Syllabus di teoria dei numeri - Gare Matematiche by Rosanna Tupitti

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Syllabus di teoria dei numeri
Ercole Suppa e Rosanna Tupitti
2 aprile 2012
Sommario
In questa lezione vengono ricordate le definizioni e i principali teoremi di teoria dei numeri
che sono spesso utilizzati nella risoluzione di problemi olimpici.
1
Divisibilità, MCD e MCM.
• Algoritmo della divisione euclidea. Dati a, b ∈ Z con b 6= 0 esistono due unici numeri
q, r ∈ Z tali che:
a = bq + r,
0 ≤ r < |b|
I numeri a, b, q, r sono chiamati rispettivamente dividendo,divisore, quoziente, resto.
• Divisibilità. Nel caso in cui r = 0, ossia se a = bq, diciamo che b divide a e scriviamo b | a .
• Numeri primi. Un numero primo è un intero maggiore di 1 che ha come divisori positivi
soltanto 1 e se stesso. Si dimostra che: esistono infiniti numeri primi (teorema di Euclide).
• Teorema fondamentale dell’aritmetica. Ogni intero n > 1 si può scrivere nella forma:
n = pα1 1 · pα2 2 · · · pαk k
dove p1 , p2 , . . . , pk sono primi distinti e α1 , α2 , . . . , αk sono interi maggiori o uguali a uno. Tale
scrittura è detta fattorizzazione di n in fattori primi ed è unica a meno dell’ordine dei fattori.
• Massimo comun divisore. Si dice massimo comun divisore di n numeri interi positivi
a1 , a2 , · · · , an il più grande intero positivo che divide tutti gli ai . Il massimo comun divisore
di a1 , a2 , · · · , an si indica con MCD (a1 , a2 , . . . , an ). Il massimo comun divisore di due interi
a e b si indica con la notazione abbreviata (a, b). Due interi a e b si dicono primi fra loro o
coprimi se (a, b) = 1.
• Fattorizzazione del MCD. La fattorizzazione del MCD contiene tutti e soli i fattori primi
che compaiono in tutte le singole fattorizzazioni, ciascuno elevato al minimo esponente.
• Minimo comune multiplo. Si dice minimo comune multiplo di n numeri interi positivi
a1 , a2 , · · · , an il più piccolo intero positivo che è divisibile per tutti gli ai . Il minimo comune
multiplo di a1 , a2 , · · · , an si indica con MCM (a1 , a2 , . . . , an ). Il minimo comune multiplo di
due interi a e b si indica con la notazione abbreviata [a, b].
1
• Fattorizzazione del MCM. La fattorizzazione del MCM contiene tutti e soli i fattori primi che compaiono in almeno una delle singole fattorizzazioni, ciascuno elevato al massimo
esponente.
• Relazione tra MCD e MCM. Per ogni a, b ∈ Z si ha (a, b)[a, b] = ab.
• Algoritmo euclideo per il calcolo del MCD. Dati due interi a, b si dimostra facilmente
che se a = bq + r con 0 ≤ r < |b| allora MCD(a, b) = MCD(b, r). Pertanto il MCD di a e b
può essere determinato con il seguente algoritmo ricorsivo:
(1) Se uno dei due numeri è uguale a 0, l’altro numero è il MCD di (a, b).
(2) Altrimenti eseguire la divisione euclidea e scrivere a = bq + r, con 0 ≤ r < |b|
(3) Rimpiazzare la coppia (a, b) con la coppia (b, r).
(4) Tornare al punto (1)
Ad ogni passo il secondo elemento della coppia diventa più piccolo, per cui il procedimento
terminerà dopo un numero finito di passi, fornendo il MCD di a e b. Come esempio applichiamo
l’algoritmo euclideo per calcolare MCD(348, 124):
a
b
q
348 124 2
124 100 1
100 24 4
24
4 6
r
100
24
4
0
Pertanto (348, 124) = (124, 100) = (100, 24) = (24, 4) = (4, 0) e quindi MCD(348, 124) = 4.
• Teorema di Bezout1 . Se a, b ∈ Z e d = (a, b), esistono m, n ∈ Z tali che:
d = ma + nb
• Teorema di Bezout generalizzato. Se a1 , a2 , · · · , an ∈ Z e d = MCD (a1 , a2 , . . . , an ),
esistono m1 , m2 , . . . , mk ∈ Z tali che:
d = m1 a1 + m2 a2 + · · · + mk ak
• Lemma di Euclide2 . Se p è primo e p | bc allora p | b oppure p | c.
• Numero dei divisori. Il numero dei divisori del numero naturale n = pα1 1 · pα2 2 · · · pkαk è dato
dalla formula:
d (n) = (α1 + 1) · (α2 + 1) · · · (αk + 1)
1
Étienne Bézout matematico francese (1730-1783)
Euclid of Alexandria, fu un matematico Greco, spesso considerato come il Padre della Geometria. La sua
opera gli Elementi di Euclide è stato uno dei testi che ha maggiormente influenzato la storia della matematica.
2
2
2
Frobenius coin problem.
Il problema delle monete, noto come Frobenius coin problem3 è il problema matematico in cui
si chiede qual è la più grande somma che non può essere ottenuta usando solo monete aventi determinati tagli. Per esempio la più grande somma che non può essere ottenuta usando solo monete di
3 e 5 unità è 7 unità. La soluzione di questo problema per un dato insieme T di tagli di monete è
chiamato numero di Frobenius di T .
Esiste una formula esplicita per il numero di Frobenius quando si hanno solo uno oppure due tagli
di monete. Se il numero di tagli di monete è superiore a due non si conosce nessuna formula esplicita.
In termini matematici il problema può essere formulato nel modo seguente:
Dati n interi positivi a1 , a2 , . . . , an tali che MCD (a1 , a2 , . . . , an ) = 1 trovare il più grande numero
intero che non può essere espresso come combinazione lineare a coefficienti interi non negativi di
a1 , a2 , . . . , an , ossia nella forma
k1 a1 + k2 a2 + · · · + kn an
(*)
dove k1 , k2 , . . . , kn sono interi non negativi.
Sussistono i seguenti risultati:
• se n = 1 allora a1 = 1 per cui tutti i numeri naturali possono essere espressi nella forma (*),
dunque il numero di Frobenius non esiste se n = 1;
• se n = 2 il numero di Frobenius è dato dalla formula
a1 a2 − a1 − a2
Questa formula fu scoperta da Sylvester4 nel 1884. Sylvester dimostrò inoltre che, in questo
caso, il numero degli interi non rappresentabili nella forma k1 a1 + k2 a2 è dato da:
(a1 − 1) (a2 − 1)
2
Per esempio se a1 = 3 e a2 = 5 allora ogni numero positivo N può essere espresso nella forma
N = 3k1 + 5k2
tranne i numeri 1,2,4 e 7.
• il problema di Frobenius con n = 3 è irrisolto.
Per un approccio algoritmico si può consultare [8].
3
4
Ferdinand Frobenius, matematico tedesco (1849-1917).
James Joseph Sylvester, matematico inglese (1814-1897)
3
3
Aritmetica modulare.
• Relazione di conguenza. Sia m > 1 un numero intero fissato. Due numeri a, b ∈ Z si
dicono congrui modulo m e si scrive:
a ≡ b (mod m)
se m | a − b. Si dimostra facilmente che a ≡ b (mod m) se e solo se a e b divisi per m danno
lo stesso resto.
• Classe di congruenza. Si dice classe di congruenza (modulo m) di un intero a l’insieme di
tutti gli interi congrui ad a modulo m:
[a]m = [a] = {b ∈ Z | b ≡ a (mod m)}
Ogni classe di congruenza contiene un unico x tale che 0 ≤ x < m (x è detto rappresentante
canonico).
• Sistema completo di resti. Un insieme di m numeri interi x1 , x2 , . . . , xm è detto un sistema
completo di resti modulo m se per ogni a ∈ Z esiste uno ed un solo xi tale che a ≡ xi (mod m).
• Proprietà delle congruenze. La relazione di congruenza gode delle proprietà riflessiva,
simmetrica, transitiva ed è compatibile con le operazioni di somma e prodotto, ossia se
a ≡ b (mod m),
c ≡ d (mod m)
allora:
(1)
a + c ≡ b + d (mod m)
(2)
a − c ≡ b − d (mod m)
(3)
ac ≡ bd (mod m)
(4)
ak ≡ bk (mod m),
∀k ∈ N
Dalle precedenti proprietà discende che
(5)
Se f (x) è un polinomio a coefficienti interi allora
a ≡ b (mod m)
⇒
f (a) ≡ f (b)
(mod m)
Non vale però, in generale, la legge di cancellazione ossia
ka ≡ kb (mod m)
6⇒
a ≡ b (mod m)
La legge di cancellazione vale solo se (k, m) = 1 ossia:
(6)
Se (k, m) = 1 e ka ≡ kb (mod m)
⇒
a ≡ b (mod m).
• Inverso modulo m. Si dice che b è l’inverso di a modulo m se ab ≡ 1 (mod m). In tal caso
si dice che a è invertibile modulo m.
• Criterio di invertibilità. Un intero a è invertibile modulo m se e solo se (a, m) = 1.
4
• Calcolo dell’inverso modulo m. Se (a, m) = 1 per il teorema di Bezout esistono h, k ∈ Z
tali che:
ha + km = 1 ⇔ ah ≡ 1 (mod m)
ossia h è l’inverso di a modulo m.
• Teorema di Wilson5 . Se p è un numero primo si ha:
(p − 1)! ≡ −1
(mod p)
• Piccolo teorema di Fermat6 . Se a ∈ Z e p è un primo tale che p - a si ha:
ap−1 ≡ 1
(mod p)
• Corollario del piccolo teorema di Fermat. Se a ∈ Z e p è un primo si ha:
ap ≡ a (mod p)
• Sistema di congruenze. Se m1 , . . . , mk , a1 , . . . , ak ∈ Z, si dice sistema di congruenze un
sistema della forma:


x ≡ a1 (mod m1 )


 x ≡ a2 (mod m2 )
(*)
..

.


 x ≡ a (mod m )
k
k
Risolvere tale sistema significa trovare tutti gli interi x che verificano contemporaneamente le
k congruenze del sistema.
• Teorema cinese dei resti. Se m1 , m2 , . . . , mk ∈ Z a due a due relativamente primi, allora
qualunque siano gli interi a1 , a2 , . . . , ak ∈ Z il sistema (*) ammette una soluzione, unica
modulo m1 m2 · · · mk .
• Costruzione della soluzione del sistema (*). Per ogni i ∈ {1, 2, . . . , k} poniamo
Y
bi =
mj
j6=i
e indichiamo con ci l’inverso di bi modulo mi . Allora una soluzione del sistema (*) è data da
x0 =
k
X
ai b i c i
i=1
Tutte le altre soluzioni sono della forma:
x = x0 + t · m1 m2 · · · mk
5
,
t∈Z
John Wilson (1741-1793) matematico inglese. Diede l’enunciato del teorema che porta il suo nome senza
dimostrarlo. La prima dimostrazione fu data da Lagrange nel 1771.
6
Pierre de Fermat (1601-1665), un giurista del parlamento di Tolosa e cultore di matematica che diede grandi
contributi in diversi settori, soprattutto in teoria dei numeri.
5
• Funzione di Eulero7 . Si dice funzione ϕ di Eulero la funzione che ad ogni intero n > 1
associa il numero degli interi 0 < a < n che sono relativamente primi con n, ossia
ϕ (n) = |{a ∈ |0 < a < n, (a, n) = 1}|
• Proprietà della funzione di Eulero.
⇒
ϕ(ab) = ϕ(a) · ϕ(b)
(1)
ϕ è una funzione moltiplicativa ossia se (a, b) = 1
(2)
se p è un numero primo ϕ(p) = p − 1
(3)
se p è un numero primo ed α ∈ N: ϕ (pα ) = pα − pα−1
(4)
se n = pα1 1 · pα2 2 · · · pαk k allora
Y
1
1
1
ϕ (n) = n 1 −
··· 1 −
=n
1−
p1
pk
p
p|n
• Teorema di Fermat-Eulero. Se a ∈ Z ed (a, m) = 1 allora aϕ(m) ≡ 1 (mod m).
4
Equazioni diofantee.
• Equazione diofantea. Un’equazione a coefficienti interi di cui si devono trovare le soluzioni
intere è chiamata equazione diofantea (in onore di Diofanto8 ).
• Equazione diofantea in due variabili di primo grado. Un’equazione diofantea di primo
grado in due variabili è un’equazione della forma
ax + by = c
dove a, b, c ∈ Z. Risolvere tale equazione significa trovare tutte le coppie (x, y) di numeri
interi che la soddisfano.
• Equazione omogenea. L’equazione diofantea ax + by = c si dice omogenea se c = 0.
• Soluzioni dell’equazione omogenea e non omogenea. Se (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) sono due soluzioni dell’equazione non omogenea allora (x1 − x2 , y1 − y2 ) è soluzione dell’equazione omogenea associata ax + by = 0. Pertanto, per trovare tutte le soluzioni dell’equazione non
omogenea, basta trovare una soluzione qualunque dell’equazione non omogenea, più tutte le
soluzioni dell’omogenea associata.
• Condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza di soluzioni. Un’equazione diofantea omogenea ammette sempre infinite soluzioni. Un’equazione diofantea non omogenea
ammette almeno una soluzione se e solo se (a, b) | c. In tal caso le soluzioni sono infinite.
Pertanto un’equazione diofantea di primo grado ammette o zero o infinite soluzioni.
7
Leonhard Euler, matematico svizzero (1707-1783)
Diofanto di Alessandria, matematico dell’antica Grecia vissuto nel periodo tra il III e il IV secolo dopo
Cristo, considerato come il Padre dell’algebra.
8
6
• Come trovare una soluzione dell’equazione non omogenea. Sia d = (a, b) e siano m, n
come nel teorema di Bezout, cioè tali che ma + nb = d. Se è verificata la condizione necessaria
e sufficiente, cioè se esiste un intero k tale che c = kd allora x0 = km, y0 = kn è una delle
soluzioni dell’equazione non omogenea.
• Come trovare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea. Sia d = (a, b) e siano
α, β ∈ Z tali che a = αd, b = βd. Allora le soluzioni dell’equazione omogenea sono tutte e
sole quelle del tipo x = βt, y = −αt con t ∈ Z.
5
Frazioni continue.
• Frazione continua finita. Si definisce frazione continua finita un’espressione della forma
1
[a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] := a0 +
1
a1 +
a2 +
1
..
.
+
1
an
dove a1 , a2 , . . . , an sono numeri reali positivi ed a0 è un numero reale non negativo. I numeri
a1 , . . . , an sono detti denominatori parziali. La frazione continua è detta semplice se i numeri
ai sono interi.
• Sviluppo di un numero razionale in frazione continua. Utilizzando l’algoritmo euclideo
delle divisioni successive si dimostra facilmente che ogni numero razionale può essere scritto
può
come una frazione continua semplice finita. Illustriamo, ad esempio, come la frazione 17
61
essere sviluppata in frazione continua:
17
=0+
61
1
3+
10
17
1
=0+
1
3+
1+
1
=0+
1
3+
7
10
1+
1
=0+
1
1+
1
3+
3
7
1
1+
1+
1
2+
1
3
= [0; 3, 1, 1, 2, 3]
• La rappresentazione di un numero razionale come frazione continua semplice finita non è unica
in quanto possiamo sempre modificare l’ultimo termine. Infatti se an > 1 allora
an = (an − 1) +
1
1
⇒
[a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an − 1, 1]
mentre se an = 1 allora
an−1 +
1
= an−1 + 1
an
⇒
[a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an−2 , an−1 + 1]
7
Ad esempio abbiamo che
17
= [0; 3, 1, 1, 2, 3] = [0; 3, 1, 1, 2, 2, 1]
61
• Convergenti di una frazione continua. La frazione continua ottenuta da [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ]
considerando i denominatori parziali fino ad ak è detta convergente k-esima ed è indicata con
Ck = [a0 ; a1 , a2 , . . . , ak ] =
Ad esempio le convergenti della frazione
pk
qk
17
= [0; 3, 1, 1, 2, 3] sono:
61
C0 = 0
1 1
=
3 3
1
1
C2 = [0; 3, 1] = 0 +
=
1 4
3+
1
1
2
C3 = [0; 3, 1, 1] = 0 +
=
7
1
3+
1
1+
1
1
5
C4 = [0; 3, 1, 1, 2] = 0 +
=
18
1
3+
1
1+
1
1+
2
1
17
C5 = [0; 3, 1, 1, 2, 3] = 0 +
=
61
1
3+
1
1+
1
1+
1
2+
3
C1 = [0; 3] = 0 +
• Formula ricorsiva per il calcolo delle convergenti di una frazione continua. Si
dimostra facilmente per induzione che le convergenti Ck = pk /qk della una frazione continua
[a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] possono essere calcolate con le seguenti formule ricorsive:
p 0 = a0
p 1 = a1 a0 + 1
pk = ak pk−1 + pk−2
q0 = 1
q 1 = a1
qk = ak qk−1 + qk−2 ,
8
∀k ≥ 2
• Proprietà fondamentale delle convergenti di una frazione continua. Se Ck = pk /qk
è la k-esima convergente della frazione continua [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] allora:
pk qk−1 − qk pk−1 = (−1)k−1 ,
∀k ∈ {1, 2, . . . , n}
Da questa proprietà discende che MCD(pk , qk ) = 1 per ogni k ∈ {1, 2, . . . , n}.
• Risoluzione di un’equazione diofantea lineare. Le frazioni continue possono essere
impiegate per trovare le soluzioni dell’equazione diofantea
ax + by = 1
a
a
dove a, b sono due interi tali coprimi. Espandiamo in frazione continua = [a0 ; a1 , . . . , an ].
b
b
Le ultime due convergenti di questa frazione sono Cn−1 = pn−1 /qn−1 e Cn = pn /qn = a/b.
Poichè MCD(pn , qn ) = 1 = MCD(a, b) abbiamo che pn = a, qn = b. Pertanto dalla proprietà
fondamentale delle convergenti abbiamo
pn qn−1 − qn pn−1 = (−1)n−1
aqn−1 − bpn−1 = (−1)n−1
⇒
Allora una soluzione particolare di ax + by = 1 è:
(i) x0 = qn−1 , y0 = −pn−1 se n è dispari
(ii) x0 = −qn−1 , y0 = pn−1 se n è pari
La soluzione generale di ax + by = 1 è:
y = y0 − at
x = x0 + bt,
t∈Z
• Frazione continua infinita. Se a0 , a1 , a2 , . . . è una successione (infinita) di interi positivi
(escluso al più a0 che può anche essere uguale a 0) allora l’espressione:
1
[a0 ; a1 , a2 , a3 , . . . ] := a0 +
1
a1 +
a2 +
1
a3 +
1
..
.
è chiamata frazione continua semplice infinita. Per attribuire un significato numerico a tale
espressione poniamo:
[a0 ; a1 , a2 , a3 , . . . ] := lim [a0 ; a1 , a2 , . . . , ak ]
k→∞
Se una frazione continua infinita, come ad esempio [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, . . . ] contiene un blocco
di denominatori parziali b1 , b2 , . . . , bn che si ripetono, la frazione è detta periodica. Una frazione
continua periodica [a0 ; a1 , . . . , am , b1 , . . . , bn , b1 , . . . , bn , . . . ] viene indicata con la notazione:
[a0 ; a1 , . . . , am , b1 , . . . , bn ]
dove la barra indica che i termini b1 , . . . , bn si ripetono infinite volte. Se b1 , . . . , bn è il più
piccolo blocco di interi che si ripetono, diciamo che b1 , . . . , bn è il periodo della frazione continua
ed n è detta la lunghezza del periodo. Si possono dimostrare le seguenti proprietà:
9
(i) Il valore di una frazione continua infinita è un numero irrazionale.
(ii) Due frazioni continue infinite [a0 , a1 , a2 , . . . ] e [b0 , b1 , b2 , . . . ] rappresentano lo stesso numero se e solo se ai = bi per ogni i ≥ 0.
√
(iii) La frazione continua sviluppo di un irrazionale quadratico x = K è periodica da un
certo punto in poi (teorema dimostrato da Lagrange9 nel 1770).
(iv) Se d è un intero
√ positivo che non è un quadrato perfetto, allora lo sviluppo in frazione
continua di d è della forma
√
d = [a0 ; a1 , a2 , a3 , . . . , a3 , a2 , a1 , 2a0 ]
(v) Siano Ck = pk /qk le convergenti della frazione continua sviluppo di
periodo. Allora
2
= (−1)kn ,
k ∈ {1, 2, 3, . . . }
p2kn−1 − dqkn−1
√
d e sia n il suo
• Sviluppo di un numero reale in frazione continua. Se x è un numero reale positivo,
poniamo
x0 := x,
a0 := [x0 ]
da cui segue che 0 ≤ x0 − a0 < 1. Se x0 − a0 > 0 poniamo
x1 :=
1
,
x 0 − a0
a1 := [x1 ]
ed in generale per n ≥ 1, se xn − an > 0, poniamo
xn+1 :=
1
,
x n − an
an+1 := [xn+1 ]
La sequenza (xn ) termina dopo un numero finito di passi se x è un numero razionale, in caso
contrario è una sequenza infinita. Se x è un numero irrazionale otteniamo due successioni:
(an ) di numeri interi positivi ed (xn ) di numeri irrazionali maggiori di 1 e si può dimostrare
che
x = [a0 ; a1 , a2 , . . . ]
√
• Determinare lo sviluppo in frazione continua di 11:
√
a0 = 3
x0 = 11
√
1
1
11 + 3
=
x1 =
=√
≈ 3, 15
a1 = 3
x0 − [x0 ]
2
11 − 3
√
1
1
x2 =
= √
= 11 + 3 ≈ 6, 31
a2 = 6
11+3
x1 − [x1 ]
−
3
2
1
1
1
=√
=√
≈ 3, 15
a2 = 3
x3 =
x2 − [x2 ]
11 + 3 − 6
11 − 3
Pertanto
9
√
11 = [3; 3, 6].
Joseph Louis Lagrange (1736-1813) fu, dopo Eulero, il più grande matematico del XVIII secolo.
10
• Sviluppo in frazione continua di
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
N per N ∈ {1, . . . , 99}, N non quadrato.
√
3 = [1; 1, 2]
√
6 = [2; 2, 4]
√
8 = [2; 1, 4]
√
11 = [3; 3, 6]
√
13 = [3; 1, 1, 1, 1, 6]
√
15 = [3; 1, 6]
√
18 = [4; 4, 8]
√
20 = [4; 2, 8]
√
22 = [4; 1, 2, 4, 2, 1, 8]
√
24 = [4; 1, 8]
√
27 = [5; 5, 10]
√
29 = [5; 2, 1, 1, 2, 10]
√
31 = [5; 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10]
√
33 = [5; 1, 2, 1, 10]
√
35 = [5; 1, 10]
√
38 = [6; 6, 12]
√
40 = [6; 3, 12]
√
42 = [6; 2, 12]
√
44 = [6; 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 12]
√
46 = [6; 1, 3, 1, 1, 2, 6, 2, 1, 1, 3, 1, 12]
√
48 = [6; 1, 12]
√
51 = [7; 7, 14]
√
53 = [7; 3, 1, 1, 3, 14]
√
55 = [7; 2, 2, 2, 14]
√
57 = [7; 1, 1, 4, 1, 1, 14]
√
59 = [7; 1, 2, 7, 2, 1, 14]
√
61 = [7; 1, 4, 3, 1, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 14]
√
63 = [7; 1, 14]
√
66 = [8; 8, 16]
√
68 = [8; 4, 16]
√
70 = [8; 2, 1, 2, 1, 2, 16]
2 = [1; 2]
5 = [2; 4]
7 = [2; 1, 1, 1, 4]
10 = [3; 6]
12 = [3; 2, 6]
14 = [3; 1, 2, 1, 6]
17 = [4; 8]
19 = [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8]
21 = [4; 1, 1, 2, 1, 1, 8]
23 = [4; 1, 3, 1, 8]
26 = [5; 10]
28 = [5; 3, 2, 3, 10]
30 = [5; 2, 10]
32 = [5; 1, 1, 1, 10]
34 = [5; 1, 4, 1, 10]
37 = [6; 12]
39 = [6; 4, 12]
41 = [6; 2, 2, 12]
43 = [6; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 3, 1, 1, 12]
45 = [6; 1, 2, 2, 2, 1, 12]
47 = [6; 1, 5, 1, 12]
50 = [7; 14]
52 = [7; 4, 1, 2, 1, 4, 14]
54 = [7; 2, 1, 6, 1, 2, 14]
56 = [7; 2, 14]
58 = [7; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 14]
60 = [7; 1, 2, 1, 14]
62 = [7; 1, 6, 1, 14]
65 = [8; 16]
67 = [8; 5, 2, 1, 1, 7, 1, 1, 2, 5, 16]
69 = [8; 3, 3, 1, 4, 1, 3, 3, 16]
11
√
71 = [8; 2, 2, 1, 7, 1, 2, 2, 16]
√
73 = [8; 1, 1, 5, 5, 1, 1, 16]
√
75 = [8; 1, 1, 1, 16]
√
77 = [8; 1, 3, 2, 3, 1, 16]
√
79 = [8; 1, 7, 1, 16]
√
82 = [9; 18]
√
84 = [9; 6, 18]
√
86 = [9; 3, 1, 1, 1, 8, 1, 1, 1, 3, 18]
√
88 = [9; 2, 1, 1, 1, 2, 18]
√
90 = [9; 2, 18]
√
92 = [9; 1, 1, 2, 4, 2, 1, 1, 18]
√
94 = [9; 1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18]
√
96 = [9; 1, 3, 1, 18]
√
98 = [9; 1, 8, 1, 18]
6
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
72 = [8; 2, 16]
74 = [8; 1, 1, 1, 1, 16]
76 = [8; 1, 2, 1, 1, 5, 4, 5, 1, 1, 2, 1, 16]
78 = [8; 1, 4, 1, 16]
80 = [8; 1, 16]
83 = [9; 9, 18]
85 = [9; 4, 1, 1, 4, 18]
87 = [9; 3, 18]
89 = [9; 2, 3, 3, 2, 18]
91 = [9; 1, 1, 5, 1, 5, 1, 1, 18]
93 = [9; 1, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 1, 18]
95 = [9; 1, 2, 1, 18]
97 = [9; 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 18]
99 = [9; 1, 18]
Equazioni diofantee di secondo grado.
6.1
Equazione pitagorica
• L’equazione diofantea x2 + y 2 = z 2 è chiamata equazione pitagorica in quanto se consideriamo
un triangolo rettangolo i cui cateti e la cui ipotenusa hanno lunghezze x, y, z espresse da
numeri interi allora, per il teorema di Pitagora, (x, y, z) è una soluzione.
• Una soluzione (x, y, z) dell’equazione x2 + y 2 = z 2 è detta primitiva se MCD(x, y, z) = 1.
• Ricerca delle soluzioni (positive) primitive. Le soluzioni (positive) primitive dell’equazione x2 + y 2 = z 2 con y pari sono
x = r 2 − s2 ,
y = 2rs,
z = r 2 + s2
dove r, s sono interi arbitrari di parità opposta tali che r > s > 0 ed (r, s) = 1.
• Ricerca delle soluzioni positive. Le soluzioni positive dell’equazione x2 + y 2 = z 2 con y
pari sono
x = k r2 − s2 , y = 2krs, z = k r2 + s2
dove r, s sono interi arbitrari, di parità opposta, tali che r > s > 0 e k è un intero qualsiasi.
12
6.2
Equazione di Pell
• Se d è un intero l’equazione diofantea
x2 − dy 2 = 1
è detta equazione di Pell. Se d è un quadrato perfetto, diciamo d = a2 , l’equazione può essere
scritta nella forma (x − ay)(x + ay) = 1 e, pertanto, ammette un numero finito di soluzioni.
Anche se d < 0 l’equazione ha un numero finito di soluzioni. Il caso più interessante si ha
quando d è un numero intero positivo che non è un quadrato perfetto.
• Una soluzione (x, y) è detta positiva se entrambi x ed y sono numeri interi positivi. Una
soluzione (x1 , y1 ) è detta soluzione fondamentale (o soluzione minima) se è la più piccola
soluzione positiva, cioè se per ogni altra soluzione positiva (x0 , y 0 ) risulta che x1 < x0 ed
y1 < y 0 . Nella trattazione che segue ci limitiamo alla determinazione delle soluzioni positive
in quanto, a parte le soluzioni banali (±1, 0), tutte le altre sono della forma (±x, ±y), dove
x > 0 ed y > 0.
• Ricerca delle soluzioni positive. Sebbene John Pell10 abbia contribuito molto poco allo
studio di questa equazione, essa porta il suo nome a causa di un errore di Eulero. I matematici
che per primi si occuparono di questa equazione furono Brahmagupta (VII secolo), Bhaskara
(XII secolo) e Fermat (XVII secolo) che ne fece uno studio sistematico. Il metodo di risoluzione
dell’equazione di Pell, basato sulla teoria delle frazioni continue, è dovuto a Lagrange (XVIII
secolo). Esponiamo il procedimento risolutivo, omettendo le dimostrazioni11 :
√
(i) Troviamo lo sviluppo in frazione continua di d
√
d = [a0 ; a1 , a2 , a3 , . . . , a3 , a2 , a1 , 2a0 ]
e determiniamo le sue convergenti Ck = pk /qk con k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} se n è pari e
k ∈ {0, 1, . . . , 2n − 1} se n è dispari.
(ii) Se n è pari allora la soluzione fondamentale è data da x1 = pn−1 , y1 = qn−1 , mentre se n
è dispari la soluzione fondamentale è data da x1 = p2n−1 , y1 = q2n−1 .
(iii) ogni soluzione positiva di x2 − dy 2 = 1 è data da (xn , yn ), dove xn , yn sono interi
determinati dall’uguaglianza
√ n
√
xn + yn d = x1 + y1 d ,
∀n ≥ 2
Equivalentemente, dopo aver trovato la soluzione fondamentale (x1 , y1 ), possiamo calcolare tutte le altre soluzioni mediante le formule ricorsive
xn+1 = x1 xn + dy1 yn
yn+1 = x1 yn + y1 xn
10
John Pell (1611-1685) grande insegnante e grande studioso ammesso al Trinity College di Cambridge all’età
di 13 anni. Fu professore di matematica ad Amsterdam e a Breda e fu eletto membro della Royal Society nel 1663.
11
Al lettore interessato sull’argomento si consiglia [?]
13
• Soluzione fondamentale di x2 − dy 2 = 1 per d ∈ {1, . . . , 103}.
d
x1
y1
2
3
2
3
2
1
5
9
4
6
5
2
7
8
3
8
3
1
10 19
6
11 10
3
12
7
2
13 649 180
14 15
4
15
4
1
17 33
8
18 17
4
19 170
39
20
9
2
21 55
12
22 197
42
23 24
5
24
5
1
26 51
10
27 26
5
28 127
24
29 9801 1820
30 11
2
31 1520 273
32 17
3
33 23
4
34 35
6
35
6
1
37 73
12
d
x1
y1
38
37
6
39
25
4
40
19
3
41
2049
320
42
13
2
43
3482
531
44
199
30
45
161
24
46
24335
3588
47
48
7
48
7
1
50
99
14
51
50
7
52
649
90
53
66249
9100
54
485
66
55
89
12
56
15
2
57
151
20
58
19603
2574
59
530
69
60
31
4
61 1766319049 226153980
62
63
8
63
8
1
65
129
16
66
65
8
67
48842
5967
68
33
4
69
7775
936
70
251
30
d
x1
y1
71
3480
413
72
17
2
73 2281249 267000
74
3699
430
75
26
3
76
57799
6630
77
351
40
78
53
6
79
80
9
80
9
1
82
163
18
83
82
9
84
55
6
85
285769
30996
86
10405
1122
87
28
3
88
197
21
89
500001
53000
90
19
2
91
1574
165
92
1151
120
93
12151
1260
94 2143295 221064
95
39
4
96
49
5
97 62809633 6377352
98
99
10
99
10
1
101
201
20
102
101
10
103 227528
22419
• Soluzione fondamentale di x2 − dy 2 = −1 per d ∈ {1, . . . , 103}.
d x1
2 1
5 2
10 3
13 18
17 4
26 5
29 70
y1
1
1
1
5
1
1
13
d
x1
y1
37
6
1
41
32
5
50
7
1
53 182
25
58
99
13
61 29718 3805
65
8
1
14
d
x1
y1
73 1068 125
74
43
5
82
9
1
85 378 41
89 500 53
97 5604 569
101 10
1
• Esempio 1. Trovare le soluzioni intere positive dell’equazione x2 − 7y 2 = 1.
√
(i) Osserviamo che √7 = [2; 1, 1, 1, 4] e che il periodo della frazione continua è 4. Le prime
5 convergenti di 13 sono:
2 3 5 8 37
, , , ,
1 1 2 3 14
(ii) Poichè il periodo è pari la soluzione fondamentale è x1 = p3 = 8, y1 = q3 = 3.
(iii) Altre soluzioni sono determinate dall’uguaglianza
√
√ n
xn + yn 7 = 8 + 3 7 ,
∀n ≥ 2
Ad esempio (x2 , y2 ) = (127, 48), (x3 , y3 ) = (2024, 765), etc.
• Esempio 2. Trovare le soluzioni intere positive dell’equazione x2 − 13y 2 = 1.
√
(i) Osserviamo che 13 = √
[3; 1, 1, 1, 1, 6] e che il periodo della frazione continua è 5. Le
prime 10 convergenti di 13 sono:
3 4 7 11 18 119 137 256 393 649
, , , , ,
,
,
,
,
1 1 2 3 5 33 38 71 109 180
(ii) Poichè il periodo è dispari la soluzione fondamentale è x1 = p9 = 649, y1 = q9 = 180.
(iii) Altre soluzioni sono determinate dall’uguaglianza
√ n
√
xn + yn 13 = 649 + 180 13 ,
∀n ≥ 2
Ad esempio (x2 , y2 ) = (842401, 233640).
• Ricerca della soluzione fondamentale per tentativi. Talvolta la soluzione fondamentale
dell’equazione di Pell x2 − dy 2 = 1 può essere trovata manualmente sostituendo di volta in
volta i valori y = 1, 2, 3, . . . nell’espressione 1 + dy 2 , finchè si ottiene un quadrato.
• Equazione di Pell negativa. L’equazione di Pell negativa è data da
x2 − dy 2 = −1
Anche questa equazione è stata studiata estensivamente. Essa può essere risolta con la stessa
tecnica delle frazioni
√ continue ed ammette soluzioni quando il periodo della frazione continua
che rappresenta d ha lunghezza
dispari. Tuttavia a tutt’oggi non si conosce un criterio per
√
stabilire se il periodo di d ha lunghezza dispari e quindi non siamo in grado di stabilire per
quali valori di d l’equazione x2 − dy 2 = −1 risulta risolubile. Ad esempio x2 − 3y 2 = −1 non
ha soluzioni intere (basta osservare che un quadrato è congruo a 0 oppure ad 1 modulo 3).
15
7
Problemi
1. Dimostare che l’equazione x2 − y 2 = 2 non ha soluzioni intere.
2. Dimostrare che 6 divide n(n − 1)(2n − 1) per ogni n ∈ N.
3. Dimostrare che 17 divide 2n · 32n − 1 per ogni n ∈ N.
4. Dimostrare che 17n − 12n − 24n + 19n è divisibile per 35 per ogni n ∈ N.
5. Dimostrare che 599 + 1199 + 1799 è divisibile per 33.
6. Dimostrare che 36n − 26n è divisibile per 35 per ogni n ∈ N0 .
7. Dimostrare che n5 − 5n3 + 4n è divisibile per 120 per ogni n ∈ N.
8. Dimostrare che n2 + 3n + 5 non è divisibile per 121 per ogni n ∈ N.
9. Sia A la somma delle cifre del numero 44444444 . Sia B la somma delle cifre di A. Qual è la
somma delle cifre di B ? (IMO 1975).
10. Lungo un corridoio sono disposte 2000 porte contrassegnate con i numeri {1, 2, . . . , 2000}.
All’inizio tutte le porte sono chiuse. Una persona cammina lungo il corridoio ed apre tutte le
porte con numero pari a partire dalla numero 2, cosı̀ che tutte le porte {2, 4, . . . , 1998, 2000}
sono aperte. Un’altra persona cammina lungo il corridoio e cambia lo stato (cioè chiude una
porta se essa è aperta e la apre se è chiusa) delle porte contrassegnate con un multiplo di 3.
Quindi un’altra persona cambia lo stato delle porte contrassegnate con un multiplo di 4, ecc.
Questo processo continua finchè lo stato delle porte non può essere più alterato. Dire quante
sono le porte chiuse alla fine del processo.
11. Quale resto si ottiene dividendo 61987 per 37 ?
12. Sia N = 22 · 31 + 11 · 17 + 13 · 19. Determinare
(a) la parità di N ;
(b) l’ultima cifra di N ;
(c) il resto quando N viene diviso per 7.
13. Trova l’ultima cifra del numero 19891989 .
14. Trova l’ultima cifra del numero 777777 .
7
15. Trova l’ultima cifra del numero 77 .
16. Qual è l’ultima cifra del numero ((((((((((7)7 )7 )7 )7 )7 )7 )7 )7 )7 )7 in cui 7 figura 10 volte come
esponente.
17. Qual è l’ultima cifra del numero 7
77
77
77
.
18. Trova le ultime due cifre di 31234 .
19. Trova le ultime tre cifre di 79999 .
16
20. Dimostrare che esiste un multiplo di 21 avente 241 come ultime tre cifre.
21. Dimostrare che il numero 222
· · · 22} è divisibile per 1982.
| {z
1980 cifre
22. Dimostrare che se 2n + 1 e 3n + 1 sono quadrati perfetti allora n è divisibile per 40.
23. Dimostrare che la somma di due quadrati dispari non può essere un quadrato
24. Dimostrare che la successione di numeri 11, 111, 1111, 11111, . . . (scritti in base 10) non
contiene quadrati perfetti.
25. Dimostrare che il numero 111
· · 111} è divisibile per 81.
| ·{z
81 cifre
26. Dimostrare che nella successione 1, 31, 331, 3331, . . . esistono infiniti numeri composti.
27. Dimostrare che 270 + 370 è divisibile per 13.
28. Dimostrare che 3105 + 4105 è divisibile per 7.
29. Dimostrare che 22225555 + 55552222 è divisibile per 7.
30. Dimostrare che 4n + 15n − 1 è divisibile per 9.
31. Dimostrare che 3851989 + 181980 non è un quadrato perfetto.
32. Dimostrare che non esistono numeri interi a, b tali che a2 − 3b2 = 8.
33. Dimostrare che non esistono numeri interi a, b tali che 15a2 − 7b2 = 9.
34. Dimostrare che l’equazione x2 + y 2 + z 2 = 2xyz non ha soluzioni intere eccetto (0, 0, 0).
35. Dimostrare che la somma dei quadrati di cinque numeri naturali consecutivi non può essere
un quadrato perfetto.
36. Dimostrare che il numero 100 · · · 00500 · · · 001 (100 zeri nei due gruppi) non è un cubo perfetto.
37. Se a + 1 è divisibile per 3 dimostra che 4 + 7a è divisibile per 3.
38. Trova l’ultima cifra del numero 12 + 22 + · · · + 992 .
39. Sette numeri naturali sono tali che la somma di ogni sei di essi è divisibile per 5. Dimostra
che ognuno di questi numeri è divisibile per 5.
40. Dimostrare che esiste un numero naturale n tale che i numeri n + 1, n + 2, · · · , n + 1999 sono
tutti composti.
41. Dimostrare che 399 + 61100 è divisibile per 31.
42. Quale resto si ottiene dividendo il numero 1010 + 10100 + 101000 + · · · + 1010000000000 per 7.
43. Dimostra che, se p è un numero primo maggiore di 3, allora p2 − 1 è divisibile per 24.
44. Trova la somma di tutti gli interi x divisibili per 7 tali che 1 ≤ x ≤ 1000.
17
45. La successione di numeri naturali (an ) soddisfa le condizioni
(a) a1 = a2 = 1
(b) an+2 = an+1 · an per ogni n ∈ N
Dimostrare che nessun termine della successione è divisibile per 4.
46. Dimostra che nessuno dei numeri an = 100100 · · · 1001 è primo, dove n = 2, 3, 4, . . . indica il
numero delle occorrenze delle cifra 1 in an .
47. Trovare il più piccolo intero positivo che diviso per 13 da resto 5 e diviso per 23 da resto 12.
48. Paolo ha una collezione di monete. Se egli dispone le monete in pile da 6 gli restano 3 monete.
Se le monete sono disposte in pile da 8 restano 7 monete e se sono disposte in pile da 5 restano
4 monete. Se il numero n di monete è minore di 100, trovare n.
(Flanders Mathematical Olympiad 1997-98)
49. Sia d un intero positivo diverso da 2,5,13. Prova che esistono due numeri interi distinti
a, b ∈ {2, 5, 13, d} tali che ab − 1 non è un quadrato perfetto (IMO 1986).
50. Dimostra che un intero positivo n è somma di almeno due interi positivi consecutivi se e solo
se non è una potenza di due. (Canadian Mathematical Olympiad 1976)
51. Trova tutte le soluzioni intere dell’equazione diofantea 5x + 3y = 7.
52. Marinai, noci di cocco e scimmie. Cinque marinai sono finiti dopo un naufragio su
un’isola. Per procurarsi cibo, essi raccolgono tutte le noci di cocco che riescono a trovare.
Durante la notte uno dei marinai si sveglia e decide di prendersi la sua parte di noci. Egli
le divide in cinque mucchi uguali e scopre che ne avanza una, ed allora questa la getta alle
scimmie. Poi nasconde la sua parte e torna a dormire. Dopo un po’ si sveglia un secondo
marinaio con la medesima idea. Egli divide quel che è restato delle noci in cinque mucchi
uguali, scopre che ne avanza ancora una e la getta alle scimmie. Poi nasconde la sua parte.
A loro volta gli altri tre marinai fanno lo stesso, e ciascuno getta una noce alle scimmie. La
mattina dopo i marinai, con l’aria più innocente del mondo, dividono le noci rimaste in cinque
mucchi uguali e questa volta non ne avanza nessuna. Trovare il minimo numero possibile di
noci del mucchio originario. (Hint: Il problema è ricondotto a quello di trovare le soluzioni
intere positive dell’ equazione diofantea: 1024x − 15625y = 8404)
53. Trova tutte le soluzioni intere delle seguenti equazioni diofantee:
(a) 3x + 2y = 1
(b) 91x + 221y = 15
(c) 401x + 503y = 20
54. Decomporre il numero 71 nella somma di due addendi positivi, dei quali il primo sia multiplo
di 5 e l’altro multiplo di 8.
55. Rappresentare il numero 131 come somma di due addendi non negativi di cui il primo, diviso
per 7, dia resto 3 e l’altro, diviso per 11, dia resto 5.
18
56. Decomporre la frazione 128/117 nella somma di due frazioni positive aventi per denominatori
9 e 13.
57. Un fattore compra delle mucche a 80000 lire l’una, e dei maiali a 50000 lire l’uno. Paga in
tutto 810000 lire. Quante mucche e quanti maiali ha comprato ?
58. Dimostra che se l’equazione
ax + by + cz = e
ammette soluzioni intere allora MCD(a, b, c) | e. Viceversa, supposto che MCD(a, b, c) | e,
prova che esistono w, z ∈ Z tali che
(a, b)w + cz = e
e poi prova che esistono x, y ∈ Z tali che
ax + by = (a, b)w
La stessa tecnica può essere utilizzata per risolvere equazioni diofantee lineari con n incognite.
59. Trova le soluzioni intere dell’equazione
323x + 391y + 437z = 10473
60. Roberto ha 56 monete in pezzi da 1, 5, 10 centesimi. Dire quante sono le monete di ciascun
taglio sapendo che la somma complessiva è di 97 centesimi.
61. Esprimere ciascuno dei seguenti numeri razionali sotto forma di frazione continua semplice
finita:
185
185
69
118
(a)
(b)
(c)
(d)
56
56
31
303
62. Trovare i numeri razionali rappresentati dalle seguenti frazioni continue:
(a) [4; 1, 3, 5, 7]
(b) [2; 1, 3, 1, 1, 5]
(c) [0; 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1]
(d) [−1; 1, 4, 16]
63. Determinare le convergenti dalle seguenti frazioni continue:
(a) [1; 4, 3, 3, 4, 1]
(b) [2; 1, 1, 1, 1, 5]
(c) [0; 3, 5, 1, 10, 3]
64. Mediante le frazioni continue trovare la soluzione generale di ciascuna delle seguenti equazioni
diofantee
(a) 11x + 31y = 1
(b) 2x + 9y = 1
(c) 158x − 57y = 1
(d) 17x − 12y = 1
65. Calcolare il valore di ognuna delle seguenti frazioni continue infinite:
(a) [3, 4]
(b) [2; 1, 3, 1]
(c) [1; 3, 2, 1]
(d) [0; 1, 2, 3]
66. Esprimere ciascuno dei seguenti numeri irrazionali sotto forma di frazione continua semplice
infinita:
√
√
√
√
1 + 13
5 + 31
7− 5
(a) 11
(b)
(c)
(d)
2
4
4
19
67. Sostituendo successivamente i valori y = 1, 2, 3, . . . nell’espressione dy 2 + 1 determinare la
soluzione fondamentale dell’equazione x2 − dy 2 = 1 quando d vale
(a) 7
(b) 1
(c) 18
(d) 30
(e) 39
68. Trovare la soluzione fondamentale delle seguenti equazioni
(a) x2 − 29y 2 = 1
(b) x2 − 26y 2 = 1
(c) x2 − 41y 2 = 1
(d) x2 − 74y 2 = 1
69. Dimostrare che n2 + (n + 1)2 è un quadrato perfetto per infiniti valori di n.
70. Dimostrare che se (x1 , y1 ) è la soluzione fondamentale di x2 − dy 2 = −1 allora la coppia
√
√ 2
(x2 , y2 ) definita dall’uguaglianza x2 + y2 d = x1 + y1 d è la soluzione fondamentale di
x2 − dy 2 = 1.
71. Trovare il più piccolo numero naturale n di tre cifre tale che la somma 1 + 2 + · · · + n è un
quadrato perfetto.
n(n + 1)
. Il numero
72. Un numero naturale a si dice triangolare se esiste n ∈ N tale che a =
2
8·9
36 è sia triangolare che quadrato dato che 36 = 62 =
. Trovare il più piccolo numero
2
triangolare-quadrato maggiore di 36.
73. Trovare il più piccolo numero naturale di due cifre della forma n(n + 1)/3 che è un quadrato
perfetto.
74. Risolvere l’equazione diofantea
x2 + y 2 = 4xy + 1
75. Trovare tutti i valori di n per cui il numero di diagonali di un poligono convesso di n lati è un
quadrato perfetto. (Mathematical Reflection n. 5 (2009), Problem J135)
76. Trovare gli interi n per cui esiste un intero m tale che
1 + 2 + 3 + · · · + m = (m + 1) + (m + 2) + · · · + n
77. Determinare gli interi positivi m, n tali che
m + (m + 1) + · · · + (n − 1) + n = mn
(International Mathematical Talent Search 2/31)
78. Dimostrare che esistono infiniti interi n tali che n, n + 1, n + 2 sono ognuno la somma di due
quadrati perfetti. (Esempio 0 = 02 + 02 , 1 = 02 + 12 , 2 = 12 + 12 ).
(W.L. Putnam Mathematical Competition 2000).
79. Trovare tutti i triangoli tali che le lunghezze dei lati sono interi consecutivi e la cui area è
espressa da un numero intero.
80. Dimostrare che esistono infiniti interi n, multipli di 40 tali che 2n + 1 e 3n + 1 sono quadrati
perfetti. (American Math Monthly E2606)
81. Dimostrare che esistono infiniti interi positivi n tali che n2 + 1 divide n!
√ 82. Dimostrare che esistono infiniti interi positivi n tali che
2n + 1 è un quadrato perfetto.
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Riferimenti bibliografici
[1] Massimo Gobbino, Schede Olimpiche, U.M.I, Bologna (2010)
[2] C.D. Olds, Frazioni Continue, Zanichelli, Bologna (1968)
[3] David M. Burton, Elementary Number Theory, Allyn and Bacon, Boston (1980)
[4] Edward J. Barbeau, Pell’s Equation, Springer (2000)
[5] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu,
An introduction to Diophantine equations, Birkhauser, New York (2010)
[6] Kin Y. Li, Pell’s Equation (I), Mathematical Excalibur, vol.6, n.3 (2001)
[7] Kin Y. Li, Pell’s Equation (II), Mathematical Excalibur, vol.7, n.1 (2002)
[8] R.W. Owens, An algorithm to solve the Frobenius problem,
Mathematics Magazine 76(4), (2003), pag. 264-275
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