esercizi_utilità_attesa_assicurazione_rischio

Esercizi svolti utilità attesa e rischio
Esercizio1.
La ricchezza iniziale dei consumatori A e B è zero. Le loro preferenze per il consumo certo sono
rappresentate dalle funzioni di utilità: uA(cA) = 2cA
uB(cB) = cB1/4
Il consumo condizionato di A e B è generato dalla lotteria L, con premi L1 ≠ L2, negli stati 1 e 2 ,
che si manifestano con probabilità π e (1 – π), rispettivamente. Le loro preferenze per il consumo
condizionato soddisfano la proprietà dell’utilità attesa.
Quale delle seguenti affermazioni è errata?
a.
b.
c.
d.
L’avversione al rischio per A è minore che per B
|MRSA| < |MRSB|
se c1B < c2B
A
B
|MRS | > |MRS |
se c1B > c2B
Le preferenze di A per il consumo condizionato sono debolmente convesse, quelle di B sono
strettamente convesse
e. L’equivalente certo di una lotteria L per A è minore dell’equivalente certo della stessa
lotteria L per B
f. Nessuna
Esercizio 2
La ricchezza iniziale certa del consumatore A è W = 8. Le sue preferenze per il consumo certo
sono rappresentate dalla funzione di utilità: uA(cA) = log(cA).
A può ottenere una frazione α di una lotteria L, dove 1 ≥ α ≥ 0 e L offre il premio L1 = − 4 con
probabilità ½ e il premio L2 = 8 con probabilità ½ .
Determinare la quota ottimale α di partecipazione alla lotteria.
Il consumo condizionato corrispondente alla quota α della lotteria è
c1(α) = W1 – 4α
c2(α) = W2 + 8α
Il vincolo di bilancio che esprime le possibilità di trasferimento del consumo fra i due stati 1 e 2, in
relazione alla dimensione della quota α è espresso dalla relazione:
[c ( )  w ] 8

 2
[c ( )  w ] 4
2
2
1
1
La pendenza della retta di bilancio è pertanto – 2.
L’utilità attesa di A è EUA = ½ uA(c1(α)) + ½ uA(c2(α)). Ricordando che u(c) = log(c) e che la
derivata di log(c) è 1/c, possiamo scrivere:
| MRSA| = [½ u’A(c1(α))] /[ ½ u’A(c2(α))] = (c2(α)) / (c1(α)) =
8  8
8  4
La condizione di scelta ottima interna prevede la condizione di 1° ordine:
|MRS| = |pendenza retta di bilancio|
2(1 + α) = 2 (2 − α)
(1 + α) = (2 − α)
2α = 1
α=½
cioè:
8  8
=2
8  4
Esercizio 3
La ricchezza iniziale dei consumatori A e B è zero. Le loro preferenze per il consumo certo sono
rappresentate dalle funzioni di utilità: uA(cA) = 2cA
uB(cB) = cB1/2 . A e B si dividono le
vincite di una lotteria L, che offre il premio L1 = 4 con probabilità ½ e il premio L2 = 16 con
probabilità ½ .
Quale fra le seguenti assegnazioni di premi a B (ed il rimanente ad A) corrisponde ad una
ripartizione Pareto efficiente del rischio fra A e B?
a. L1B = 1 L2B = 13
b. L1B = 2 L2B = 8
c. L1B = 3 L2B = 3
d. Nessuna
A è neutrale al rischio, B è avverso al rischio. Se la ripartizione del rischio è Pareto efficiente, tutto il
rischio deve ricadere su A. Pertanto la risposta corretta è c.
Esercizio 4
Il consumatore A ha ricchezza iniziale W = 1200 Euro, le sue preferenze per
il consumo condizionato rispettano la forma dell'utilità attesa, e la sua funzione di utilità per il
consumo certo è u(c) = c½. Ad A viene offerta la scelta alternativa fra una somma certa C, oppure
un investimento B dal costo di 300 Euro, che ha un valore 700 nello stato G ed un valore zero nello
stato B. La probabilità dei due stati è ½, ½. A quale delle seguenti condizioni A decide di effettuare
l’investimento B?
a. C < 25
b. C < 35
c. C > 25
d. C < 40
e. Nessuna risposta
L’utilità attesa dell’ investimento B è:
EU(W +B) = ½[cG]1/2 + ½[cB]1/2 =
½( 1200 – 300 + 700)1/2 + ½ (1200 − 300)1/2 = ½ 40 + ½ 30 = 35
L’equivalente certo dell’investimento B e la somma certa x tale che
u(W + x) = (W + x)1/2 = EU(W + B) = 35
W + x = 352 = 1225
CE(B) = x = 1225 – W = 25
Nel caso c. A preferisce certamente la somma certa C a B. Ciò potrà accadere anche nei casi b. e d.
La risposta corretta è a.
Esercizio 5
Il consumatore A ha ricchezza iniziale W = 121 Euro, le sue preferenze per
il consumo condizionato rispettano la forma dell'utilità attesa, e la sua
½
funzione di utilità per il consumo certo è u(c) = 2c . Egli ha l'opportunità di
partecipare ad una lotteria L che offre il premio di 23 Euro con
probabilità ½ e la perdita - 21 Euro con probabilità ½. Definendo αL
la lotteria che offre 23α con probabilità ½ e (−21α) con probabilità
½, quale delle seguenti quote delle lotteria L il consumatore A decide
sicuramente di accettare e perché?
a. α = 1
b. α = 0
c. α = 2
d. 0 < α < 1
e. nessuna delle altre risposte
Si osservi innanzitutto che la quota α = 1, genera il consumo condizionato (W + L), la quota α = 0
genera il consumo condizionato W (tale che W1 = W2).
L’utilità attesa di accettare la quota α della lotteria è:
EU(W + αL) = ½ 2[121 + α23]1/2 + ½ 2[121 − α21]1/2 = [121 + α23]1/2 + [121 − α21]1/2
Semplici calcoli mostrano che EU(W + L) = U(W); il consumatore è indifferente fra la quota α = 1
e la quota α = 0. Cioè l’equivalente certo di W + L è CE = W.
Valori di α tali che 0 < α < 1 generano panieri di consumo condizionato intermedi rispetto ai
panieri W e W + L. Poiché il consumatore è avverso al rischio a preferenze per il consumo
condizionato strettamente convesse. Il consumatore è sicuramente disposto ad accettare quote α di
L comprese nell’intervallo 0 < α < 1, perché esse corrispondono a panieri di consumo condizionato
strettamente preferiti sia a W che a W + L.
Il consumatore non è sicuramente disposto ad accettare quote α di L
tali che α > 1, perché tali quote comportano un rischio maggiore rispetto a L, cioè panieri ‘più
estremi’. Pertanto la risposta corretta è d. Nuovo esercizio svolto su assicurazione del rischio Esiste una probabilità p = ¼ che la ricchezza W = 12000 dell’agente A subisca un danno D = 11000.
A può assicurare il valore K ≤ W pagando un premio γK, dove il valore unitario γ del premio fissato
dall’assicurazione è γ = ½ . La funzione d’utilità per il consumo certo di A è UA = 4c1/2. Le
preferenze di A per il consumo condizionato soddisfano la proprietà dell’utilità attesa. Quale valore
K viene assicurato da A?
Se definiamo cb il consumo condizionato all’evento b in cui si manifesta il danno D e definiamo cg
il consumo condizionato all’evento g (il danno non si verifica), allora il paniere rischioso (Wb , Wg)
= (1000, 12000) corrisponde alla decisone del soggetto di non assicurarsi (K = 0).
Assicurando un valore K e pagando un premio γK, il soggetto può trasferire potere d’acquisto dal
consumo in g, cg, al consumo in b, cb.
cg = Wg − γK
cb = Wb + K – γK = Wb + (1 – γ)K
cg − Wg = − γK
cb − Wb = (1 – γ)K
(1)
(2)
dividendo membro a membro le equazioni (1) e (2):
(cg − Wg ) / ( cb − Wb ) = − γK / (1 – γ)K = − γ / (1 – γ) = pendenza retta di bilancio
Essendo γ = ½ > probabilità del danno, il premio non è equo e il soggetto vorrà assicurare un
valore inferiore a D.
− γ / (1 – γ) = − 1
(cg − Wg ) / ( cb − Wb ) = − γ / (1 – γ) = − 1
La condizione di 1° ordine per scelta ottma interna è MRS = − γ / (1 – γ)
|MRS| = [¼ • 2 • cb −1/2] / [3/4 • 2 • cg −1/2] = 1
[cb −1/2] / [3 • cg −1/2] = 1
cg / cb = 9
cg 1/2 / 3 • cb 1/2 = 1
cg 1/2 / cb 1/2 = 3
cg = 9 cb
dal vincolo di bilancio (cg − Wg ) / ( cb − Wb ) = − 1
(cg − 12000 ) / ( cb − 1000) = − 1
cg − 12000 = 1000 − cb
cg + cb = 13000
9 cb + cb = 10 cb = 13000
cb = 1300 = Wb + (1 − γ)K = 1000 • ½ K
½ K = 1300 – 1000 = 300
K = 600
cb = 1300
1) La ricchezza di Anna è W1 = 200 se si verifica lo stato 1, W2 = 400 se si verifica lo stato 2. I due
stati si verificano con probabilità ¼ , ¾ . La sua funzione di utilità per il consumo certo è U(c) =
3c1/2 e il prezzo monetario di c è identico (p=1) nei due stati. Pagando un premio γ = ¼ per ogni
Euro assicurato, Anna è in grado di trasferire ricchezza dallo stato 2 allo stato 1 al tasso:
(– dW2 / dW1) = γ / (1 – γ) = 1/3. Se Anna acquista la quantità ottima d’assicurazione, a quanto
ammonta il suo consumo nello stato 1?
a. 175
b. 225
c. 375
d. 360
e. nessuna delle altre risposte
soluzione: la probabilità dello stato in cui si verifica il danno è ¼ che risulta essere anche il premio
γ = ¼ per ogni Euro assicurato. Pertanto il premio è equo ed essendo Anna avversa al rischio, la
sua scelta ottimale è di assicurare un valore K uguale all’intero valore del danno D. Cioè K = D =
= W2 – W1 = 200. Pertanto C1 = W1 + K – γK = 350 =C2 = W2 – γK. La risposta è e.
2) La ricchezza dei consumatori A e B è 400 Euro. Le loro funzioni d’utilità per il consumo certo
sono, rispettivamente, UA = c1/2, UB = c. Le preferenze di A e B per il consumo condizionato
soddisfano la proprietà dell’utilità attesa. Ad A viene proposta la lotteria L, che genera la perdita
−300 Euro, se si verifica lo stato 1, con probabilità 9/10, ed il premio 9600, se si verifica lo stato 2 ,
con probabilità 1/10. A decide razionalmente di non sostenere per intero il rischio di L, ma cede L
a B. In cambio, B pagherà ad A 600 Euro, se si verifica lo stato 2, e x Euro, se si verifica lo stato 1.
A quanto deve ammontare la somma x, affinché la ripartizione del rischio fra A e B sia Pareto
efficiente?
a) 0
b) 600
c) 400
d) 250
e) nessuna delle altre risposte
soluzione: A è avverso al rischio, B è neutrale al rischio. Poiché una ripartizione Pareto efficiente
del rischio comporta MRSA = MRSB, ne deriva che tutto il rischio è sopportato da B, mentre A non
ne sopporta alcuno; cioè C1A = C2A : il consumo di A nello stato 1 deve essere uguale al consumo
di A nello stato 2. Poiché C2A = 400 + 600; C1A = 400 + x; pertanto, x = 600.
 
 
9
 1/ 2  C1A
Infatti, da MRSA = MRSB otteniamo: MRS A  10
1
 1/ 2  C 2A
10
Da cui segue C1A / C2A = 1.
1/ 2
1/ 2
9
 MRS B  10
1
10
Esercizio svolto sulla ripartizione del rischio
1.
A e B hanno ricchezza iniziale certa WA = 100 e WB = 0, rispettivamente. A seguito di un accordo
per la suddivisione dei pay-off di una lotteria L, la ricchezza di A è W1A = WA + L1A se si verifica
lo stato 1, e W2A = WA + L2A, se si verifica lo stato 2; la ricchezza di B è W1B = L1B, se si verifica
lo stato 1, e W2B = L2B, se si verifica lo stato 2. Gli stati 1 e 2 si manifestano con probabilità π1 = 1/3
e π2 = 2/3. Sapendo che A è neutrale al rischio, e che B è avverso al rischio, la ripartizione delle
vincite tale che L1A = 150 e L2A = 0 è Pareto efficiente?
Poiché A è neutrale al rischio le sue preferenze per il consumo certo possono essere rappresentate
da una funzione di utilità lineare del tipo uA(cA) = cA. Ne consegue che la sua utilità attesa per il
consumo condizionato ha la forma EUA = π1 c1 + π2 c2. MRSA = π1 / π2 = (1/3) / (2/3) = ½.
La condizione necessaria ad una ripartizione Pareto Efficiente del rischio fra A e B è:
½ = | MRSA| = | MRSB |. Poiché B è avverso al rischio, | MRSB | = ½ solo in corrispondenza dei
panieri di consumo condizionato tali che c1B = c2B, cioè che si trovano sulla sua retta del consumo
certo di B. Tutto il rischio deve essere assunto da A. Se le vincite di A sono L1A = 150 e L2A = 0, le
vincite di B sono L1B = 250 = W1B e L2B = 250 = W2B.
La ricchezza condizionata di A diviene: W1A = WA + L1A = 250 con probabilità 1/3 e W2A = WA +
L2A = 100 con probabilità 2/3.
1.
Se nel caso precedente ipotizziamo che la lotteria sia inizialmente offerta a B (avverso al rischio),
che decide di rivenderla ad A (neutrale al rischio), quale è il massimo prezzo P che A è disposto a
pagare per L?
Si tratta di individuare il prezzo di riserva di A per la lotteria, cioè il prezzo P al quale A è
indifferente se acquistare o non acquistare L. Tale prezzo è definito da:
uA(WA) = 1/3 • uA(WA − P + L1) + 2/3 • uA(WA − P + L2)
essendo WA = 100
L1 = 400
L2 = 250
uA(cA) = cA
uA(100) = 100 = 1/3 • (100 − P + 400) + 2/3 • (100 − P + 250)
P = [500/3
+
700/3] − 100 =
300
Se A acquista L al su prezzo di riserva P ottiene W1A = 200
B ottiene W1B = 300 W2B = 300.
W2A = 50
Il valore dell’informazione sul mercato finanziario (Varian 12)
La recente crisi economica induce una famiglia a riesaminare i suoi investimenti finanziari. Viene
venduto un immobile di proprietà sul quale si era investito e si valuta come reinvestire la somma
ricavata. La famiglia ha davanti a se due opportunità di investimento, una a rendimento certo, un
conto di deposito C, l’altra più incerta ma potenzialmente più remunerativa, una attività finanziaria
A. Con la somma a disposizione, C garantisce un rendimento mensile di 400 Euro, mentre A
potrebbe rendere 2000 con probabilità ½, se il mercato è in rialzo, oppure 100 con probabilità ½,
quando il mercato è in ribasso.
Se la famiglia ha un funzione di utilità U=60-4000/C, quale scelta opererà utilizzando il criterio
dell’utilità attesa?
L’utilità di C è indipendente dall’andamento del mercato U(400)=50.
L’utilità di A dipende dall’andamento del mercato. L’utilità attesa è pari a ½ U(2000) + ½ U (100)
= 39. Quindi conviene investire in C. (Si noti che ciò accade nonostante il valore atteso di A sia
pari a 1050, ma la famiglia è avversa al rischio)
Comunque attratta dalla possibilità dell’alto rendimento mensile legato all’attività finanziaria, la
famiglia valuta l’opportunità di raccogliere informazioni sull’andamento atteso del rendimento di
A. Supponiamo che vi sia la possibilità di acquistare la newsletter di un centro di ricerca molto
affidabile che fornisce informazione finanziaria. Il costo della newsletter é 10 Euro, e la sua lettura
consente di conoscere se l’andamento del mercato sia in rialzo o meno.
La famiglia sarà disposta ad acquistare la newsletter?
L’acquisto dell’abbonamento può dare due esiti, entrambi con probabilità ½. Si può scoprire che il
mercato è ribassista, nel qual caso investire in C fa ottenere U(400-10)=49,7. Oppure si può
scoprire che il mercato è rialzista, nel qual caso investire in A fa ottenere U(2000-10)=57,9.
L’utilità attesa dell’acquisto dell’informazione è ½ 49,7 + ½ 57,9 = 53,9.
Confrontando questo valore con l’utilità della scelta migliore nel caso non sia possibile acquistare
informazioni la famiglia decide di abbonarsi prima di effettuare la sua scelta.
Un metodo alternativo per determinare se la famiglia acquisterà la newsletter è il confronto fra il
prezzo effettivo p e il prezzo massimo pR che la famiglia è disposta a pagare.
Per determinare pR osserviamo che conviene acquistare l’informazione fino a quando l’utilità attesa
che ne deriva è maggiore o uguale a quella che si può ottenere senza acquistare l’informazione.
Quindi pR è determinato dalla condizione: ½ U(400 – pR) + ½ U (2000 - pR) = 50.
Si noti infine: una informazione non ha valore economico per un soggetto se il suo acquisto non
può influenzare la sua decisione. Ad esempio, se i valori attesi di A fossero 2000 e 250 si può
calcolare che l’utilità attesa di A è pari a 51. A prescindere da quale informazione possa ottenere
dopo l’acquisto, secondo questo ragionamento la famiglia non avrà mai utilità attesa maggiore
dall’acquistare C.
January 24, 2013
La ricchezza iniziale di A e B è zero. Le funzioni di utilità per il consumo
certo sono uA = 2c1=2 e uB = 4c1=4 . Le preferenze di A e B per il consumo condizionato soddisfano la proprietà dell’utilità attesa. A e B partecipano alla lotteria L ripartendosi le vincite che sono: L1=300 con probabilità 1/3 e L2=1600
con probabilità 2/3. Le quote di partecipazione di A e di B alle vincite soddisfano: L1=L1a+L1b ; L2=L2a+L2b. Il costo di partecipare alla lotteria è 0, la
ripartizione del rischio è pareto e¢ ciente e L2a/L1a=8 calcolare il valore delle
vincite L1a, L1b, L2a ,L2b.
condizione di Pareto e¢ cienza: M RS A = M RS B
M RS A = 1=3(L1A)
2=3(L2A)
1=3(L1B)
M RS B = 2=3(L2B)
da cui
cioè
L2B 3=4
L1B 3=4
L2B 3=4
L1A
=
1=2
1=2
3=4
3=4
1=2
= (1=2) L2A
=
L1A1=2
3=4
= (1=2) L2B
L1B 3=4
L2B 3=4
L1A
=
L2A1=2
L1A1=2
= 81=2 = 23=2 dato che L2A = 8L1A
= 23=2
elevando l’uguaglianza alla potenza 2/3 otteniamo
L2B 1=2
L2B
= 2 cioè L1B
=4
L1B
L1A + L1B = 300
L2A + L2B = 1600 = 8L1A + 4L1B
400 = 2L1A + L1B = 2L1A + 300 L1A
L1A = 100
L2A = 800
L1B = 200
L2B = 800
1
ESEMPI DI DOMANDE per la prova scritta dell’esame di Microeconomia.
Una sola delle cinque risposte fornite per ogni domanda è corretta.
1. Un certo soggetto può partecipare alla lotteria che assegna una vincita c1 = 64 con probabilità 1/2
e c2 = 16 con probabilità 1/2. La funzione di utilità dell’agente A per il consumo certo c è: U(c) =
3c1/2 . Indicare rispettivamente il valore atteso della lotteria e l’utilità attesa della lotteria
a) VA=18, U(L)=18
b) VA=40, U(L)=40
c) VA=40, U(L)=18
d) VA=18, U(L)=40
e) nessuna delle altre risposte indicate è corretta
2. Cosa si intende per equivalente certo di una lotteria?
a) il valore atteso della lotteria
b) l’utilità attesa della lotteria
c) la somma di denaro la cui utilità e pari all’utilità attesa della lotteria
d) l’utilità del valore atteso della lotteria
e) nessuna delle altre risposte indicate e corretta
3. L’agente economico dell’esercizio 1 può scegliere di ricevere una somma c con certezza oppure
partecipare alla lotteria che assegna una vincita c1 = 64 con probabilità 1/2 e c2 = 16 con probabilità
1/2. Quale sarà la sua decisione?
a) partecipare alla lotteria se c < 40
b) non partecipare alla lotteria, qualunque c gli venga offerto
c) partecipare comunque alla lotteria perché propenso al rischio
d) partecipare alla lotteria se c < 36
e) nessuna delle altre risposte indicate è corretta
4. Cosa si intende per premio per il rischio?
a) Il premio per il rischio è la soddisfazione che un soggetto riceve dalla partecipazione ad una
lotteria
b) Il premio per il rischio e la somma di denaro che misura la rischiosità della lotteria rispetto
al suo valore minimo, data una certa funzione di utilità
c) Il premio per il rischio e la somma di denaro che misura la rischiosità della lotteria rispetto
al suo valore massimo, data una certa funzione di utilità
d) Il premio per il rischio e la somma di denaro che misura la rischiosità della lotteria rispetto
al suo equivalente certo, data una certa funzione di utilità
e) nessuna delle altre risposte indicate è corretta
5. Un venditore di computer sta aspettando l’arrivo di un carico di microchips da giorni. Ritiene che
ci sia ormai una percentuale solo del 25% di probabilità che finalmente domani la spedizione arrivi.
Se la spedizione arriva davvero domani potrà portare a termine i suoi progetti di commercio e
guadagnare 1600 Euro per ogni microchip. Altrimenti non potrà rispettare il contratto e guadagnerà
zero. L’agente ha una funzione di utilità attesa von Neumann-Morgenstern e vuole massimizzare il
valore atteso di w1/2, con w che indica i suoi guadagni unitari. Un amico gli offre oggi di acquistare i
suoi diritti sul carico. Quale e il prezzo minimo al quale l’agente sarà disposto a cedere i diritti su
ogni microchip in arrivo all’amico?
a) 1600
b) 400
c) 100
d) 40
e) nessuna della altre risposte indicate è corretta
6. Il venditore dell’esercizio 5 e decisamente preoccupato dall’eventualità di non poter portare a
buon fine il suo progetto di commercio (ricordiamo che la probabilità che il carico non arrivi e
ormai del 75%). Valuta quindi la possibilità di assicurarsi contro questa possibilità. Quale è il
premio assicurativo massimo che sarebbe disposto a pagare per ogni microchip?
a) 1600
b) 1500
c) 400
d) zero
e) nessuna delle altre risposte indicate e corretta
SOLUZIONI
1. C
2. C
3. D
4. D
5. C
6. B