RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE
Premesso che quando si parla di un triangolo di vertici A,B e C adottiamo sempre la
seguente nomenclatura:
- con le lettere minuscole a, b, e c indicheremo rispettivamente le misure dei lati
opposti ai vertici A, B e C ;
- con le lettere , e indicheremo gli angoli rispettivamente di vertici A, B e
C o le loro misure.
Risolvere un triangolo qualsiasi significa: assegnati tre elementi del triangolo, di
cui almeno uno è la misura di un lato, calcolare i rimanenti tre elementi.
Per risolvere un triangolo qualunque ci serviamo dei teoremi dei seni e del coseno.
Nella risoluzione di un triangolo qualunque si possono presentare i seguenti
quattro casi (ad ogni caso seguirà un esempio guidato) :
1°caso Noti un lato e due angoli , risolvere il triangolo.
Dati il lato a e due angoli e si devono determinare , b e c .
Prima si calcola se 180°, poi si calcolano i due lati applicando due volte
il teorema dei seni.
Esempio
Risolviamo un triangolo conoscendo =24°, =50°e a = 12.
Per risolvere il triangolo bisogna trovare :
a ?, b ? e ?
Essendo 74180 il problema è possibile e 180 74 106
Avendo tutti gli angoli ed un lato posso utilizzare il teorema dei seni per trovare
prima b e poi c.
a
b
a esen 12 sen50 9.19
22.41
b
0.41
sen sen
sen
sen 24
ora si calcola c :
c
a sen 12 sen104 11.64
28.4
sen
sen 24
0.41
2°caso Noti due lati e l’angolo compreso, risolvere il triangolo
Dati i lati a , b e l’angolo compreso ,determinare c , e .
Si utilizza per due volte il teorema del coseno,prima per determinare il terzo lato
poi per calcolare e di conseguenza sapendo che 180 .
Esempio
Risolvere un triangolo noti a 5 , b 7 e 35 .
Per risolvere il triangolo si deve calcolare :
c ?, ?e ?
Avendo due lati e l’angolo tra essi compreso bisognerà applicare il teorema del
coseno per calcolare l’altro lato:
c 2 a 2 b 2 2ab cos 25 49 70 cos 35 74 57.34 16.7 c 16.7 4.1
Conoscendo i tre lati posso calcolare un angolo riutilizzando il teorema del coseno:
cos
b 2 c 2 a 2 49 16.7 25
0.711 cos 1 0.71 45
2bc
57.4
Pertanto sarà:
180 180 35 45 100
3°caso Noti i tre lati, risolvere il triangolo.
Dati i lati a , b e c ,determinare gli angoli , e .
Si applica per due volte il teorema del coseno per calcolare e ,
poi si calcola .
Esempio
Risolvere un triangolo sapendo che a 4 , b 3 e c 6 .
Bisogna calcolare tutti gli angoli.
Ci conviene utilizzare due volte il teorema del coseno.
cos
b 2 c 2 a 2 9 36 16 29
29
1 cos 1
36
2bc
36
36
36
a 2 c 2 b 2 16 36 9 43
43
cos
1 cos 1
26
2ac
48
48
48
Pertanto sarà 180 118
4°caso Noti due lati e l’angolo opposto a uno di essi, risolvere il triangolo.
Dati i lati a , b e l’angolo , calcolare c , e .
Si applica il teorema dei seni per trovare sen se :
a) sen 1, allora il problema è impossibile.
b) sen 1 , allora = 90°,accettabile solo se 90 .
c) 0 sen 1 ,allora esistono due angoli minori di 180° che hanno lo stesso seno : 1
e 2 180 1 . Bisogna verificare se sono entrambi accettabili, se lo sono avremo
due triangoli.
Noto si calcola e poi applicando il teorema dei seni si calcola c .
Nel caso di due triangoli bisogna trovare due valori per e due per c .
\Esempio 1
Risolvere un triangolo conoscendo a 18 , b 36 e 45.
Bisogna trovare :
c ?, ? e ?
Si deve utilizzare il teorema dei seni :
a
b
bsen 36sen 45
sen
2 1.41 il problema è impossibile.
sen sen
a
18
Esempio 2
Noti a 2 3 , b 6 e 30 ,risolvere il triangolo.
Bisogna calcolare: c ?, ? e ?
Si deve utilizzare il teorema dei seni :
1
bsen
3
sen
2
a
2
2 3
6
Poiché esistono due angoli minori di 180° il cui seno è
3
un angolo sarà 1 60 e
2
l’altro 2 180 1 120
Entrambi i valori sono accettabili essendo :
1 = 60°+30°= 90° 180° e 2 30 120 150 180°
Esistono pertanto due triangoli che risolvono il nostro problema:
a) un triangolo avente come angoli 30 , 1 60 e di conseguenza sarà
90 ,cioè un triangolo rettangolo in C. Per risolvere il triangolo bisogna
calcolare c (ipotenusa) essendo a e b già noti.
Si applica il primo teorema sui triangoli rettangoli :
c
a
2 3
4 3
sen sen30
b) il secondo triangolo avrà 30 , 2 120 e 180 30 120 30 .
Il triangolo è isoscele, di conseguenza :
Se c a 2 3
Abbiamo così risolto il triangolo.
