Funzione di trasferimento

2
Capitolo
La funzione di trasferimento
2.1 Funzione di trasferimento di un sistema.
2.2 L-trasformazione dei componenti R - L - C
2.2 Determinazione delle f.d.t. di circuiti elettrici.
2.3 Risposta al gradino
La funzione di trasferimento
2.1 Funzione di trasferimento di un sistema
2.1.1 Definizione
La f.d.t. viene definita come rapporto della trasformata di Laplace del segnale
d’uscita U(s) e quello d’ingresso E(s).
E(s)= L[e(t)]
U(s)= L[u(t)]
f.d.t. = G(s) =
U(s)
E(s)
2.1.2 Utilità della f.d.t.
Dalla f.d.t. è possibile trarre informazioni:
•
sul comportamento del sistema nel dominio della frequenza (vedi diagramma di Bode e
Nyquist)
•
sulla sua stabilità (vedi metodo di Nyquist, Bode)
•
sulla risposta di una rete a segnali di tipo diversi, ad es.
U(s) = G(s) ⋅ E(s)
u(t) = L - 1 [U(s)]
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II-31
La funzione di trasferimento
2.1.3 Caratteristiche della f.d.t.
•
La f.d.t. o G(s) è indipendente dal segnale che si applica all’ingresso.
•
E’ una caratteristica del sistema (ogni sistema ha la sua f.d.t.)
•
Per i circuiti elettrici, essendo i segnali di ingresso e di uscita tensioni o correnti si ha che la
G(S) può essere:
− un’impedenza se u(t) è una tensione ed e(t) una corrente
− un’ammettenza se u(t) è una corrente ed e(t) una tensione;
− un numero puro se rappresenta il rapporto tra tensioni o correnti.
•
La f.d.t. essendo una funzione complessa è caratterizzata da un modulo e da una fase.
− il modulo corrisponde al guadagno o attenuazione del sistema
− la fase corrisponde allo sfasamento dell’uscita rispetto all’ingresso
•
la f.d.t. coincide con l’uscita U(s), nella variabile s, di un sistema quando all’ingresso è
applicato un impulso unitario δ (t ) (delta di Dirac).
U(s) = δ(s) = G(s) ⋅ 1 = G(s)
u(t) = L-1 [U(s)]
•
La f.d.t. in generale è data dal rapporto di due polinomi in s.
a m s m + a m −1 s m −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 s + a 0
G ( s) =
bn s n + bn −1 s n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b1 s + b0
con m ≤ n
2.1.4 Poli e Zeri
−
Gli zeri sono i valori della variabile s che annullano il numeratore
−
−
I poli sono i valori della variabile s che annullano il denominatore.
I poli e zeri sono le singolarità della f.d.t.
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della G(s).
II-32
La funzione di trasferimento
2.1.5 Forme della f.d.t.
La f.d.t., oltre alla forma di funzione razionale (o rapporto tra due polinomi), può assumere le
altre forme:
•
forma in cui compaiono poli e zeri
G(s) = K 0
•
(s − z1 )(s − z 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (s − z m )
(s − p1 )(s − p 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (s − p n )
con K 0 =
am
bn
forma in cui compaiono le costanti di tempo (detta anche forma normale)
G(s) =
K(1 + sτ z1 )(1 + sτ z2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (1 + sτ zm )
s g (1 + sτ p1 )(1 + sτ p2 ) ⋅ ⋅ ⋅ (1 + sτ pn )
1
1
e τ pi = −
; rappresentano le costanti di tempo della rete.
zi
pi
o
τ zi = −
o
K è detto guadagno statico e rappresenta il valore che assume la f.d.t. quando s=0 cioè
per segnali d’ingresso costanti (in c.c.)
2.1.6 Ordine di un sistema
•
Un sistema dicesi del primo ordine quando la sua f.d.t. presenta un solo polo
(il denominatore della f.d.t. è un polinomio di primo grado)
K
1
p1 = −
(1 + sτ)
τ
I poli della f.d.t. si ricavano annullando il denominatore della G(s)
Es.
•
Es.
G (s ) =
Un sistema dicesi del secondo ordine quando quando la sua f.d.t. presenta due poli
(il denominatore della f.d.t. è un polinomio di secondo grado)
G (s ) =
ωn 2
s 2 + 2ζω n s + ω n 2
Parametri caratteristici:
ζ è detto coefficiente di smorzamento (determina il tipo di risposta)
ωn è chiamata pulsazione naturale
Poli della f.d.t.
p1,2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1
2
risulta inoltre che p1 ⋅ p 2 = ω n (il prodotto delle radici è uguale al termine noto)
Le radici possono essere per:
reali distinti (ζ >1); reali coincidenti (ζ =1); complessi coniugati (0 < ζ <1 )
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II-33
La funzione di trasferimento
Esercizi sulle forme della f.d.t.
Esercizio 1
Nota la f.d.t. come rapporto tra polinomi in s porla :
a) nella forma in cui compaiono poli e zeri
b) nella forma in cui compaiono le costanti di tempo
G( s ) =
2s 2 + 6s − 8
s 3 + 6 s 2 + 11s + 6
Soluzione:
b) forma in cui compaiono i poli e gli zeri
Per porre la G(s) nella forma in cui compaiono poli e zeri, occorre determinare i valori di s che
annullano il denominatore (zeri) e i valori di s che annullano il denominatore (poli)
Numeratore
N(s) = 2s2+6s-8 = 0 ⇒ 2(s2+3s-4) = 0
le soluzioni sono s = -4 ; s = +1
quindi: N(s) = 2(s+4)(s-1)
Denominatore
D(s) = s3+6s2+11s+6 = 0 il polinomio si annulla per s = -1 quindi è divisibile per (s +1) con
la regola di Ruffini troviamo il quoziente:
1
-1
1
6 11
-1 -5
5 +6
6
-6
0
Q(s) = s2 +5s+6
di conseguenza:
(s +1) (s2 +5s+6) = 0
le soluzioni dell’equazione sono: s = -1, s = -2, s = -3
pertanto :
D(s) = (s+1)(s+2)(s+3)
quindi:
G(s) =
b)
2s 2 + 6s − 8
3
2
s + 6s + 11s + 6
=
2(s − 1)(s + 4)
(s + 1)(s + 2)(s + 3)
forma in cui compaiono le costanti di tempo
1
s+4
(s − 1)(1 + s)
)
4
4
4
G(s) =
=
1
1
s+2 s+3
3
(s + 1)(1 + s)(1 + s)
)
)3(
(s + 1)2(
3
2
3
2
2(s − 1)4(
in cui K (guadagno statico ) è uguale a 4/3
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II-34
La funzione di trasferimento
Esercizio 2
Nota la f.d.t. determinare il guadagno statico, i poli e gli zeri
G (s) =
12(s + 2)
(s + 1)(s + 3)
Soluzione:
−
il guadagno statico K è il valore che la f.d.t. assume quando s = 0
K = G(0) =
12(2)
=8
(1)(3)
−
i poli sono:
−
gli zeri sono: z1 = -2
p1 = -1, p2 = -1
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II-35
La funzione di trasferimento
2.2 L-trasformazione dei componenti R, L, C
RESISTENZA
dominio del tempo
dominio complesso
V (s ) = L [v(t)] = R ⋅ I (s )
La resistenza non subisce
trasformazioni. R è uguale al
rapporto tra V(s), trasformata della
tensione e la I(s), trasformata della
corrente
v(t ) = R ⋅ i (t )
CONDENSATORE
dominio del tempo
dominio complesso
Considerando il condensatore inizialmente scarico (Vo=0)
V (s ) = L [v(t)] =
1 I( s )
C s
La capacità si trasforma in una
impedenza capacitiva di valore:
1
v (t ) = ∫ i (t )dt + Vo
C
V( s )
I( s )
Vo è la carica iniziale
•
=
1
s ⋅C
Se invece il condensatore inizialmente è carico alla
tensione Vo:
V (s ) = L [v(t)] =
1 I ( s ) Vo
⋅
+
C s
s
La capacità si trasforma in un
1
, in serie
s ⋅C
Vo
ad un generatore di tensione
s
impedenza di valore
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II-36
La funzione di trasferimento
INDUTTORE
dominio del tempo
dominio complesso
Se inizialmente l’induttanza non è percorsa da corrente
V(s) = L[v(t)] = sL ⋅ I(s)
v (t ) = L
di (t )
dt
L’induttanza si trasforma in una
impedenza induttiva di valore:
V(s)
= sL
I(s)
•
Se invece inizialmente è percorsa da una corrente di valore
Io
V(s) = L[v(t)] = sL ⋅ I(s) − LIo
L’induttanza si trasforma in una
impedenza induttiva di valore sL in
serie ad un generatore di tensione di
valore L Io
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II-37
La funzione di trasferimento
2.2 Determinazione della f.d.t. di un circuito
3.2.1 Generalità
Per la determinazione della funzione di trasferimento di un circuito elettrico, si procede nel
seguente modo:
Si determina il circuito L-trasformato operando le seguenti sostituzioni:
- il segnale d’ingresso e(t) (tensione o corrente) si trasforma in E(s)
- il segnale d’uscita u(t) (tensione o corrente) si trasforma in U(s)
- la resistenza R non subisce trasformazioni.
- la capacità C si trasforma in una impedenza di valore 1/sC
- l’induttanza L in una impedenza di valore sL
2) Si ricava la U(s) applicando le leggi viste in c.c. al circuito L-trasformato
3) si effettua il rapporto tra la U(s) e la E(s) e si trova così la f.d.t. cercata
f .d .t. = G ( s ) =
U (s)
E (s)
2.2.2 Determinazione della f.d.t. del circuito RC (filtro passa basso passivo)
circuito RC
circuito RC L -trasformato
Applicando la legge di Ohm si ha:
Vo( s ) =
1
⋅ I (s)
sC
dove
I (s) =
Vi( s )
1
R+
sC
sostituendo:
Vo( s) =
1 Vi(t )
1 Vi( s)
1
⋅
=
= Vi( s)
1
sC sRC + 1
sC
1 + sRC
R+
sC
sC
quindi:
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II-38
La funzione di trasferimento
f.d.t. = G ( s ) =
Vo( s )
1
=
Vi( s) 1 + sRC
Da notare:
Il sistema è del 1°ordine perché la f.d.t. ha un polo (il denominatore si annulla per s = - 1/RC)
3.2.3 Determinazione della f.d.t. del circuito CR (filtro passa alto passivo)
circuito CR
circuito CR L -trasformato
Applicando la legge di Ohm si ha:
Vo( s ) = R ⋅ I ( s )
dove
I ( s) =
Vi( s)
1
R+
sC
sostituendo:
Vo( s ) = R ⋅
Vi( s )
sRC
Vi( t )
=R
= Vi( s )
sRC + 1
1
1 + sRC
R+
sC
sC
quindi:
f.d.t. = G( s ) =
Vo( s )
sRC
=
Vi( s ) 1 + sRC
Da notare:
Il sistema è del 1°ordine perché la f.d.t. ha un solo polo (il denominatore si annulla per
s = - 1/RC).
La f.d.t. presenta anche uno zero nell’origine
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II-39
La funzione di trasferimento
2.2.4 Determinazione della f.d.t. del circuito RLC serie
Circuito RLC
Vo( s ) =
circuito RLC L -trasformato
1
⋅ i(s)
sC
dove
Vi( s)
I ( s) =
R + sL +
1
sC
sostituendo si ha:
Vo( s ) =
1
⋅
sC
Vi(t )
R + sL +
1
sC
=
1
Vi(t )
1
⋅
= Vi( s) ⋅ 2
2
sC sRC + s LC + 1
s LC + sRC + 1
sC
quindi:
f.d.t.= G ( s ) =
Vo( s )
1
= 2
Vi ( s ) s LC + sRC + 1
Da notare:
Il sistema è del 2°ordine perché la f.d.t. ha due poli (il denominatore della f.d.t. è un trinomio di
secondo grado.
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II-40
La funzione di trasferimento
2.2.5 Determinazione della f.d.t. del derivatore, realizzato con Amp-Op
Circuito derivatore
Circuito derivatore L -trasformato
Per l’amplificatore invertente:
f.d.t. = G( s ) =
Nel nostro caso:
Z
Vo( s )
=− 2
Vi( s )
Z1
Z1 =
1
;
sC
Z2 = R
Sostituendo:
G( s ) =
Vo( s )
R
=−
= − sRC
1
Vi( s )
sC
Da notare:
−
la f.d.t. ha uno zero nell’origine (il numeratore si annulla per s=0)
−
Nel dominio del tempo, questo circuito si comporta come derivatore, infatti:
Vo( s ) = sRC ⋅ Vi( s )
antitrasformando si ha:
vo ( t ) = L−1 [Vo( s )] = − RC ⋅ L−1 [sVi( s )] = − RC
dvi ( t )
dt
(l’uscita vo(t) è la derivata del segnale d’ingresso vi(t) a meno di una costante)
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La funzione di trasferimento
2.2.6 Determinazione della f.d.t. dell’integratore, realizzato con Amp-Op
Circuito integratore
Circuito integratore L -trasformato
Per l’amplificatore invertente:
Z
Vo( s )
=− 2
Vi( s )
Z1
1
Z1 = R ; Z 2 =
sC
f.d.t. = G( s ) =
nel nostro
;
Sostituendo:
1
Vo( s )
1
G( s ) =
= − sC = −
Vi( s )
R
sRC
Da notare:
−
la f.d.t. ha uno polo nell’origine (il denominatore si annulla per s=0)
−
Nel dominio del tempo, questo circuito si comporta come integratore, infatti:
Vo( s ) =
1
Vi( s )
sRC
antitrasformando si ha:
v o (t) = L−1 [Vo(s) ] = −
1
1
⎡ Vi(s) ⎤
⋅ L−1 ⎢
=−
vi(t)dt
⎥
RC
RC ∫
⎣ s ⎦
(l’uscita vo(t) è l’integrale del segnale d’ingresso vi(t) a meno di una costante)
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II-42
La funzione di trasferimento
2.3 Risposte nel domino del tempo dei sistemi del
1°ordine
Esercizio1.
Risposta di un circuito RC ad un gradino di tensione di ampiezza con l’ipotesi che il
condensatore sia inizialmente scarico.
1) Si determina il circuito L-trasformato
circuito RC
circuito RC L -trasformato
1) Si ricava la f.d.t.
Vo( s ) =
1
⋅ I (s)
sC
dove
I ( s) =
Vi( s)
1
R+
sC
sostituendo:
Vo( s) =
1 Vi(t )
1 Vi( s)
1
⋅
=
= Vi( s)
1
sC sRC + 1
1 + sRC
sC
R+
sC
sC
f.d.t. = G ( s ) =
Vo( s)
1
=
Vi( s) 1 + sRC
Vo(s)=Vi(s)⋅G(s)
Vi(s)=E/s
Vo(s)=
E
E
1
=
s 1 + sRC s(1 + sRC)
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II-43
La funzione di trasferimento
2) Si antitrasforma
Occorre riportare la Vo(s) a quella contenute nella colonna destra della tabella delle T.d.L
Moltiplicando e dividendo per RC si ha:
E
E
1
RC
=
Vo( s ) =
1 ⎞
⎛ 1 + sRC ⎞ RC ⎛
s⎜
⎟
⎜s +
⎟
RC ⎠
⎝ RC ⎠
⎝
quindi antitrasformando si ha:
⎛
−
vo( t ) = E ⎜1 − e
⎜
⎝
valore a
regime
t
RC
⎞
⎟
⎟
⎠
transitorio
Rappresentazione grafica della risposta del circuito RC al gradino di ampiezza E con C
inizialmente scarico
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