Argomenti Esame Analisi Matematica 2
(CdS in Matematica)
Anno Accademico 2016-17
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Convergenza puntuale ed uniforme. Teorema sulla continuità del limite. Teorema dell’inversione dei limiti.
Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di
derivata.
Convergenza uniforme e monotonia: Teoremi di Dini.
Criterio di Weierstrass per le serie di funzioni.
Serie di potenze.Teorema di Cauchy-Hadamard. Teorema di D’Alembert.
Serie di Fourier. Formula di Dirichlet. Disuguaglianza di Bessel.
Teorema sulla convergenza puntuale di una serie di Fourier.
Convergenza totale di una serie di Fourier.
Disuguaglianze di Young, di Holder e di Minkowski in 𝑅𝑛 .
Spazi metrici completi: esempi e controesempi. Il Teorema delle contrazioni.
Teorema di Weierstrass. Teorema di Cantor. Teorema dei valori intermedi.
Criterio compattezza di Ascoli–Arzelà.
Teorema del Differenziale Totale.
Teorema di Schwartz.
Forme quadratiche e loro classificazione. Massimi e minimi relativi: Condizioni necessarie e sufficienti.
Il problema di Cauchy. Formulazione integrale di Volterra. Teorema di esistenza ed unicità locale di Cauchy:
dimostrazione con il metodo di approssimazione di Picard.
Teorema di esistenza ed unicità locale di Cauchy: dimostrazione con il Teorema delle Contrazioni.
Il Teorema di esistenza ed unicità globale. Prolungabilità delle soluzioni.
Il Teorema di Peano.
Lo spazio delle soluzioni di un’equazione omogenea.. Soluzioni linearmente indipendenti e wronskiano.
Esistenza di n soluzioni linearmente indipendenti. Integrale generale di un’equazione omogenea.
Soluzione generale di un’equazione differenziale lineare non omogenea. Il metodo delle variazioni delle
costanti.
Problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore.
Problema di Cauchy per l’equazione delle onde e Formula di D’Alembert.
