Complemento 1: Topologia degli insiemi ordinati.

Complemento 1:
Topologia degli insiemi ordinati.
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Ripasso
1.1
Schemi simpliciali
Uno schema simpliciale (detto anche complesso simpliciale astratto) è una
famiglia K ⊆ P(V ) di sottoinsiemi finiti di un insieme di base V (detto
insieme dei vertici) tale che:
(i) σ ∈ K ⇒ P(σ) ⊂ K,
(ii) ∀v ∈ V : {v} ∈ K.
La dimensione di un simplesso σ ∈ K è la sua cardinalità. La famiglia
dei simplessi di K di dimensione uguale a m è detta m-scheletro di K e si
denota con Km .
1.2
Realizzazione geometrica
Sia K uno schema simpliciale. La realizzazione geometrica di K è
X
X
tv v | ∀v : tv ≥ 0,
tv = 1, σ ∈ K .
|K| :=
v∈σ
v∈σ
Per ogni σ ∈ K di cardinalità k l’insieme
X
X
|σ| :=
tv v | ∀v : tv ≥ 0,
tv = 1
v∈σ
v∈σ
è in naturale corrispondenza con il simplesso standard in Rk
k
∆ :=
k
(x1 , . . . , xk ) ∈ R |
k
X
i=1
e ne eredita la topologia.
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xi = 1, ∀ixi ≥ 0 ,
Topologia di |K|: Un insieme A ⊂ |K| è aperto se e solo se A ∩ |σ| è aperto
in |σ| per ogni σ ∈ K.
Esempio: Consideriamo il complesso simpliciale K = K0 ∪ K1 dato da
K0 := {0} ∪ { n1 } | n ∈ N ,
1 1
K1 := { n+1
, n} | n ∈ N .
Si vede che l’insieme {0} è aperto nella topologia di |K| ma non in quella
indotta da R sulla realizzazione geometrica evidente.
1.3
Mappe simpliciali
Siano K, L due schemi simpliciali. Una funzione f : K → L è detta mappa
simpliciale se per ogni simplesso σ ∈ K vale f (σ) ∈ L.
Continuità: Ogni mappa simpliciale f : K → L induce una funzione |f | :
|K| → |L| “per estensione lineare”:
X
X
tv v 7→
tf (v) f (v).
v∈σ
v∈σ
Questa mappa è continua: in effetti basta verificare la continuità su ogni
singolo simplesso σ ∈ K, ma questa è evidente perchè ogni restrizione fσ è
lineare.
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Topologia degli insiemi ordinati
Sia P con la relazione d’ordine parziale ≤ un insieme parzialmente ordinato
(o, come diremo poi, poset, da partially ordered set).
Canonicamente associato a P è il suo opposto P op : l’insieme con gli
stessi elementi ma ordinato in modo che p1 ≤P op p2 ⇔ p1 ≥P p2 .
Quando si parla della ’topologia di un poset’ ci si riferisce perlopiù implicitamente alla topologia del complesso simpliciale delle catene (sottoinsiemi totalmente ordinati) di P , detto anche complesso d’ordine di P e scritto
∆(P ). Formalmente:
∆(P ) := {σ ⊂ P | ∀p1 , p2 ∈ σ : p1 ≥ p2 oppure p2 ≥ p1 }.
Nota bene: ∆(P ) = ∆(P op )! (perchè?).
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2.1
Mappe tra posets
È naturale richiedere che un “morfismo di posets” φ : P → Q debba
rispettare l’ordine, cioè soddisfare
p1 ≤ p2 ⇒ φ(p1 ) ≤ φ(p2 ).
In effetti abbiamo:
Lemma: Siano P , Q due insiemi parzialmente ordinati, φ : P → Q,
f : ∆(P ) → ∆(Q) due funzioni tali che f ({p}) = {φ(p)} per ogni p ∈ P .
Allora f è una mappa simpliciale se e solo se φ rispetta o inverte l’ordine.
Dimostrazione: Sia f simpliciale e consideriamo due elementi p1 ≤ p2 in
P . In particolare σ := {p1 , p2 } è un simplesso di ∆(P ), e quindi abbiamo
f (σ) = {φ(p1 ), φ(p2 )} ∈ Q. Per definizione di ∆(Q) ciò significa p1 ≤ p2 o
p 1 ≥ p2 .
Supponiamo ora che φ : P → Q rispetti l’ordine, e consideriamo un
k-simplesso σ = {p0 < p1 < · · · < pk }. Per costruzione sappiamo che
f (σ) = {φ(p0 ), φ(p1 ), . . . φ(pk )}, e per ipotesi φ(p0 ) ≤ φ(p1 ) ≤ . . . ≤ φ(pk ).
Quindi f (σ) ∈ ∆(Q) e f è simpliciale.
Il caso in cui φ inverte l’ordine è analogo.
Scolio: Ogni morfismo di insiemi parzialmente ordinati φ : P → Q induce
una mappa simpliciale ∆(P ) → ∆(Q) che chiameremo fφ .
2.2
Suddivisione baricentrica
Sia K uno schema simpiciale e sia F(K) l’insieme dei suoi simplessi ordinato
per inclusione.
La suddivisione baricentrica Bd|K| della realizzazione di K è il complesso
simpliciale geometrico ottenuto da |K| sostituendo ad ogni simplesso |σ| induttivamente nella dimensione - il cono sulla suddivisione del suo bordo
con apice un nuovo vertice bσ posto nel baricentro geometrico del ‘vecchio’
simplesso |σ|.
Sia BdK lo schema simpliciale del complesso Bd|K|.
Proposizione: Con le notazioni adottate sopra abbiamo
BdK = ∆(F(K)).
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Dimostrazione: Induzione nella dimensione.
Corollario: Abbiamo le seguenti omotopie canoniche:
|K| ' |BdK| ' |∆(F(K))|.
2.3
Mappe tra complessi d’ordine
Utilizzando il teorema di approssimazione simpliciale è facile dimostrare il
seguente enunciato:
Teorema: Siamo P, Q due insiemi parzialmente ordinati. Per ogni mappa
continua F : |∆(Q)| → |∆(Q)| esiste un numero naturale N e un morfismo
φ : P → F(∆(· · · F(∆(Q)) · · · ))
|
{z
}
N volte
tale che
F ∼ fφ .
2.4
Fatti notevoli
Dato un poset P è uso comune scrivere P ∪ {0̂} (rispettivamente P ∪ {1̂})
per significare il poset ottenuto aggiungendo a P un elemento più piccolo
(risp. più grande) di tutti gli altri.
Diverse costruzioni topologiche sui complessi d’ordine si lasciano esprimere in forma interessante attraverso i posets corrispondenti - per esempio:
cone(|∆(P )|) ' |∆(P ∪ {1̂})|,
susp(|∆(P )|) ' |∆(P ∪ {1̂0 , 1̂00 })|,
(= aggiunta di ‘due elementi massimi’
incomparabili tra loro)
|∆(P ) × ∆(Q)| ' |∆(P × Q)|.
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