Successioni numeriche
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Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Matematica generale CTF Successioni numeriche Dott. Alessandro Gambini 24 ottobre 2016 Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Cos’é una successione Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Limite di successione Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Successioni infinitesime e comportamento asintotico Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Il numero di Nepero Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Le successioni sono delle funzioni a valori reali (il codominio é l’insieme dei numeri reali, R) il cui dominio é l’insieme dei numeri naturali, N. Ogni successione associa quindi uno o piú numeri naturali ad un valore reale. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Le successioni sono delle funzioni a valori reali (il codominio é l’insieme dei numeri reali, R) il cui dominio é l’insieme dei numeri naturali, N. Ogni successione associa quindi uno o piú numeri naturali ad un valore reale. Solitamente queste funzioni si descrivono con la seguente notazione: (an )n∈N in cui il pedice n si riferisce al numero naturale a cui an è associato. (an )n∈N : N → R n → an Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Rappresentazione analitica Quando è possibile determinare l’espressione che permette di determinare l’n-esimo termine della successione. In questo caso ogni termine è determinato dal valore della funzione f nell’n-esimo punto; possiamo scrivere an = f (n). Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Rappresentazione analitica Quando è possibile determinare l’espressione che permette di determinare l’n-esimo termine della successione. In questo caso ogni termine è determinato dal valore della funzione f nell’n-esimo punto; possiamo scrivere an = f (n). 1 Ad esempio an = 2 n +1 Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Elencazione Vengono rappresentati solo le immagini della successione in sequenza (solitamente i termini sono distanziati tra loro senza alcuna punteggiatura): a0 a1 a2 a3 a4 . . . Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Elencazione Vengono rappresentati solo le immagini della successione in sequenza (solitamente i termini sono distanziati tra loro senza alcuna punteggiatura): a0 a1 a2 a3 a4 . . . 1 1 1 1 1 Ad esempio an = 1, , , , , 2 5 10 17 26 Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Per ricorrenza Una successione si può definire per ricorrenza se, una volta imposte condizioni iniziali, ogni termine si può calcolare come funzione di uno o alcuni suoi termini precedenti. Ad esempio, si può definire una successione imponendo la condizione iniziale sul primo termine ed esprimendo la funzione che permette di trovare ilvalore dell’n + 1−termine sapendo il valore dell’n−termine. a0 = 1; (an )n∈N = an+1 = f (an ). Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Per ricorrenza Una successione si può definire per ricorrenza se, una volta imposte condizioni iniziali, ogni termine si può calcolare come funzione di uno o alcuni suoi termini precedenti. Ad esempio, si può definire una successione imponendo la condizione iniziale sul primo termine ed esprimendo la funzione che permette di trovare ilvalore dell’n + 1−termine sapendo il valore dell’n−termine. a0 = 1; (an )n∈N = an+1 = f (an ). Ad esempio la successione di Fibonacci è una successione di numeri interi positivi in cui ciascun termine, a partire dal terzo, si ottiene come somma dei due termini precedenti: a1 = 1 a2 = 1 an = an−1 + an−2 Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni numeriche Per ricorrenza Un altro esempio è l’algoritmo di Erone: questo metodo è un procedimento di calcolo che permette di calcolare la radice quadrata di un numero utilizzando solo le operazioni fondamentali dell’aritmetica. Esso si basa su considerazioni geometriche e su il metodo delle approssimazioni successive e proprio per questo, ogni termine lo riusciamo ad esprimere solo conoscendone il precedente ed ancora nessuno ha scoperto l’espressione del termine n-esimo mediante rappresentazione analitica. La sua rappresentazione per ricorrenza è la seguente (nella quale il numero di cui cerchiamo la radice quadrata lo mettiamo al posto del parametro k): ( a1 = 2 k an = 12 an−1 + an−1 Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni monotòne Una successione si definisce: I crescente se an+1 ≥ an ∀n ∈ N I decrescente se an+1 ≤ an ∀n ∈ N I strettamente crescente se an+1 > an ∀n ∈ N I strettamente decrescente se an+1 < an ∀n ∈ N Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Successioni limitate Il grafico di una successione è rappresentato da un’insieme discreto di punti. Come abbiamo visto per le altre funzioni, anche le successioni possono essere: I limitate inferiormente se inf an = m > −∞ I limitate superiormente se sup an = M < +∞ I limitate se sono limitate sia inferiormente che superiormente. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Definizione di limite Successioni convergenti La cosa più interessante per una successione è stabilire cosa succede quando n diventa molto grande, diciamo per n che tende all’infinito. Questo è il primo concetto di limite per successione. Distinguiamo questi casi: Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Definizione di limite Successioni convergenti La cosa più interessante per una successione è stabilire cosa succede quando n diventa molto grande, diciamo per n che tende all’infinito. Questo è il primo concetto di limite per successione. Distinguiamo questi casi: Una successione an si dice convergente se per n → ∞ si avvicina sempre di più ad un valore l ∈ R. Si scrive: lim an = l n→∞ che, in termini formali, significa: ∀ε > 0 ∃ n ∈ N : ∀ n > n, |an − l| < ε. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Definizione di limite Successioni convergenti La cosa più interessante per una successione è stabilire cosa succede quando n diventa molto grande, diciamo per n che tende all’infinito. Questo è il primo concetto di limite per successione. Distinguiamo questi casi: Una successione an si dice convergente se per n → ∞ si avvicina sempre di più ad un valore l ∈ R. Si scrive: lim an = l n→∞ che, in termini formali, significa: ∀ε > 0 ∃ n ∈ N : ∀ n > n, |an − l| < ε. Se una successione è convergente allora, comunque io scelga un intorno di l sull’asse delle ordinate, da un certo valore n in poi la successione an rimane sempre limitata a quell’intorno. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Definizione di limite Successioni divergenti La stessa cosa si può definire per una successione divergente positivamente o negativamente: Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Definizione di limite Successioni divergenti La stessa cosa si può definire per una successione divergente positivamente o negativamente: Una successione an si dice divergente positivamente se per n → ∞ la successione va a +∞; cioè essa non è limitata superiormente. Analogamente si può definire una successione divergente negativamente. lim an = +∞ n→∞ che, in termini formali, significa: ∀M > 0 ∃ n ∈ N : ∀ n > n, an > M Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Definizione di limite Successioni divergenti La stessa cosa si può definire per una successione divergente positivamente o negativamente: Una successione an si dice divergente positivamente se per n → ∞ la successione va a +∞; cioè essa non è limitata superiormente. Analogamente si può definire una successione divergente negativamente. lim an = +∞ n→∞ che, in termini formali, significa: ∀M > 0 ∃ n ∈ N : ∀ n > n, an > M Se una successione è divergente positivamente allora, comunque io scelga un un numero M ∈ R sull’asse delle ordinate grande a piacere, da un certo valore (n) in poi la successione an sarà sempre più grande di M per ogni n ≥ n. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Definizione di limite Successioni irregolari Una successione nè convergente nè divergente si dice irregolare. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Definizione di limite Successioni irregolari Una successione nè convergente nè divergente si dice irregolare. Ad esempio la successione an = n1 è convergente al valore 0, la successione an = n è divergente a +∞ e la successione an = (−1)n è oscillante tra −1 e 1 e quindi è irregolare. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Permanenza del segno Sia an una successione convergente a un limite l > 0 allora ∃ n : ∀n > n, an > 0 Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Permanenza del segno Sia an una successione convergente a un limite l > 0 allora ∃ n : ∀n > n, an > 0 Il teorema della permanenza del segno ci dice che se una successione converge a un valore positivo l allora, da un certo valore in poi, n, la successione sarà sempre positiva. Analogamente, se l < 0, da un certo punto in poi la successione sarà sempre negativa. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Permanenza del segno Sia an una successione convergente a un limite l > 0 allora ∃ n : ∀n > n, an > 0 Il teorema della permanenza del segno ci dice che se una successione converge a un valore positivo l allora, da un certo valore in poi, n, la successione sarà sempre positiva. Analogamente, se l < 0, da un certo punto in poi la successione sarà sempre negativa. Sia an : N → R una successione numerica. I Se an è monotona crescente e superiormente limitata è sempre convergente. I Se an è monotona crescente e illimitata è sempre divergente a +∞. I Se an è monotona decrescente e inferiormente limitata è sempre convergente. I Se an è monotona decrescente e illimitata è sempre divergente a +∞. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Limite dell’algoritmo di Erone Per dimostrare che una successione ammette limite occorre dimostrare che è monotona e limitata; questo non ci permette di stabilire il valore del limite ma solo la sua esistenza. Consideriamo ad√esempio l’algoritmo di Erone e utilizziamolo per il calcolo ricorsivo di 2. Ricordiamo l’algoritmo di Erone Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Limite dell’algoritmo di Erone Per dimostrare che una successione ammette limite occorre dimostrare che è monotona e limitata; questo non ci permette di stabilire il valore del limite ma solo la sua esistenza. Consideriamo ad√esempio l’algoritmo di Erone e utilizziamolo per il calcolo ricorsivo di 2. Ricordiamo l’algoritmo di Erone a1 = 2 1 2 an−1 + an = 2 an−1 Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Limite dell’algoritmo di Erone Per dimostrare che una successione ammette limite occorre dimostrare che è monotona e limitata; questo non ci permette di stabilire il valore del limite ma solo la sua esistenza. Consideriamo ad√esempio l’algoritmo di Erone e utilizziamolo per il calcolo ricorsivo di 2. Ricordiamo l’algoritmo di Erone a1 = 2 1 2 an−1 + an = 2 an−1 Se il limite esistesse, quale sarebbe il suo valore? Se an → l ovviamente anche an+1 → l per n → ∞; quindi facendo il limite ad ambo i membri della formula ricorsiva otteniamo la seguente equazione in l: √ 1 2 l= l+ ⇒ ··· ⇒ l = 2 2 l Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Limite dell’algoritmo di Erone Rimane però ancora da dimostrare che il limite esiste. Proviamo la sua esistenza dimostrando che la successione è monotòna e limitata. Per prima cosa dimostriamo (con il principio di induzione) che è limitata dal basso, in particolare che an2 > 2: a1 = 2 ⇒ a12 = 4 Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Limite dell’algoritmo di Erone Rimane però ancora da dimostrare che il limite esiste. Proviamo la sua esistenza dimostrando che la successione è monotòna e limitata. Per prima cosa dimostriamo (con il principio di induzione) che è limitata dal basso, in particolare che an2 > 2: a1 = 2 ⇒ a12 = 4 2 Ora occorre provare che an+1 − 2 > 0 sfruttando l’ipotesi induttiva (an2 > 2): 2 an+1 −2= 2 1 2 (a2 − 2)2 an + − 2 = ··· = n 2 >0 2 an 4an non può essere nullo perché per ipotesi induttiva an2 > 2. La successione è quindi limitata dal basso. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Limite dell’algoritmo di Erone Ora vediamo che la successione è monotòna decrescente, cioè ∀n ∈ N, an+1 < an : 1 2 an − an+1 = an − = ··· > 0 an + 2 an La successione è limitata dal basso e monotòna. Quindi il limite esiste e √ necessariamente è 2. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Teorema del confronto Per dimostrare che una successione è convergente può essere utile sapere che tale successione è sempre compresa tra due successioni convergenti allo stesso limite. Siano an e bn due successioni tali che lim an = lim bn = l, allora se n→∞ n→∞ cn è una terza successione tale che an < cn < bn per ogni n ∈ N, lim cn = l n→∞ Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Teorema del confronto Per dimostrare che una successione è convergente può essere utile sapere che tale successione è sempre compresa tra due successioni convergenti allo stesso limite. Siano an e bn due successioni tali che lim an = lim bn = l, allora se n→∞ n→∞ cn è una terza successione tale che an < cn < bn per ogni n ∈ N, lim cn = l n→∞ Un ragionamento analogo può essere fatto per le successioni divergenti: se an è una successione divergente a +∞ e cn è una successione tale che cn > an per ogni n ∈ N, allora lim cn = +∞ n→∞ Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione aritmetica La progressione aritmetica è una successione definita per ricorrenza che è possibile definirla anche come una funzione di n ∈ N. E’ definita in modo tale che la differenza tra due termini successivi sia costante; Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione aritmetica La progressione aritmetica è una successione definita per ricorrenza che è possibile definirla anche come una funzione di n ∈ N. E’ definita in modo tale che la differenza tra due termini successivi sia costante; se a ∈ R è il valore iniziale della progressione e d ∈ R è quella che si chiama ragione della progressione aritmetica, essa si definisce nel modo seguente: a1 = a an = an−1 + d Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione aritmetica La progressione aritmetica è una successione definita per ricorrenza che è possibile definirla anche come una funzione di n ∈ N. E’ definita in modo tale che la differenza tra due termini successivi sia costante; se a ∈ R è il valore iniziale della progressione e d ∈ R è quella che si chiama ragione della progressione aritmetica, essa si definisce nel modo seguente: a1 = a an = an−1 + d Possiede una forma analitica: a1 = a a2 = a + d a3 = (a + d) + d = a + 2d a4 =(a + 2d) + d = a + 3d Dott. Alessandro Gambini ··· an = a + (n − 1)d Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione aritmetica E’ chiaramente una successione divergente ma è interessante vedere quanto n X vale ak , ovvero la somma dei primi n elementi della successione: k=1 n X k=1 ak = n n n X X X (a + (k − 1)d) = a+d (k − 1) k=1 Dott. Alessandro Gambini k=1 k=1 Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione aritmetica E’ chiaramente una successione divergente ma è interessante vedere quanto n X vale ak , ovvero la somma dei primi n elementi della successione: k=1 n X ak = k=1 n n n X X X (a + (k − 1)d) = a+d (k − 1) k=1 k=1 k=1 sfruttando la formula della somma dei primi n numeri naturali, n X n X n(n − 1) n−1 a+d (k − 1) = na + d =n a+d = 2 2 k=1 k=1 2a + (n − 1)d n n n = (a + a + (n − 1)d) = (a1 + an ) 2 2 2 Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione aritmetica Abbiamo così ottenuto: n X ak = k=1 Dott. Alessandro Gambini n (a1 + an ) 2 Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione aritmetica Somma dei dispari Con tale formula possiamo mostrare che la somma dei primi numeri dispari è sempre un quadrato. Infatti, ponendo a = 1 e d = 2 come parametri della progressione aritmetica, otteniamo la sequenza a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, a4 = 7, . . . cioè la sequenza di tutti i numeri dispari. Calcoliamo la somma dei primi n termini della progressione (utilizzando la formula vista sopra): n X k=1 ak = n n (a1 + an ) = (1 + (1 + 2(n − 1))) = n2 2 2 Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione geometrica La progressione geometrica è una successione definita per ricorrenza in modo tale che il rapporto tra due termini successivi sia costante. Se a ∈ R è il valore iniziale della progressione e q ∈ R è quella che si chiama ragione della progressione geometrica, essa si definisce nel modo seguente: a0 = a an = q · an−1 Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione geometrica La progressione geometrica è una successione definita per ricorrenza in modo tale che il rapporto tra due termini successivi sia costante. Se a ∈ R è il valore iniziale della progressione e q ∈ R è quella che si chiama ragione della progressione geometrica, essa si definisce nel modo seguente: a0 = a an = q · an−1 Se elenchiamo i primi elementi della progressione ci accorgiamo che essa possiede una forma analitica: a0 = a a1 = a · q 1 a2 = (a · q) · q = a · q 2 Dott. Alessandro Gambini a3 = a · q 3 Matematica generale CTF ··· an = a · q n Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione geometrica A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare diversi casi: Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione geometrica A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare diversi casi: I se |q| < 1, allora lim an = 0 n→∞ Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione geometrica A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare diversi casi: I se |q| < 1, allora lim an = 0 I se q = 1, allora lim an = 1 n→∞ n→∞ Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione geometrica A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare diversi casi: I se |q| < 1, allora lim an = 0 I se q = 1, allora lim an = 1 I se q > 1, allora lim an = +∞ n→∞ n→∞ n→∞ Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione geometrica A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare diversi casi: I se |q| < 1, allora lim an = 0 I se q = 1, allora lim an = 1 I se q > 1, allora lim an = +∞ I se q = −1, la successione oscilla sempre tra −1 e 1. n→∞ n→∞ n→∞ Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione geometrica A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare diversi casi: I se |q| < 1, allora lim an = 0 I se q = 1, allora lim an = 1 I se q > 1, allora lim an = +∞ I se q = −1, la successione oscilla sempre tra −1 e 1. I se q < −1, la successione oscilla in modo illimitato tra −∞ e +∞. n→∞ n→∞ n→∞ Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione geometrica A differenza delle progressioni aritmetiche, tali successioni non sono sempre divergenti; infatti, indipendentemente dal valore iniziale a, il carattere della progressione dipende strettamente dalla ragione q, si possono presentare diversi casi: I se |q| < 1, allora lim an = 0 I se q = 1, allora lim an = 1 I se q > 1, allora lim an = +∞ I se q = −1, la successione oscilla sempre tra −1 e 1. I se q < −1, la successione oscilla in modo illimitato tra −∞ e +∞. n→∞ n→∞ n→∞ Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione geometrica Somma dei primi termini E’ interessante vedere che la somma dei primi n termini della progressione geometrica (poniamo a = 1 per semplicità) vale esattamente: n X qk = k=0 Dott. Alessandro Gambini 1 − q n+1 1−q Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione geometrica Somma dei primi termini E’ interessante vedere che la somma dei primi n termini della progressione geometrica (poniamo a = 1 per semplicità) vale esattamente: n X qk = k=0 1 − q n+1 1−q Tale formula ci sarà utile quando dovremo stabilire il carattere della cosiddetta serie geometrica. Dimostriamola per induzione: Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione geometrica Somma dei primi termini Dimostrazione 1 Per n = 0 è facilmente verificata: q 0 = 1−q 1−q , abbiamo 1 ad entrambi i membri. Supponiamo ora che l’ipotesi induttiva sia vera e dimostriamo che n+1 X qk = k=0 Dott. Alessandro Gambini 1 − q n+2 1−q Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione geometrica Somma dei primi termini Dimostrazione 1 Per n = 0 è facilmente verificata: q 0 = 1−q 1−q , abbiamo 1 ad entrambi i membri. Supponiamo ora che l’ipotesi induttiva sia vera e dimostriamo che n+1 X qk = k=0 1 − q n+2 1−q Partendo dal primo membro n+1 X k=0 qk = n X q k + q n+1 k=0 Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Progressione geometrica Somma dei primi termini Dimostrazione per ipotesi induttiva n X k=0 q k + q n+1 = 1 − q n+1 1 − q n+2 + q n+1 = 1−q 1−q che è uguale al secondo membro e quindi l’affermazione è provata. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Algebra delle successioni convergenti Siano an e bn due successioni convergenti, in particolare lim an = a ∈ R e n→∞ lim bn = b ∈ R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre n→∞ facilmente a partire dalla definizione di limite): Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Algebra delle successioni convergenti Siano an e bn due successioni convergenti, in particolare lim an = a ∈ R e n→∞ lim bn = b ∈ R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre n→∞ facilmente a partire dalla definizione di limite): I lim (an + bn ) = lim (an ) + lim (bn ) = a + b n→∞ n→∞ n→∞ Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Algebra delle successioni convergenti Siano an e bn due successioni convergenti, in particolare lim an = a ∈ R e n→∞ lim bn = b ∈ R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre n→∞ facilmente a partire dalla definizione di limite): I I lim (an + bn ) = lim (an ) + lim (bn ) = a + b n→∞ n→∞ n→∞ lim (an · bn ) = lim (an ) · lim (bn ) = a · b n→∞ n→∞ n→∞ Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Algebra delle successioni convergenti Siano an e bn due successioni convergenti, in particolare lim an = a ∈ R e n→∞ lim bn = b ∈ R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre n→∞ facilmente a partire dalla definizione di limite): I I I lim (an + bn ) = lim (an ) + lim (bn ) = a + b n→∞ n→∞ n→∞ lim (an · bn ) = lim (an ) · lim (bn ) = a · b n→∞ n→∞ n→∞ se bn 6= 0 per ogni n ∈ N, lim n→∞ an limn→∞ an a = = bn limn→∞ bn b Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Algebra delle successioni convergenti Siano an e bn due successioni convergenti, in particolare lim an = a ∈ R e n→∞ lim bn = b ∈ R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre n→∞ facilmente a partire dalla definizione di limite): I I I I lim (an + bn ) = lim (an ) + lim (bn ) = a + b n→∞ n→∞ n→∞ lim (an · bn ) = lim (an ) · lim (bn ) = a · b n→∞ n→∞ n→∞ an limn→∞ an a = = bn limn→∞ bn b se c ∈ R, lim c · an = c · lim an = c · a se bn 6= 0 per ogni n ∈ N, lim n→∞ n→∞ n→∞ Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Algebra delle successioni convergenti Siano an e bn due successioni convergenti, in particolare lim an = a ∈ R e n→∞ lim bn = b ∈ R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre n→∞ facilmente a partire dalla definizione di limite): I I I I I lim (an + bn ) = lim (an ) + lim (bn ) = a + b n→∞ n→∞ n→∞ lim (an · bn ) = lim (an ) · lim (bn ) = a · b n→∞ n→∞ n→∞ an limn→∞ an a = = bn limn→∞ bn b se c ∈ R, lim c · an = c · lim an = c · a n→∞ n→∞ c c se c ∈ R, lim (an ) = lim an = ac se bn 6= 0 per ogni n ∈ N, lim n→∞ n→∞ n→∞ Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Definizione di limite Teorema del confronto Progressione aritmetica La progressione geometrica Algebra delle successioni convergenti Algebra delle successioni convergenti Siano an e bn due successioni convergenti, in particolare lim an = a ∈ R e n→∞ lim bn = b ∈ R. Valgono le seguenti proprietà (che si possono dedurre n→∞ facilmente a partire dalla definizione di limite): I I I I I lim (an + bn ) = lim (an ) + lim (bn ) = a + b n→∞ n→∞ n→∞ lim (an · bn ) = lim (an ) · lim (bn ) = a · b n→∞ n→∞ n→∞ an limn→∞ an a = = bn limn→∞ bn b se c ∈ R, lim c · an = c · lim an = c · a n→∞ n→∞ c c se c ∈ R, lim (an ) = lim an = ac se bn 6= 0 per ogni n ∈ N, lim n→∞ n→∞ n→∞ Questi calcoli non si possono generalizzare alle successioni divergenti. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Forme indeterminate Il calcolo del limite di una successione può avvenire facilmente attraverso passaggi algebrici che semplificano le forme indeterminate. Le forme indeterminate che si possono verificare nel passaggio al limite sono le seguenti: 0 0 ∞ ∞ 0 · ∞ 1∞ Dott. Alessandro Gambini 00 ∞ − ∞ ∞0 Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Forme indeterminate Il calcolo del limite di una successione può avvenire facilmente attraverso passaggi algebrici che semplificano le forme indeterminate. Le forme indeterminate che si possono verificare nel passaggio al limite sono le seguenti: 0 0 ∞ ∞ 0 · ∞ 1∞ 00 ∞ − ∞ ∞0 Tali forme sono indeterminate quando si pensa ad esse come comportamento di una successione cioè quando sono ottenute come limite della successione: la progressione geometrica an = 1n è una successione costante sempre uguale a 1, non è una forma indeterminata. Lo sarebbe stata se al postodi 1 1 n avessimo avuto una successione che tende a 1, come ad esempio 1 + n che vedremo nella prossima sezione. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Successioni infinitesime Se si riesce a dimostrare che una successione ammette limite o è divergente, è interessante capire come essa si comporta asintoticamente confrontandola con alcune successioni più elementari come ad esempio la successione costituita dalle potenze di n. Questo si può fare sia per le successioni divergenti, sia per le successioni convergenti. Tra quelle convergenti assumono particolare rilevanza quelle che convergono a 0: Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Successioni infinitesime Se si riesce a dimostrare che una successione ammette limite o è divergente, è interessante capire come essa si comporta asintoticamente confrontandola con alcune successioni più elementari come ad esempio la successione costituita dalle potenze di n. Questo si può fare sia per le successioni divergenti, sia per le successioni convergenti. Tra quelle convergenti assumono particolare rilevanza quelle che convergono a 0: Una successione an si dice infinitesima se lim an = 0 n→∞ Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Successioni infinitesime Se si riesce a dimostrare che una successione ammette limite o è divergente, è interessante capire come essa si comporta asintoticamente confrontandola con alcune successioni più elementari come ad esempio la successione costituita dalle potenze di n. Questo si può fare sia per le successioni divergenti, sia per le successioni convergenti. Tra quelle convergenti assumono particolare rilevanza quelle che convergono a 0: Una successione an si dice infinitesima se lim an = 0 n→∞ Esempi: 1 I lim = 0, quindi an = n1 è una successione infinitesima. n→∞ n I Dato α > 0 an = 1α è una successione infinitesima. n Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Comportamento asintotico Il comportamento asintotico di una successione è il comportamento della successione stessa per valori di n molto grande, ad esempio: Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Comportamento asintotico Il comportamento asintotico di una successione è il comportamento della successione stessa per valori di n molto grande, ad esempio: √ 4n4 + n + 1 1. La successione an = ∼ 2n per n molto grande, cioè si n−1 comporta come un polinomio di primo grado con coefficiente 2 che è divergente e quindi anche an è divergente. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Comportamento asintotico Il comportamento asintotico di una successione è il comportamento della successione stessa per valori di n molto grande, ad esempio: √ 4n4 + n + 1 1. La successione an = ∼ 2n per n molto grande, cioè si n−1 comporta come un polinomio di primo grado con coefficiente 2 che è divergente e quindi anche an è divergente. √ n+2 1 2. La successione an = ∼ √ per n molto grande, cioè si n n comporta come una potenza di n di grado − 12 che è infinitesima e quindi convergente a 0. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Criterio del rapporto per le successioni Se una successione an è a termini positivi, allora valgono le seguenti affermazioni sul rapporto tra termine an e il suo successivo: Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Criterio del rapporto per le successioni Se una successione an è a termini positivi, allora valgono le seguenti affermazioni sul rapporto tra termine an e il suo successivo: an+1 I se lim = l < 1 allora la successione è infinitesima. n→∞ an Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Criterio del rapporto per le successioni Se una successione an è a termini positivi, allora valgono le seguenti affermazioni sul rapporto tra termine an e il suo successivo: an+1 I se lim = l < 1 allora la successione è infinitesima. n→∞ an an+1 I se lim = l > 1 allora la successione è divergente. n→∞ an Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Criterio del rapporto per le successioni Se una successione an è a termini positivi, allora valgono le seguenti affermazioni sul rapporto tra termine an e il suo successivo: an+1 I se lim = l < 1 allora la successione è infinitesima. n→∞ an an+1 I se lim = l > 1 allora la successione è divergente. n→∞ an Nel caso il limite sia esattamente 1 non si può stabilire il carattere della successione. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Criterio del rapporto per le successioni Se una successione an è a termini positivi, allora valgono le seguenti affermazioni sul rapporto tra termine an e il suo successivo: an+1 I se lim = l < 1 allora la successione è infinitesima. n→∞ an an+1 I se lim = l > 1 allora la successione è divergente. n→∞ an Nel caso il limite sia esattamente 1 non si può stabilire il carattere della successione. nα Tale teorema ci permette di stabilire che an = n con c > 1 è infinitesima c cioè una successione esponenziale va più velocemente all’infinito di qualsiasi cn polinomio. Lo stesso si può fare per la successione an = n! Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Il numero di Nepero Una successione che gioca un ruolo di notevole importanza in matematica è la seguente: 1 n an = 1 + n Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Il numero di Nepero Una successione che gioca un ruolo di notevole importanza in matematica è la seguente: 1 n an = 1 + n Esistono varie dimostrazioni che provano l’esistenza del limite di questa successione, una di queste dimostrazioni prova che an è limitata superiormente dal valore 3 e che è monotona crescente. Tale dimostrazione si può fare per induzione utilizzando la disuguaglianza di Bernoulli e la disuguaglianza tra media geometrica e media aritmetica. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Il numero di Nepero Il fatto di sapere che il limite di questa successione esista non ci permette di trovarlo facilmente. L’estremo superiore di tale successione infatti non è 3 ma il numero di Nepero e = 2, 718 . . . che viene definito proprio mediante: 1 n lim 1 + := e n→∞ n Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Il numero di Nepero Il limite sopra citato è un limite notevole e si può scrivere in forma più generale nel modo seguente: data una successione an tale che lim an = +∞ n→∞ allora vale 1 an lim 1 + := e n→∞ an Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF Sommario Cos’é una successione Limite di successione Successioni infinitesime e comportamento asintotico Il numero di Nepero Il numero di Nepero 2 n Consideriamo ad esempio la successione bn = 1 + si può ricondurre a n quella iniziale nel modo seguente: " n #2 2 n 1 2 bn = 1 + = 1+ n → e2 n 2 per n → ∞ Utilizzando il limite notevole e il criterio del rapporto per le successioni, si può nn provare anche che la successione an = è divergente e che quindi nn va n! all’infinito molto più velocemente di n!. Dott. Alessandro Gambini Matematica generale CTF
