Sistemi di punti materiali

Sistemi di punti materiali
•
Finora si è parlato solo di “punti materiali”: è un po’ limitativo (oggetti
“piccoli” o moto di pura traslazione). E’ opportuno estendere.
•
La 3a Legge di Newton ci permette di ricavare teoremi riguardanti il “moto
globale” di un sistema
•
Si osserva sperimentalmente che in ogni sistema esiste un punto notevole il
cui moto è particolarmente semplice (centro di massa o baricentro)
•
C’è una grandezza vettoriale che si conserva in un sistema isolato (quantità
di moto)
La Terra ruota veramente intorno al Sole?
Che succede in un sistema di due stelle?
un punto di questo manubrio segue la traiettoria
parabolica che ci aspettiamo per un punto materiale
Centro di massa di un sistema di punti materiali
Caso di 2 punti materiali sull’asse x (problema 1D)
O
m1
m2
x cm =
x
x1
m 1 x1 + m 2 x 2
m1 + m 2
x2
scegliendo x1=0 si trova
m1
l
m2
d1 =
d1
xcm =
m2
l
m1 + m 2
d2 =
cdm d2
notare che
d1 m 2
=
d 2 m1
m2l
m1 + m2
m1
l
m1 + m 2
Centro di massa (o baricentro). Caso generale
Nello spazio, il baricentro di due punti materiali, m1 di coordinate r1 = (x1, y1, z1), e m2,
di coordinate r2 = (x2, y2, z2) ha coordinate:
xcm
m1 x1 + m2 x2
=
m1 + m2
generalizzazione
per N punti:
ycm =
x cm
m1 y1 + m2 y2
m1 + m2
zcm =
m1 x1 + m 2 x 2 + ... + m N x N
=
m1 + m 2 + ... + m N
r
r
r
r
m1r1 + m 2 r2 + ... + m N rN
r
=
Vettorialmente:
cm
mTOT
Per corpi continui:
m1 z1 + m2 z2
m1 + m2
m k → dm


→

V
 k
∑
può essere utile riscrivere
∫
⇒
ovvero
ecc.
r
rcm =
1
mTOT
r
∑ mk rk
k
r
r
1
rcm =
r dm
∫
mTOT
mTOT
r
r
r
r
rcm = m1r1 + m 2 r2 + ... + m N rN
Centro di massa e simmetria
Il centro di massa giace
• nei punti di simmetria
• lungo gli assi di simmetria
• sui piani di simmetria
Il c.d.m. di un triangolo
omogeneo sta all’incrocio
delle mediane
Centro di massa di sistemi composti.
m1
x1
cdm1
cdm2
m2
x2
x cm =
m 1 x1 + m 2 x 2
m1 + m 2
Centro di massa di una persona
traiettoria parabolica del c.d.m.
Sistemi di punti materiali: forze interne e forze esterne
r
FSL
r
FTL
r
FLS
r
FTS
Sistema: Luna
FTL e FSL sono forze esterne
r
FLT
Sistema: Luna + Terra.
FTL e FLT sono forze interne
FST e FSL sono forze esterne
r
FST
F21
Le forze interne hanno una
proprietà importante:
a due a due si annullano.
1
F13
3
F31 F23
F32
2
F12
Moto del centro di massa
posizione del baricentro (definizione)
r
r
r
r
m r + m 2 r2 + .... + m N rN
1
rcm = 1 1
=
mTOT
mTOT
r
m
r
∑ kk
k
velocità del c.dl.m.
r
r
r
r
r
drcm m1v1 + m2 v2 + .... + m N v N
1
vcm =
=
=
dt
mTOT
mTOT
r
∑ mk vk
k
accelerazione del c.d.m.
r
r
r
r
r
dvcm m1a1 + m 2 a 2 + .... + m N a N
1
a cm =
=
=
dt
mTOT
mTOT
r
∑ mk ak
k
Moto del centro di massa
r
r
r
r
mTOT a cm = m1 a1 + m 2 a 2 + .... + m N a N =
r
∑ mk ak
k
r
r
r
r
r
mTOT a cm = F1 + F2 + ..... + FN = FEST
somma di tutte le forze agenti
sul sistema, sia interne che esterne
Le forze interne si
annullano a 2 a 2.
si ottiene così l’importante
Teorema del moto del centro di massa
2a Legge di Newton per un sistema di punti materiali
r
m TOT a CM
r
= FEST
Il centro di massa si muove come un punto materiale
♦ in cui è concentrata la massa totale mTOT
♦ soggetto alla risultante delle forze esterne
Moto del centro di massa. Esempi
Traiettorie paraboliche
r
r
F
=
m
g
Se
EST
TOT
il moto del baricentro è parabolico
Una persona, inizialmente ferma, si mette in cammino.
Una persona, inizialmente accucciata, si alza in piedi
Un’auto percorre una curva circolare con |v| costante.
se g costante ed è trascurabile
la resistenza dell’aria
quali sono le forze esterne?
Quantità di moto
si definisce quantità di moto di un “punto materiale”
m
r
r
p = mv
r
v
In funzione della quantità di moto la 2a Legge di Newton si può riscrivere:
r
r
r
r
dv d ( m v )
F = ma = m
=
dt
dt
r dpr
F=
dt
la quantità di moto è modificata da una forza.
r
∆p1 ≠ 0
r
∆p2 ≠ 0
k, ∆x
r
∆pTOT ?
k, ∆x
v1
m1
m2
v2
m1
m2
Quantità di moto del sistema
r
r
r
r
pTOT = m1v1 + m2 v2 + .... + m N v N
r
r
pTOT = mTOT vcm
quantità di moto totale
(definizione)
è la quantità di moto di un punto materiale di massa
mTOT coincidente con il centro di massa.
Teorema della quantità di moto
r
r
d( mTOT vcm )
r
= mTOT aCM = FEST ⇒
dt
r
r
d p TOT
= F EST
dt
r
r
∆ p TOT = J EST
formulazione
differenziale
formulazione
integrale
Teor. moto del cdm
sono solo formulazioni diverse della
2a Legge di Newton per un sistema di punti materiali
La risultante delle forze esterne ci dice quanto rapidamente varia la quantità di moto del sistema.
L’impulso delle forze esterne misura quanto è cambiata la quantità di moto, in un dato intervallo di tempo
Sistemi isolati.
Un sistema è (meccanicamente) isolato se su di esso non agiscono forze esterne.
r
FSL
r
FTL
r
FLS
r
FTS
Luna: sistema non isolato
Luna + Terra: sistema non isolato
r
FLT
r
FST
Luna + Terra + Sole: sistema (quasi) isolato
se le forze esterne sono trascurabili
Teorema del moto del baricentro
(Seconda L.Newton per i sistemi)
Teorema della quantità di moto
(sia in forma differenziale che integrale)
r
mTOT aCM = 0 ⇒
r
dpTOT
=0
dt
⇒
r
vCM = cost
r
pTOT = cost
Dal nostro punto di vista, però, non è necessario che il sistema sia assolutamente isolato,
basta che la risultante delle forze esterne sia uguale a zero
Promemoria: teorema dell’impulso
Un modo alternativo di vedere la 2a legge di Newton è tramite il teorema dell’impulso
Se un corpo di massa m è soggetto ad una forza F(t) [può dipendere dal tempo] allora
r
dp r
= F (t )
dt
r
r
d (mv )
= ma
dt
r
tf
r
dp
∫ti dt dt = ∫ti F (t ) dt
tf
Teorema dell’impulso
tf
r
r
r
p f − pi = ∫ F (t ) dt
ti
r r
∆p = J
E’ la 2a Legge di Newton scritta in forma integrale
Se abbiamo un «sistema di punti materiali» la 3a Legge di Newton garantisce che
l’impulso delle forze interne è zero, quindi
r r
∆p = J EXT
Sistemi isolati. Conservazione della quantità di moto
c.d.m.
prima
m1
m2
F
F
1
2
m1
v1
m2
dopo
v2
Piano orizzontale liscio: sistema uomo+cassa isolato
r
FEST = 0
la quantità di moto si conserva
(è costante nel tempo).
r
r
m 1 v1 + m 2 v 2 = 0
D’altronde
se
r
aCM = 0
vCM = 0 ⇒
r
r
p f = pi
r
m r
v 2 = − 1 v1
m2
⇒ vCM = cost
r
rCM = cost
vCM, f = vCM,i = 0
il c.d.m. rimane immobile
con
r
pi = 0
Sistemi isolati. Conservazione della quantità di moto.
r
∆pTOT = 0
k, ∆x
k, ∆x
v1
m1
m2
Rinculo di un cannone.
v2
m1
m2
r
r
mC vC + m P v P = 0
m r
r
vC = − P v P
mC
Razzo isolato, inizialmente in quiete
rinculo del razzo
gas espulsi ad alta velocità
posizione del c.d.m
Il famoso commento del New York Times, 13 Gennaio 1920.
"That Professor Goddard, with his 'chair' in Clark College and the countenancing of
the Smithsonian Institution, does not know the relation of action to reaction, and of
the need to have something better than a vacuum against which to react - to say that
would be absurd. Of course he only seems to lack the knowledge ladled out daily in
high schools."
Il 17 Luglio 1969, mentre gli astronauti dell’equipaggio Apollo si apprestavano
a sbarcare sulla Luna, il giornale stampò una rettifica:
“Further investigation and experimentation have confirmed the findings of Isaac Newton
in the 17th Century and it is now definitely established that a rocket can function in a
vacuum as well as in an atmosphere. The Times regrets the error “
da AstronauticsNow.com
Un altro esempio
v1
m1
m
v0
v3?
m3
m2
v2
m=35 kg
m1=8,0kg
m2=12kg
m3=10,0kg
v0=200 m/s
v1=150 m/s (45°)
v2=80 m/s
(trascurando la massa del gas liberato)
mv 0 = m1v 1 cos 45 ° + m 3 v3 X
0 = m1v1 sin 45 ° − m 2 v 2 + m 3 v3Y
Sistemi non isolati.
chi vincerà la gara di tiro alla fune?
Urto totalmente anelastico. 1D.
Urto totalmente anelastico: le due masse restano attaccate dopo l’urto (procedono insieme)
urto in 1D significa urto frontale
m1
v1
v2
m2
m1
prima
m1v1 + m 2 v 2
m1v1 + m 2 v 2 = (m1 + m 2 ) v f ⇒ v f =
m1 + m 2
m2
vf
dopo
questa è la velocità del cdm!
In genere una delle due masse (bersaglio) è inizialmente in riposo:
vf =
m1v1
m1 + m 2
Che succede all’energia cinetica? In un urto anelastico essa diminuisce (Kf < Ki), anzi,
in questo genere di urto si ha la massima dissipazione possibile di energia meccanica
(compatibilmente con le condizioni iniziali). Essa si trasforma in energia interna del sistema.
Urto totalmente anelastico. 2D
Urto totalmente anelastico: le due masse restano attaccate dopo l’urto (procedono insieme)
r
r
r
m1v1i + m2 v2i = (m1 + m2 )v f ⇒
m1
r
r
r
m v + m2 v 2 i
v f = 1 1i
m1 + m2
v1
cdm
v2
m2
m1+m2
velocità del cdm
m1v1X + m2 v2 X = (m1 + m2 )v fX

m1v1Y + m2 v2Y = (m1 + m2 )v fY
Anche in questo caso si ha la massima dissipazione di energia cinetica possibile
(cioè compatibile con lo stato iniziale)
Urto elastico. Caso 1D
Urto Elastico: Energia cinetica costante
Nell’urto elastico si applicano
• conservazione della quantità di moto
• conservazione dell’energia cinetica.
Caso particolare: urto frontale (1D) con un corpo inizialmente fermo.
v1
m1
m2
 m1v1 = m1 v1′ + m 2 v ′2

 m1 2 m1 2 m 2 2
v1 =
v1′ +
v 2′
cons. K 
2
2
 2
cons. p
(
m 1 − m 2 ) v1

′
 v1 = m + m

1
2

 v ′ = 2 m 1 v1
 2 m 1 + m 2
m1 > m 2
m1 = m 2
m1 < m 2
Urto elastico. Un caso particolare in 3D
Problema complicato: vediamo solo un esempio interessante:
urto elastico fra due corpi di massa uguale, con bersaglio fermo
r
v1 f
r
v1i
90°
Dopo l’urto, l’angolo fra le direzioni di m1 e m2 è sempre 90°
r
r
r
mv1i = mv1 f + mv2 f
m 2 m 2
m 2
v1 f + v2 f = v1i
2
2
2
r r
v12f + v22 f + 2v1 f ⋅ v2 f = v12f + v22 f
... C.V.D.
r
v2 f
Riassunto
definizione di centro di massa di un sistema
dimostrazione della 2a Legge di Newton per ad un sistema materiale
definizione di quantità di moto di un punto e di un sistema
dimostrazione del teorema della quantità di moto
corollario: conservazione della quantità di moto in un sistema isolato
applicazione dei teoremi precedenti agli urti
limitatamente agli urti elastici e totalmente anelastici
per entrambe le dimostrazioni ci siamo serviti delle leggi di Newton (2a e 3a)
Esempi di urto completamente anelastico.
Un corpo di massa m1=2kg scivola su un piano orizzontale liscio, con
velocità v=5m/s. Si scontra con un corpo m2=3kg rimanendovi attaccato.
Determinare vf..
m1 v
vf =
= 2m / s
m1 + m 2
Come sopra, ma il piano è scabro con µD=0.3 per entrambe le masse.
Se v=5m/s al momento dell’impatto, determinare la velocità dopo l’urto
e la distanza percorsa dal sistema prima di fermarsi.
v f = 2m / s
a = f D g = 2 . 94 m / s 2 ⇒ D = 68 cm
Due auto, di massa m1=1400kg e m2=1600kg viaggiano a velocità
v1=60km/h e v2=90km/h, che formano un angolo di 90° fra loro.
Se si scontrano in un urto totalmente anelastico, determinare la velocità
del sistema subito dopo l’urto.
r
r
r
m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 )v f
vf =
( q 12 + q 22 )
m TOT
= 15 . 4 m / s
30 .3 ° risp . v 2
Forze esterne e variazione di energia interna
m
Ki>0
m
Ki=0
v
F
F
2
1
prima
Lext = ∆EM + ∆Eint
∆EM = −∆Eint
r
r r
∆p = J EXT = J N
dopo
in questo caso Lext=0
quindi ...
... l’aumento di EM avviene a spese dell’energia interna del sistema
Il compito delle forza esterna in questo caso è di convertire una
forma di energia in un’altra.
potremmo dire che in questo caso la forza esterna fornisce
l’impulso, le forze interne il lavoro.
700.000km
cdm (450km)
150.000.000km
sole
terra
1.99.1030kg
5.97.1024kg
v
piano orizzontale
Se il sistema terra sole è isolato vcm cost. Il centro
di rotazione non è il sole ma il c.d.m. terra-sole !
Una persona nel vagone lasciato a sè stesso non è
in grado di modificare il moto globale del sistema
uomo+vagone.
Ciò perché le forze che esercita sono forze interne .
Se il sistema è isolato la “quantità di moto“ resta
costante