Lezione 12. Proprietà fisiche di un plasma

Proprieta’ fisiche di un plasma
Data la somiglianza tra fluidi e plasmi ci si aspetta che lo studio della dinamica di un plasma
sia fatta ancora utilizzando i metodi della meccanica statistica. Questo e’ vero in linea di
principio, perché si tratta di studiare la dinamica di un sistema di molte particelle di cui siamo
interessati al comportamento di insieme (o macroscopico).
Si e’ visto che le proprietà macroscopiche statiche e dinamiche di un fluido possono essere
modellate con equazioni cinetiche che rappresentano
1) Il moto delle particelle, spesso di una sola specie, affetto solo da campi esterni, in
particolare, (per fluidi “ terrestri”), un campo gravitazionale costante e in molti casi
trascurabile (con conseguente moto inerziale tra due collisioni). Esiste pertanto una chiara
separazione tra forze derivanti da sorgenti “esterne” ed e forze “interne” derivanti da
interazioni fra le componenti del sistema.
2) Collisioni schematizzabili nella maggior parte come urti binari perfettamente elastici con
sezione d’ urto costante e distribuzione angolare uniforme nel CM.
Con queste semplificazione, le equazioni cinetiche della fluidodinamica riconducono diretta
mente alle equazioni fluide, che si possono dedurre anche con una trattazione “macroscopica” del fluido modellato come un mezzo continuo.
1
Un plasma completamente isolato dallo spazio circostante e’ globalmente
elettricaImente neutro (ne = Z ni). Tuttavia, per il fatto che è composto da almeno due
specie di particelle cariche (una specie ionica totalmente o parzialmente ionizzata ed
un equivalente numero di elettroni), la dinamica microscopica è più complessa per i
seguenti motivi:
1)
Il moto delle particelle (nel caso piu’ semplice di almeno due diverse specie - elettroni
e protoni -), e’ affetto oltre che da campi elettrici e magnetici esterni a lungo range,
anche da campi elettrici e magnetici dovuti alla presenza di cariche elettriche in
movimento interne al sistema.
1)
A causa della multeplicità delle sorgenti, la dipendenza spaziale dei campi EM e’
dinamica e deve essere calcolata in modo auto consistente con le equazioni del moto
delle particelle.
2)
Gli effetti “collettivi” dei campi EM hanno effetti diversi su specie diverse.
3)
Le collisioni sono di tipo coulombiano e pertanto di tipo centrale e a lungo range,
pertanto non necessariamente binarie.
4)
La sezione d’ urto di Rutherford ha una distribuzione angolare che favorisce piccoli
angoli e la diffusione delle particelle a grandi angoli è dovuta principalmente a
scattering multiplo.
5)
Non esiste pertanto una chiara separazione tra forze derivanti da sorgenti “esterne”
ed e forze “interne”.
2
6)
A causa delle interazioni campi EM /particelle di tipo collettivo, il moto delle
particelle non e’ inerziale ma vario.
7)
In molti casi gli effetti forzanti più importanti sono dovuti a campi magnetici prodotti
internamente e/o esternamente, che impongono moti orbitali e anisotropie di moto
(derive) sia nello spazio reale sia in quello delle velocità.
In Figura 1 è rappresentato graficamente in modo qualitativo il moto delle
particelle di un fluido a) e di un plasma b)
Figura 1a)
Figura 1b)
Nel caso del fluido neutro il moto tra due collisioni è rettilineo ed uniforme anche in
presenza di campi EM, e le collisioni avvengono con una distribuzione angolare
poco piccata. Nel caso del plasma il moto delle particelle e’ influenzato dalla
presenza dei campi EM e le deflessioni sono a piccolo angolo.
Queste differenze tra la dinamica dei fluidi e dei plasmi a livello microscopico
produce necessariamente comportamenti macroscopici spesso diversi e richiedono
una trattazione piu’ dettagliata a livello cinetico.
3
Stato di plasma
Nello stato di plasma, il livello medio di ionizzazione e’ il risultato della competizione fra
processi di ionizzazione (separazione fra nucleo ed elettroni) e di ricombinazione
(cattura di un elettrone con emissione di un quanto di radiazione .
Il processo di ionizzazione si verifica dinamicamente quando l’ energia cinetica atomica
supera l’energia di ionizzazione (Ui = 13.6 eV per l’ H). I processi di ricombinazione non
hanno soglie ben definite.
Ad una certa temperatura T, il fenomeno di ionizzazione e’ in equilibrio con quello di
ricombinazione, e come conseguenza il livello di ionizzazione e’ costante.
4
Ionizzazone e ricombinazione
Il tasso di ionizzazione <σvi> e
ricombinazione <σvr> (no di ionizzazioni
/ricombinazioni per unità di tempo) e’
mostrato in figura (per H) in funzione della
temperatura in condizioni di equilibrio.
Queste curve sono ottenute integrando le
sezioni d’ urto elementari dei due processi
su una distribuzione Maxelliana di velocità
con energia media kT.
E’ ovviamente, in condizioni di equlibrio:
nioni
< σi ⋅ vi >
nneutri
< σn ⋅ vn>
103
104
105
106
107
T(°K)
5
Lunghezza di Debye
Il campo elettrostatico generato da una carica puntiforme q fissa in un plasma.
L'andamento del potenziale elettrostatico Φ generato da tale carica, circondata da
plasma, è sostanzialmente differente da quello che si avrebbe nel vuoto o in un gas
neutro, dove Φ (r) ~ q/r. In presenza di plasma, infatti, la densità di carica elettrica ρe
da usare nell'equazione di Poisson deve comprendere, oltre alla carica principale q, che
immaginiamo all'origine del sistema di riferimento scelto e che caratterizziamo quindi con
la funzione di Dirac δ(r), anche la densità di carica di polarizzazione dovuta alla
differenza delle densità di elettroni e di ioni in vicinanza di q, la cui espressione, se e è la
carica elementare, è e(ni — ne). Se q è positiva, l'equazione di Poisson assume dunque
la forma
(12 -1)
All’ equilibrio termodinamico, la distribuzione delle particelle cariche
è la distribuzione di Boltzmann, per cui si ha
- q - -- - - - - -- dove no è la densità media di elettroni e di ioni nella regione
- - imperturbata, (cioè lontano da q), in cui il plasma è neutro, cioè
- - -q
ne = ni = ne e Tk sono le temperature in eV . Sostituendo queste
espressioni per ne e ni nell'equazione di Poisson, otteniamo
l'equazione auto consistente per il potenziale
Figura 10 -1
(10 -2)
6
Per distanze sufficientemente grandi dalla carica q, dove l'energia potenziale è molto
minore dell'energia termica, (eΦ << Ti,e ) è possibile sviluppare gli esponenziali in serie di
potenze di eΦ per cui tenendo i soli primi due termini dello sviluppo e ricordando che
r ≠ 0, si ottiene
D'altra parte, essendo il problema a simmetria sferica, il laplaciano ∇2 in coordinate
sferiche si riduce alla sola parte radiale, per cui ponendo
(12.3)
l'equazione per Φ in coordinate sferiche diventa
∂ 2 (rΦ ) rΦ
− 2 =0
∂r 2
λD
r Φ =C 1 + C 2 e
−
r
λD
la cui soluzione ha la forma
(12.4)
La (12.4) è stata ottenuta imponendo che il potenziale si annulli all'infinito (C1 = 0) e che
per r << λD ad, cioè nelle immediate vicinanze della carica q, non essendoci schermatura,
esso coincida in pratica con quello coulombiano (Φ ~ q/r).
7
Per r >> λD , invece, il potenziale è notevolmente più debole del potenziale coulombiano,
cioè decade molto più rapidamente, a causa dell'effetto di schermatura del plasma; in altri
termini, nella sfera di raggio ad si raccoglie una carica di polarizzazione che scherma il
campo elettrostatico a grande distanza. La distanza caratteristica di tale schermatura, cioè
il parametro λD, è chiamato lunghezza di Debye, dal nome del fisico P. Debye che per
primo lo introdusse per l'analisi degli ioni nelle soluzioni elettrolitiche e che fu usato per la
prima volta per i gas ionizzati da E. Persico nel contesto di plasmi stellari. Per completezza,
scriviamo l'espressione generale per la lunghezza di Debye ad per un rapporto arbitrario tra
Te e Ti
(12.5)
In particolare, se Te >> Ti ( cosa che accade, per esempio, in una lampada al neon), oppure
Ti >> Te , l'espressione per ad diventa
(12.6)
avendo posto T = Te ,Ti rispettivamente. Il valore numerico della lunghezza di Debye è
8
Parametro di plasma
Un plasma può essere definito come un gas di particelle cariche la cui l’ energia
potenziale elettrostatica di interazione con le particelle più vicine è molto inferiore
all'energia termica media. Poiché la distanza media tra le particelle è circa n-1/3, questa
condizione diventa
(12.7)
con n0 = n può essere riscritta come
che utilizzando la (12.6)
(12.8)
dove a destra è indicato l'ordine di grandezza del numero. ND è detto parametro di
plasma che rappresenta approssimativamente il numero di particelle nella sfera di
raggio λD, detta sfera di Debye. Vale per esso la relazione numerica
per T in eV e n in m-3. Per un plasma con n = I020 m-3 la condizione ND >> 1 è
pienamente soddisfatta, per esempio, già per T = 1 eV.
Indicando con
e con
il parametro di ionizzazione
9
in figura (12.1a) si vede che per n = I020 m-3, T = 1 eV,
un gas di idrogeno sarebbe totalmente ionizzato,
mentre un gas di elio lo sarebbe solo in piccola parte.
Nel secondo caso (12.1b) si parla di miscela di gas
neutro e plasma, oppure di plasma parzialmente
ionizzato, dal momento che la parte ionizzata
risponderebbe alla condizione ND >> 1 . Sul piano
(logT, log n) della Figura 12.2 è indicata la retta
corrispondente a ND = 1 I gas ionizzati che
soddisfano la (12.8) vengono anche chiamati plasmi
ideali e si trovano a destra della retta ND = 1 .
H
Osserviamo, infine, che in un plasma si possono
trascurare gli effetti quantistici se la dimensione del
pacchetto d'onda di un elettrone tipico, cioè la
lunghezza d'onda di De Broglie corrispondente alla
velocità termica media degli elettroni, è piccola rispetto
alla distanza media tra le particelle, in modo da non
avere interazione tra le funzioni d'onda, cioè se risulta
He
Figura 12.1
10
log n
-2
-1
0
log T
12.2
11
Allora, essendo l'energia termica
la condizione da soddisfare può essere riscritta come
(12.10)
dove EF è l'energia di Fermi e a è un fattore numerico. L'uguaglianza T = α EF è
rappresentata nella figura (1.1) da una retta al di sotto della quale possiamo trascurare gli
effetti quantlstici, che diventano invece importanti solo a densità molto elevate, come quelle
dei solidi o delle stelle di neutroni.
12
Quasi neutralità
La caratteristica principale del plasma è la sua neutralità macroscopica, sostenuta dalla
reciproca compensazione della carica spaziale degli ioni positivi e degli elettroni. Tuttavia, tale
compensazione ha luogo solo in volumi abbastanza grandi e considerando intervalli di tempo
sufficientemente lunghi. Per questo si dice che il plasma è un mezzo "quasi-neutro".
Le dimensioni e gli intervalli di tempo entro cui la compensazione della carica di volume può
anche non avvenire sono detti distanza caratteristica e tempo caratteristico di separazione
di carica.
Determiniamo la distanza caratteristica di separazione di carica nel plasma, supponendo che in
una regione del plasma sia violata la neutralità, sicché risultino, per esempio, deficitari gli
elettroni entro una sfera di raggio L, dove sia
come indicato nel primo
diagramma della Figura 12.3. Dalla legge di Gauss
e usando il teorema della
divergenza si ha per il campo elettrico
e applicandolo a una sfera di raggio L uniformente carica si ha, grazie alla simmetria sferica del
problema
4 3 ~
 2
4
r
E
(
r
)
=
4
π
π
πr en

3
(12.11)

4
4πr 2 E (r ) = 4π πL3en~


3
13
L'andamento del campo elettrico è indicato nel
secondo diagramma della figura (12.3).
Confrontando la massima densità di energia
elettrostatica Ees= E2/8π con la minima densità di
energia termica Eth= nT , dove T è la minore
temperatura tra Te e Ti si ha:
Allora, combinando la precedente equazione con
la definizione di λD, possiamo scrivere
L
D'altra parte, in tutti i casi pratici risulta Ees << Eth
Figura 12.3. Concentrazione di elettroni e
che è poi la definizione stessa di plasma; per
ioni e campo elettrico all'interno e nelle
20
-3
immediate vicinanze di una sfera di raggio L
esempio, si può dimostrare che, per n = I0 m e
in cui sia violata la neutralità
T = 1 eV, per Ees = Eth si avrebbe un campo
dell'ordine di qualche MV/m. Si vede quindi che si ha ń/n << 1 il plasma è in pratica sempre
quasi-neutro, per cui le concentrazioni di elettroni e ioni possono essere considerate
praticamente uguali in particolare, solo su scale di lunghezza L piccole rispetto alla lunghezza
di Debye ad vi possono essere deviazioni dalla neutralità, e ad risulta essere la distanza
caratteristica di separazione delle cariche.
14
Conseguenze della “quasi neutralità”
•
Dato che una qualunque concentrazione di carica introdotta in un plasma, che
provoca l’insorgere di potenziali elettrici e’ rapidamente schermata dal plasma su
una distanza di scala λD , se la dimensione di scala spaziale di un plasma e’ L >>
λD , la maggior parte del plasma e’ elettricamente “quasi neutra”, nel senso che si
puo’ assumere , con buona approssimazione ne ~ ni ~ np e definire una
np
•
“densita’ di plasma”
La condizione di quasi neutralità non e’ realizzata entro la lunghezza di Debye
15
Frequenza di plasma
Determiniamo ora il tempo caratteristico di separazione delle
cariche nel plasma, studiando la risposta a piccole
perturbazioni della neutralità. Supponiamo, per esempio, che
in un plasma, dove gli ioni sono considerati fermi a causa
della loro massa elevata, uno strato di elettroni di spessore L
venga spostato dalla posizione iniziale di una distanza d
piccola rispetto a L, come illustrato nel primo diagramma della
figura (12.4).
In seguito a questo spostamento, si creano due strati di carica
opposta, con separazione L e con densità di carica ± ne. Il
campo elettrico tra i due strati è quindi E = 4πned e tende a
richiamare gli elettroni verso la posizione di equilibrio; in altri
termini, sugli elettroni agisce una forza di attrazione da parte
degli ioni uguale a - eE, per cui l'equazione del moto degli
elettroni è
Figura 12.4. Violazione della
neutralità di carica ai bordi di uno
strato piano di plasma
che rappresenta un'oscillazione armonica con frequenza
16
Questa è una grandezza fondamentale della fìsica dei plasmi ed è detta frequenza di
plasma per gli elettroni. Si definisce poi anche una frequenza di plasma per gli ioni
di carica Ze (dove Z è il numero atomico degli ioni)
(12.12)
e la frequenza delle oscillazioni prima descritte, quando non si trascura il moto degli
ioni, diventa, come vedremo
(12.13)
ed è detta frequenza di plasma.
Essendo me << mi, si ha ωpe >> ωpj, per cui ωpe ~ ωpj Per facilitare la valutazione
numerica delle frequenze di plasma, riportiamo le seguenti espressioni:
dove A è il numero di massa degli ioni e ne, ni sono in m-3.
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Le oscillazioni della carica di volume nel caso di violazione della quasi neutralità furono
osservate per la prima volta da I. Langmuir e sono perciò dette oscillazioni di plasma o
oscillazioni di Langmuir .
Corrispondentemente la frequenza di tali oscillazioni è detta frequenza di plasma o
frequenza di Langmuir.
Le oscillazioni del plasma determinano il meccanismo di restaurazione della quasineutralità. È chiaro infatti che, in media su un grande numero di periodi di oscillazioni, il
plasma si può considerare neutro. Di conseguenza il tempo caratteristico di separazione
delle cariche nel plasma,
(12.14)
che è una misura del tempo necessario al plasma per ristabilire la neutralità in seguito a
una sua violazione. Si trova allora che il legame tra questa quantità e la distanza
caratteristica di separazione delle cariche ad è molto semplice, risultando
(12.15)
dove
è la velocità termica degli elettroni
18
Sommario
In caso di violazione di neutralità, il plasma tende ad oscillare ad una frequenza
(angolare)
ωp = 5.64 104 ne ½
(ne in cm-3)
La frequenza di plasma (introdotta da Langmuir) è una frequenza nel range delle
centinaia di GHz per plasmi a densità di interesse termonucleare:
per ne = 1014 cm-3
ωp = 5.6 1011 s-1
L’ inverso della frequenza di plasma tp = ωe-1 può essere interpretato come il
tempo caratteristico di separazione delle cariche nel plasma.
Nel nostro modello le oscillazioni di plasma non sono smorzate perché il modello
non contiene alcun meccanismo di dissipazione di energia, che invece esiste ed
ed e’ costituito dalle collisioni elettrone-elettrone ed elettrone-ione. Quanto più
elevata e’ la frequenza di collisione tanto più rapidamente la neutralità e’ ristabilita
dall’ inizio della perturbazione .
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Condizione di plasma
A densità costante , se la temperatura del plasma aumenta (e quindi
ND = n λD3= (ε0KTe/ne2)3/2 , gli effetti collisionali diminuiscono e il comportamento del
plasma tende a essere dominato dalle interazioni dovute ai campi collettivi . Si
parlerà di comportamento “non collisionale” del plasma con gli effetti delle collisioni
piccoli o addirittura trascurabili.
Perché gli effetti collettivi abbiano un peso nella dinamica delle componenti del
plasma e’ dunque necessario che la frequenza con cui avvengono le collisioni e la
frequenza di plasma abbiano valori vicini ovvero ωp τc~ 1
Alla luce di quanto discusso possiamo definire un gas ionizzato in condizioni di
plasma quando :
λD << L
ND >>1
ωpτc >1
20
Stato di plasma
keV
10
10-1
-3
1010
10-5
21
Confronto tra i parametri fisici di alcuni tipi di plasma
22
Potenziale di plasma
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Potenziale di plasma
A causa della differenza di massa ioni ed elettroni, questi ultimi, a parità di energia media, si
muovono più rapidamente e pertanto escono dal plasma più velocemente degli ioni. Il
plasma si carica pertanto positivamente, generando un campo elettrico che si oppone all’
uscita degli elettroni, fino a ridurre la corrente elettronica a zero.
e
Stima del potenziale:
• Flusso di uscita degli elettroni per unità di
superficie solida e di tempo
Solido
e
• Flusso di uscita degli ioni alla superficie solida
• Fattore di Bolzmann applicato agli elettroni
n∞
φS
dove φS e’ la differenza di potenziale tra il corpo solido ed un punto ad una
distanza infinita nel plasma
Assumiamo :
ne = ni ~ n ∞
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Potenziale di plasma
Calcoliamo il valore del potenziale a cui si porta il plasma in regime stazionario (j = 0):
La densità di corrente totale e’
(12-16)
Se si impone che j si annulli per un potenziale ΦS tale che :
=0
Otteniamo:
(12-17)
Per un plasma di H (mi/me=1800 ossia ½ ln(m e/mi) = -3.75).
Il potenziale della superficie rispetto a quello del plasma e’ circa – 4Te/e
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In conclusione nella dinamica diun plasma di alta temperatura e
densità:
• Le forze gravitazionali possono essere considerate trascurabili rispetto a quelle
elettromagnetiche
• I momenti delle particelle sono elevati e le densita’ sufficientemente basse in
modo che λDeBroglie = h /<p> << d ~ N –1/3 distanza media tra particelle, e pertanto
gli effetti quantistici sono trascurabili
Infatti, per un plasma di protoni di interesse termonucleare (mp= 1.6 10 –24 g) kT =
10 keV e n=1014 cm-3 , p ~ (mkT)1/2 ~(104 x1.6 10-12(erg/eV) x1.6 10-24g )1/2 ~10-16
gms-1 λDeBroglie= h/p ~ (1.05 10-27/10-16) ~ 10-11 cm da confrontare con una distanza
media tra particelle d = 10 -5 cm
• le energie delle particelle in gioco sono non-relativistiche
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