62/8=,21(352%/(0$
a. Intanto la lunghezza di ciascuno dei tre lati dovrà essere positiva, per cui:
D + 2 [ > 0
D
D − [ > 0 ⇒ − < [ < D
2
2 D − [ > 0
Poiché inoltre ciascun lato deve essere minore della somma degli altri due, si ha anche:
D + 2 [ < (D − [ ) + (2D − [ )
D
D − [ < (D + 2 [ ) + (2D − [ ) ⇒ 0 < [ < , che è anche la condizione conclusiva.
2
2D − [ < (D + 2 [ ) + (D − [ )
b. Per stabilire se fra i triangoli non degeneri ne esiste uno di area massima o minima,
calcoliamo intanto l’area con la formula di Erone: 6 = S ( S − O1 )( S − O 2 )( S − O 3 ) , dove con
O1, O2 ed O3 abbiamo indicato i lati nell’ordine assegnati e con S il semiperimetro (S = 2 D ).
Si ha: 6 ( [) = 2D ⋅ [2D − (D + 2 [)]⋅ [2D − (D − [)]⋅ [2D − (2D − [)] = 2D[(−2 [ 2 − D[ + D 2 ) .
Per rendere massima o minima l’area del triangolo dobbiamo derivare la funzione 6([)
oppure più semplicemente, poiché ci interessano i suoi valori stazionari, il suo quadrato
6 ( [ ) = < (cioè il radicando).
Si ottiene < ’= 2D (−2 [ 2 − D[ + D 2 ) + 2D[(−4 [ − D ) = 2D (−6 [ 2 − 2D[ + D 2 ) , da cui <’=0 ⇒
7 +1
7 − 1
e [ = D
= −D
6 , delle quali la prima non è accettabile.
6
Posto <¶>0 si deduce che la funzione < cresce per valori interni e quindi che
7 −1
[ = D
6 ≅ 0,27 D è il valore che rende massima l’area.
[
c.
Poiché 0 <
D
4
<
D
2
per
[
=
D
4
si hanno lati di un triangolo non degenere di lunghezze
3
6
3
7
D =
D , O
D e O =
D cioè tre lati rispettivamente
2 =
3
2
4
4
4
proporzionali ai numeri 6, 3 e 7. Per fare la costruzione geometrica con riga e compasso,
basterà disegnare un segmento &%=7u e successivamente puntare con il compasso prima in
& e costruirsi un arco di raggio 6u e poi in % e costruirsi un arco di raggio 3u; il punto A di
intersezione tra i due archi è il terzo vertice del triangolo.
Per stabilire se si tratta di un triangolo rettangolo, acutangolo o ottusangolo poiché, essendo
rispettivamente uguali a:
O
1
CB è il lato maggiore, risulta
=
$%
2
2
2
+ $& < &% il triangolo sarà ottusangolo in $̂ .
d. Dopo aver condotto per $ la retta
perpendicolare al piano del triangolo e preso
su di essa un punto ' tale che $' sia lungo
D, dobbiamo calcolare l’altezza $+ relativa
alla base
%&
. Intanto per
[
=
D
l’area del
4
5 2
D
D
triangolo $%& sarà 6 =
e quindi
4 4
applicando la formula inversa dell’area si ha:
5 2 4
2 5
$+ = 2 ⋅
D ⋅
=
D .
Infine dal
4
7D
7
triangolo
ˆ =
WJ'+$
rettangolo
$'
$+
=
D
2 5
D
7
compreso tra 57° e 58°.
'$+
,
=
ricordando
$+
che
7 5
≅ 1,5652 , da cui
10
⋅ WJ'+ˆ $ =
$'
si
deduce
ˆ ≅ 57,42° , cioè l’angolo richiesto è
'+$
