Successioni numeriche

Sommario
Cos’é una successione
Limite di successione
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Matematica generale CTF
Successioni numeriche
Dott. Alessandro Gambini
24 ottobre 2016
Dott. Alessandro Gambini
Matematica generale CTF
Sommario
Cos’é una successione
Limite di successione
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Cos’é una successione
Definizione di successione
Monotonìa e limitatezza
Limite di successione
Definizione di limite
Teorema del confronto
Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Forme indeterminate
Successioni infinitesime
Comportamento asintotico
Criterio del rapporto per le successioni
Il numero di Nepero
Dott. Alessandro Gambini
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Cos’é una successione
Limite di successione
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Definizione di successione
Monotonìa e limitatezza
Successioni numeriche
Le successioni sono delle funzioni a valori reali (il codominio é l’insieme dei
numeri reali, R) il cui dominio é l’insieme dei numeri naturali, N. Ogni
successione associa quindi uno o piú numeri naturali ad un valore reale.
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Cos’é una successione
Limite di successione
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Definizione di successione
Monotonìa e limitatezza
Successioni numeriche
Le successioni sono delle funzioni a valori reali (il codominio é l’insieme dei
numeri reali, R) il cui dominio é l’insieme dei numeri naturali, N. Ogni
successione associa quindi uno o piú numeri naturali ad un valore reale.
Solitamente queste funzioni si descrivono con la seguente notazione: (an )n∈N
in cui il pedice n si riferisce al numero naturale a cui an è associato.
(an )n∈N : N → R
n → an
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Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Definizione di successione
Monotonìa e limitatezza
Successioni numeriche
Rappresentazione analitica
Quando è possibile determinare l’espressione che permette di determinare
l’n-esimo termine della successione. In questo caso ogni termine è determinato
dal valore della funzione f nell’n-esimo punto; possiamo scrivere an = f (n).
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Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Definizione di successione
Monotonìa e limitatezza
Successioni numeriche
Rappresentazione analitica
Quando è possibile determinare l’espressione che permette di determinare
l’n-esimo termine della successione. In questo caso ogni termine è determinato
dal valore della funzione f nell’n-esimo punto; possiamo scrivere an = f (n).
1
Ad esempio an = 2
n +1
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Limite di successione
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Definizione di successione
Monotonìa e limitatezza
Successioni numeriche
Elencazione
Vengono rappresentati solo le immagini della successione in sequenza
(solitamente i termini sono distanziati tra loro senza alcuna punteggiatura):
a0 a1 a2 a3 a4 . . .
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Il numero di Nepero
Definizione di successione
Monotonìa e limitatezza
Successioni numeriche
Elencazione
Vengono rappresentati solo le immagini della successione in sequenza
(solitamente i termini sono distanziati tra loro senza alcuna punteggiatura):
a0 a1 a2 a3 a4 . . .
1 1 1 1 1
Ad esempio an = 1, , , , ,
2 5 10 17 26
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Il numero di Nepero
Definizione di successione
Monotonìa e limitatezza
Successioni numeriche
Per ricorrenza
Una successione si può definire per ricorrenza se, una volta imposte condizioni
iniziali, ogni termine si può calcolare come funzione di uno o alcuni suoi
termini precedenti. Ad esempio, si può definire una successione imponendo la
condizione iniziale sul primo termine ed esprimendo la funzione che permette
di trovare ilvalore dell’n + 1−termine sapendo il valore dell’n−termine.
a0 = 1;
(an )n∈N =
an+1 = f (an ).
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Definizione di successione
Monotonìa e limitatezza
Successioni numeriche
Per ricorrenza
Una successione si può definire per ricorrenza se, una volta imposte condizioni
iniziali, ogni termine si può calcolare come funzione di uno o alcuni suoi
termini precedenti. Ad esempio, si può definire una successione imponendo la
condizione iniziale sul primo termine ed esprimendo la funzione che permette
di trovare ilvalore dell’n + 1−termine sapendo il valore dell’n−termine.
a0 = 1;
(an )n∈N =
an+1 = f (an ).
Ad esempio la successione di Fibonacci è una successione di numeri interi
positivi in cui ciascun termine, a partire dal terzo, si ottiene come somma dei
due termini precedenti:

 a1 = 1
a2 = 1

an = an−1 + an−2
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Monotonìa e limitatezza
Successioni numeriche
Per ricorrenza
Un altro esempio è l’algoritmo di Erone: questo metodo è un procedimento di
calcolo che permette di calcolare la radice quadrata di un numero utilizzando
solo le operazioni fondamentali dell’aritmetica. Esso si basa su considerazioni
geometriche e su il metodo delle approssimazioni successive e proprio per
questo, ogni termine lo riusciamo ad esprimere solo conoscendone il
precedente ed ancora nessuno ha scoperto l’espressione del termine n-esimo
mediante rappresentazione analitica. La sua rappresentazione per ricorrenza è
la seguente (nella quale il numero di cui cerchiamo la radice quadrata lo
mettiamo al posto del parametro k):
(
a1 = 2 k
an = 12 an−1 + an−1
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Definizione di successione
Monotonìa e limitatezza
Successioni monotòne
Una successione si definisce:
I
crescente se an+1 ≥ an ∀n ∈ N
I
decrescente se an+1 ≤ an ∀n ∈ N
I
strettamente crescente se an+1 > an ∀n ∈ N
I
strettamente decrescente se an+1 < an ∀n ∈ N
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Definizione di successione
Monotonìa e limitatezza
Successioni limitate
Il grafico di una successione è rappresentato da un’insieme discreto di punti.
Come abbiamo visto per le altre funzioni, anche le successioni possono essere:
I
limitate inferiormente se
inf an = m > −∞
I
limitate superiormente se
sup an = M < +∞
I
limitate se sono limitate sia inferiormente che superiormente.
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Il numero di Nepero
Definizione di limite
Teorema del confronto
Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Definizione di limite
Successioni convergenti
La cosa più interessante per una successione è stabilire cosa succede quando n
diventa molto grande, diciamo per n che tende all’infinito. Questo è il primo
concetto di limite per successione. Distinguiamo questi casi:
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Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Definizione di limite
Teorema del confronto
Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Definizione di limite
Successioni convergenti
La cosa più interessante per una successione è stabilire cosa succede quando n
diventa molto grande, diciamo per n che tende all’infinito. Questo è il primo
concetto di limite per successione. Distinguiamo questi casi:
Una successione an si dice convergente se per n → ∞ si avvicina sempre di
più ad un valore l ∈ R. Si scrive:
lim an = l
n→∞
che, in termini formali, significa:
∀ε > 0 ∃ n ∈ N : ∀ n > n, |an − l| < ε.
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Teorema del confronto
Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Definizione di limite
Successioni convergenti
La cosa più interessante per una successione è stabilire cosa succede quando n
diventa molto grande, diciamo per n che tende all’infinito. Questo è il primo
concetto di limite per successione. Distinguiamo questi casi:
Una successione an si dice convergente se per n → ∞ si avvicina sempre di
più ad un valore l ∈ R. Si scrive:
lim an = l
n→∞
che, in termini formali, significa:
∀ε > 0 ∃ n ∈ N : ∀ n > n, |an − l| < ε.
Se una successione è convergente allora, comunque io scelga un intorno di l
sull’asse delle ordinate, da un certo valore n in poi la successione an rimane
sempre limitata a quell’intorno.
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Teorema del confronto
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La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Definizione di limite
Successioni divergenti
La stessa cosa si può definire per una successione divergente positivamente o
negativamente:
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Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Definizione di limite
Successioni divergenti
La stessa cosa si può definire per una successione divergente positivamente o
negativamente:
Una successione an si dice divergente positivamente se per n → ∞ la
successione va a +∞; cioè essa non è limitata superiormente. Analogamente
si può definire una successione divergente negativamente.
lim an = +∞
n→∞
che, in termini formali, significa: ∀M > 0 ∃ n ∈ N : ∀ n > n, an > M
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Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Definizione di limite
Successioni divergenti
La stessa cosa si può definire per una successione divergente positivamente o
negativamente:
Una successione an si dice divergente positivamente se per n → ∞ la
successione va a +∞; cioè essa non è limitata superiormente. Analogamente
si può definire una successione divergente negativamente.
lim an = +∞
n→∞
che, in termini formali, significa: ∀M > 0 ∃ n ∈ N : ∀ n > n, an > M
Se una successione è divergente positivamente allora, comunque io scelga un
un numero M ∈ R sull’asse delle ordinate grande a piacere, da un certo valore
(n) in poi la successione an sarà sempre più grande di M per ogni n ≥ n.
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Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Definizione di limite
Successioni irregolari
Una successione nè convergente nè divergente si dice irregolare.
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Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Definizione di limite
Successioni irregolari
Una successione nè convergente nè divergente si dice irregolare.
Ad esempio la successione an = n1 è convergente al valore 0, la successione
an = n è divergente a +∞ e la successione an = (−1)n è oscillante tra −1 e 1
e quindi è irregolare.
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Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Permanenza del segno
Sia an una successione convergente a un limite l > 0 allora
∃ n : ∀n > n, an > 0
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La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Permanenza del segno
Sia an una successione convergente a un limite l > 0 allora
∃ n : ∀n > n, an > 0
Il teorema della permanenza del segno ci dice che se una successione converge
a un valore positivo l allora, da un certo valore in poi, n, la successione sarà
sempre positiva. Analogamente, se l < 0, da un certo punto in poi la
successione sarà sempre negativa.
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Algebra delle successioni convergenti
Permanenza del segno
Sia an una successione convergente a un limite l > 0 allora
∃ n : ∀n > n, an > 0
Il teorema della permanenza del segno ci dice che se una successione converge
a un valore positivo l allora, da un certo valore in poi, n, la successione sarà
sempre positiva. Analogamente, se l < 0, da un certo punto in poi la
successione sarà sempre negativa.
Sia an : N → R una successione numerica.
I Se an è monotona crescente e superiormente limitata è sempre
convergente.
I Se an è monotona crescente e illimitata è sempre divergente a +∞.
I Se an è monotona decrescente e inferiormente limitata è sempre
convergente.
I Se an è monotona decrescente e illimitata è sempre divergente a +∞.
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Algebra delle successioni convergenti
Limite dell’algoritmo di Erone
Per dimostrare che una successione ammette limite occorre dimostrare che è
monotona e limitata; questo non ci permette di stabilire il valore del limite ma
solo la sua esistenza. Consideriamo ad√esempio l’algoritmo di Erone e
utilizziamolo per il calcolo ricorsivo di 2. Ricordiamo l’algoritmo di Erone
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Limite dell’algoritmo di Erone
Per dimostrare che una successione ammette limite occorre dimostrare che è
monotona e limitata; questo non ci permette di stabilire il valore del limite ma
solo la sua esistenza. Consideriamo ad√esempio l’algoritmo di Erone e
utilizziamolo per il calcolo ricorsivo di 2. Ricordiamo l’algoritmo di Erone

 a1 = 2 1
2
an−1 +
 an =
2
an−1
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Limite dell’algoritmo di Erone
Per dimostrare che una successione ammette limite occorre dimostrare che è
monotona e limitata; questo non ci permette di stabilire il valore del limite ma
solo la sua esistenza. Consideriamo ad√esempio l’algoritmo di Erone e
utilizziamolo per il calcolo ricorsivo di 2. Ricordiamo l’algoritmo di Erone

 a1 = 2 1
2
an−1 +
 an =
2
an−1
Se il limite esistesse, quale sarebbe il suo valore? Se an → l ovviamente anche
an+1 → l per n → ∞; quindi facendo il limite ad ambo i membri della formula
ricorsiva otteniamo la seguente equazione in l:
√
1
2
l=
l+
⇒ ··· ⇒ l = 2
2
l
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La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Limite dell’algoritmo di Erone
Rimane però ancora da dimostrare che il limite esiste. Proviamo la sua
esistenza dimostrando che la successione è monotòna e limitata. Per prima
cosa dimostriamo (con il principio di induzione) che è limitata dal basso, in
particolare che an2 > 2: a1 = 2 ⇒ a12 = 4
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Limite dell’algoritmo di Erone
Rimane però ancora da dimostrare che il limite esiste. Proviamo la sua
esistenza dimostrando che la successione è monotòna e limitata. Per prima
cosa dimostriamo (con il principio di induzione) che è limitata dal basso, in
particolare che an2 > 2: a1 = 2 ⇒ a12 = 4
2
Ora occorre provare che an+1
− 2 > 0 sfruttando l’ipotesi induttiva (an2 > 2):
2
an+1
−2=
2
1
2
(a2 − 2)2
an +
− 2 = ··· = n 2
>0
2
an
4an
non può essere nullo perché per ipotesi induttiva an2 > 2. La successione è
quindi limitata dal basso.
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Algebra delle successioni convergenti
Limite dell’algoritmo di Erone
Ora vediamo che la successione è monotòna decrescente, cioè ∀n ∈ N,
an+1 < an :
1
2
an − an+1 = an −
= ··· > 0
an +
2
an
La successione è limitata
dal basso e monotòna. Quindi il limite esiste e
√
necessariamente è 2.
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Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Teorema del confronto
Per dimostrare che una successione è convergente può essere utile sapere che
tale successione è sempre compresa tra due successioni convergenti allo stesso
limite. Siano an e bn due successioni tali che lim an = lim bn = l, allora se
n→∞
n→∞
cn è una terza successione tale che an < cn < bn per ogni n ∈ N,
lim cn = l
n→∞
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Algebra delle successioni convergenti
Teorema del confronto
Per dimostrare che una successione è convergente può essere utile sapere che
tale successione è sempre compresa tra due successioni convergenti allo stesso
limite. Siano an e bn due successioni tali che lim an = lim bn = l, allora se
n→∞
n→∞
cn è una terza successione tale che an < cn < bn per ogni n ∈ N,
lim cn = l
n→∞
Un ragionamento analogo può essere fatto per le successioni divergenti: se an
è una successione divergente a +∞ e cn è una successione tale che cn > an
per ogni n ∈ N, allora
lim cn = +∞
n→∞
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Progressione aritmetica
La progressione aritmetica è una successione definita per ricorrenza che è
possibile definirla anche come una funzione di n ∈ N. E’ definita in modo tale
che la differenza tra due termini successivi sia costante;
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Progressione aritmetica
La progressione aritmetica è una successione definita per ricorrenza che è
possibile definirla anche come una funzione di n ∈ N. E’ definita in modo tale
che la differenza tra due termini successivi sia costante; se a ∈ R è il valore
iniziale della progressione e d ∈ R è quella che si chiama ragione della
progressione aritmetica, essa si definisce nel modo seguente:
a1 = a
an = an−1 + d
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Progressione aritmetica
La progressione aritmetica è una successione definita per ricorrenza che è
possibile definirla anche come una funzione di n ∈ N. E’ definita in modo tale
che la differenza tra due termini successivi sia costante; se a ∈ R è il valore
iniziale della progressione e d ∈ R è quella che si chiama ragione della
progressione aritmetica, essa si definisce nel modo seguente:
a1 = a
an = an−1 + d
Possiede una forma analitica:
a1 = a
a2 = a + d
a3 = (a + d) + d = a + 2d
a4 =(a + 2d) + d = a + 3d
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···
an = a + (n − 1)d
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Progressione aritmetica
E’ chiaramente una successione divergente ma è interessante vedere quanto
n
X
vale
ak , ovvero la somma dei primi n elementi della successione:
k=1
n
X
k=1
ak =
n
n
n
X
X
X
(a + (k − 1)d) =
a+d
(k − 1)
k=1
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k=1
k=1
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Progressione aritmetica
E’ chiaramente una successione divergente ma è interessante vedere quanto
n
X
vale
ak , ovvero la somma dei primi n elementi della successione:
k=1
n
X
ak =
k=1
n
n
n
X
X
X
(a + (k − 1)d) =
a+d
(k − 1)
k=1
k=1
k=1
sfruttando la formula della somma dei primi n numeri naturali,
n
X
n
X
n(n − 1)
n−1
a+d
(k − 1) = na + d
=n a+d
=
2
2
k=1
k=1
2a + (n − 1)d
n
n
n
= (a + a + (n − 1)d) = (a1 + an )
2
2
2
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Progressione aritmetica
Abbiamo così ottenuto:
n
X
ak =
k=1
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n
(a1 + an )
2
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Progressione aritmetica
Somma dei dispari
Con tale formula possiamo mostrare che la somma dei primi numeri dispari è
sempre un quadrato.
Infatti, ponendo a = 1 e d = 2 come parametri della progressione aritmetica,
otteniamo la sequenza a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 7, . . . cioè la sequenza di
tutti i numeri dispari. Calcoliamo la somma dei primi n termini della
progressione (utilizzando la formula vista sopra):
n
X
k=1
ak =
n
n
(a1 + an ) = (1 + (1 + 2(n − 1))) = n2
2
2
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Progressione geometrica
La progressione geometrica è una successione definita per ricorrenza in modo
tale che il rapporto tra due termini successivi sia costante. Se a ∈ R è il
valore iniziale della progressione e q ∈ R è quella che si chiama ragione della
progressione geometrica, essa si definisce nel modo seguente:
a0 = a
an = q · an−1
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La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Progressione geometrica
La progressione geometrica è una successione definita per ricorrenza in modo
tale che il rapporto tra due termini successivi sia costante. Se a ∈ R è il
valore iniziale della progressione e q ∈ R è quella che si chiama ragione della
progressione geometrica, essa si definisce nel modo seguente:
a0 = a
an = q · an−1
Se elenchiamo i primi elementi della progressione ci accorgiamo che essa
possiede una forma analitica:
a0 = a
a1 = a · q 1
a2 = (a · q) · q = a · q 2
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a3 = a · q 3
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···
an = a · q n
Sommario
Cos’é una successione
Limite di successione
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Definizione di limite
Teorema del confronto
Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Progressione geometrica
A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre
divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della
progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare
diversi casi:
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Sommario
Cos’é una successione
Limite di successione
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Definizione di limite
Teorema del confronto
Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Progressione geometrica
A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre
divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della
progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare
diversi casi:
I
se |q| < 1, allora lim an = 0
n→∞
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Sommario
Cos’é una successione
Limite di successione
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Definizione di limite
Teorema del confronto
Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Progressione geometrica
A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre
divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della
progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare
diversi casi:
I
se |q| < 1, allora lim an = 0
I
se q = 1, allora lim an = 1
n→∞
n→∞
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Cos’é una successione
Limite di successione
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Definizione di limite
Teorema del confronto
Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Progressione geometrica
A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre
divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della
progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare
diversi casi:
I
se |q| < 1, allora lim an = 0
I
se q = 1, allora lim an = 1
I
se q > 1, allora lim an = +∞
n→∞
n→∞
n→∞
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Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Progressione geometrica
A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre
divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della
progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare
diversi casi:
I
se |q| < 1, allora lim an = 0
I
se q = 1, allora lim an = 1
I
se q > 1, allora lim an = +∞
I
se q = −1, la successione oscilla sempre tra −1 e 1.
n→∞
n→∞
n→∞
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Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Progressione geometrica
A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre
divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della
progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare
diversi casi:
I
se |q| < 1, allora lim an = 0
I
se q = 1, allora lim an = 1
I
se q > 1, allora lim an = +∞
I
se q = −1, la successione oscilla sempre tra −1 e 1.
I
se q < −1, la successione oscilla in modo illimitato tra −∞ e +∞.
n→∞
n→∞
n→∞
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Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Progressione geometrica
A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre
divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della
progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare
diversi casi:
I
se |q| < 1, allora lim an = 0
I
se q = 1, allora lim an = 1
I
se q > 1, allora lim an = +∞
I
se q = −1, la successione oscilla sempre tra −1 e 1.
I
se q < −1, la successione oscilla in modo illimitato tra −∞ e +∞.
n→∞
n→∞
n→∞
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Il numero di Nepero
Definizione di limite
Teorema del confronto
Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Progressione geometrica
Somma dei primi termini
E’ interessante vedere che la somma dei primi n termini della progressione
geometrica (poniamo a = 1 per semplicità) vale esattamente:
n
X
qk =
k=0
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1 − q n+1
1−q
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Progressione aritmetica
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Progressione geometrica
Somma dei primi termini
E’ interessante vedere che la somma dei primi n termini della progressione
geometrica (poniamo a = 1 per semplicità) vale esattamente:
n
X
qk =
k=0
1 − q n+1
1−q
Tale formula ci sarà utile quando dovremo stabilire il carattere della
cosiddetta serie geometrica. Dimostriamola per induzione:
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Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Progressione geometrica
Somma dei primi termini
Dimostrazione
1
Per n = 0 è facilmente verificata: q 0 = 1−q
1−q , abbiamo 1 ad entrambi i
membri.
Supponiamo ora che l’ipotesi induttiva sia vera e dimostriamo che
n+1
X
qk =
k=0
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1 − q n+2
1−q
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La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Progressione geometrica
Somma dei primi termini
Dimostrazione
1
Per n = 0 è facilmente verificata: q 0 = 1−q
1−q , abbiamo 1 ad entrambi i
membri.
Supponiamo ora che l’ipotesi induttiva sia vera e dimostriamo che
n+1
X
qk =
k=0
1 − q n+2
1−q
Partendo dal primo membro
n+1
X
k=0
qk =
n
X
q k + q n+1
k=0
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Progressione aritmetica
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Algebra delle successioni convergenti
Progressione geometrica
Somma dei primi termini
Dimostrazione per ipotesi induttiva
n
X
k=0
q k + q n+1 =
1 − q n+1
1 − q n+2
+ q n+1 =
1−q
1−q
che è uguale al secondo membro e quindi l’affermazione è provata.
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La progressione geometrica
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Algebra delle successioni convergenti
Siano an e bn due successioni convergenti, in particolare lim an = a ∈ R e
n→∞
lim bn = b ∈ R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre
n→∞
facilmente a partire dalla definizione di limite):
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Siano an e bn due successioni convergenti, in particolare lim an = a ∈ R e
n→∞
lim bn = b ∈ R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre
n→∞
facilmente a partire dalla definizione di limite):
I
lim (an + bn ) = lim (an ) + lim (bn ) = a + b
n→∞
n→∞
n→∞
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Siano an e bn due successioni convergenti, in particolare lim an = a ∈ R e
n→∞
lim bn = b ∈ R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre
n→∞
facilmente a partire dalla definizione di limite):
I
I
lim (an + bn ) = lim (an ) + lim (bn ) = a + b
n→∞
n→∞
n→∞
lim (an · bn ) = lim (an ) · lim (bn ) = a · b
n→∞
n→∞
n→∞
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Siano an e bn due successioni convergenti, in particolare lim an = a ∈ R e
n→∞
lim bn = b ∈ R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre
n→∞
facilmente a partire dalla definizione di limite):
I
I
I
lim (an + bn ) = lim (an ) + lim (bn ) = a + b
n→∞
n→∞
n→∞
lim (an · bn ) = lim (an ) · lim (bn ) = a · b
n→∞
n→∞
n→∞
se bn 6= 0 per ogni n ∈ N, lim
n→∞
an
limn→∞ an
a
=
=
bn
limn→∞ bn
b
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Siano an e bn due successioni convergenti, in particolare lim an = a ∈ R e
n→∞
lim bn = b ∈ R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre
n→∞
facilmente a partire dalla definizione di limite):
I
I
I
I
lim (an + bn ) = lim (an ) + lim (bn ) = a + b
n→∞
n→∞
n→∞
lim (an · bn ) = lim (an ) · lim (bn ) = a · b
n→∞
n→∞
n→∞
an
limn→∞ an
a
=
=
bn
limn→∞ bn
b
se c ∈ R, lim c · an = c · lim an = c · a
se bn 6= 0 per ogni n ∈ N, lim
n→∞
n→∞
n→∞
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Siano an e bn due successioni convergenti, in particolare lim an = a ∈ R e
n→∞
lim bn = b ∈ R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre
n→∞
facilmente a partire dalla definizione di limite):
I
I
I
I
I
lim (an + bn ) = lim (an ) + lim (bn ) = a + b
n→∞
n→∞
n→∞
lim (an · bn ) = lim (an ) · lim (bn ) = a · b
n→∞
n→∞
n→∞
an
limn→∞ an
a
=
=
bn
limn→∞ bn
b
se c ∈ R, lim c · an = c · lim an = c · a
n→∞
n→∞
c
c
se c ∈ R, lim (an ) = lim an = ac
se bn 6= 0 per ogni n ∈ N, lim
n→∞
n→∞
n→∞
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Successioni infinitesime e comportamento asintotico
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Progressione aritmetica
La progressione geometrica
Algebra delle successioni convergenti
Algebra delle successioni convergenti
Siano an e bn due successioni convergenti, in particolare lim an = a ∈ R e
n→∞
lim bn = b ∈ R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre
n→∞
facilmente a partire dalla definizione di limite):
I
I
I
I
I
lim (an + bn ) = lim (an ) + lim (bn ) = a + b
n→∞
n→∞
n→∞
lim (an · bn ) = lim (an ) · lim (bn ) = a · b
n→∞
n→∞
n→∞
an
limn→∞ an
a
=
=
bn
limn→∞ bn
b
se c ∈ R, lim c · an = c · lim an = c · a
n→∞
n→∞
c
c
se c ∈ R, lim (an ) = lim an = ac
se bn 6= 0 per ogni n ∈ N, lim
n→∞
n→∞
n→∞
Questi calcoli non si possono generalizzare alle successioni divergenti.
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Limite di successione
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Forme indeterminate
Successioni infinitesime
Comportamento asintotico
Criterio del rapporto per le successioni
Forme indeterminate
Il calcolo del limite di una successione può avvenire facilmente attraverso
passaggi algebrici che semplificano le forme indeterminate. Le forme
indeterminate che si possono verificare nel passaggio al limite sono le seguenti:
0
0
∞
∞
0 · ∞ 1∞
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00
∞ − ∞ ∞0
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Forme indeterminate
Successioni infinitesime
Comportamento asintotico
Criterio del rapporto per le successioni
Forme indeterminate
Il calcolo del limite di una successione può avvenire facilmente attraverso
passaggi algebrici che semplificano le forme indeterminate. Le forme
indeterminate che si possono verificare nel passaggio al limite sono le seguenti:
0
0
∞
∞
0 · ∞ 1∞
00
∞ − ∞ ∞0
Tali forme sono indeterminate quando si pensa ad esse come comportamento
di una successione cioè quando sono ottenute come limite della successione:
la progressione geometrica an = 1n è una successione costante sempre uguale
a 1, non è una forma indeterminata. Lo sarebbe stata se al postodi 1 1 n
avessimo avuto una successione che tende a 1, come ad esempio 1 +
n
che vedremo nella prossima sezione.
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Il numero di Nepero
Forme indeterminate
Successioni infinitesime
Comportamento asintotico
Criterio del rapporto per le successioni
Successioni infinitesime
Se si riesce a dimostrare che una successione ammette limite o è divergente, è
interessante capire come essa si comporta asintoticamente confrontandola con
alcune successioni più elementari come ad esempio la successione costituita
dalle potenze di n. Questo si può fare sia per le successioni divergenti, sia per
le successioni convergenti. Tra quelle convergenti assumono particolare
rilevanza quelle che convergono a 0:
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Limite di successione
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Forme indeterminate
Successioni infinitesime
Comportamento asintotico
Criterio del rapporto per le successioni
Successioni infinitesime
Se si riesce a dimostrare che una successione ammette limite o è divergente, è
interessante capire come essa si comporta asintoticamente confrontandola con
alcune successioni più elementari come ad esempio la successione costituita
dalle potenze di n. Questo si può fare sia per le successioni divergenti, sia per
le successioni convergenti. Tra quelle convergenti assumono particolare
rilevanza quelle che convergono a 0:
Una successione an si dice infinitesima se lim an = 0
n→∞
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Il numero di Nepero
Forme indeterminate
Successioni infinitesime
Comportamento asintotico
Criterio del rapporto per le successioni
Successioni infinitesime
Se si riesce a dimostrare che una successione ammette limite o è divergente, è
interessante capire come essa si comporta asintoticamente confrontandola con
alcune successioni più elementari come ad esempio la successione costituita
dalle potenze di n. Questo si può fare sia per le successioni divergenti, sia per
le successioni convergenti. Tra quelle convergenti assumono particolare
rilevanza quelle che convergono a 0:
Una successione an si dice infinitesima se lim an = 0
n→∞
Esempi:
1
I lim
= 0, quindi an = n1 è una successione infinitesima.
n→∞ n
I Dato α > 0 an = 1α è una successione infinitesima.
n
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Successioni infinitesime
Comportamento asintotico
Criterio del rapporto per le successioni
Comportamento asintotico
Il comportamento asintotico di una successione è il comportamento della
successione stessa per valori di n molto grande, ad esempio:
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Forme indeterminate
Successioni infinitesime
Comportamento asintotico
Criterio del rapporto per le successioni
Comportamento asintotico
Il comportamento asintotico di una successione è il comportamento della
successione stessa per valori di n molto grande, ad esempio:
√
4n4 + n + 1
1. La successione an =
∼ 2n per n molto grande, cioè si
n−1
comporta come un polinomio di primo grado con coefficiente 2 che è
divergente e quindi anche an è divergente.
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Comportamento asintotico
Criterio del rapporto per le successioni
Comportamento asintotico
Il comportamento asintotico di una successione è il comportamento della
successione stessa per valori di n molto grande, ad esempio:
√
4n4 + n + 1
1. La successione an =
∼ 2n per n molto grande, cioè si
n−1
comporta come un polinomio di primo grado con coefficiente 2 che è
divergente e quindi anche an è divergente.
√
n+2
1
2. La successione an =
∼ √ per n molto grande, cioè si
n
n
comporta come una potenza di n di grado − 12 che è infinitesima e quindi
convergente a 0.
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Successioni infinitesime
Comportamento asintotico
Criterio del rapporto per le successioni
Criterio del rapporto per le successioni
Se una successione an è a termini positivi, allora valgono le seguenti
affermazioni sul rapporto tra termine an e il suo successivo:
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Comportamento asintotico
Criterio del rapporto per le successioni
Criterio del rapporto per le successioni
Se una successione an è a termini positivi, allora valgono le seguenti
affermazioni sul rapporto tra termine an e il suo successivo:
an+1
I se lim
= l < 1 allora la successione è infinitesima.
n→∞ an
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Comportamento asintotico
Criterio del rapporto per le successioni
Criterio del rapporto per le successioni
Se una successione an è a termini positivi, allora valgono le seguenti
affermazioni sul rapporto tra termine an e il suo successivo:
an+1
I se lim
= l < 1 allora la successione è infinitesima.
n→∞ an
an+1
I se lim
= l > 1 allora la successione è divergente.
n→∞ an
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Successioni infinitesime
Comportamento asintotico
Criterio del rapporto per le successioni
Criterio del rapporto per le successioni
Se una successione an è a termini positivi, allora valgono le seguenti
affermazioni sul rapporto tra termine an e il suo successivo:
an+1
I se lim
= l < 1 allora la successione è infinitesima.
n→∞ an
an+1
I se lim
= l > 1 allora la successione è divergente.
n→∞ an
Nel caso il limite sia esattamente 1 non si può stabilire il carattere della
successione.
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Comportamento asintotico
Criterio del rapporto per le successioni
Criterio del rapporto per le successioni
Se una successione an è a termini positivi, allora valgono le seguenti
affermazioni sul rapporto tra termine an e il suo successivo:
an+1
I se lim
= l < 1 allora la successione è infinitesima.
n→∞ an
an+1
I se lim
= l > 1 allora la successione è divergente.
n→∞ an
Nel caso il limite sia esattamente 1 non si può stabilire il carattere della
successione.
nα
Tale teorema ci permette di stabilire che an = n con c > 1 è infinitesima
c
cioè una successione esponenziale va più velocemente all’infinito di qualsiasi
cn
polinomio. Lo stesso si può fare per la successione an =
n!
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Limite di successione
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Il numero di Nepero
Una successione che gioca un ruolo di notevole importanza in matematica è la
seguente:
1 n
an = 1 +
n
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Limite di successione
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Il numero di Nepero
Una successione che gioca un ruolo di notevole importanza in matematica è la
seguente:
1 n
an = 1 +
n
Esistono varie dimostrazioni che provano l’esistenza del limite di questa
successione, una di queste dimostrazioni prova che an è limitata
superiormente dal valore 3 e che è monotona crescente. Tale dimostrazione si
può fare per induzione utilizzando la disuguaglianza di Bernoulli e la
disuguaglianza tra media geometrica e media aritmetica.
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Limite di successione
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Il numero di Nepero
Il fatto di sapere che il limite di questa successione esista non ci permette di
trovarlo facilmente. L’estremo superiore di tale successione infatti non è 3 ma
il numero di Nepero e = 2, 718 . . . che viene definito proprio mediante:
1 n
lim 1 +
:= e
n→∞
n
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Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Il numero di Nepero
Il limite sopra citato è un limite notevole e si può scrivere in forma più
generale nel modo seguente: data una successione an tale che lim an = +∞
n→∞
allora vale
1 an
lim 1 +
:= e
n→∞
an
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Limite di successione
Successioni infinitesime e comportamento asintotico
Il numero di Nepero
Il numero di Nepero
2 n
Consideriamo ad esempio la successione bn = 1 +
si può ricondurre a
n
quella iniziale nel modo seguente:
"
n #2
2 n
1 2
bn = 1 +
=
1+ n
→ e2
n
2
per n → ∞
Utilizzando il limite notevole e il criterio del rapporto per le successioni, si può
nn
provare anche che la successione an =
è divergente e che quindi nn va
n!
all’infinito molto più velocemente di n!.
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