La Matematica e le sue attrattive per i giovani di oggi 2200 caratteri

La Matematica e le sue attrattive per i giovani di oggi
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di Margherita Guida e Carlo Sbordone
1. L’efficacia della Matematica per l’interpretazione della realtà fisica
Alcuni enti della Matematica sono a noi familiari sin dagli anni della scuola. Numeri
interi, frazioni, pi-greco, radice quadrata di 2, espressioni algebriche e poi: rette,
triangoli, quadrati, rettangoli, cerchi e così via.
Essi hanno varie caratteristiche. In primo luogo questi enti esistono in sé: nessuno
può negare di avere l’idea di una circonferenza come di un ente ben preciso, anche se
troverà abbastanza difficile ricordarne la definizione esatta.
In secondo luogo sappiamo che gli enti matematici possono essere rappresentati, con
un certo grado di approssimazione, mediante oggetti fisici; si pensi alla luna piena, il
cui profilo ha certamente costituito, per i pensatori antichi, il modello di un cerchio.
Si pensi anche alla traccia circolare lasciata su un foglio dalla punta del compasso,
dopo adeguata rotazione.
Si pensi ora al disegno con matita di un segmento eseguito con l’ausilio di una riga.
Ci rendiamo conto, adoperando una lente di ingrandimento, che il nostro disegno del
segmento non può rappresentare esattamente il segmento della matematica, perché
riconosciamo che la linea disegnata ha uno spessore e che non è dritta.
Analoga sensazione proviamo dopo aver disegnato una circonferenza con il
compasso. La circonferenza della matematica ha una perfezione irraggiungibile dai
modelli che di volta in volta possiamo realizzare.
Siamo in presenza di un fenomeno interessante: gli enti matematici vengono definiti e
trattati con un linguaggio astratto, ma noi non siamo in grado di concretizzare questi
enti nel nostro mondo sensibile, possiamo solo pensare a questi enti come se fossero
il risultato di un procedimento di approssimazione, con un “passaggio al limite”, per
quanto vago debba esser considerato tale delicato procedimento.
Volendo assumere un atteggiamento “pratico” siamo indotti a chiederci: ma allora a
che serve la matematica? Anzi: come mai serve la matematica ?. Il fisico Eugene
Wigner, premio Nobel nel 1963, intitolò un famoso suo articolo “L’irragionevole
efficacia della Matematica nelle Scienze Naturali”
Una prima risposta a questa domanda viene dal progresso del pensiero umano nella
direzione della conoscenza dell’Universo.
Pensiamo innanzitutto all’Astronomia. Questa scienza ci aiuta a farci un’idea
dell’Universo, ci fornisce informazioni su quanto ci circonda, ci consente di prendere
coscienza di tutta una serie di fenomeni che all’apparenza risultano alquanto
misteriosi.Le più antiche concezioni dell’Universo rispondono all’idea che uomini di
cultura elementare si formano della Terra, degli astri e della volta celeste, basandosi
sulle apparenze. Prima di tutto la Terra e la sua forma: lontano dai centri abitati, essa
ci appare come una grande distesa con alternarsi di pianure, monti e valli. Solo in
vicinanza del mare si può intuire che la superficie terrestre possa essere curva.
La Terra ci sembra ferma, sormontata da un cielo luminoso di giorno e buio di notte,
costellato di astri, che hanno forme, dimensioni e moti diversi. Il Sole, la Luna, le
stelle e i pianeti (questi ultimi meno riconoscibili) sembrano ruotare intorno a noi. E’
del tutto logico che, per secoli, l’uomo abbia ritenuto di essere al centro dell’universo
e che questi astri ruotassero intorno al nostro pianeta, in maniera più o meno regolare,
più o meno strana.
Fu grazie ad alcuni individui eccezionalmente dotati che l’Astronomia poté
progredire come Scienza e fu possibile osservare attentamente ed interpretare
correttamente le fasi della Luna e il ritardo quotidiano dell’apparire di questo corpo
celeste in confronto a quello del Sole e delle stelle, il moto apparente del cielo
stellato, lo spostarsi in un verso o nell’altro dei pianeti attraverso le costellazioni, le
stelle cadenti, le comete e le eclissi di Luna e di Sole. Fu Copernico (1473-1543) a
dimostrare matematicamente che la Terra, contrariamente all’apparenza, ruota
intorno al suo asse in circa ventiquattro ore e gira intorno al sole in circa
trecentosessantacinque giorni.
Fu Keplero (1571-1630) a dimostrare matematicamente che i pianeti percorrono
orbite a forma di ellissi (e non di circonferenze) intorno al sole. Fu Galileo Galilei
(1564-1642) a dimostrare sperimentalmente nel 1630 che non tutti i corpi celesti
ruotano esclusivamente intorno al sole. Egli scoprì il moto intorno a Giove dei
principali quattro suoi satelliti: Io, Europa, Ganimede e Callisto.
Un particolare assai rilevante: le ellissi erano già state ampiamente studiate da
Apollonio, nel III secolo avanti Cristo, in termini puramente matematici.
E’ questo un primo esempio che mostra una delle caratteristiche della Matematica:
essa a volte viene sviluppata indipendentemente dalle sue applicazioni agli altri rami
del sapere e spesso i suoi risultati trovano riscontro sensibile solo in epoche
successive.
2. Il Teorema di Pitagora
La poetessa polacca Wislawa Szymborska, Nobel 1996 così si esprime nel suo libro
In “Letture facoltative” (2006) a proposito del principe dei teoremi della geometria
“Non ho difficoltà ad immaginare un’antologia dei più bei frammenti della poesia
mondiale in cui trovasse posto anche il Teorema di Pitagora. Perché no? Lì c’è
quella folgorazione che è connaturata alla grande poesia e una forma sapientemente
ridotta ai termini più indispensabili e una grazia che non a tutti i poeti è stata
concessa”
Uno degli obiettivi perseguiti da chi si occupa di diffusione della matematica è
quello di rivisitare classici risultati della matematica, dandone un’interpretazione
intuitiva. Il teorema di Pitagora, ad esempio, secondo il quale: “il quadrato costruito
sull’ipotenusa c di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati
costruiti sui cateti a e b” può essere concretamente “messo in mostra” realizzando un
dispositivo del tipo rappresentato nella figura 1 e facendolo ruotare opportunamente.
Il liquido, che inizialmente riempie il recipiente a forma di quadrato costruito sulla
ipotenusa, previa una rotazione, va a riempire i due recipienti quadrati costruiti sui
cateti.
In prima approssimazione si ottiene così una prova “tangibile” del teorema di
Pitagora: quale soddisfazione nel verificare “sperimentalmente” una verità
matematica. Prima di passare ad approfondire tale “prova sperimentale” e di
mostrarne i limiti, presentiamo una ben nota dimostrazione geometrica rigorosa ed
assai semplice, limitatamente al caso particolare che il triangolo rettangolo sia anche
isoscele, cioè che abbia i cateti uguali (Figura 2).
Il quadrato costruito sull’ipotenusa c è scomponibile in quattro triangoli equivalenti
al triangolo dato, mentre ciascuno dei due quadrati costruiti sui cateti è scomponibile
in due triangoli equivalenti al triangolo dato. Ne segue il teorema.
Eppure il dispositivo non funziona perfettamente. Si vede chiaramente che spostando
il liquido dal quadrato grande in quelli piccoli, ve ne è una piccola quantità che
avanza. (Figura 3)
Il motivo è il seguente. Un qualsiasi contenitore di liquido deve avere delle pareti con
certo spessore. Dunque anche i contenitori a sezione quadrata costruiti nel dispositivo
(Figura 1 e Figura 3) avranno uno spessore ε. Pertanto, se le loro pareti esterne
misurano rispettivamente a,b,c con a2+b2=c 2 , le loro pareti interne misureranno
rispettivamente per lati non a,b,c ma a-ε, b-ε, c-ε.
Si verifica subito che a fronte dell’uguaglianza pitagorica a2+b2=c2 si ha invece la
disuguaglianza
(a- ε)2 +(b-ε)2 < (c-ε)2
per ε sufficientemente piccolo.
Per convincerci con un esempio di questo fatto, immaginiamo di partire dalla terna
pitagorica a=3, b=4, c=5 (32+42=52) e supponiamo che sia ε =1. Si ha
a-ε=3-1=2,
b-ε =4-1=3;
c- ε =5-1=4
dunque
22 + 32 = 13 < 16 = 42
Cioè la terna 2,3,4 non è una terna pitagorica e la somma delle aree dei quadrati di
lato 2 e 3 è inferiore all’area del quadrato di lato 4. Ecco perché avanza il liquido.
In definitiva il dispositivo non riproduce una dimostrazione esatta del Teorema di
Pitagora, ma ne costituisce una prova sperimentale approssimativa, che suscita ancora
maggiore interesse, perché mette in luce un’ulteriore proprietà elementare delle terne
pitagoriche.
3. Gli insiemi infiniti
Passiamo a descrivere un oggetto con interessante significato matematico: l’albergo
infinito, che costituisce un modello sensibile dell’insieme dei numeri interi. I numeri
interi 1,2,3,…… nella loro globalità sono un’astrazione della mente umana o possono
essere realizzati attraverso qualche modello sensibile?
Proviamo ad immaginare un albergo con infinite camere. Che vuol dire?
Vuol dire che comunque scegliamo un numero, c’è sempre una camera a cui
corrisponde quel numero. Scegliamo il numero 100.000 e c’è la camera numero
100.000. Scegliamo il numero 100 milioni e c’è la camera con quel numero e cosi
via. Questo è l’albergo infinito.
Domanda: in un albergo infinito, c’è l’ultima camera, cioè quella con il massimo
numero?
Risposta: poiché non esiste il massimo numero, allora non esiste neppure l’ultima
camera. Dopo ogni camera c’è n’è sempre un’altra, con il numero successivo.
Un giorno, l’albergo infinito era completo. Che vuol dire?
Vuol dire che componendo al centralino il numero di una stanza qualsiasi, c’era
sempre un ospite che rispondeva. Ad una certa ora si presentò un nuovo cliente. Il
direttore, non sapendo come accontentare il cliente, si rivolse al suo consulente
matematico. Questi gli consigliò di spostare ogni ospite nella camera successiva.
Dunque l’ospite della camera 1 fu spostato nella 2, quello della 2 nella 3 e così via, in
modo che la camera 1 risultò libera e assegnata al nuovo cliente.
Quest’ultimo era un famoso giornalista attrezzato di computer che inviò via a tutti i
giornalisti del mondo la notizia dell’esistenza di quell’incredibile albergo dotato di
infinite stanze capace di accogliere sempre un’ospite in più.
Dopo qualche ora vi fu un’invasione di infiniti giornalisti, aspiranti clienti
dell’albergo infinito. Tutti volevano una stanza e si misero in fila all’ingresso
dell’Hotel.
Il direttore telefonò al suo consulente matematico per risolvere
sistemare tutti questi nuovi clienti.
il problema di
Il suggerimento questa volta era più articolato: spostare il cliente 1 nella 2, quello
della 2 nella 4, quello della 3 nella 6; in definitiva ogni cliente doveva essere spostato
nella camera corrispondente al doppio del numero della propria. In tal modo
restavano libere tutte le infinite camere di numero dispari e fu possibile accontentare
gli infiniti nuovi clienti. Questo esempio mette in luce i paradossi dell’infinito. In
Matematica non è possibile, in genere, fare a meno del concetto di infinito e, allorché
si cerca di concretizzare un insieme infinito, si verificano situazioni che appaiono
strane.
4. Somme con infiniti addendi
Un interessante esempio che si fa frequentemente per dare un’idea della necessità del
concetto di limite è fornito dal paradosso di Achille e la tartaruga, di cui diamo una
opportuna interpretazione.
Immaginiamo che Achille si trovi indietro di 1000 metri rispetto alla tartaruga e, per
fissare le idee, che corra ad una velocità di 10 metri al secondo, mentre quest’ultima
percorre 5 metri al secondo.
Allora:
In 100 secondi Achille percorre 1000 m e quindi raggiunge la posizione iniziale
della tartaruga che però nel frattempo è andata avanti di 500 metri
Nei successivi 50 secondi Achille copre questi 500 metri, ma nel frattempo la
tartaruga è andata avanti di 250 metri
Nei successivi 25 secondi Achille copre questi 250 metri, ma nel frattempo la
tartaruga è andata avanti di 125 metri
e così via.
Sembrerebbe che Achille non raggiunga mai la tartaruga (paradosso segnalato da
Zenone nel III secolo a.C.).
In realtà Achille raggiunge la tartaruga dopo un certo tempo, se è possibile dar
significato alla somma con infiniti addendi
100+50+25+………………
Corrispondenti ai tempi parziali in secondi.
In Matematica questa somma ha pienamente significato grazie ad un procedimento di
limite, come sa ogni studente universitario che abbia seguito un corso di Analisi. Il
risultato che si ottiene è 200. Dunque il nostro Achille raggiunge la tartaruga che
corre a metà della sua velocità, in 200 secondi, cioè in 3 minuti e 20 secondi.
5. Crescita esponenziale
Un’altra questione con contenuto matematico , riguarda la velocità con la quale si
raggiungono numeri abbastanza grandi con procedendo al raddoppio iterato.
Cominciamo con la domanda: quanti antenati di un bambino di dieci anni sono nati
dal 1500 in poi?
Supponiamo che tra genitori e figli vi sia una differenza di età di 25 anni. Quindi di
un ragazzo di 10 anni sono nati in questo secolo i 2 genitori, i 4 nonni e gli 8
bisnonni. Nel 1800 sono nati i 16=24 trisavoli, i 32=25 loro genitori, i 64=26 genitori
di questi ultimi e i loro 128=27 genitori. E così via: nel 1700 dobbiamo contare
28+29+210+211 antenati, nel 1600, 212+213+214+215, nel 1500, 216+217+218+219. In totale
abbiamo
2+22+23+…….. 216+217+218+219
Antenati nati dal 1500 in poi. Applicando la regola delle progressioni aritmetiche
1+a+a2+a3+………………….+an-1=(an-1)/(a-1)
Con a=2, n=20 troviamo
1+ 2+22+23+…….. 216+217+218+219=2020-1
Essendo 210=1024, risulta
2020=2010×2010=1.048.576
In conclusione il ragazzo conta oltre un milione di antenati dal 1500 in poi. Bisogna
dire, in verità, che in molti di questi antenati saranno parenti tra loro e quindi uno
stesso antenato figurerà più volte nell’albero genealogico, ma ciò non toglie che si
raggiungano numeri veramente inattesi.
6. Coincidenze e creduloni
Attraverso il calcolo delle probabilità è possibile spiegare razionalmente delle
coincidenze apparentemente non credibili, al punto che alcuni non addetti ai lavori,
invocano credenze o spiegazioni soprannaturali, implicite nella fase “non può trattarsi
di una semplice coincidenza” o talvolta, “era destino”.
Come vedremo su qualche esempio, l’equivoco nasce semplicemente dalla sottostima
della probabilità di certi eventi, o dal fatto che alcune coincidenze, generalmente
molto improbabili, diventano relativamente frequenti quando è molto alto il numero
delle circostanze in cui esse possono realizzarsi.
Dinanzi alla frase: <<ieri eravamo solo in 5 in aula, eppure due di noi avevano lo
stesso segno zodiacale. Che combinazione! >> faremo vedere che, a conti fatti, non
c’è da stupirsi.
Ci chiediamo: se un certo numero n di studenti si trovano a caso in un’aula, qual è la
probabilità che almeno due di essi siano nati nello stesso mese? Si vede che, se n=5,
cioè se ho un gruppo di 5 studenti, allora la probabilità della coincidenza del mese di
nascita è maggiore del 50%, cioè è più probabile che due di loro siano nati nello
stesso mese anziché il contrario.
Cominciamo con un’osservazione semplice: se in un’aula vi sono 13 posti a sedere,
allora possiamo far sedere 13 studenti, scelti a caso, con la certezza (cioè con
probabilità uguale a 1) che due di loro siano nati nello stesso mese. Se avessimo solo
12 sedie, la certezza verrebbe meno, in quanto, scegliendo a caso, potremmo anche
trovare tutti studenti nati in mesi diversi. Possiamo così concludere che il numero n =
13 è il “minimo numero di persone che dobbiamo chiamare per esser certi di poter far
in modo che due di loro siano nate nello stesso mese”.
Ci chiediamo ora: quanto grande deve essere n affinchè sia più probabile che tra n
persone ce ne siano 2 nate nello stesso mese anziche non? Cioè, affinchè la
probabilità che ve ne siano due nate nello stesso mese sia maggiore del 50%?
La risposta è : n= 5. (come dimostreremo tra poco) : pertanto, se abbiamo un gruppo
di già soltanto 5 persone, è più probabile che due di esse siano nate nello stesso mese,
piuttosto che il contrario. In realtà, come vedremo, con 5 persone si hanno quasi 2
chance su 3 di determinare tale coincidenza, e questo appare sorprendente a chi ha
poca familiarità con questo genere di questioni. Un individuo non esperto tende
infatti ad argomentare “intuitivamente” che, poiché ci vogliono 13 persone per avere
la certezza della coincidenza, un numero intero prossimo a
13
(= 6,5)
2
e cioè 6
persone (e non 5) garantiscono la coincidenza con più del 50%.
Per arrivare al risultato, determiniamo la probabilità dell’evento contrario, cioè che i
5 studenti siano nati in 5 mesi diversi. Ovvero che
1) il mese di nascita del secondo sia diverso da quello del primo, (con probabilità
uguale a
11
perché per il secondo ci sono 11 mesi “disponibili” su 12)
12
2) il mese di nascita del terzo sia diverso da quelli dei primi due, (con probabilità
uguale a
10
perché per il terzo ci sono 10 mesi “disponibili” su 12)
12
3) il mese del quarto sia diverso da quelli dei primi tre ( con probabilità uguale a
9
12
perché per il quarto ci sono 9 mesi disponibili su 12)
8
4) il mese del quinto diverso dai segni dei primi quattro ( con probabilità uguale a
12
perché per il quinto ci sono 8 mesi disponibili su 12)
La probabilità che cerchiamo per l’evento contrario è la probabilità del prodotto
logico di ( o evento composto da) questi quattro eventi e cioè è il prodotto delle
55
11 10 9
8
7920
)( )( )( ) =
=
, da cui la
144
12 12 12 12
20736
55
89
62
probabilità dell’evento che ci interessa è 1-(
)=
che è circa il
cioè il 62%.
144
144
100
probabilità dei singoli eventi citati: (
Con un ragionamento simile, si prova che è circa del 50% la probabilità che in un
gruppo di 23 studenti ve ne siano almeno due nate nello stesso giorno dell’anno.
Determiniamo la probabilità dell’evento contrario cioè che i 23 studenti siano tutti
nati in giorni diversi.
Allora (ignorando gli anni bisestili), qualunque sia la data di nascita del primo
studente,
1) la probabilità che il secondo studente sia nato in un giorno dell’anno diverso da
quello del primo è
364
365
2) la probabilità che il terzo studente sia nato in un giorno dell’anno diverso da
quelli dei primi due è
363
365
3) la probabilità che il quarto studente sia nato in un giorno dell’anno diverso da
quelli dei primi tre è
362
365
e così via…
dunque la probabilità dell’evento contrario che è l’ evento composto che tutti e 23
siano nati in giorni diversi è il prodotto logico delle probabilità elencate e cioè
(
364 363
362
343
)(
)(
) ….. (
).
365 365
365
365
ed è circa 0.493. Pertanto la probabilità dell’evento che ci interessa è circa 10.493=0.507, cioè un po’ più del 50%.
Infine si può dimostrare che basta avere 111 studenti in aula perché sia più probabile
del 50% averne due nati nello stesso giorno ed alla stessa ora di quel giorno, tenendo
conto del fatto che il 365 giorni vi sono 8760 ore.
In generale, il quadro completo della situazione è riassunto dal seguente diagramma,
dove sull’asse delle ordinate sono riportati i valori della probabilità di coincidenza
delle date dei compleanni e sull’asse delle ascisse i valori del numero di studenti su
cui si effettua il calcolo:
Molti altri “exhibits” hanno trovato posto nel percorso di matematica, alcuni di tipo
interattivo, allo scopo di invogliare il visitatore a impegnarsi in prima persona,
eventualmente con l’aiuto di una guida.
Infatti la mostra non è fatta solo per essere osservata: molte sezioni prevedono la
sperimentazione diretta delle possibili soluzioni di vari quesiti o l’interpretazione dei
fenomeni matematici selezionati.
In definitiva, al visitatore si offre una gradualità di livelli di approfondimento che
vanno da quello più elementare, rivolto ai più giovani, a quello più impegnativo,
destinato agli insegnanti.
Frequente è il caso di visitatori non più giovani che ritrovano interesse per formule,
eventi matematici e forme geometriche, di cui colgono un fascino del tutto
particolare, quello di un ritorno nostalgico a sensazioni della propria fanciullezza,
allorché erano “costretti” a parlare di numeri, operazioni, frazioni e poi di rette,
triangoli, quadrati, rettangoli, cerchi e così via.