Funzioni BV e tracce

R ENDICONTI
del
S EMINARIO M ATEMATICO
della
U NIVERSITÀ DI
PADOVA
G. A NZELLOTTI
M. G IAQUINTA
Funzioni BV e tracce
Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova,
tome 60 (1978), p. 1-21
<http://www.numdam.org/item?id=RSMUP_1978__60__1_0>
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Funzioni BV
G. ANZELLOTTI
(*) -
e
M.
tracce.
GIAQUINTA (**)
SUMMARY - This paper is concerned with two problems in BV function theory:
(i) approximation of functions in BV(Q) by C°° functions; (ii) existence
of a trace on
for functions in
when
+00. A local
necessary and sufficient condition on aS2 in order to have an estimate
of the type
is given in section 3. An extension theorem for
in section 4.
functions is
given
0. Questo lavoro, che riprende e amplia in modo sostanziale un
lavoro precedente [1] che ha avuto una limitatissima diffusione, si
occupa di due problemi nella teoria delle funzioni che hanno derivate
misure. Il primo problema nasce dall’osservazione che lo spazio
non è denso in BV(Q) con la topologia indotta dalla norma di BV(Q),
ed è quello di approssimare, in qualche senso ragionevole, una funzione
con funzioni regolari. La risposta che si dà (teorema 1) è
che per ogni f E BV(Q) esiste una successione
c
tale che
(*) Indirizzo dell’A.: Istituto Matematico, Università, Povo (Trento).
(**) Indirizzo dell’A.: Istituto di Matematica Applicata, Facoltà di
Ingegneria,
Università di Firenze.
2
Il secondo problema che ci si pone è essenzialmente quello di carathanno
terizzare gli aperti ’Q sulla cui frontiera le funzioni
traccia. Per i i risultati ormai classici sull’argomento si veda [4], [7], [8].
di
Noi faremo vedere (paragrafo 2) che sulla frontiera ridotta
oo è possibile definire, mediante
un aperto SZ con
proprietà locali, la traccia di un funzione B V. Ci si chiede poi se la traccia
cos definita verifica qualche maggiorazione e si prova (paragrafo 3)
l’equivalenza fra il verificarsi di una certa condizione locale per ogni
x E 8Q e l’esistenza di una maggiorazione di traccia. Se questa condizione è soddisfatta si dimostra poi che l’operatore di traccia
è continuo rispetto alla convergenza (1) ed è suriettivo.
Per molte questioni ci sono state utili le conversazioni avute
E. De Giorgi ed E. Giusti.
1.
Si ha il seguente teorema di
la dimostrazione si ispira a
BY(S2) ;
TEOREMA 1. Sia
una
un
approssimazione
quella di [6].
aperto di Rn
successione {fj} Coo(Q)
c
e
sia
con
per le funzioni
f E BV(Q),
esiste allora
tale che
poi, se valgono le (i) del teorema 1, si dirà che la successione li
T-converge a f e si scriverà fj # f . La T-convergenza è indotta dalla
D’ora in
distanza
su
Questa distanza
non
è invariante per traslazioni.
DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA 1. Per dimostrare il teorema basterà provare che per ogni e > 0 esiste una funzione g E C"(Q) tale che .
3
Sia
Sia
~5~~~
poi
una
una
dove y~t~ =
successione di
aperti
successione di funzioni
una
con
successione di
in cui i numeri Tk
c
tale che
sono
c
regolarizzanti con spt
valgano le seguenti
tali che
condizioni
Per la
(iv)
la serie che definisce
è
una somma
finita in
ogni
4
punto x
Dalla
e
(vi)
si ha
segue subito che
inoltre si ha
.e
ricordando la
(ii)
Dalla semicontinuità dell’integrale del
-vergenza LI e dal teorema 1 segue il
COROLLARIO 1. Data
.solo se esiste una
Si ha
poi
la
vergente
f BV(Q)
E
con-
funzione f E
si ha
f E BV(Q)
se e
tale che
c
seguente
PROPOSIZIONE 1.
a
una
alla
gradiente rispetto
c
e
sia A
successione di funzioni .T-conaperto contenuto in Q tale che
BV(.Q)
un
5
allora si ha
DIMOSTRAZIONE. É sufficiente ricordare la semicontinuità dell’integrale del gradiente in entrambi gli aperti A e
2.
f
questo paragrafo studieremo le tracce delle funzioni
In
sulla frontiera di
r1
E
Si ha la
+
con
00.
seguente
PROPOSIZIONE 2.
tale che
dove L è
aperti Q
una
costa>ite
Se esiste
una
~~~~.~
successione di
E c Q di
indipendente da le, allora ogni
è
.~
di
stesso)
particolare
perimetro finito
perimetro finito in il (e in
e precisamente si ha
in
Itn
ma
DIMOSTRAZIONE. Gli insiemi A
e si ha precisamente
allora,
nQ,
per la semicontinuità del
sono
di
perimetro,
perimetro
finito in
segue la tesi. D
Le ipotesi della proposizione precedente sono verificate dagli
+ 00, infatti, in tal caso, per ogni l~ è posaperti con
sibile ricoprire 8Q con una famiglia finita di sfere
di raggi
in modo che
gli insiemi D,
proposizione 2.
e
sono
proprio
come
nelle
ipotesi
della
6
Si ha
dunque :
PROPOSIZIONE 3. Se
-~- oo allora s2 ha perimetro f inito
E
Q
che ha perimetro f inito in Q è anche
c
in R". Inoltre ogni insieme
Rn.
di perimetro finito in
+ oo non può
seguente esempio mostra che l’ipotesi
sostituita dall’ipotesi P(Q)
+ 00, neppure nel caso in cui la
frontiera topologica e la frontiera essenziale di Q coincidono.
Il
essere
ESEMPIO. Sia A il
Sia
poi ~r~~
pi=
raggio ei
e
di
e
poniamo
quadrato (0, 1) X (0, 1 ) c R2
numerazione di
Per ogni pii sia
in modo che
una
È chiaro che Q è
l’insieme
un
aperto
e
E è
e
siano
gli insiemi
Q C) (0, ~) e consideriamo i punti
Bi una palla aperta di centro pi
2
+
oo.
Consideriamo infine
un aperto di perimetro finito in Q e si ha precisamente P(E,
(12 n 8E) 1, però E non è di perimetro finito in Rn.
Per ogni funzione f misurabile definita su il e per ogni x E
definiamo
( conironta
Federer
[3])
7
Quando f sarà fissata scriveremo ~,(x), ,u(x), .F’(x), omettendo l’inse e solo se per ogni intero podice t. Osservando che
sitivo i si ha
e analogamente
si ottiene che Ä(x) è una funzione boreliana su
si procede per
D’ora in poi Q sarà sempre un aperto con
+ 00, osserviamo però che per molti dei discorsi che seguono si potrebbe sostituire questa ipotesi con l’ipotesi della proposizione 2.
I teoremi seguenti permettono di dare una prima nozione locale
di traccia di una funzione
su
TEOREMA 2.
punti
x E
Data
fE
dove
+ oo, per
Y*Q si ha
DIMOSTRAZIONE. Per la formula di coarea (cfr. [3]) esiste un inl’insieme
sieme 8 numerabile e denso in R tale che per ogni s
in
è
di
finito
Q.
Per
la
>
Es =
f (x) s~
perimetro
proposizione 3
è
in
di
Rn
allora
finito
E8
perimetro
e, posto
si indica l’insieme dei punti di Q che sono di densità t
(dove con
0 . Per provare il teorema è allora sufEs ) si ha
per
==
ficiente dimostrare che se
e A(x) 03BC(x) allora
A tale scopo osserviamo che se
qualche
si trova sES
con Ä(x)
e si ha
s
per
poichè
e
À(z)
e
poichè s ~C(x)
poichè ~1(x) 8 implica
x) > O ed essendo
non può essere anche 0(~~)==~. a
x) = 2
8
Si ha ovviamente la
PROPOSIZIONE 4. Sia
ha allora per Jen-I- quasi tutti i
su
OSSERVAZIONE.
Y*Q
+
punti
Notiamo che
Sia 9
PROPOSZIONE 5.
un
se
oo e
xE
sia
1 E BV(9) n
si
Y*Q
si ha
aperto di perimetro f inito in RI
q.o.
con
posto allora
si ha
che i E
e
inoltre vale
DIMOSTRAZIONE. Cominciamo col supporre che 1 c- C°°(S2) ~1 BV(Q) r1
è allora chiaro che il sottografico E di i ha perimetro finito
in
tale che
+ oo e preper ogni aperto
cisamente si ha
t1
dunque
e
si ha anche
9
(i) è provata
Se ora
per le funzioni che sono anche
per il teorema 1 esiste una successione {f,} c
r1 BV(Q) che T-converge a f in Q e si può supporre che
c
per ognuna delle fj vale allora la (i) e passando al
limite per j - oo si ha la tesi.
per cui la
f E BV(Q)
Ricordiamo ora (vedi [2]) che per ogni insieme di perimetro
finito in Rn si può trovare una successione di compatti {Ki} tale che:
=
UKi)
;=o
ipersuperficie Si
dove
di classe C’
0
e
per
ogni .Ki
è contenuto in
Jen-l-quasi ogni x E .Ki
una
il vettore
sta sulla retta normale a Si in x. Si possono poi sempre arrangiare le
in modo che i Ki siano disgiunti e che esista su ogni ~’i un campo
continuo di vettori ni(x) con lni(x)i
1 e con ni(x)
v(x) per
cose
=
=
tutti
gli
n LOO(il), e i E
le
posizione precedente, ricordando i risultati
Se
è definita come nella prodi traccia di M. Miranda [7],
si vede che f ammette una traccia interna P+ e una traccia esterna Fsu ogni ipersuperficie regolare Si e per ogni boreliano B di Rn si ha
In
ora
particolare la (*) vale con v(x) al posto
ha, sempre per B boreliano :
sione si
di
ni(x)
su
.K2
e
in conclu-
10
Infine
il vettore v(x) punta verso l’interno di Q nei
è chiaro che JCII-I-q.o. su Y*Q si ha
poichè
In conclusione si ha il teorema
seguente:
TEOREMA 3. Sia S~ un aperto con Jen-I(3Q)
allora 1 ha una traccia F su
da
JCn-i-quasi tutti gli
n
+ oo, sia f E
caratterizzata per
inoltre, se i è definita come nella proposizione 5, si
e per ogni boreliano B di l~n vale
poi facciamo l’ipotesi
ogni boreliano B
se
fe
cioè per
In f ine
ogni
si ha
g E
per i
ha
che i E BY(Rn)
si ha
che sia
e
=
punti
1, 2, ..., n vale
anche,
per
11
e
vale la
formula
di Green
Osserviamo che senza la condizione
0 non valin
le
ultime
due
formule
del
teorema
gono
generale
precedente.
Nel caso in cui
riusciamo ancora a valutare
la misura
in termini di f se si verificano le condizioni seguenti:
=
dove Jen-l(~) == 0 e gli insiemi Ci sono compatti, disgiunti due
ciascuno contenuto in una ipersuperficie r2 di classe C1.
a
due,
e
(2.ii)
i
punti
di
2DIY*,Q
sono
In tali condizioni infatti la funzione
e
una
-
per ciascuna faccia,
per Hn-1-quasi
sante per x
e
xE
iE
ogni superficie
ogni x E
Q,
su
Osserviamo che la condizione
3) per Hn-1-quasi ogni
di densità 1 per Q .
Hn-1-quasi tutti
ha due tracce
rE e, posto §(z)
si ha
==
2.i) equivale alla
esiste
una
ipersuperficie T
pas-
tale che
3. In questo paragrafo studieremo una condizione locale su 8Q
una magnecessaria e sufilciente affinchè valga, per ogni
giorazione
del
tipo
12
dove I’ è la traccia di f su Y*Q definita nel paragrafo precedente.
poi vedere che, se vale in S2 una maggiorazione del tipo (1),
allora l’operatore di traccia è continuo rispetto alla T-convergenza
definita nel paragrafo 1 e la traccia gode di alcune proprietà locali
che erano già state stabilite nel paragrafo 2 per le funzioni BV(Q) n
Faremo
n
Per la
seguente definizione confrontare
con
[5].
~
x E
e
DEFINIZIONE 1. Sia Q
8Q definiamo
poniamo Q -
un
aperto
+ 00, per ogni
con
sup
xEóS2
con frontiera di classe C1 si ha Q = 1
frontiera
lipschitziana si ha essenzialmente
gli aperti
+ L2 dove .L è la costante di Lipschitz del bordo di SZ. Hanno
+ 00 gli aperti con cuspidi verso l’esterno. Osserviamo anche che
non implica necessariamente q(x)
+ oo.
Osserviamo che per
mentre per
Q
Q
gli aperti
con
9
TEOREMA 4.
2cn
aperto limitato
-~-
con
oo
e
definita come
f E BV(il) e sia F la traccia di f su
nel paragrafo precedente. Si ha allora per ogni e > 0 e per ogni f E BV(Q)
sia
Q
-E-
dove
c(Q, e)
oo
non
dipende
DIMOSTRAZIONE: Sia
per
ogni insieme
da
xE
B c S~ r1
t.
e
sia
Be(~)(x)
e(x) > 0
con
tale che
P(B, il)
+
oo.
Sia
poi
13
con
spt f c 8~~~~~~), si ha allora
dove 1,
per
~la
formula di
coarea
si ha
infine
famiglia di sfere
un sottoricoprimento
partizione dell’unità
La
iamone
Se
e
ora f E B V(Q) si
ricorprimento di 8Q ; estra... , Bk e consideriamo una
un
finito Bl,
tale che
ha
Il seguente teorema stabilisce
la maggiorazione di traccia.
un
legame preciso
TEOREMA 5.
un aperto limitato con P(9)
in Q si ha una maggiorazione di traccia del tipo ( 1 ) se
e precisamente si ha
fra la costante
=
Q inf delle costanti
tipo (1).
=
del
DIMOSTRAZIONE.
ogni A c Q r1
L per le
quali
vale
che
valga
la
Supponiamo
con x E
aS~
e
solo
una
se
Q
Q
-~- 00,
-~- o0
maggiorazione
(1). Si ha allora per
14
e
quindi
dove si è sfruttata
Si ha
e
l’ipotesi
=
P(Q)
usando
poi
quindi
Questo fatto, unito al
teorema
precedente, dà la tesi.
Consideriamo ora il problema della continuità dell’operatore di
traccia. Dato un aperto limitato Q con
chiameremo
l’operatore che ad ogni funzione
associa la sua traccia F = y f su
Sia 9 un aperto limitato con
-~- 00,
è una successione di f unzioni di BV(Q) T-convergente
in
allora si ha che
THEOREMA 6.
Q
a
-~-
Ic-BV(12),
DIMOSTRAZIONE. Sia A un aperto relativamente compatto in .S2
frontiera regolare, per ogni g E BY(SZ), avente traccia yg su Y* Q
traccia esterna j7g su 8A, si ha allora
con
e
oo.
15
infatti, posto
si ha
g* E BV(Q), yg
per la g*, si ha la (i).
Fissiamo
per la
ora e >
tale che
Applicando ora
tiene per ogni
e
quindi
imporremo
si ha che
cc
(i)
di traccia.
D tale che
f
in
QEA
e
quindi esiste
un nu-
si ha
se
la
ora
non
su
TEOREMA 7.
-f- 00,
sia A
maggiorazione
alle funzioni
f,~
-
f,
per la linearità di y, si ot-
la tesi.
Vedremo
funzioni BV
e
e
1 si ha
proposizione
mero n1
O
e, ricordando la
yg*
=
di estendere i risultati ottenuti nel teorema 3 alle
limitate ; a questo scopo utilizzeremo i teoremi 4 e 6
Q la condizione supplementare
o .
=
Sia D
f E BV(Q)
f E B V(R,,) e
se
e
~cn
aperto limitato
de f iniamo f
vale
come
con
nella
P(Q) ==
proposizione
5 allora
16
DIMOSTRAZIONE. Possiamo limitarci al
caso
di
1 > 0.
Per
ogni intero
positivo poniamo
per il teorema 3 si ha
quindi
e
-ossia
i E BV(Rn),
T-convergono
a
TEOREMA 8.
Siano Q,
,Green).
.su
f
f k di f
( Caratterizzazione
f , i,
locale della traccia e formula di
nel teorema precedente, si ha allora JCn-l-q.o.
come
8Q
inoltre per
.e
osserviamo che le funzioni troncate
si ha la tesi.
se ora
vale la
ogni boreliano
formula
B c Rn si ha
di Green
’
17
DIMOSTRAZIONE. Si procede
strare il teorema 3. a
4.
In
analogamente
questo paragrafo Q sarà
+
un
a
quanto fatto per dimo-
aperto limitato di Rn
con
00.
Sia 92 E .L1(,f’ * Q), diremo che una funzione f E BV(Q)
è cp.
prolungamento di cp a Q se la traccia di 1 su
DEFINIZIONE.
è
un
TEOREMA 9
(a)
(b)
dove
c
(di prolungamento. Si
per ogni
la cui traccia
se
si trova
da Q
ma non
LEMMA 1. Sia S una
L1(S) nulla fuori di
sia
f E HI,l(Rn)
che ha cp
come
f unzione
r’1
si trova
è p; si ha inoltre
ogni
premettiamo
iper superficie cartesiana
un
funzione
da q;.
Alla dimostrazione del teorema 9
e
una
è cp; si ha inoltre
su
Q +00 allora per
la cui traccia su
dipende
ha:
il
seguente
di classe 01 in
compatto K c S. Allora esiste
traccia
su
una
Rn9
funzione
S ed è tale che
DIMOSTRAZIONE. Possiamo supporre che
dove A è un aperto di Rn-1 e
01(A). Poniamo 99
§5 è allora nulla fuori di k, dove K è la proiezione di g su A. Possiamo quindi trovare una successione
c Có(A) che approssima q
in
e con
ora facile convincersi che per
di
e di una
una opportuna scelta di una sottosuccessione
=
18
successione decrescente
è
quella
cercata.
DIMOSTRAZIONE
compatti disgiunti
tenuto in
ogni j
una
Per il lemma
la cui traccia
DEL
TEOREMA
tali che
su
9.
Sia
una
(Y* QB U Kj)
B
ipersuperficie Sj
definiamo
Poniamo
Ei - 0, la funzione
e con
che
=0
7
j=1
possiamo
e
successione di
ogni Kj sia
con-
supporre cartesiana. Per
~S~ la funzione
precedente si trova allora
su Sj è q;i e tale che
una
funzione Oi E H1,1(Rft)
ora
dove
Consideriamo la successione di
segue
funzioni {fi} c
definita
come
19
dove le
sono
funzioni
lipschitziane
scelte in modo che
Ovviamente si ha
per induzione si vede che
A questo punto è chiaro che se riusciamo a provare
è una
il limite f E
delle fè prosuccessione di Cauchy in
prio il prolungamento cercato, infatti su ogni Sj la traccia di f è il
limite in L1(Si) delle tracce delle fj le quali su
sono, da un
è però di
certo punto in poi, sempre uguali a
Ogni punto x E
frontiera ridotta per Sz e, per il teorema 8, la traccia di f)p su
è proprio
cp(x).
Mettiamoci allora nelle ipotesi di (a) e osserviamo che è di
Cauchy in H1’1(Rn) se
e
=
dove
Fissato ~ > 0
in modo che
e
possiamo scegliere
inoltre in modo che si abbia
le
con
supporto di misura piccola
20
Abbiamo dunque che
è di
per
Cauchy
i
mento cercato.
(lim f i)1
è il
D
prolunga-
Mettiamoci ora nelle ipotesi di (b). Poichè C~
+ oo vale la magdi traccia e si ha, ricordando anche la (i),
giorazione
mentre per ogni indice i vale
.se le V’ii sono scelte come nel caso
è di Cauchy
_A poi ovvio che
.e ancora
cato.
=
Q i-oo
Si ha
su
allora,
precedente,
(lim fi)|!D1
è il
prolungamento
cer-
dipende dalle costanti che compaiono nella maggiorazione di
traccia, e quindi da Q, ma non dipende da cp.
dove
c
si vede che 29’c 8Q.
posto D’=
si ha quindi anche
-E- 00, inoltre i
sono di densità -1 per Q’ e quindi sono Hn-1-quasi tutti
punti di
di frontiera ridotta per Q’ e viceversa.
Dal teorema precedente e da quanto appena osservato si ottiene
infine il seguente :
Sia Q
un
Se
aperto di
+
TEOREMA 10.
oo
Sia D
un
aperto limitato
con
-I-
00
e
+ oo
(a) Data p
traccia di
ti!)
su
si trova
Y*Q = traccia di
una
f unzionc f E H1,1(Rn)
su
.~’~ S~’ = 99.
tale che
21
(b)
si trova
d01,e
c
Se
una
poi
funzione f E
dipende
da n
0, per
tale che
ogni funzione f E H1,1(Q)
f e
fIQ
ma non
da
-
f.
BIBLIOGRAFIA
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Mat. Univ. Padova, 26 (1956), pp. 36-60.
Manoscritto pervenuto in redazione l’8
luglio
1977.