Fluidodinamica - angelofarina.it

Francesca Faini – matr. 138922 – Lezione del 20/12/01 – ora 14:30-16:30
Fluidodinamica
Per introdurre il concetto di Fluidodinamica dobbiamo innanzitutto dire che le
sostanze si possono suddividere in tre forme di aggregazione:
_ stato solido
_ stato liquido
_ stato aeriforme
Stato solido: è lo stato di aggregazione in cui non cambiano nè il volume nè la
forma.
Stato liquido: è lo stato di aggregazione in cui cambia la forma (i liquidi, infatti,
assumono la forma del contenitore nel quale sono contenuti) ma resta invariato il
volume (sono difficilmente comprimibili).
Stato aeriforme: è lo stato di aggregazione in cui cambiano sia la forma che il
volume (hanno una comprimibilità più elevata rispetto ai liquidi).
Tutte queste categorie sono delle semplificazioni, infatti ci sono dei liquidi che
cambiano il loro volume, anche se solo in minima parte.
Tra questi tre stati che caratterizzano le sostanze quelli di cui si occupa la
fluidodinamica sono: lo Stato liquido e lo Stato aeriforme (anche se noi ci
occuperemo solo dello stato liquido).
Possiamo quindi definire la Fluidodinamica come quella scienza, che fa parte
della meccanica, che tratta il moto dei fluidi, tale moto si divide in:
Moto interno: che studia il moto dei fluidi all’interno dei condotti (tubi, canali
etc.)
Moto esterno: che studia il moto dei fluidi all’esterno dei condotti.
Una cosa molto importante da tener presente è che le equazioni della
Fluidodinamica valgono per entrambe i moti.
Il fenomeno più evidente nel moto dei fluidi è il trascinamento,quando un fluido
scorre su di una superficie le particelle del fluido sono soggette ad un Attrito viscoso.
La viscosità oltre a rappresentare la difficoltà che uno strato ha nello scorrere su
di un altro strato, rappresenta una grandezza che è legata al concetto di forza e di
velocità. Se prendiamo ad esempio l’acqua e l’olio che scorrono su di una superficie,
sicuramente l’acqua ha una velocità maggiore rispetto all’olio, in quanto l’acqua al
contrario dell’olio ha meno forze che si oppongono al suo moto.
Numericamente la viscosità è espressa dal Coefficiente di viscosità :μ , che è
definito dalla seguente espressione:
  N / m 2  sec  Pa  sec
(1)
Pa  sec  Unità di misura usata nel S.I.
Un’altra unità di misura utilizzata per la viscosità è il Poise:
1Pa  sec  10Poise
(2)
Attenzione!
Se mi viene dato il valore in Poise per ricondurmi al S.I. devo dividere tale
valore per 10.
-1-
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Legato al concetto di viscosità troviamo quello di tensione.
Per capire meglio questo concetto aiutiamoci con una rappresentazione grafica,
disegnamo un sistema con due cilindri, uno interno all’altro. Tra questi due cilindri
inseriamo il liquido che vogliamo studiare. Se ruoto il cilindro esterno, ruoterà anche
quello interno, per tenerlo fermo devo quindi applicare una forza che mi tenga fermo
il cilindro interno.
υe
LIQUIDO
υі=0
Fig.1 - Visione dall’alto dei due cilindri.
Se prendo in considerazione una minima parte dei due cilindri posso considerare
le due superfici quasi parallele e mi accorgo che : le particelle vicino alla superficie
interna restano ferme, mentre quelle a ridosso della superficie esterna partecipano al
moto del cilindro (tutto questo si può osservare in figura 2).
-2-
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Superficie esterna
Superficie interna
Fig.2- Particolare dei due cilindri.
Per ogni unità di superficie mi si verrà a creare una tensione.
 F/A
(3)
Superficie.
τ
rappresenta la tensione e ha come unità di misura il Pascal. Tale unità di
misura si ottiene facilmente:
N / m
2

 Pa
(4)
La legge di Newton dice che: la tensione è data dal rapporto tra la variazione di
velocità e il valore dell’ascissa moltiplicata per la viscosità.
  V / y  
(5)
Da queste equazioni ricaviamo che , la tensione aumenta con l’aumento della
viscosità. La legge di Newton, al contrario, definisce la variazione di viscosità μ
costante, in realtà non tutti i fluidi sono newtoniani.
-3-
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Classificazione dei fluidi:
τ
Δυ / Δy
= fluidi più viscosi (es: olio)
= fluidi meno viscosi (es: acqua)
= fluidi newtoniani
Fig.3-Grafico sulla viscosità dei fluidi.
In base a quanto abbiamo affermato possiamo classificare i fluidi secondo tre
ben distinte categorie:
_ fluidi dilatanti
_ fluidi newtoniani
_ fluidi pseudoplastici
Possiamo inoltre tracciare i grafici di tali categorie (fig.4-5-6), che ci rendono
più evidenti le differenze che si possono riscontrare tra i vari tipi di fluidi ( tali
differenze consistono nella variazione di tensione da applicare ad un fluido per farlo
spostare).
-4-
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I fluidi dilatanti, nei quali la tensione, cioè la forza da applicare per far muovere
il fluido, aumenta con l’aumento della velocità, sono ad esempio gli amidi ed i grassi
utilizzati per la produzione alimentare.
τ
Δυ / Δy
Fig.4-Grafico dei fluidi dilatanti.
I fluidi newtoniani, nei quali lo sforzo da applicare per muovere il fluido è
costante. Alcuni esempi possono essere benzina acqua.
τ
Δυ / Δy
Fig.5-Grafico dei fluidi newtoniani.
-5-
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Fluidi pseudoplastici nei quali gli sforzi da applicare diminuiscono con
l’aumento della velocità. Un esempio sono le gelatine.
τ
Δυ / Δy
Fig.6-Grafico dei fluidi pseudoplastici.
Altre proprietà del fluidi:
La massa volumica ρ [m³/Kg] è la massa m [Kg] della sostanza contenuta
nell’unità di volume V [m³]:

m
V
(6)
Il reciproco della massa volumica è il volume massico v[m³/Kg], volume V [m³]
riferito all’unità di massa m[Kg], espresso da:
v
1


V
m
(7)
La densità è il rapporto tra la massa volumica della sostanza e la massa volumica
di una sostanza di riferimento ed è quindi un numero puro, privo cioè di dimensioni.
Nel caso dei solidi e dei liquidi la massa di riferimento è rappresentata dalla massa
volumica ρ H 2O dell’acqua a 4° C:
densità 

H O
2
-6-
(8)
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Per comprimibilità di un fluido si intende la variazione della sua massa volumica
in conseguenza di una variazione della pressione.Tutti i fluidi reali (si definisce
fluido reale un fluido in cui occorre tener presente la viscosità nei calcoli) sono
comprimibili, cosicché la loro massa volumica cambierà al variare della pressione.
Tuttavia, quando la variazione della massa volumica al variare della pressione è così
piccola da potersi ritenere trascurabile, allora il fluido può essere trattato come
incomprimibile: è questo il caso dei liquidi. Al contrario, i gas possono essere
compressi con estrema facilità e, fatta eccezione per variazioni di pressione e quindi
di massa volumica molto modeste, saranno considerati comprimibili.
Quando il fluido può essere considerato incomprimibile, come nel caso delle
macchine idrauliche, la massa volumica ρ è costante: l’equazione che afferma questo
è:
  cos tan te
(9)
e viene chiamata equazione di stato perché descrive lo stato di quel particolare
fluido.
La viscosità cinematica v è il rapporto tra viscosità dinamica μ e massa volumica
ρ, si misura in m²/s ed è chiamata così perché non compare più la massa:
v


(10)
Un’unità di misura usata in passato era il centistokes pari a 1mm²/s.
Nella tabella che segue si possono ritrovare i valori tipici della viscosità
dinamica μ; della massa volumica ρ e della viscosità cinematica v di otto fluidi alla
pressione atmosferica di 101,32 Kpa e alla temperatura di 20° C.
Fluidi
Idrogeno
Aria
Benzina
Viscosità dinamica
8,9  10 6
1,8  10
5
2,9  10
4
1,0  10
3
Alcool etilico
1,2  10
3
Mercurio
1,5  10 3
Olio
0,26
Glicerina
1,5
Acqua
Massa volumica
0,084
1,20
720
999
789
13.540
930
1.263
Viscosità
cinematica.
1,06  10 4
1,51  10 5
4,03  10 7
1,01  10 6
1,51  10 6
1,16  10 7
2,79  10 4
1,19  10 3
Fig.7-Tabella con alcuni valori tipici di otto fluidi.
-7-
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Moto dei fluidi:
Il movimento di un tipo di fluido può variare da punto a punto e da istante a
istante. Il moto si dice uniforme se la velocità in un dato istante, si mantiene identica
in intensità e direzione in ciascun punto del fluido. Se, al contrario, la velocità in un
determinato istante varia da punto a punto, il moto viene definito non uniforme. Il
moto si dice stazionario quando tutte le condizioni in ciascun punto della corrente
rimangono costanti rispetto al tempo, pur potendo variare in punti diversi: quando
cioè le principali grandezze che caratterizzano il moto del fluido (velocità, pressione
e sezione trasversale del flusso) possono variare da punto a punto ma non cambiano
con il tempo. Se, al contrario, in un dato punto, le condizioni di moto cambiano al
variare del tempo, allora il moto si dice non stazionario. Il moto stazionario (o non
stazionario) e il moto uniforme (o non uniforme) possono esistere indipendentemente
l’uno dall’altro; sono quindi possibili quattro combinazioni. Così un liquido che si
muove con portata costante, in un condotto lungo e diritto di sezione costante, dà
luogo a un moto stazionario uniforme (la velocità del liquido infatti in ogni punto del
condotto e in ogni istante è la stessa); il moto di un liquido con portata costante in un
condotto conico è un moto stazionario non uniforme (essendo la portata costante, la
velocità del liquido si mantiene la stessa ad ogni istante in un determinato punto, ma
varia da punto a punto nel procedere lungo il condotto in quanto varia il diametro
della sezione). Al variare della portata del liquido i due casi precedenti diventano
rispettivamente esempi di moto non stazionario uniforme (nel condotto a sezione
costante la velocità varia da istante a istante in quanto cambia la portata, ma varia da
punto a punto nel procedere lungo l’asse del condotto, in quanto la sezione rimane
costante) e di moto non stazionario e non uniforme (è il condotto conico in cui la
velocità del liquido varia, da istante a istante, per la variazione della portata e, da
punto a punto lungo l’asse, in quanto varia la sezione del condotto).
Nel funzionamento delle macchine possiamo distinguere un periodo iniziale
transitorio, solitamente molto breve, caratterizzato da una sensibile variazione delle
grandezze, in funzione del tempo, seguito da un periodo a regime, in cui le principali
grandezze che individuano il moto del fluido si sono sensibilizzate: si sono raggiunte
così le condizioni di moto stazionario.
Nel caso del moto non uniforme, si verificano, da punto a punto, delle variazioni
del campo di moto, in modo tale che velocità, pressioni e altri fattori variano rispetto
alle tre coordinate spaziali. Ma la maggior parte dei problemi pratici può essere
trattata come se la variazione delle principali grandezze caratterizzanti il moto del
fluido avvenisse secondo una sola direzione. Definiamo così corrente
unidimensionale o monodimensionale quella in cui i principali parametri quali
velocità, pressione e quota variano soltanto lungo la direzione del flusso e non da
punto a punto di una data sezione trasversale normale al flusso. In pratica ciò
equivale a considerare tutte le proprietà del fluido – pressione, velocità e quota –
uniformi su una data sezione trasversale.
Nel caso particolare del fluido incomprimibile quale quello trattato nella
idrodinamica, occorre considerare l’equazione di stato che afferma che la sua massa
volumica ρ rimane costante.
-8-
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Esperimento di Reynolds:
Iniettando del colore all’ingresso di un tubo di vetro trasparente nel quale fluisce
dell’acqua proveniente da un serbatoio (come si può vedere in figura) si trova che se
il serbatoio è riempito con poca acqua, le particelle d’acqua che formano il
cosiddetto filetto fluido,si muovono per linee parallele.
.
Serbatoio
riempito con
poco fluido.
Colore.
Filetto fluido.
Fig.8- Esperimento di Reynolds ( caso del serbatoio con poco fluido)
Se al contrario il serbatoio è riempito con molta acqua si raggiunge una
condizione per cui il filetto fluido dapprima inizia ad oscillare, e successivamente, a
rompersi mescolandosi completamente con il resto del fluido (come si può notare
nella figura 9).
-9-
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Serbatoio
riempito con
molto fluido.
Colore.
Filetto fluido.
Fig.9-Esperimento di Reynolds (caso del serbatoio riempito con molto fluido).
Il moto del “filetto fluido” dipende dalla quantità di liquido contenuta nel
serbatoio. Si possono così avere due diversi tipi di moto:
Moto laminare: nel quale i filetti fluidi all’interno del serbatoio non si
mescolano con il resto del liquido. Ogni singola particella, infatti, continuerà il suo
moto parallelamente al serbatoio, non si verificano quindi turbolenze o
rimescolamenti.
Filetto fluido soggetto a moto laminare.
Fig.10-Rappresentazione del moto laminare.
- 10 -
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Moto turbolento: nel quale si originano turbolenze. Ogni particella assume una
traiettoria caotica e all’interno del serbatoio si verifica un forte rimescolamento.
Filetto fluido soggetto a moto turbolento.
Fig.11-Rappresentazione del moto turbolento.
Il numero di Reynolds R è il parametro che ci dice quando siamo in presenza di
moto laminare e quando di moto turbolento. Esso è funzione della massa volumica ρ,
della velocità v, della viscosità dinamica μ del fluido e di una lunghezza caratteristica
l del sistema fisico considerato (potrebbe essere il diametro del canale in cui scorre il
fluido):
R
lv

(11)
Il numero di Reynolds è un numero puro risultato del rapporto tra grandezze
aventi le stesse dimensioni:
R
Kg / m  m  m / s  Kg /m  s   Kg /m  s 
N  s  / m 
Kg  m  s  s  / m  Kg m  s 
3
2
2
2
(12)
Esso può anche essere espresso in funzione della viscosità cinematica:
R
l V
v
(13)
Da esperienze effettuate facendo scorrere liquidi diversi in tubi diritti di vario
diametro, è stato calcolato il numero di Reynolds, assumendo come lunghezza
caratteristica il diametro del tubo e, come velocità, la velocità media del liquido. Si è
visto che per valori del numero di Reynolds al di sotto di 2100 il moto è laminare, tra
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Lezione del 20/12/01 – 14:30-16:30
2100 e 4000 vi è una zona di transizione tra i due regimi, mentre al di sopra di 4000
il moto è turbolento. Questi valori del numero di Reynolds si applicano soltanto al
moto ei fluidi nei condotti, ma altri valori di R possono essere ricavati per altri tipi di
flusso, come, ad esempio, quello lungo la paletta di un compressore.
Definiamo come numero di Reynolds critico quel numero di Reynolds in
corrispondenza del quale si verifica la transizione da regime laminare a regime
turbolento.
Esercizio:
Possiamo fare un esempio per capire meglio come si può calcolare il numero di
Reynolds:
Se abbiamo un tubo di diametro di 50,8 mm all’interno del quale scorre
ammoniaca alla velocità di 21,3 m/s. L’ammoniaca ha una viscosità di
8,6  10 5 Poise e una densità di 0,7714Kg / m 3 .Qual è il numero di Reynolds?
D  50,8mm  0,0508m
W  21,3m / s
  8,6  10 5 Poise
  0,7714 Kg / m 3
Re 
21,3  0,0508  0,7714 21,3  0,0508  0,7714

 97057
0,0000086
8,6  10 6
Conservazione della massa:
Con la sola eccezione dei processi nucleari, la materia non può essere né creata
né distrutta.Applichiamo questo principio, detto di conservazione della massa, al
moto di un fluido in un condotto, nel quale individuiamo la sezione 1 come la
sezione di ingresso del fluido e la sezione 2 come la sezione d’uscita. Facciamo
anzitutto l’ipotesi che il moto sia stazionario: in tal caso, la massa di fluido che si
trova tra le due sezioni considerate del condotto rimane costante (non abbiamo cioè
né accumuli né fughe di fluido, ma la quantità di fluido che entra è uguale alla
quantità di fluido che esce). Immaginiamo poi che la velocità del fluido all’interno
del condotto sia, per l’ipotesi unidimensionale, uguale su tutti i punti di una stessa
sezione trasversale e diretta normalmente a questa. In altre parole, la velocità del
fluido è diretta normalmente alla sezioni di ingresso 1 e di uscita 2 (figura 12); il
fluido può quindi entrare da 1 e uscire da 2, ma non può né entrare né uscire dalla
superficie laterale, poiché la sua velocità è diretta tangenzialmente alle pareti del
condotto.
- 12 -
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A2
A1
Fig.12-Rappresentazione del moto del fluido.
Sotto le due ipotesi di moto stazionario (la quantità di fluido che entra nel
condotto è uguale a quella che esce) e di corrente unidimensionale (la velocità del
fluido - cioè la velocità media che abbiamo definito precedentemente – è costante
sulle sezioni trasversali del condotto ed è diretta normalmente a queste) possiamo
scrivere che la portata in massa m vale:
portata in massa
del fluido che esce
dalla sezione 2
m   1 A1 v1   2 A2 v 2  Av
portata in
massa del fluido
in una generica sezione.
(14)
portata in massa
del fluido che entra
nella sezione 1
Nell’equazione (14) che prende il nome di equazione unidimensionale di
continuità, m è la portata in massa di fluido che passa nel condotto: tale portata m
deve essere uguale alla portata di fluido che entra nella sezione 1, di area trasversale
A1 con velocità v1 diretta normalmente a questa sezione e con massa volumica 1 ;la
portata m deve essere poi uguale alla portata di fluido che esce dalla sezione 2, di
area trasversale A2 con velocità v2 diretta normalmente ad A2 e con massa volumica
2 .
Nel caso di un fluido incomprimibile come l’acqua, la massa volumica non
cambia nel passare dalla sezione 1 alla sezione 2; ciò equivale a dire che la portata in
volume è costante.
- 13 -
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Energia di un fluido in movimento:
Allo stesso modo di quanto avviene per un corpo solido, l’elemento di fluido di
massa m che si muove lungo un condotto (come si vede in figura13) possiede
un’energia potenziale (originata dal fatto di trovarsi a una determinata quota z
valutata rispetto ad un piano di riferimento) e un’energia cinetica (determinata dalla
sua velocità v).
z
v
P
P’
O
mg
O’
Livello di riferimento
Fig.13-Energia di un fluido in moto.
L’elemento di fluido di massa m [kg], che si trova soggetto all’azione
dell’accelerazione di gravità g [m/s²], dà origine a una forza: è la forza peso mg [N];
questa forza moltiplicata per lo spostamento z [m], che potrebbe subire l’elemento
qualora fosse portato dalla quota attuale al livello di riferimento, dà origine a
un’energia [N m=J]che prende il nome di energia potenziale, in quanto è energia
posseduta dall’elemento di fluido in potenza: diviene cioè attuale soltanto quando si
realizza la variazione di quota z. L’espressione dell’energia potenziale posseduta
dall’elemento di fluido di massa m, situato alla quota z e soggetto all’accelerazione
di gravità g, è data da:
Energia potenziale mgz
(15)
L’energia potenziale è quindi data dal prodotto della forza peso mg per lo
spostamento z, che è la distanza del baricentro dell’elemento di fluido considerato
rispetto al livello di riferimento. Nota la velocità v dell’elemento di fluido di massa
m (figura13), l’energia cinetica è espressa da:

 

Energia cinetica  Kg   m 2 / s 2  Kg  m / s 2   m  N  m   J 
e, in unità di misura, da:
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(16)
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
 

Energia cinetica  Kg   m 2 / s 2  Kg  m / s 2   m  N  m   J 
(17)
Oltre a considerare le due energie appena citate, dobbiamo tenere presente che
l’elemento di fluido, che si sposta in modo stazionario dalla sezione OP alla sezione
O’P’ , compie anche un lavoro in virtù della sua pressione. Infatti sulla sezione
trasversale OP la pressione genera una forza che, spostandosi la sezione in avanti a
seguito del movimento del fluido, genera un lavoro. Se indichiamo con p la pressione
nella sezione trasversale OP di area A, la forza F che si esercita su questa sezione è
pari a F=pA. Lo spostamento dell’elemento di massa m, che si muove lungo un
filetto fluido, dalla sezione OP alla sezione O’P’ è pari al rapporto tra volume V e
area A; il volume V a sua volta si ricava come rapporto tra massa m e massa
volumica p.
Spostamento 
Lunghezza   V  m / 
Lunghezza  A A
3
(18)
2
Il prodotto della forza pA per lo spostamento (m/p)A è il lavoro del flusso,
chiamato di solito energia di pressione, effettuato dalla pressione per spingere per
spingere la massa di fluido attraverso la sezione:
Energia di pressione  pA
m/ 
p
m
A

(19)
L’energia di pressione si misura in J al pari delle altre due energie potenziale e
cinetica considerate prima:
Energia di pressione  Kg 
Pa
Kg / m 
3
 Kg 
N / m   N  m  J 
Kg / m 
2
3
(20)
Il concetto di energia di pressione non è di facile comprensione. Nella meccanica
dei corpi solidi, un corpo è libero di cambiare la sua velocità, nel senso che la sua
energia potenziale può essere liberamente convertita in energia cinetica allorché la
quota diminuisce. Non così in una corrente di fluido, dove la velocità deve soddisfare
l’equazione di portata, funzione della sezione trasversale della corrente. Se ad
esempio, un fluido incomprimibile come l’acqua scorre in un tubo a sezione costante
inclinato, la sua velocità non può cambiare. Perciò l’energia potenziale che, al
diminuire della quota, non riesce a convertirsi in energia cinetica, appare sotto forma
di aumento di pressione.
Conservazione dell’energia. Equazione di Bernoulli:
Facciamo l’ipotesi che, nel moto del fluido incomprimibile, non vi siano perdite
di energia dovute agli attriti. Allora, per il principio di conservazione dell’energia, la
somma delle tre forme di energia (potenziale, cinetica e di pressione) espresse dalle
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Lezione del 20/12/01 – 14:30-16:30
equazioni (15)-(16)-(17) , è una costante; l’energia totale cioè rimane costante, anche
se la ripartizione tra le diverse forme di energia può variare a mano a mano che il
fluido si sposta lungo il condotto. Possiamo perciò scrivere:
m
p

m
v2
 mgz  cos tan te
2
(21)
dove:
p
m  energia di pressione.

m
v2
 energia cinetica.
2
mgz  energia potenziale.
Più spesso si considera un’energia riferita all’unità di massa oppure all’unità di
peso: si indica con e l’energia totale per unità di massa e con H l’energia totale per
unità di peso; si passa da e a H moltiplicando quest’ultimo per l’accelerazione di
gravità g:
e  gH
(22)
Dividendo l’equazione (21) per la massa m, si ottiene l’espressione del principio
di conservazione dell’energia massica (per unità di massa):
p


v2
 gz  e
2
(23)
Dividendo invece l’equazione (21) per la forza peso mg (prodotto della massa m
per l’accelerazione di gravità g), si ottiene l’espressione della conservazione
dell’energia in termini di energia riferita all’unità di peso:
p
v2

zH
g 2 g
(24)
L’unità di misura dei singoli membri dell’equazione (24) è espressa da J (joule,
unità di misura dell’energia oppure del lavoro) diviso per N (newton, unità di misura
della forza; il peso è una forza)o anche, più semplicemente, da m (metri), in quanto,
essendo il lavoro dato dal prodotto della forza per la lunghezza, quando si divide un
lavoro per una forza si ottiene una lunghezza. E’ per questo che ciascun membro
dell’equazione (24) viene indicato con il nome di altezza (è infatti l’altezza di una
colonna di fluido espressa in metri)oppure, più spesso, di carico e precisamente:
- 16 -
Lezione del 20/12/01 – 14:30-16:30
carico di pressione o carico piezometrico 
carico cinetico 
p
g
v2
2g
carico geodetico  z
quota piezometrica  z 
p
g
carico totale del fluido o anche carico idraulico totale =H
L’equazione (24) è l’equazione di Bernoulli : essa dice che, nel moto stazionario
di un liquido senza attrito, l’energia totale H per unità di peso rimane costante, anche
se la distribuzione tra le diverse forme di energia può variare da punto a punto.
L’equazione (24), scritta tra le due sezioni 1 e 2 del condotto (figura 13), diviene:
p
p
v2
v2

z 

z
g 2 g
g

2
g
1
2
carico del liquido
che entra nella
sezione 1
H 1 m
(25)
carico del liquido
che entra nella
sezione 2
H 2 m
o più semplicemente:
(26)
H1  H 2
Essendo infatti il carico idraulico totale H costante, il valore che questo assume
sulla sezione 1, deve essere uguale al valore che esso ha sulla sezione 2.Possiamo
adesso riscrivere l’equazione (25), precisando i valori che pressione, velocità e quota
assumono sulle sezioni considerate (la massa volumica ρ rimane invariata in quanto ,
trattandosi di un fluido incomprimibile, essa assume lo stesso valore sulle due
sezioni):
p1 v12
p
v2

 z1  2  2  z 2
g 2 g
g 2 g
(27)
Portando tutti i termini al secondo membro, si vedono le tre diverse differenze
che compaiono nell’equazione di Bernoulli:
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Lezione del 20/12/01 – 14:30-16:30
p 2  p1 v 22  v12

  z 2  z1   0
g
2g
(28)
L’equazione (26) è stata scritta nell’ipotesi che tra le sezioni 1 e 2 non venga
fornita energia al fluido né gliene venga sottratta. Si potrebbe fornire energia al
fluido introducendo tra le due sezioni una pompa; parimenti potrebbe essere sottratta
energia come lavoro perso per superare gli attriti che si oppongono al moto del fluido
reale, oppure come lavoro effettuato dal fluido in una turbina. L’equazione di
Bernoulli può essere così generalizzata in tre casi:
Caso del serbatoio:
z
Z=0
Fig.14-Rappresentazione del caso del serbatoio.
In tal caso l’equazione di Bernoulli diventa:
 W2 2 1atm  
1atm 

 0  R

  0  z 1 g 
  
 
 2
<0
Caso del tubo a sezione costante:
E’ il caso in cui si verifica un incremento di pressione.
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(29)
Lezione del 20/12/01 – 14:30-16:30
Pompa (L<0)
Fig.15-Rappresentazione del caso del tubo a sezione costante.
In questo caso l’equazione di Bernoulli diventa:
2
 W2 2
p 2   W1 
p 
 gz 2 
 gz1  1    L  R


   2
 
 2
Sapendo che : gz1  gz 2
L’equazione si semplifica e ottengo:
p 2  p1

 L  R
(30)
(31)
E’ trascurabile.
Caso del rubinetto parzialmente chiuso:
E’ il caso in cui si verifica una diminuzione di pressione.
1
2
Rubinetto parzialmente chiuso
Fig.16-Rappresentazione del caso del rubinetto parzialmente chiuso.
In questo caso l’equazione diventa:
p 2  p1

 R
(32)
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