Insieme di Hintikka per la logica del I ordine Sia L un linguaggio del

Insieme di Hintikka per la logica del I ordine
Sia L un linguaggio del I ordine. Un insieme H di enunciati di L
viene detto un insieme di Hintikka per la logica del I ordine se è un
insieme di enunciati tale che:
• R(t1, . . . , tn), ¬R(t1, . . . , tn) non stanno entrambi in H
• ¬⊤ ∈
/ H, ⊥ ∈
/H
• ¬¬Z ∈ H ⇒ Z ∈ H
• α ∈ H ⇒ α1 , α2 ∈ H
• β ∈ H ⇒ β1 ∈ H oppure β2 ∈ H
• γ ∈ H ⇒ γ(t) ∈ H per ogni t chiuso del linguaggio
• δ ∈ H ⇒ δ(t) ∈ H per qualche t chiuso del linguaggio
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Lemma di Hintikka per la logica del I ordine
Sia L un linguaggio della logica del I Ordine, H un insieme di
Hintikka su L, allora H è soddisfacibile.
Per dimostrare questo teorema costruiamo un opportuno modello
di Herbrand. Supporremo che l’insieme dei termini chiusi del
linguaggio, ClTerms L, sia non vuoto.
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Proprietà di consistenza del primo ordine
Sia C un insieme di insiemi di enunciati di Lpar . Diciamo che C è
una proprietà di consistenza del primo ordine rispetto ad L se, per
ogni S ∈ C
• R(t1, . . . , tn), ¬R(t1, . . . , tn) non stanno entrambi in S
• ¬⊤ ∈
/ S, ⊥ ∈
/S
• ¬¬Z ∈ S ⇒ S ∪ {Z} ∈ C
• α ∈ S ⇒ S ∪ {α1, α2} ∈ C
• β ∈ S ⇒ S ∪ {β1} ∈ C oppure S ∪ {β2} ∈ C
• γ ∈ S ⇒ S ∪ {γ(t)} ∈ C per ogni t chiuso in Lpar
• δ ∈ S ⇒ S ∪ {δ(p)} ∈ C per qualche p in par
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Teorema di esistenza di un modello per la logica del I ordine
Se C è una proprietà di consistenza del I ordine rispetto ad L, S è
un insieme di enunciati di L, ed S ∈ C, allora S è soddisfacibile;
di fatto S è soddisfacibile in un modello di Herband di Lpar .
Teorema di compattezza per la logica del I ordine
Sia S un insieme di enunciati di L, sia S finitamente soddisfacibile.
Allora S è soddisfacibile in un modello di Herbrand di Lpar .
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Teorema di Löwenheim-Skolem
Sia S un insieme di enunciati di L, S soddisfacibile, allora S è
soddisfacibile in un modello numerabile.
Teorema di Herbrand
Sia S un insieme di enunciati di L. S è soddisfacibile se e solo se
è soddisfacibile in un modello di Herbrand di Lpar .
Lemma
Sia X un enunciato di L. X è valida se e solo se è vera in ogni
modello di Herbrand di Lpar .
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Teorema generale di sostituzione
Siano Φ(A), X, Y formule di un linguaggio L. Sia M = (D, I)
un modello su L.
Se M |= X ≡ Y allora M |= Φ(X) ≡ Φ(Y )
Corollario del I teorema di sostituzione
Se |= X ≡ Y allora |= Φ(X) ≡ Φ(Y )
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Occorrenze positive e negative
Tutte le occorrenze di A sono positive (negative) in Φ(A) se
• Φ(A) = A (Φ(A) = ¬A); Φ(A) = B (Φ(A) = ¬B) e B 6= A;
• Φ(A) = ¬¬ψ(A) e tutte le occorrenze di A in ψ sono positive
(negative);
• Φ(A) = α e tutte le occorrenze di A in α1 e in α2 sono positive
(negative);
• Φ(A) = β e tutte le occorrenze di A in β1 e in β2 sono positive
(negative);
• Φ(A) = (∀x)γ0(x) e tutte le occorrenze di A in γ0(x) sono
positive (negative);
• Φ(A) = (∃x)δ0(x) e tutte le occorrenze di A in δ0(x) sono
positive (negative).
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Teorema di sostituzione in forma implicativa
Sia Φ(A) una formula di L, in cui A occorre solo posivitamente
(negativamente). Siano X e Y due formule di L ed M = (D, I)
un modello su L.
Se M |= X ⊃ Y allora M |= Φ(X) ⊃ Φ(Y )
(M |= Φ(Y ) ⊃ Φ(X))
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Skolemizzazione
Sia ψ = ψ(x, y1, . . . , yn) una formula di L, f un simbolo
funzionale di arietà n non occorrente in ψ e sia M = (D, I) un
qualunque modello di L.
Esistono N1 = (D, J1) ed N2 = (D, J2) tali che
• N1 |= (∃x)ψ ⊃ ψ{x/f (y1, . . . , yn)}
• N2 |= ψ{x/f (y1, . . . , yn)} ⊃ (∀x)ψ
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Teorema di Skolemizzazione
Sia ψ(x, y1, . . . , yn) = ψ(x) una formula di L, Φ(A) una formula
di L tale che Φ((∃x)ψ(x)) è un enunciato di L. Sia f un simbolo
funzionale di arietà n non presente in Φ((∃x)ψ(x)).
• Se tutte le occorrenze di A sono positive in Φ(A) allora
Φ((∃x)ψ(x)) è soddisfacibile se e solo se Φ(ψ(f (y1, . . . , yn))) è
soddisfacibile;
• Se tutte le occorrenze di A sono negative in Φ(A) allora
Φ((∀x)ψ(x)) è soddisfacibile se e solo se Φ(ψ(f (y1, . . . , yn))) è
soddisfacibile.
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Forma prenessa
Una formula è in forma prenessa se è del tipo
(Q1x1) . . . (Qnxn)ψ
dove
• Qi ∈ {∀, ∃}
• ψ non coinvolge quantificatori
Trasformazione di una formula in forma normale prenessa:
• separazione delle variabili,
• regole di riscrittura.
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Regole di riscrittura
¬(∃x)A
¬(∀x)A
((∀x)A ∧ B)
(A ∧ (∀x)B)
((∃x)A ∧ B)
(A ∧ (∃x)B)
((∀x)A ⊃ B)
(A ⊃ (∀x)B)
((∃x)A ⊃ B)
(A ⊃ (∃x)B)
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
(∀x)¬A
(∃x)¬A
(∀x)(A ∧ B)
(∀x)(A ∧ B)
(∃x)(A ∧ B)
(∃x)(A ∧ B)
(∃x)(A ⊃ B)
(∀x)(A ⊃ B)
(∀x)(A ⊃ B)
(∃x)(A ⊃ B)
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