Teorema di Thévenin – esercizio n. 8 - Digilander

Teorema di Thévenin – esercizio n. 8
Si consideri la rete in regime stazionario.
Si determini la potenza erogata dai generatori presenti utilizzando una o più volte il teorema del generatore equivalente
(Thévenin).
E10 = 60 V
E20 = 60 V
R1
I0 = 3 A
R2
+
+
R2 = 4 Ω
R3
R4
R5
E10
R1 = 4 Ω
E20
R3 = 4 Ω
I0
R4 = 4 Ω
R5 = 4 Ω
Teorema di Thévenin:
Una rete elettrica lineare comunque complessa vista da due morsetti equivale ad un generatore reale di tensione.
La f.e.m. del generatore equivalente ETh corrisponde alla tensione a vuoto presente tra i due morsetti quando il carico è stato soppresso.
La resistenza interna del generatore RTh è quella vista dai terminali stessi a vuoto, dopo aver cortocircuitato i generatori di tensione ed
aperti quelli di corrente.
Nota: Il verso della d.d.p. tra i punti a vuoto (senza la resistenza R) che produce il generatore di tensione di Thévenin deve essere lo stesso verso della
d.d.p. che produce la rete da semplificare
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Teorema di Thévenin – esercizio n. 8
Verrà utilizzata la convezione dell’utilizzatore
Si stabiliscano i nodi del circuito.
I nodi presenti nel circuito risultano essere 4.
C
R1
Teorema del generatore equivalente applicato ad R3.
Per conoscere la potenza erogata dal generatore di corrente I0
occorre determinare la d.d.p. VCD ai suoi capi e quindi è necessario
determinare la corrente I3 che attraversa la resistenza R3.
+
+
I3
E20
R3
R4
R5
E10
VCD = R3 ⋅ I3
R2
B
A
D
D
I0
Circuito per il calcolo di RTh:
La resistenza RTh vista da i terminali C e D
è costituita dalla resistenza R2.
C
R1
R2
B
RTh = RCD = R2 = 4 Ω
R4
R5
A
D
D
2
Teorema di Thévenin – esercizio n. 8
Circuito per il calcolo di ETh = VDC:
C
R1
R2
B
+
+
Per calcolare VCD si utilizza la strada
costituita dalla resistenza R2 in cui circola
la corrente I0 ed il generatore E20:
E20
ETh = VCD = R2 ⋅ I0 + E20 = 4 ⋅ 3 + 60 = 72 V
I0
R4
R5
E10
D
A
D
Circuito elementare di Thévenin:
Calcolo della corrente I3:
C
I3 =
RTh
R3
+
ETh=VCD
Calcolo della
generatore I0:
I3
VCD
ETh
72
=
=
= 9,00 A
RTh + R3 RCD + R3 4 + 4
potenza
erogata
dal
PI0 = VCD ⋅ I0 = R3 ⋅ I3 ⋅ I0 = 4 ⋅ 9 ⋅ 3 = 108 W
D
3
Teorema di Thévenin – esercizio n. 8
C
Teorema del generatore equivalente applicato al ramo R1 E10.
R1
Per conoscere la potenza erogata dal generatore di corrente E10
occorre determinare la corrente che l’attraversa e quindi è
necessario determinare la corrente I1 che interessa la resistenza
R1.
+
+
I1
I3
E20
R3
R4
R5
E10
A
D
D
I0
Per una migliore comprensione su come La resistenza RTh vista da i terminali B e A
è costituita dalla resistenza R4 in parallelo
calcolare la RTh si ridisegna il circuito:
con la resistenza R5.
C
R ⋅R
4⋅4
RTh = RBA = 4 5 =
=2Ω
R 4 + R5 4 + 4
R2
R
Circuito per il calcolo di RTh:
C
R2
B
R2
B
3
R3
R4
R5
A
B
B
B
B
R5
R4
A
4
Teorema di Thévenin – esercizio n. 8
Circuito per il calcolo di ETh = VBA:
Per calcolare VBA occorre la corrente I4 che
attraversa la resistenza R4. Tale corrente
può essere facilmente determinata poiché
è nota la d.d.p. VBD = E20:
C
R2
B
I4
+
E20
A
I4 =
R3
R4
R5
D
E20
60
=
= 7,5 A
R 4 + R5 4 + 4
I0
D
ETh = VBA = R 4 ⋅ I4 = 4 ⋅ 7,5 = 30 V
Circuito elementare di Thévenin:
Calcolo della corrente I1:
B
RTh
R1
+
I1
I1 =
E10 − ETh 60 − 30
=
=5 A
RTh + R1
2+4
Calcolo della potenza
generatore E10:
erogata
dal
PE10 = E10 ⋅ I1 = 60 ⋅ 5 = 300 W
+
E10
ETh=VCD
A
5
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I2
Calcolo della corrente I20 che interessa il generatore E20.
Per conoscere la potenza erogata dal generatore di tensione E20
occorre determinare la corrente che l’attraversa I20.
In questo caso non occorre riapplicare il teorema del generatore
equivalente, ma può essere seguita la seguente strada:
R1
+
R2
B
+
I1
E10
C
I3
E20
I20
R4
A
I4
R3
R5
D
D
I0
I5
Calcolo della corrente I4:
E − R1 ⋅ I1 60 − 4 ⋅ 5
V
=
= 10 A
I4 = BA = 10
R4
R4
4
Calcolo della corrente I2 attraverso
l’equilibrio al nodo C:
I2 = I3 − I0 = 9 − 3 = 6 A
Calcolo della corrente I20 attraverso
l’equilibrio al nodo B:
I20 = I4 + I2 − I1 = 10 + 6 − 5 = 11 A
Calcolo della potenza erogata dal
generatore E20:
PE20 = E20 ⋅ I20 = 60 ⋅ 11 = 660 W
In conclusione le correnti nella rete
sono:
I0 = 3 A
I1 = 5 A
Calcolo della corrente I5 attraverso
l’equilibrio al nodo A:
I5 = I4 − I1 = 10 − 5 = 5 A
I2 = 6 A
I3 = 9 A
I4 = 10 A
I5 = 5 A
I20 = 11 A
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Teorema di Thévenin – esercizio n. 8
Riepilogo delle potenze erogate dai generatori:
Calcolo delle potenze assorbite dalle resistenze;
PI01 = VCD ⋅ I0 = 36 ⋅ 3,00 = 108 W
PR1 = R1 ⋅ I12 = 4 ⋅ 52 = 100 W
PE10 = E10 ⋅ I1 = 60 ⋅ 5 = 300 W
PR2 = R2 ⋅ I22 = 4 ⋅ 6,002 = 144 W
PE20 = E20 ⋅ I20 = 60 ⋅ 11 = 660 W
PR3 = R3 ⋅ I3 2 = 4 ⋅ 9,002 = 324 W
PR4 = R 4 ⋅ I42 = 4 ⋅ 102 = 400 W
PR5 = R5 ⋅ I5 2 = 4 ⋅ 52 = 100 W
Verifica potenze erogate ed assorbite:
PI01 + PE10 + PE20 = 108 + 300 + 660 = 1068 W
PRT = PR1 + PR2 + PR3 + PR4 + PR5 = 100 + 144 + 324 + 400 + 100 = 1068 W
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