TRIANGOLI
Def:
Si dice triangolo un poligono che ha 3 lati e 3 angoli.
Proprietà:
in ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato.
CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI
a) RISPETTO AI LATI
SCALENO: tutti i lati sono diversi tra loro
ISOSCELE: ha due lati congruenti
EQUILATERO: ha tutti i lati congruenti.
1
b) RISPETTO AGLI ANGOLI
OTTUSANGOLO: ha un angolo OTTUSO, maggiore di
e minore di
.
RETTANGOLO: ha un angolo retto, ovvero di
ACUTANGOLO: ha tutti gli angoli acuti, ovvero minori di
TRIANGOLI PARTICOLARI
a) ISOSCELE
LATI OBLIQUI
BASE
Proprietà:
un triangolo isoscele ha sempre i LATI OBLIQUI CONGRUENTI e gli ANGOLI DI
BASE CONGRUENTI.
2
b) EQUILATERO
triangolo regolare
Proprietà:
un triangolo equilatero ha sempre tutti i LATI CONGRUENTI e tutti gli ANGOLI
CONGRUENTI
c) RETTANGOLO
(opposta all’angolo retto)
Proprietà:
un triangolo rettangolo ha sempre un ANGOLO RETTO (
).
I lati che formano l’angolo retto si chiamano CATETI; il lato opposto all’angolo retto
si chiama IPOTENUSA.
Osservazione:
dato che la somma degli angoli interni di un triangolo è
allora
3
1. ALTEZZA
Def:
si dice ALTEZZA di un triangolo RELATIVA ad UN LATO il segmento
perpendicolare al lato e passante per il vertice opposto.
Il lato si dice BASE dell’altezza.
TRIANGOLO ACUTANGOLO
Le 3 altezze sono: CH , AK, BT e si incontrano nel punto
O interno al triangolo.
TRIANGOLO OTTUSANGOLO
Le tre altezze sono AH , BT, CK e si incontrano
nel punto O esterno al triangolo.
TRIANGOLO RETTANGOLO
Le tre altezze sono:
CH relativa all’ipotenusa,
AC, che è anche un cateto,
BC, che è l’altro cateto.
Le altezze si incontrano nel punto C, che è il vertice dell’angolo RETTO.
Def:
il punto O di incontro delle tre altezze si chiama ORTOCENTRO.
4
2. MEDIANA
Def:
si dice MEDIANA di un triangolo, relativa ad un lato, il segmento che unisce il
vertice con il PUNTO MEDIO del lato opposto.
PUNTO MEDIO: il punto che sta a metà del segmento.
TRIANGOLO ACUTANGOLO
Si devono trovare i punti medi di ogni
segmento: M, N, P
Si deve unire ogni vertice con il punto medio
opposto:
CM, AN, BP sono le tre MEDIANE
Il loro punto d’incontro è G.
TRIANGOLO OTTUSANGOLO
Le tre mediane sono: AN, CM, BP.
Si incontrano nel punto G, interno al triangolo.
TRIANGOLO RETTANGOLO
Le tre mediane sono AN, CM, BP.
Si incontrano nel punto G interno al
triangolo.
Def:
il punto di incontro delle MEDIANE si dice BARICENTRO e si indica con la lettera
G.
5
Proprietà:
il BARICENTRO divide ogni mediana in due parti, di cui una è il doppio dell’altra;
ovvero il segmento che va dal VERTICE al baricentro è il DOPPIO del segmento che
va dal baricentro al PUNTO MEDIO.
AG = 2 GN
CG = 2 GM
BG = 2 GP
3. BISETTRICE
Def:
Si dice BISETTRICE di un triangolo relativa ad un angolo il segmento che divide a
metà l’angolo e incontra il lato opposto.
Le tre BISETTRICI sono CR, BT, AS.
Def:
l’incontro delle BISETTRICI di un triangolo si
chiama INCENTRO, I, ed è sempre interno al
triangolo.
Proprietà:
in ogni triangolo l’INCENTRO è
EQUIDISTANTE dai lati, ovvero la
distanza di I dai lati è uguale per ogni lato.
ID = IE = IF
l’incentro è il centro della
circonferenza inscritta nel triangolo.
6
4. ASSE
Def:
l’ASSE di un segmento è la retta PERPENDICOLARE al segmento passante nel
PUNTO MEDIO.
TRIANGOLO ACUTANGOLO
I tre assi si incontrano nel punto C, interno al
triangolo.
TRIANGOLO OTTUSANGOLO
I tre assi si incontrano nel punto C, esterno al triangolo.
TRIANGOLO RETTANGOLO
I tre assi si incontrano nel punto C,
sull’ipotenusa e coincidente con il punto
medio M.
Def:
i tre assi del triangolo si incontrano nel punto detto CIRCOCENTRO, che è il centro
della circonferenza circoscritta.
7
Proprietà:
in un triangolo EQUILATERO, ALTEZZA, MEDIANA, BISETTRICE e ASSE
relativi ad un qualsiasi lato coincidono.
PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
ORTOCENTRO
ALTEZZE
BARICENTRO
INCENTRO
CIRCOCENTRO
MEDIANE
BISETTRICI
ASSI
Acutangolo interno
Ottusangolo esterno
Rettangolo coincide
con il vertice dell’angolo
retto
Sempre interno
Sempre interno
Acutangolo interno
Ottusangolo esterno
Rettangolo coincide
con il punto medio
dell’IPOTENUSA
8
CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Def:
un movimento RIGIDO in geometria è uno spostamento che NON deforma la figura.
Def:
due triangoli sono CONGRUENTI se è possibile con un MOVIMENTO RIGIDO
sovrapporli in modo da farli coincidere.
con
uno
sposta
mento
coincid
ono
Due triangoli
stessi lati:
e
sono CONGRUENTI se hanno gli stessi angoli e gli
PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA
(L-A-L):
due triangoli sono congruenti se hanno due lati corrispondenti congruenti e l’angolo
compreso congruente.
9
SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA
(A-L-A):
due triangoli sono congruenti se hanno due angoli corrispondenti congruenti e il lato
compreso congruente.
TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA
(L-L-L):
due triangoli sono congruenti se hanno tutti i lati corrispondenti congruenti.
10
