Energia: analisi matematica ed esempi - Digilander

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ENERGIA – teoria e formule
In altri appunti abbiamo introdotto l’Energia, evidenziandone gli aspetti essenziali e descrivendo i tre modi in
cui si manifesta –cinetica , potenziale , Lavoro-. Però, per poter utilizzare utilmente l’energia nelle
applicazioni, è necessario saper calcolare l’energia. E’ evidente infatti che per eseguire una qualsiasi attività è
necessario produrre/consumare energia: ma se tutto ciò che sono in grado di dire fosse “questo lavoro mi
consuma più energia di quest’altro… qui spendo tanta energia, là un po’ di meno… qui produco un po’ di più
che di là…” e simili, io non sarei mai in grado di progettare la mia attività.
Come misurare l’energia è un problema che è stato dibattuto fin dal 1.600. L’analisi corretta è stata portata a
termine nel 1686 da un grande scienziato e filosofo del passato, Gottfried Leibniz.
Energia potenziale di un corpo sollevato (Energia potenziale della forza-peso)
Leibnitz ebbe l’intuizione di misurare l’energia attraverso l’energia muscolare: in altre parole, tentò di misurare
l’energia tenendo conto dello sforzo che un muscolo deve eseguire nel sollevare un peso. Leibnitz arrivò a
questa fondamentale proprietà: “l’Energia per sollevare una massa m di un tratto h è proporzionale al
prodotto mgh” 1 . Adesso vedremo come Leibnitz è giunto a questa conclusione.
Supponiamo di voler sollevare una massa m con una carrucola (vedi figura 1).
In questo caso io spendo energia ma di tipo muscolare, come posso
osservare tenendo conto che nel girare la carrucola io mi stanco: chiamo EM
questa energia.
Adesso vediamo da cosa dipende EM. Supponiamo di avere girato la
carrucola 5 volte e di avere speso un’energia muscolare EM. Se vogliamo
sollevare un secondo peso uguale al primo del medesimo tratto h dobbiamo
girare la carrucola per altre 5 volte spendendo una seconda volta la stessa
energia EM e così via. In altre parole se fissiamo l’altezza di sollevamento, il
numero di giri e conseguentemente l’energia muscolare spesa è
direttamente proporzionale alla massa totale sollevata (nel nostro
caso, spendiamo un’energia EM per ogni massa m sollevata di un tratto h).
Posso scrivere:
EM  m
(1)
Supponiamo adesso di voler sollevare la stessa massa m per un tratto
doppio: dovrò girare la manovella per 5x2 volte = 10 volte e spenderò così
2·EM. Dunque, l’energia spesa è direttamente proporzionale all’altezza
di sollevamento h. Posso scrivere allora:
EM  h
Figura 1: Se per sollevare il
peso di massa m di un’altezza h devo girare la manovella per 5 giri, per sollevare alla stessa altezza h due
pesi di massa m o lo stesso
peso di un’altezza 2 h impiegherò 10 giri (doppia
spesa di energia).
(2)
Infine; supponiamo di andare sulla Luna, dove g è minore: nel sollevare la stessa massa dello stesso tratto h
io spenderò una minor energia che sulla Terra, perché la forza-peso sulla Luna è minore. All’opposto, se andassi
su di un corpo celeste dove g è il doppio di quello sulla Terra, la solita massa m peserà il doppio ed io dovrei
fare il doppio della fatica, cioè spenderei 2EM. Perciò, al raddoppiare di g raddoppia anche EM e dunque:
EM  g
(3)
In conclusione, unendo le proporzionalità (1) , (2) , (3) ottengo:
EM  m·hg
(4a)
Scrivendo la proporzionalità (4a) come uguaglianza scrivo:
In realtà, Leibnitz dimostra solo la proporzionalità fra Energia, M e h; ma kl’estensione alla proporzionalità
con g è immediata.
1
EM = cmgh
(4b)
Il valore della costante c è arbitrario e dipende dalla scelta delle unità di misura. Universalmente, si pone c=1,
cosicché possiamo scrivere:
EM = mgh
(4c)
Poiché l’energia muscolare EM è stata spesa per innalzare la massa m del tratto h è evidente che la massa m
ha immagazzinato l’energia EM; dunque siamo di fronte ad un’energia potenziale (U) e perciò posso
dichiarare che mgh è la formula dell’energia potenziale di un corpo sollevato.
Potenziale del peso: U = mgh
(5)
Energia cinetica
Se lascio cadere la massa m dall’altezza h essa arriva al suolo con una certa velocità finale VF. E’ chiaro che
quando è giunta al suolo tutta la sua energia potenziale è stata spesa, trasformandosi nella velocità VF o meglio
in energia cinetica dovuta alla velocità VF. Troviamo adesso la formula che ci permette di calcolare tale
energia cinetica.
Poiché alla fine della caduta tutta l’energia potenziale si è trasformata in energia cinetica (K) scrivo: K =
mgh. Ora devo trasformare questa equazione in modo da far apparire la velocità V, che è la grandezza da cui
dipende K. Si possono fare queste considerazioni:
durante la caduta la massa m è sottoposta all’accelerazione terrestre, cioè aCADUTA = g. Il tratto di caduta h lo
spostamento che avviene con moto accelerato e perciò vale la formula:
P = h = ½at2 + Vit
h = ½gt2
, con t il tempo di caduta. Nel nostro caso Vi=0 (la massa parte da ferma) 
(6)
Ora punto devo tirar fuori V. So che dopo un tempo di caduta t la velocità è passata da “0” a ad un valore V
secondo la formula: V = at  V = gt ; ricavando t ottengo: t=V/g ; sostituendo nella (6) ho:
h = ½gV2/g2 = ½V2/g.
Sapendo che K = mgh , sostituisco h: K = mg½V2/g 

K = ½mV2
(7)
L’eq. (7) è la formula che mi permette di calcolare l’energia cinetica di un corpo in movimento.
Lavoro
Adesso dobbiamo trovare l’equazione del Lavoro. Poiché esso è la grandezza che trasferisce energia da una
forma all’altra o da un corpo all’altro, è chiaro che esso dipende dalla forza agente: più grande è la forza,
maggiore è la spinta e più energia trasferisco.
Inoltre, per poter spingere è necessario che il punto di applicazione della forza sia spostato: in altre parole,
non posso spingere un oggetto tenendo il braccio immobile, per quanto forte io sia. Dunque, il Lavoro dipende
pure dallo spostamento del punto di applicazione della forza.
Per trovare l’eq. del Lavoro, facciamo una semplice considerazione: supponiamo che una forza F0 spinga una
massa m all’inizio immobile per un tratto P parallelo a se stessa (nota che in questo esempio F0 è parallelo allo
spostamento P e perciò consideriamo il caso in cui F0 e P sono paralleli), portando la sua velocità da 0 a VF.
E’ chiaro che alla fine la massa m ha acquistato un’energia cinetica K = ½mV2, come mostra l’eq. (7): questa
energia è stata chiaramente trasferita dalla forza F0 e perciò rappresenta il suo Lavoro: Lavoro = energia
cinetica trasferita = ½mV2 . Bisogna trasformare quest’equazione in modo da mettere in evidenza il ruolo della
forza F0 e dello spostamento P. Come prima, usiamo le formule del moto accelerato:
V = at + Vi = (Vi=0) = at  L=½m(at)2 = ½ma2t2  (separando i fattori in due termini
opportuni)  L = (½at2)(ma) ; adesso teniamo conto che in un moto accelerato si ha P= ½at2 e
che il II Principio della Dinamica afferma che F=ma , perciò possiamo scrivere:
L = PF0
(8)
-caso di una forza parallela allo spostamento-
LAVORO E FORZA OBLIQUA
Abbiamo detto all’inizio del corso che la forza non è un numero ma un vettore, cioè possiede anche una
direzione ed un verso. Come influisce la direzione della forza sul Lavoro? Per comprenderlo, consideriamo il
caso in cui F0 e P non sono paralleli ma formano invece un angolo .
Quando spingiamo su un oggetto appoggiato sul pavimento, per esempio una
poltrona come in figura 2, l’unica responsabile dello scivolamento orizzontale della
poltrona è la componente orizzontale della forza (F//): la componente perpendicolare
(F ) o la forza peso della poltrona (P) non danno alcuna spinta orizzontale e perciò
non modificano l’energia cinetica della poltrona. Per cui se lo spostamento avviene
in direzione perpendicolare alla forza, essa non compie lavoro.
Vediamo lo stesso concetto con un secondo esempio.
Consideriamo prima di tutto un corpo di massa m
lasciato cadere liberamente in aria (vedi figura 3). Su
tale corpo agisce la forza-peso P diretta verticalmente
dall'alto verso il basso. Pertanto anche il corpo cadrà
lungo la verticale dall'alto verso il basso. Lo
spostamento indotto dalla forza-peso e la forza-peso
hanno in questo caso la stessa direzione e lo stesso
verso ed il Lavoro si calcola come L=mgh , come
Figura 2
Figura 3
già visto.
Nel secondo caso abbiamo un corpo posto su un piano inclinato. La forza-peso agisce ancora lungo la
verticale ma, mentre la sua componente perpendicolare al piano si limita a premere sul tavolo, la sua
componente parallela al piano (P//) rimane attiva e spinge il corpo m secondo un moto accelerato lungo il
piano inclinato, cambiandone la velocità.
Questi esempi illustrano il fatto che il Lavoro di una generica forza F0 durante uno spostamento P è dovuto
solo alla componente di F parallela a P (F//). La formula generale del Lavoro diventa:
L = PF//
(9) - formula generale del Lavoro
(formula fisica)
Altre formule del Lavoro
Vedremo subito che è possibile esprimere il Lavoro con altre due formule. Sappiamo che F// = F0cos() , e
perciò possiamo pure scrivere: L = PF0cos()
(10) - formula generale del Lavoro
(formula matematica)
Infine, possiamo spostare cos da F0 a P, scrivendo: L = Pcos()F0.
Guarda adesso la figura 4: è evidente che Pcos() è la componente
dello spostamento parallela a F0 (P//): scrivo perciò:
Figura 4
L = P//F (11) - formula generale del Lavoro
(formula geometrica)
Segno del lavoro
Se conoscete le proprietà della funzione cos() sapete già che cos() > 0 per 0≤≤90° mentre cos() <0
per 90°≤≤180°  il Lavoro è positivo nel primo caso, negativo nel secondo (vedi figura 5).
Dal punto di vista geometrico, ciò significa che il Lavoro è positivo quando F// è concorde allo spostamento (F
punta dalla parte di P) mentre è negativo quando F// è discorde (F punta dalla parte opposta a P). Questo è
coerente con ciò che già sappiamo: quando F// è concorde allo spostamento (Lavoro positivo) la forza spinge in
avanti il corpo, fornendogli velocità e dunque energia cinetica; all’opposto, quando F// è discorde con P (Lavoro
negativo) essa spinge indietro il corpo, rallentandolo.
Figura 5
LAVORO , POTENZIALE ED ENERGIA CINETICA
Adesso che abbiamo le formule per calcolare il potenziale, l’energia cinetica ed il
Lavoro dobbiamo scoprire come queste si connettono fra di loro. Il modo più
semplice per scoprire qual è la loro interconnessione è quello di studiare con occhio
fisico la caduta della massa m da un’altezza h (vedi figura 6).
All’inizio , tutta l’energia è potenziale: Ui = mgh ; Ki=0
Alla fine della caduta, ho tutta energia cinetica: UF=0 ; KF = ½mVF2: la
massa m ha guadagnato un’energia cinetica pari a mgh !
Figura 6
C’è stato ovviamente un trasferimento di energia da potenziale a cinetica. Il Lavoro, che come detto è la
grandezza che descrive questo trasferimento. Calcoliamo il Lavoro eseguito: L=PF0 = hPeso = h(mg) =
mgh. Il Lavoro è proprio uguale al valore guadagnato dall’energia cinetica!
Se invece avessi lanciato la massa m dal suolo verso l’alto con la velocità iniziale VF essa sarebbe arrivata
all’altezza h, fermandosi. Dunque: Ui=0 ; Ki= ½ mVF2 ;
UF=mgh ; KF=0. In questo caso la massa m
perde un’energia cinetica pari a -mgh ; il Lavoro in questo caso è: L= h(-mg) = -mgh , che è proprio
l’energia cinetica persa!
Possiamo generalizzare l’esempio della caduta a tutte le forze ed affermare che il Lavoro rappresenta
l’energia trasferita in energia cinetica; quest’ultima aumenta se il Lavoro è positivo o decresce se esso è
negativo. Messo in formule:
L = K = KF – Ki
(12)
-sempre valida-
Tenete conto dell’eq. (12) perché è basilare per comprendere l’energetica di ogni macchina.
Se ho forze conservative, l’energia cinetica aumenta a spese di quella potenziale e viceversa, come già
visto. Perciò vale sicuramente la relazione:
U = - K
L = -U = -(UF – Ui) = Ui – UF
(13)
e di conseguenza:
(14) - se ho solo forze conservative-
COME AGISCE IL LAVORO?
Adesso che abbiamo in mano le formule essenziali… applichiamole!
Vediamo con qualche semplice esempio come agisce il Lavoro.
Consideriamo una palla di massa 500g con velocità iniziale Vi=5m/s
che si sposta per una distanza di 3m, spinta da una forza F0=2N.
Voglio calcolare la velocità finale secondo i 5 casi di figura 7.
a) F0 parallelo e concorde a P (=0) ; L = 2N3m = 6J
b) F0 inclinato di 60° rispetto a P
;
Figura 7
L = F0//3m = F0cos(60°)3m = 1N3m = 3J
c) F0 perpendicolare a P (=90°)
;
L = F0cos(90°)3m = 0N3m = 0
d) F0 inclinato di 120° rispetto a P
;
L = F0cos(120°)3m = -1N3J = -3J
e) F0 opposto a P (=180°)
; L = -2N3m = -6J
Per tutti i casi vale l’eq. (12) e perciò scrivo:
L = KF – Ki  KF = Ki + L
(15)
Ki = ½mVi2 = ½0,5kg(5m/s)2= 6,25J. Per quanto riguarda i 5 casi, il Lavoro L lo abbiamo già
calcolato. Usiamo l’eq. (15) ed otteniamo:
a)
b)
c)
d)
e)
Nel caso c) la velocità rimane invariata perché non viene fatto alcun Lavoro –non viene trasferita alcuna energia
cinetica ( = 90°)-.
Nei casi a) e b) la velocità aumenta perché il Lavoro trasferisce una quantità positiva di energia cinetica, in
quanto F0 punta dalla stessa parte di P ( < 90°): il Lavoro è detto Lavoro motore.
Nei casi d) ed e) la velocità decresce perché il Lavoro trasferisce una quantità negativa di energia cinetica, in
quanto F0 punta dalla parte opposta di P ( > 90°): il Lavoro è detto Lavoro resistente.
RELAZIONE FRA FORZA E LAVORO
Gli esempi sopra dovrebbero aver chiarito almeno in parte gli eventuali dubbi su cosa sia il Lavoro. Poiché la
formula del lavoro è L = F//P , esso risulta essere un’energia trasferita da una forza attraverso la sua
spinta lungo un tratto P: in altre parole, quando io spingo un oggetto con una forza F// e prolungo tale
spinta per un tratto P io, attraverso questa spinta, trasmetto un’energia cinetica all’oggetto calcolabile con
l’eq. (9). Possiamo perciò riassumere il tutto con una semplice frase:
il Lavoro è l’energia cinetica che una forza trasmette con la propria spinta
Possiamo addirittura definire la forza attraverso il Lavoro: poiché L = F//P , si ha che quando P=1m allora
L=F//1 = F//. Posso perciò affermare che
la forza rappresenta il Lavoro trasmesso per ogni metro di tragitto
In altre parole: dire, ad esempio, che io spingo un oggetto con una forza di 5N significa che io trasferisco a
tale oggetto 5J di energia per ogni metro di spinta.
Semplici problemi pratici
Adesso applicheremo le equazioni del Lavoro per risolvere alcuni semplici problemi nei quali potrete imbattervi
durante il vostro futuro lavoro.
 Una trattrice di massa M=1.200kg parte da ferma: il guidatore
accende il motore che fornisce alla trattrice una spinta di
3.600N; qual è la velocità a cui giunge la trattrice dopo aver
percorso 10m?
Le equazioni del Lavoro sono solo due (con le relative
formule inverse), perciò si memorizzano facilmente:
L = F//P
(eq. 9)
Kf = Ki + L
(eq. 15)
Per calcolare la velocità finale ho bisogno di conoscere l’energia cinetica finale (Kf); per questo devo
sapere quanta energia cinetica possiede la trattrice all’inizio (Ki) e quanta energia gli trasmette la forza
con la sua spinta attraverso il Lavoro (L).
All’inizio la trattrice è ferma e perciò non possiede alcuna energia cinetica: Ki=0J.
Il motore spinge la trattrice con una forza F//. F// è concorde con la velocità e perciò il Lavoro fornito è
positivo, si tratta di Lavoro motore: poiché F//=3.600N essa fornisce 3.600J di energia cinetica per
ogni metro di spinta. Dopo i 10m di spinta esso fornisce un lavoro L=3.600N10m = 36.000J.
Per il calcolo della velocità si applica l’eq. (7): K= ½MV2
Kf= ½MVf2 = 36.000J  Vf=7,75m/s = 27,9km/h
 Adesso la stessa trattrice di cui sopra si muove alla velocità di 36km/h (10m/s): ad un certo punto frena!
L’attrito dinamico risulta essere Fd=7.000N; di quanto si riduce la velocità dopo aver percorso 5m?
All’inizio la trattrice possiede un’energia cinetica Ki = ½MVi2 = 60.000 J ; il freno rallenta la trattrice
con una forza F//=Fd=-7.000N: il segno ‘-‘ si ha perché adesso la forza è opposta alla velocità della
trattrice (Lavoro negativo, cioè Lavoro resistente); ciò significa che per ogni metro il freno assorbe
7.000J di energia cinetica. Dopo 5m il freno ha dissipato un Lavoro = 7.000N5m = 35.000J

L=-35.000J.
All’inizio la trattrice possedeva 60.000J , adesso il freno le ha tolto 35.000J  alla trattrice rimangono
60.000J – 35.000J = 25.000J=Kf.
Per il calcolo della velocità si applica sempre l’eq. (7): K= ½MV2.
Kf= ½MVf2 = 25.000J  Vf=6,45m/s = 23,2km/h
 Quanto spazio impiega la trattrice a frenare?
Per risolvere questo problema sfruttiamo il fatto che la trattrice alla fine del tragitto è ferma: Kf=0. L’eq.
(15) diventa:
Kf = Ki + L  0J = 60.000J + L  L=-60.000J. Per frenare, la trattrice deve dissipare tutta la propria
energia cinetica ricevendo un lavoro negativo uguale ed opposto all’energia iniziale. Conosco la forza
resistente, calcolo subito lo spazio di frenata P:
Lavoro = -60.000 = -7.000P  P=8,57m.
 La solita trattrice di cui sopra va in salita: la sua velocità iniziale è di
12km/h (3,33m/s), la pendenza è =10°. Quanto spazio impiega la
trattrice per rallentare fino a 4km/h (1,11m/s)?
In questo caso è la forza di gravità a fungere da forza resistente:
infatti, la trattrice si muove contro-pendenza, cosicché il peso la
spinge verso il basso (P// è opposto alla velocità).
P//
=
Psen(=10°)
=
Mgsen(10°)
P//=(1.200kg9,8N/kg)0,1736 = 2041,5N.

L’energia cinetica di partenza della trattrice è: Ki= ½1200kgVi2 = 6.653,3 J ; l’energia cinetica di
arrivo è: Kf= ½1.200kgVf2 = 739,3 J. Sappiamo dall’eq. (15) che L= Kf - Ki : di conseguenza, P//
ha succhiato via 793,3J – 6.653,3J = -5.914J  Lavoro = -5.914 J .
La forza che ha causato questo Lavoro è P//=-2041,5N, il ‘-‘ sta ad indicare che P// è opposto alla
velocità: ciò indica che P// dissipa 2041,5J ogni metro percorso. Di conseguenza, per dissipare 5.914J
la forza P// ha bisogno di spostarsi per un tratto P=-5.914/-2041,5 = 2,9m.
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