizio
ne
NO
B4
associa
corrett.
la 4 a
formula
alla
relativa
definizio
ne
NO
L’ipotesi del lavoro: “Classificare le concezioni degli allievi riguardo l’utilizzo di un linguaggio
algebrico semi-formalizzato sia come passaggio dalla Lingua Naturale al Linguaggio Algebrico
che vicerversa”.
In prima approssimazione i dati sperimentali possono fornirci utili informazioni, ma le
concezioni che noi andiamo cercando avranno bisogno di ulteriori approfondimenti sia teorici
che sperimentali.
Rappresentazioni
Rappresentazioni storico- Comportamenti
Analisi a-posteriori:
epistemologiche
epistemologiche
ipotizzabili
psicologia cognitiva
Linguaggio Geometria
Gli Elementi di Euclide. Vedi tabelle
Campi Concettuali
Euclidea: equivalenza,
La “misura” nella storia precedenti
(Vergnaud).
misura dell’area di una
della geometria.
riguardanti il 2°
Zona prossimale di
superfice.
L’evoluzione della
quesito.
Vigtkoski.
Il ruolo della “relazione” “relazione” nella storia (Da rivedere in
Immagini mentali,
nella Geometria
del pensiero geometrico. funzione delle
Figural concept,
Elementare.
prime due
schemi, ecc.
colonne)
Linguaggio Algebra
La storia dell’Algebra
Vedi tabelle
Elementare: Le relazioni. Elementare:
precedenti
La “relazione” come
Le “relazioni” nei
riguardanti il 2°
sottoinsieme del Prodotto passaggi tra algebra
quesito.
Cartesiano di due
retorica, sincopata e
(Da rivedere in
insiemi.
simbolica.
funzione delle
4
prime due
colonne)
Il problema aperto è stato trasformato in un problema chiuso di tipo vero/falso:
Q2a Q2a Q2a Q2a Q2a Q2a Q2a Q2b Q2b Q2b Q2b Q2b Q2b Q2b Q2b
A
B1
B2
B3
C1 C2 C3 A1 A2
A3 A4 B1
B2
B3
B4
L’analisi statistica di una tabella di questo tipo risulta molto agevole, ma risulta
evidente che senza l’analisi a-priori l’analisi statistica è priva di significato.
A questo punto le variabili della prima riga sono chiamate variabili della situazioneproblema, potranno diventare delle variabili didattiche se permetteranno un cambiamento
dei comportamenti degli allievi rispetto alle concezioni degli allievi.
L’analisi fattoriale delle corrispondenze (vedi capitolo di statistica) ci consente di
poter a questo punto individuare i fattori attorno ai quali si raggruppano le concezioni degli
allievi.
Attraverso lo studio dell’analisi implicativa di variabili o classi di variabili (vedi
capitolo sulla statistica) possiamo anche rispondere a domande del tipo:
• Se gli allievi rispondono alla questione Q2aB2 risponderanno anche alla Q2bC2, se
rispondono correttamente alla seconda correlazione allora inserisce le lettere al posto dei
“?” nella seconda figura?
• Se gli allievi rispondo alle questioni Q2aB1, Q2aB2, Q2aB3 allora rispondo alle Q2aC1,
Q2aC2, Q2aC3?
Cerchiamo adesso di riassumere attraverso uno schema riepilogativo le varie tappe della
ricerca in didattica rispetto al problema valutativo:
Problema
Didattico
Considerazioni su osservazioni riguardanti la comunicazione delle matematiche
in base alle esperienze professionali degli insegnanti.
Nel nostro esempio: Gli alunni sono in grado di raggiungere livelli di conoscenza
significativi, riuscendo a muoversi abbastanza agevolmente all’interno dei vari
problemi proposti, in contesti ben precisi come Economia Aziendale, dove essi
utilizzano, in un linguaggio semiformalizzato, equazioni come relazioni di
uguaglianza.
Ipotesi di
Trasformazione delle “considerazioni” precedenti in ipotesi contenenti un
Ricerca
enunciato “ben formato” di Didattica:
1. Le concezioni degli allievi riguardo una certa conoscenza;
2. Se ha acquisito una determinata conoscenza allora sarà in grado di
acquisirne delle altre.
Nel nostro esempio: Classificare le concezioni degli allievi riguardo l’utilizzo di
un linguaggio algebrico semi-formalizzato sia come passaggio dalla Lingua
Naturale al Linguaggio Algebrico che vicerversa.
Preparazione Messa a punto di un apparato sperimentale che cerchi di falsificare le ipotesi5
1a fase
stabilite nella fase precedente attraverso la preparazione di:
sperimentale • pre-test, questionari;
5
Ipotesi falsificabile: L’ipotesi sottoposta a verifica sperimentale è decidibile, nel senso della falsificazione, se può
essere sottoposta a prova solo da tentativi sistematici per coglierla in fallo.
5
• interviste individuali (registrazione dei protocolli delle interviste);
• interviste a coppia con la consegna di mettere per iscritto le loro
considerazioni comuni raggiunte dopo un accordo verbale (registrazione dei
protocolli delle interviste);
Nel nostro esempio: Il questionario.
Analisi
Analisi a-priori dell’apparato sperimentale che tenga conto:
a-priori
• delle rappresentazioni epistemologiche;
• delle rappresentazioni storico-epistemologiche;
• dei comportamenti ipotizzati degli allievi rispetto alle conoscenze
comunicative professionali dell’insegnante e delle conoscenze riguardanti i
due punti precedenti.
Nel nostro esempio: Abbiamo chiamato questa fase come “una prima analisi apriori”. L’analisi a-priori non ha tenuto conto dell’analisi epistemologica e
storico epistemologica. Soltanto per il Quesito 2 è stata presentata la tabella 1 di
riferimento per gli approfondimenti. In funzione di questi approfondimenti il
questionario andrebbe rivisitato.
Tabella per i Costituzione di una tabella che permetta la raccolta dei dati sperimentali in
dati
funzione dell’analisi a-priori.
sperimentali Nel nostro esempio: La Tabella 2 riferita al quesito 2 del questionario. Il quesito
2 si è trasformato in una tabella con 14 variabili.
Analisi dei
Correlazione dei dati sperimentali con l’analisi a-priori:
dati
1. Analisi quantitativa sui problemi che sono stati trasformati in una Tabella
sperimentali
come la Tabella 2:
• Statistica descrittiva;
• Analisi Implicativa;
• Analisi Fattoriale;
• Chi quadro, ecc.
2. Analisi qualitativa dei protocolli relativi ad interviste singole o a coppia, ecc.
Nel nostro esempio: Non sono stati presentati i dati sperimentali riferiti al
questionario.
L’ipotesi è
• Si → Si ripete l’esperienza per verificare la stabilizzazione dei dati
stata
sperimentali. Requisito importante per la ripetibilità dell’esperienza.
falsificata?
L’ipotesi falsificata diventa un risultato per la ricerca in didattica. Si
formulano altre ipotesi. Si inizia un’altra ricerca.
• No → Si riprende il piano sperimentale e si ricomincia di nuovo. Si può
rimettere in discussione sia l’ipotesi di partenza che l’analisi a-priori.
6
