RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE

RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE
Premesso che quando si parla di un triangolo di vertici A,B e C adottiamo sempre la
seguente nomenclatura:
- con le lettere minuscole a, b, e c indicheremo rispettivamente le misure dei lati
opposti ai vertici A, B e C ;
- con le lettere ,  e  indicheremo gli angoli rispettivamente di vertici A, B e
C o le loro misure.
Risolvere un triangolo qualsiasi significa: assegnati tre elementi del triangolo, di
cui almeno uno è la misura di un lato, calcolare i rimanenti tre elementi.
Per risolvere un triangolo qualunque ci serviamo dei teoremi dei seni e del coseno.
Nella risoluzione di un triangolo qualunque si possono presentare i seguenti
quattro casi (ad ogni caso seguirà un esempio guidato) :
1°caso Noti un lato e due angoli , risolvere il triangolo.
Dati il lato a e due angoli  e  si devono determinare  , b e c .
Prima si calcola  se     180°, poi si calcolano i due lati applicando due volte
il teorema dei seni.
Esempio
Risolviamo un triangolo conoscendo =24°,  =50°e a = 12.
Per risolvere il triangolo bisogna trovare :
a ?, b ? e  ?
Essendo     74180 il problema è possibile e   180  74  106
Avendo tutti gli angoli ed un lato posso utilizzare il teorema dei seni per trovare
prima b e poi c.
a
b
a  esen 12  sen50 9.19
 22.41

b


0.41
sen sen
sen
sen 24
ora si calcola c :
c
a  sen 12  sen104 11.64


 28.4
sen
sen 24
0.41
2°caso Noti due lati e l’angolo compreso, risolvere il triangolo
Dati i lati a , b e l’angolo compreso  ,determinare c ,  e  .
Si utilizza per due volte il teorema del coseno,prima per determinare il terzo lato
poi per calcolare  e di conseguenza  sapendo che   180     .
Esempio
Risolvere un triangolo noti a  5 , b  7 e   35 .
Per risolvere il triangolo si deve calcolare :
c ?, ?e ?
Avendo due lati e l’angolo tra essi compreso bisognerà applicare il teorema del
coseno per calcolare l’altro lato:
c 2  a 2  b 2  2ab cos   25  49  70 cos 35  74  57.34  16.7  c  16.7  4.1
Conoscendo i tre lati posso calcolare un angolo riutilizzando il teorema del coseno:
cos  
b 2  c 2  a 2 49  16.7  25

 0.711    cos 1 0.71  45
2bc
57.4
Pertanto sarà:
  180      180  35  45  100
3°caso Noti i tre lati, risolvere il triangolo.
Dati i lati a , b e c ,determinare gli angoli  ,  e  .
Si applica per due volte il teorema del coseno per calcolare  e  ,
poi si calcola  .
Esempio
Risolvere un triangolo sapendo che a  4 , b  3 e c  6 .
Bisogna calcolare tutti gli angoli.
Ci conviene utilizzare due volte il teorema del coseno.
cos  
b 2  c 2  a 2 9  36  16 29
29


1    cos 1
 36
2bc
36
36
36
a 2  c 2  b 2 16  36  9 43
43
cos  


1    cos 1
 26
2ac
48
48
48
Pertanto sarà   180      118
4°caso Noti due lati e l’angolo opposto a uno di essi, risolvere il triangolo.
Dati i lati a , b e l’angolo  , calcolare c ,  e  .
Si applica il teorema dei seni per trovare sen  se :
a) sen  1, allora il problema è impossibile.
b) sen  1 , allora  = 90°,accettabile solo se  90 .
c) 0 sen 1 ,allora esistono due angoli minori di 180° che hanno lo stesso seno :  1
e  2  180  1 . Bisogna verificare se sono entrambi accettabili, se lo sono avremo
due triangoli.
Noto  si calcola  e poi applicando il teorema dei seni si calcola c .
Nel caso di due triangoli bisogna trovare due valori per  e due per c .
\Esempio 1
Risolvere un triangolo conoscendo a  18 , b  36 e   45.
Bisogna trovare :
c ?,  ? e ?
Si deve utilizzare il teorema dei seni :
a
b
bsen 36sen 45

 sen 

 2  1.41  il problema è impossibile.
sen sen
a
18
Esempio 2
Noti a  2 3 , b  6 e   30 ,risolvere il triangolo.
Bisogna calcolare: c ?,  ? e ?
Si deve utilizzare il teorema dei seni :
1
bsen
3
sen 
 2 
a
2
2 3
6
Poiché esistono due angoli minori di 180° il cui seno è
3
un angolo sarà 1  60 e
2
l’altro  2  180  1  120
Entrambi i valori sono accettabili essendo :
  1 = 60°+30°= 90° 180° e    2  30  120  150  180°
Esistono pertanto due triangoli che risolvono il nostro problema:
a) un triangolo avente come angoli   30 , 1  60 e di conseguenza sarà
  90 ,cioè un triangolo rettangolo in C. Per risolvere il triangolo bisogna
calcolare c (ipotenusa) essendo a e b già noti.
Si applica il primo teorema sui triangoli rettangoli :
c
a
2 3

4 3
sen sen30
b) il secondo triangolo avrà   30 ,  2  120 e   180  30  120  30 .
Il triangolo è isoscele, di conseguenza :
Se     c  a  2 3
Abbiamo così risolto il triangolo.