1) Gli elementi Euclidei

PREMESSA
La geometria che studieremo e' detta geometria euclidea, dal nome dello studioso greco Euclide,
vissuto nel terzo secolo A.C., il quale scrisse un famoso trattato: "Gli Elementi", che ebbe grande
diffusione anche presso altri popoli antichi.
Si chiama postulato una affermazione teorica che non viene dimostrata, ma solo intuita. Se ne
ammette la validità, come punto di partenza per altri ragionamenti.
Si chiama teorema una affermazione dimostrata con un ragionamento rigoroso che parte da una
ipotesi (affermazione ritenuta vera in quanto già dimostrata o accettata come corretta), per arrivare
con la logica e la deduzione ad una tesi (l'enunciato del teorema), che viene cosi' dimostrata.
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PUNTO: E' un ente geometrico fondamentale che non ha dimensioni; ha solo una posizione. E' un
concetto ideale e intuitivo: lo rappresenteremo graficamente con un segno puntiforme
accompagnato da una lettera maiuscola.
.A
LINEA: E' un insieme continuo e infinito di punti. Essa ha una sola dimensione: la lunghezza, ma
non e' misurabile. Nella sua rappresentazione grafica la indicheremo con una lettera minuscola.
b
RETTA: E' una particolare linea con una direzione costante: ne da' un'idea intuitiva un filo teso.
r
SEMIRETTA: E' ciascuna delle due parti in cui una retta viene divisa da un punto: essa e' quindi
ancora infinita (non misurabile), anche se ha un inizio in un punto, il quale prende il nome di
origine della semiretta.
O
•
SEGMENTO: E' una parte di retta delimitata da due suoi punti, che si dicono estremi del segmento.
Il segmento ha solo la dimensione della lunghezza ed e' misurabile. Lo indicheremo con una lettera
minuscola (e' una parte di retta), oppure con le due lettere maiuscole con cui sono indicati i suoi
estremi (segmento AB)
A
B
1
Due segmenti si dicono Consecutivi: quando hanno un estremo in comune
B
A
C
Più segmenti consecutivi formano una spezzata. I segmenti che la costituiscono si dicono lati della
spezzata e gli estremi dei segmenti si dicono vertici della spezzata. Una spezzata può essere aperta
o chiusa.
Spezzata aperta
spezzata chiusa
POLIGONO
Si dice poligono la parte di piano delimitata da una spezzata chiusa.
B
A
D
E
C
I segmenti che formano tale spezzata sono i lati del poligono; i loro estremi si dicono vertici del
poligono. Il poligono prende il nome dal numero dei suoi lati.
Due lati (es AB e BC) che hanno un vertice in comune (B), si dicono consecutivi.
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ANGOLO: E' la parte di piano limitata da due semirette aventi la stessa origine. Quest'ultima prende
il nome di vertice dell'angolo, le due semirette si dicono lati dell'angolo.
Quando non vi è possibilità di equivoco un angolo si indica con la lettera (maiuscola) che
rappresenta il suo vertice: angolo A. Talvolta un angolo viene indicato con una lettera dell'alfabeto
greco: angolo α, β, δ,.... Quando più angoli hanno il vertice in comune è bene indicarli con una
sequenza di tre lettere: le due esterne stanno sui lati dell'angolo, quella centrale rappresenta il vertice
dell'angolo: angolo AÔB.
A •
O
•
B
2
Il concetto di angolo è anche legato a quello di rotazione: possiamo cioè immaginare di descrivere
un angolo facendo ruotare una semiretta intorno alla sua origine.
V•
L'ampiezza di un angolo è misurabile. Occorrerà però avere a disposizione un angolo di riferimento
che faccia da unità di misura, e che possa essere confrontato con l'angolo da misurare. Tale unità di
misura è il grado, un angolo che è la trecentosessantesima parte dell'angolo giro. L'angolo giro
si può pensare generato da una semiretta che ruoti intorno alla sua origine fino a sovrapporsi a se
stessa. Esso è in pratica costituito da tutti i punti del piano, e naturalmente misura 360 gradi.
Angolo giro: 360°
Un angolo piatto è la metà di un angolo giro e misura 180°. I suoi lati sono due semirette opposte.
Un angolo retto è la metà di un angolo piatto e misura 90°.
•
Angolo piatto
Angolo retto
Un angolo acuto e' minore di un angolo retto. Un angolo ottuso e' maggiore di un angolo retto, ma
minore di un angolo piatto.
Angolo acuto
Angolo ottuso
POSIZIONE RECIPROCA DI DUE ANGOLI:
Due angoli si dicono consecutivi se hanno in comune il vertice e un lato. (Due angoli si possono
disporre in modo che siano consecutivi per determinarne graficamente la somma).
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Due (o più) angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto. Due (o più) angoli sono
supplementari se la loro somma è un angolo piatto. Due (o più) angoli sono esplementari se la
loro somma è un angolo giro.
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Si dice bisettrice di un angolo la semiretta che divide l'angolo in due angoli uguali.
bisettrice
Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro.
Due angoli opposti al vertice sono uguali.
POSIZIONE RECIPROCA DI DUE RETTE
Su un piano due rette possono essere disposte solo in due modi: Rette parallele: non hanno nessun
punto in comune.
Rette incidenti: hanno un punto in comune che e' il loro punto di intersezione.
Rette perpendicolari
Due rette incidenti si dicono perpendicolari se formano quattro angoli uguali. Tali angoli saranno
pertanto retti. Per riconoscere che due rette sono perpendicolari basterà verificare che è retto uno dei
quattro angoli da esse determinati.
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