6. Giovanni Salmeri, Piccola storia della Logica. Il Novecento (Parte II)

Giovanni Salmeri
Piccola
storia della logica
II. Il Novecento
Roma 1999
4. La logica nel Novecento
4.1. Georg Cantor (1845-1918)
4.1.1. La teoria degli insiemi
L’opera di Georg Cantor si situa nel complesso di ricerche che vennero
dedicate tra la fine dell’Ottocento e l’inizio del Novecento al problema della fondazione della matematica. Si trattava del tentativo di darle una base assolutamente solida, che non facesse ricorso né a considerazioni psicologiche, né a dati
«intuitivi» come venivano presentati dai neokantiani. Questo nuovo punto di
partenza è offerto secondo Cantor dalla teoria degli insiemi. Eccone i concetti
fondamentali:
Con insieme (Menge) intendiamo ogni riunione I in un tutto di determinati e ben distinti oggetti i della nostra intuizione o del nostro pensiero (che vengono chiamati elementi
di I). In simboli esprimiamo ciò così:
I = {i}.
[...]
Ad ogni insieme I spetta una determinata potenza (Mächtigkeit), che chiamiamo anche il suo numero cardinale (Kardinalzahl). Chiamiamo potenza o numero cardinale di I il concetto generale che con l’aiuto della nostra facoltà attiva di pensiero scaturisce dall’insieme I
astraendo dalle fattezze dei suoi distinti elementi e dall’ordine nel quale essi sono dati. Il risultato di questo duplice atto di astrazione, il numero cardinale o la potenza di I, lo indichiamo
con |I|.
Giacché da ogni singolo elemento i se si prescinde dalla sua fattezza, deriva un’unità,
allora lo stesso numero cardinale |I| è un determinato insieme composto di semplici unità,
che possiede esistenza nella nostra mente come immagine intellettuale o proiezione dell’insieme dato I.
Due insiemi I e J li chiamiamo equivalenti e indichiamo ciò con
I ~ J oppure J ~ I
30
se è possibile porli secondo una legge in una relazione reciproca tale che ad ogni elemento di uno di essi corrisponda uno e solo un elemento dell’altro.
[...]
È di significato fondamentale che due insiemi I e J hanno lo stesso numero cardinale
se e solo se essi sono equivalenti:
da I ~ J segue |I| = |J|,
e da |I| = |J| segue I ~ J.
L’equivalenza di insiemi costituisce dunque il necessario e infallibile criterio per l’uguaglianza dei loro numeri cardinali (Contributi alla fondazione della teoria degli insiemi transfiniti, 1897, § 1 [simbologia modificata]).
Così si è raggiunta secondo Cantor una soddisfacente caratterizzazione
del numero: anzitutto del numero naturale, e tramite questo del numero relativo, razionale e infine reale (un passo quest’ultimo meno facile, che venne compiuto da Cantor stesso). In questo modo l’aritmetica diventa una scienza edificata sulla base della teoria degli insiemi, che pare rispondere a quelle doti di semplicità e solidità che dovrebbe richiedere una teoria di fondazione. La teoria degli insiemi mostra però un’ulteriore particolare duttilità: essa permette di
considerare anche numeri che non avevano fino ad allora trovato spazio nella
matematica: i numeri infiniti, o, come preferisce dire Cantor (per riservare la
qualifica d’infinito a Dio solo) transfiniti:
Gli insiemi con numero cardinale finito si chiamano insiemi finiti; tutti gli altri li vogliamo denominare insiemi transfiniti, e i numeri cardinali che spettano loro numeri cardinali
transfiniti.
La totalità di tutti i numeri cardinali finiti n ci offre il più vicino esempio di insieme
transfinito; il numero cardinale che gli spetta lo chiamiamo áleph zero, in simboli c0; definiamo dunque
c0 = |{n}|.
Che c0 sia un numero transfinito, che cioè non sia eguale a nessun numero finito m,
deriva dal semplice dato di fatto che quando all’insieme {n} viene aggiunto un nuovo elemento e0, l’insieme unione ({n}, e0) è equivalente a quello originale {n}. Infatti è possibile pensare
tra i due insiemi la relazione biunivoca secondo la quale all’elemento e0 del primo corrisponde l’elemento 1 del secondo, all’elemento n del primo l’elemento n + 1 dell’altro (Contributi
alla fondazione della teoria degli insiemi transfiniti, § 6 [simbologia modificata]).
Dunque, la teoria degli insiemi rende inevitabile l’introduzione anche
dell’infinito attuale, e non solo dell’infinito potenziale (considerato cioè come
un limite irraggiungibile), cosa che Cantor discusse esplicitamente citando il precedente di Leibniz. Si osservi anzi che come caratteristica definitoria viene scelto proprio quell’aspetto paradossale che fin da Aristotele era stato usato come
confutazione dell’esistenza dell’infinito attuale: l’infinito è ciò in cui una parte
può essere equivalente al tutto. Questo è un chiaro indizio della portata che
Cantor attribuiva all’idea secondo cui «l’essenza della matematica sta nella sua
31
libertà», libertà dunque anche di concepire e trattare oggetti apparentemente
contraddittori.
4.1.2. La gerarchia dei transfiniti
È possibile, malgrado ciò che si è detto, parlare di differenti numeri transfiniti? In un primo momento Cantor pensò di no: riuscì infatti a mostrare che
l’insieme Ä dei numeri razionali ha anch’esso potenza c0. Il risultato è molto significativo, perché Ä possiede una caratteristica peculiare, la densità, che lo distingue chiaramente da Á (dati due numeri razionali q1 e q3 tali che q1 > q3, esiste sempre un numero razionale q2, per esempio la loro media aritmetica, tale
che q1 > q2 > q3). La dimostrazione dell’equivalenza di Á e Ä è abbastanza semplice: si tratta solo di descrivere un metodo tramite cui ordinare tutti i numeri
razionali, in modo che ad ognuno sia assegnato un posto univoco, e sia possibile
così stabilire una corrispondenza con il numero naturale che indica quella determinata posizione. (Il nucleo del metodo trovato da Cantor consiste nell’elencare
i numeri razionali, scritti sotto forma di frazione, ordinandoli per gruppi in cui
sia uguale la somma del numeratore e del numeratore.)
Ma esistono insiemi con una potenza maggiore di c0, in cui cioè gli infiniti
elementi non possano essere messi in un qualsivoglia elenco ordinato che permetta una relazione biunivoca con Á? Ciò è quanto Cantor alla fine dimostrò
per l’insieme dei reali Å. La dimostrazione più semplice e celebre è per assurdo:
prima si ipotizza che i numeri reali (cioè costituiti da una sequenza di infinite cifre decimali a1, a2, ..., an, ...) possano essere messi in una sequenza ordinata
(r1, r2, ..., rn, ...); poi si mostra come è possibile costruire un numero reale (r0)
che non appartiene a tale sequenza:
Se r1, r2, ..., rn, ... è una qualsiasi sequenza semplicemente infinita di elementi dell’insieme Å, allora c’è sempre un elemento r0 di Å che non coincide con alcun rn.
Per dimostrarlo, sia
r1 = (a1,1, a1,2, ..., a1,n, ...),
r2 = (a2,1, a2,2, ..., a2,n, ...),
...
rm = (am,1, am,2, ..., am,n, ...),
...
[...]
Siano r e s due caratteri mutuamente esclusivi [per esempio pari e dispari]. [...] Qui gli
am,n sono in una determinata maniera r oppure s. Ci sia ora una sequenza b1, b2, ..., bn, ...,
definita cosicché il carattere r o s di bn sia diverso da quello di an,n. Se dunque an,n è r, allora
bn è s, e se an,n è s, allora bn è r.
Se ora consideriamo l’elemento di Å
32
r0 = (b1, b2, ..., bn, ...)
si vede senz’altro che l’uguaglianza r0 = rm non può essere soddisfatta per nessun valore positivo di una riga m, perché altrimenti per il rispettivo m, per tutti i valori della riga, sarebbe
bn = am,n
dunque anche in particolare
bm = am,m
il che è escluso per la definizione di bn. Da questa conclusione segue immediatamente che la totalità di tutti gli elementi di Å non può essere messa nella sequenza r1,
r2, ..., rn, .... altrimenti ci troveremmo di fronte alla contraddizione che r0 sarebbe e non sarebbe elemento di Å (Su un problema elementare della teoria degli insiemi, 1890-1).
La tecnica usata in questa dimostrazione è il primo esempio del «metodo diagonale» che sarà ripetutamente usato nel campo della logica e della matematica. Il
numero decisivo viene infatti ottenuto invertendo l’attributo r o s delle cifre che sono
individuate da una linea «diagonale» tracciata dall’alto a sinistra nella sequenza dei
numeri razionali. In termini più astratti, il nocciolo consiste nell’attribuire ad uno stesso numero m una doppia funzione: individuare l’m-esimo elemento della sequenza e
l’m-esima cifra di tale elemento.
L’insieme Å è particolarmente importante perché esso è un insieme
«continuo»: intuitivamente, i punti di una retta possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri reali. Si è dunque dimostrato che
l’infinito della continuità non è l’infinito «numerabile», ovvero c0, ma è di entità maggiore. Più precisamente, Cantor dimostrò che il cardinale dell’insieme
Å può essere espresso come 2c0.
Ma esiste un numero transfinito maggiore della potenza di Á e minore
della potenza di Å? oppure il secondo è l’immediato successore del primo? (Il
concetto di «immediato successore di un numero transfinito» venne esattamente definito da Cantor, che mostrò in qual modo esso fosse concretamente costruibile). Indicando la successione dei numeri transfiniti con indici, si tratta insomma di appurare la giustezza dell’equivalenza c1 = 2c0 (ipotesi del continuo)
o, in termini più ampi, cn = 2cn-1 (ipotesi generalizzata del continuo). Cantor non
riuscì a dare risposta, e il problema rimase a lungo aperto. Esso venne risolto solo nel 1963 dall’americano Paul Cohen, che dimostrò che l’ipotesi del continuo
è «indecidibile» nell’ambito delle normali teorie degli insiemi: essa non può essere cioè né dimostrata né confutata.
Tra gli ulteriori e sorprendenti risultati di Cantor è da citare la dimostrazione —
semplicissima — che l’insieme Ån (con n naturale qualsiasi) è equivalente ad Å. Ad
esempio infatti la coppia di numeri reali a = (a1, a2, ..., an, ...) e b = (b1, b2, ..., bn, ...)
può essere posta in corrispondenza biunivoca con il numero reale c = (a1, b1, a2, b2, ...,
33
an, bn, ...). In termini geometrici, ciò significa che una retta ha tanti punti quanti ne
hanno un piano o lo spazio!
4.2. Gottlob Frege (1848-1925)
4.2.1. La fondazione della matematica
Attorno all’inizio del Novecento sono diversi gli studiosi che presentano
contributi importanti alla fondazione della logica formale. Tra i più importanti,
vanno citati almeno George Boole (1815-1864), Charles S. Peirce (1839-1914),
Giuseppe Peano (1858-1932). Su tutti spicca però la personalità di Gottlob Frege, che più degli altri elabora un sistema logico formalmente perfetto, esprimendo con estrema chiarezza idee che altrove si possono trovare in modo ancora solo approssimativo. La sua opera logica si inscrive — come in buona parte
quella di Cantor — nella ricerca di una fondazione rigorosa della matematica.
Ecco l’opinione di Frege al riguardo:
Nei miei Fondamenti dell’aritmetica ho tentato di rendere plausibile la tesi che l’aritmetica sia una branca della logica e che non abbia bisogno di prendere i fondamenti delle
sue dimostrazioni né dall’esperienza né dall’intuizione. Nel presente volume questa tesi sarà
confermata dal fatto che le leggi più semplici dei numeri possono essere dedotte con mezzi
esclusivamente logici. Ciò dimostra, tuttavia, che si debbono porre sui procedimenti di dimostrazione condizioni notevolmente più forti di quanto si sia soliti fare in aritmetica. Si deve
delimitare preventivamente un insieme di pochi modi di inferenza e deduzione e non fare alcun passo che non sia in accordo con uno di questi. Nel passaggio ad un nuovo giudizio, quindi, non ci si deve accontentare, come hanno quasi sempre fatto finora i matematici, della circostanza che esso sia evidentemente corretto, ma lo si deve analizzare nei suoi passaggi logici più semplici, che spesso non sono affatto pochi (FL 38.23).
Tale punto di vista, che verrà chiamato «logicista», tende quindi a subordinare la matematica alla logica, cercando in quest’ultima la precisazione dei
concetti e dei procedimenti fondamentali della prima. Dal punto di vista pratico
34
vale però per Frege in un certo senso un rapporto inverso: e cioè la logica deve
ispirarsi, per perseguire un ideale di assoluto rigore e trasparenza, alla matematica, e più in particolare al metodo «assiomatico» della geometria di Euclide:
L’ideale di un metodo rigorosamente scientifico in matematica, quale io ho qui tentato di realizzare e che potrebbe giustamente essere intitolato ad Euclide, potrebbe venire secondo me così delineato.
Che tutto venga dimostrato non si può certo pretendere, perché ciò è impossibile. Si
può però esigere che tutte le proposizioni che si usano senza dimostrazione vengano espressamente enunciate come tali, affinché si riconosca con chiarezza ove si fonda l’intero edificio.
Bisogna quindi cercare di restringere il loro numero al minimo possibile, dimostrando tutto
ciò che risulta possibile.
Si può esigere in secondo luogo — e in ciò io compio un passo ulteriore rispetto ad
Euclide — che vengano espressamente elencati, prima di costruire l’edificio matematico, i
metodi di deduzione e di dimostrazione che si applicheranno. In caso contrario, è impossibile
garantire che la stessa esigenza precedente sia davvero soddisfatta. Io ritengo di avere sostanzialmente raggiunto questo ideale (FL 38.24).
Il «passo ulteriore» che Frege cita va effettivamente ascritto tra i suoi
maggiori contributi: la prima consapevole distinzione tra regole di deduzione e
assiomi. Tale distinzione è parallela ad un’altra importantissima, che Frege ha
ben chiara: quella tra il linguaggio simbolico che viene costruito (in questo caso
il linguaggio matematico, del quale fanno parte gli assiomi), e il linguaggio che
descrive il funzionamento del primo (successivamente chiamato metalinguaggio, del quale fanno parte le regole).
Tali distinzioni (così come in generale un efficace modello di sistema logico)
possono essere embrionalmente già trovate nella sillogistica aristotelica. Che in questo contesto essa non venga citata è dovuto esclusivamente alla dimenticanza e all’incomprensione in cui essa era caduta da secoli. Ciò tuttavia aumenta ancora il merito
di Frege, che quasi partendo da zero riesce ad elaborare una logica che risulterà in effetti molto più rigorosa e completa di quella di Aristotele.
Bisogna inoltre porre attenzione ad un altro requisito che Frege esige pur
senza dichiararlo con tanta chiarezza: la preventiva ed esatta definizione dei
simboli che compongono il linguaggio e delle regole che conducono ad espressioni sensate. È infatti impossibile contentarsi del linguaggio naturale, data la
sua imperfezione ed ambiguità, ma bisogna elaborare un linguaggio completamente univoco e artificiale, in modo che i procedimenti dimostrativi si riducano
di fatto ad un’elaborazione meccanica di simboli. Solo in questo modo il linguaggio logico potrà ritenersi perfettamente «formalizzato». Frege crea perciò quella che denomina «ideografia» (Begriffsschrift: questo anche il titolo della sua
opera fondamentale del 1879), un linguaggio cioè di tipo grafico che rappresenta senza ambiguità i nessi concettuali. Nel seguito però tradurremo per sem35
plicità la logica di Frege nella notazione contemporanea, che deriva con piccole
varianti da quella elaborata da Giuseppe Peano.
Per curiosità ecco un teorema nella notazione originaria di Frege, seguito dalla
sua traduzione nella notazione di Peano:
([a(f(x,a)  F(a))  (f(x,y)  F(y)))  ([b(F(b) [a(f(b,a)  F(a)))  (F(x)  (f(x,y) 
F(y))))
4.2.2. Funzione, senso, significato
La costruzione della logica da parte di Frege ha come presupposto l’elaborazione di alcuni concetti di base, che vengono discussi con una precisione
mai prima raggiunta. Il primo è il concetto di funzione, per il quale la spiegazione di Frege è sostanzialmente rimasta immutata fino ad oggi:
L’essenza della funzione si esprime [...] nella corrispondenza che essa stabilisce fra i
numeri i cui segni vengono sostituiti a x e i numeri che si ottengono di conseguenza come significati della nostra espressione. [...] L’essenza della funzione sta quindi in quella parte
dell’espressione che rimane quando si prescinde da x. L’espressione di una funzione è bisognosa di completamento, o non saturata. La lettera x serve soltanto a tenere liberi i posti in
cui si può sostituire un segno numerico che completi l’espressione, e permette quindi di riconoscere lo speciale tipo di bisogno di completamento che costituisce il carattere peculiare
della funzione descritto più sopra. Nel seguito, invece della lettera x sarà usata a questo scopo la lettera ξ.
Questo tener liberi deve essere inteso nel senso che in tutti i posti in cui compare ξ si
deve sostituire sempre lo stesso segno e mai segni diversi. Questi posti li chiamo posti di argomento e ciò il cui segno (nome) occupa questi posti in un dato caso lo chiamo argomento
della funzione per questo caso. La funzione è completata dall’argomento; ciò che essa diviene dopo essere stata completata lo chiamo valore della funzione corrispondente a quell’argomento. Otteniamo quindi un nome del valore di una funzione corrispondente ad un argomento sostituendo nei posti di argomento del nome della funzione il nome dell’argomento.
36
Così, ad esempio, (2 + 3 · 12) · 1 è un nome del numero 5 composto mediante il nome di funzione (2 + 3 · ξ2) · ξ e 1 (FL 42.03).
Si noti in tale discussione il livello di astrazione che viene raggiunto nel caratterizzare la funzione come una «corrispondenza»: essa non è un’espressione
numerica, ma un rapporto tra due serie numeriche, rappresentanti rispettivamente l’argomento e il valore. Questo concetto di funzione può essere evidentemente esteso considerando più argomenti («x + 2y» è per esempio una funzione a due argomenti). Più importante però e anzi fondamentale per la costruzione della logica una seconda estensione, riguardante il tipo di valori della funzione:
Il dominio dei valori delle funzioni non può rimanere limitato ai numeri; se prendo infatti come successivi argomenti della funzione ξ2 = 4 i numeri 0, 1, 2, 3, non ottengo come valori dei numeri. 02 = 4, 12 = 4, 22 = 4, 32 = 4 sono espressioni di pensieri ora veri, ora falsi.
Esprimo ciò dicendo che il valore della funzione ξ2 = 4 è il valore di verità di ciò che è vero oppure di ciò che è falso. Da ciò si vede che, scrivendo semplicemente un’equazione, io non intendo asserire nulla, ma soltanto designare un valore di verità, allo stesso modo che non intendo asserire nulla scrivendo 22, ma soltanto designare un numero. Dico: i nomi 22 = 4 e 3 >
2 denotano lo stesso valore di verità, che chiamo per brevità il vero. Allo stesso modo, 32 = 4
e 1 > 2 denotano lo stesso valore di verità, che chiamo per brevità il falso, così come il nome
22 denota il numero 4. Dico perciò che il numero 4 è il significato di 4 e di 22, e che il vero è il
significato di 3 > 2 (FL 42.13).
La «funzione» diventa così un concetto molto ampio e flessibile in grado
di comprendere sotto di sé tutte le possibili corrispondenze univoche tra insiemi di qualsiasi tipo. Particolare importanza rivestono le funzioni (dette «logiche») che hanno sia il loro valore sia il loro argomento nei valori di verità. Consideriamo per esempio la proposizione complessa «3 > 2 e Roma si trova in Italia»: essa significa il vero perché entrambe le sue componenti significano il vero.
La funzione è quindi rappresentabile come «p e q», dove l’operatore (o «funtore», o «connettivo») è la congiunzione «e». Per definire il comportamento di tali funzioni, il modo più semplice consiste nel compilare le cosiddette «tavole di
verità», cioè indicare quale valore esse assumono in corrispondenza di ognuna
delle possibili combinazioni dei valori di verità degli argomenti. Ecco le tavole di
verità delle funzioni logiche più usate, cioè la congiunzione («p e q»), la disgiunzione («p o q»), l’implicazione («p implica q»), l’equivalenza («p equivale a q»),
la negazione («non p»):
37
congiunzione
p ‚ q
v
v
v
v
v
f
f
v
v
f
f
f
disgiunzione
p ƒ q
v
v
v
v
f
f
f
f
v
f
f
f
implicazione
p  q
v
v
v
v
f
f
f
v
v
f
v
f
equivalenza
p  q
v
v
v
v
f
f
f
f
v
f
v
f
negaz.
¬
p
f
v
v
f
La teoria secondo cui le funzioni «saturate» non sono altro che «nomi»
del valore assunto dalla funzione stessa può parere paradossale. Tale apparenza
svanisce quando si introduca un’ulteriore distinzione:
Distinguo tuttavia il senso di un nome dal suo significato. 22 e 2 + 2 non hanno lo stesso senso, così come non hanno lo stesso senso 22 = 4 e 2 + 2 = 4. Il senso del nome di un valore di verità lo chiamo pensiero. Dico inoltre che un nome esprime il suo senso e denota il suo
significato (FL 42.13).
Le nozioni di senso e significato (o, nella terminologia più comune, di intensione e estensione) furono oggetto di ampia riflessione da parte di Frege (Sul
senso e il significato, 1892), che pose così le basi di una dottrina importante non
solo per la logica ma anche per l’analisi del linguaggio comune. In maniera parallela agli esempi matematici, si deve per esempio dire che le due espressioni
«la stella del mattino» e «la stella della sera» hanno lo stesso significato, perché
denotano entrambi il pianeta Venere, ma esprimono sensi differenti, perché
contengono in sé differenti caratterizzazioni concettuali. In generale, per Frege
hanno significato eguale tutti i termini (semplici o complessi) che sostituiti l’un
con l’altro non mutano il valore di verità di una proposizione.
Deviazioni da questa norma si trovano però nei casi di riferimento indiretto: le
due proposizioni «Paolo sa che la stella del mattino è Venere» e «Paolo sa che la stella
della sera è Venere» potrebbero essere infatti l’una vera e l’altra falsa. Ciò si spiega secondo Frege ammettendo che in un contesto indiretto il significato di un termine è il
senso che esso assume in un contesto diretto.
4.2.3. La logica proposizionale
Il primo livello della logica è individuato dalle espressioni che hanno per
significato il vero o il falso, chiamate «proposizioni». Non sono però esse a costituire oggetto diretto di studio: ciò significherebbe infatti per Frege ritenere che
la logica si occupa solo di combinazioni meccaniche di simboli (i «nomi» del vero e del falso, come visto). Bisogna invece ritenere oggetto della logica il senso
di tali espressioni:
Ciò che viene dimostrato non è la proposizione (Satz), ma il pensiero (Gedanke). [...] Il
pensiero non è percepibile dai sensi, ma ne diamo una rappresentazione udibile o visibile
38
nella proposizione. [...] Ciò implica, inoltre, che i pensieri non siano qualche cosa di soggettivo prodotto dalla nostra attività mentale. Infatti, il pensiero che troviamo nel teorema di Pitagora è lo stessa per tutti e la sua verità è del tutto indipendente dal fatto che esso sia pensato o non pensato da questo o quell’uomo. Pensare non significa produrre pensieri, ma comprenderli (FL 39.01).
Con tali precisazioni, Frege si avvicina ad una dottrina stoica: quella che distingueva l’ἀξίωμα (la proposizione) dal suo senso oggettivo e immateriale, il λεκτόν (il
pensiero). E parimenti allineata con la posizione stoica è la concezione della logica come scienza dei «pensieri» e non delle «proposizioni». La terminologia contemporanea
è però differente, e oggi s’intende con «enunciato» ciò che Frege diceva «proposizione», e con «proposizione» ciò che Frege diceva «pensiero». Nel seguito parleremo
quindi di «proposizione» dove Frege parlava di «pensiero».
In generale, lo scopo della logica è dimostrare «teoremi» logici, vale a dire proposizioni che sono vere in virtù della loro sola forma, o più esattamente
funzioni logiche che hanno come valore il vero qualsiasi siano i loro argomenti.
Per esempio, la proposizione «p ƒ ¬ p» è sempre vera (essa esprima l’antico
principio logico del «terzo escluso»). Per dimostrare tali teoremi — come visto
— Frege stabilisce un insieme di assiomi, che servano da punto di partenza indimostrato, e un gruppo di regole che specifichi in qual modo è possibile procedere da un passaggio all’altro della dimostrazione. Assiomi e regole possono essere scelti in modo differente in maniera da portare agli stessi risultati, a rendere
dimostrabili cioè tutte e sole le proposizioni che risultano sempre vere. Questi
sono gli assiomi stabiliti originariamente da Frege:
1. p  (q  p)
2. (p  (q  r))  (q  (p  r))
3. (p  (q  r))  ((p  q)  (p  r))
4. (p  q)  (¬ q  ¬ p)
5. p  ¬ ¬ p
6. ¬ ¬ p  p
Come si nota, questi assiomi riguardano solo due funzioni logiche: l’implicazione e la negazione. Le altre vengono infatti introdotte da Frege per definizione a partire
da queste, e non hanno bisogno quindi di assiomi propri. In particolare:
p‚q =
pƒq =
pq =
¬ (p  ¬ q)
¬pq
(p  q) ‚ (q  p)
Le regole necessarie sono soltanto due. La prima è la regola di separazione: se si è affermata sia la proposizione α  β sia la proposizione α, si può affermare anche la proposizione β. Questa regola corrisponde all’antico «modus ponendo ponens» degli Stoici. La seconda è la regola di sostituzione: se si è affer39
mata la proposizione α, si può affermare anche la proposizione che risulta dalla
sostituzione in α di tutte le occorrenze di una variabile proposizionale p con una
stessa espressione β (tale regola assicura per esempio che dall’assioma 5 si può
banalmente ricavare «r  ¬ ¬ r»). In termini sintetici le due regole possono essere così espresse:
1. α  β, α L β
2. α L sost [α, p/β]
Diamo ora un semplice esempio di dimostrazione, indicando a destra la giustificazione di ciascun passaggio:
1.
2.
3.
4.
(p  q)  (¬ q  ¬ p)
(p  ¬ q)  (¬¬ q  ¬ p)
(p  (q  r))  (q  (p  r))
((p ¬ q)  (¬¬ q  ¬ p))  (¬¬ q  ((p ¬ q)  ¬ p))
ass 4
sost [1, q /¬ q]
ass 2
sost [3, p / (p ¬ q); q
/ ¬ ¬ q; r / ¬ p]
sep 2,4
5. ¬¬ q  ((p ¬ q)  ¬ p)
Esiste anche un altro modo per provare la verità del teorema: sostituire alle variabili proposizionali tutte le possibili combinazioni di valori di verità, e controllare che
la proposizione complessiva risulti sempre vera: questo sarà il sistema che proporrà
tra gli altri Ludwig Wittgenstein (1889-1951). Tale sistema è indubbiamente più semplice e inoltre puramente meccanico; esso però diventa inutilizzabile appena la logica
proposizionale è estesa in logica dei predicati, nella quale dunque un approccio assiomatico è indispensabile. Ecco comunque come la proposizione precedente verrebbe
dimostrata con il sistema della tavola di verità:
3a
¬
v
f
v
f
2a
¬
f
v
f
v
1a
q
v
f
v
f
5

v
v
v
v
1b
((p
v
v
f
f
3b

f
v
v
v
2b
¬
f
v
f
v
1c
q)
v
f
v
f
4

v
f
v
v
2c
¬
f
f
v
v
1d
p)
v
v
f
f
Le colonne vengono compilate nell’ordine numerico indicato in alto: nelle colonne 1 si scrivono le possibili combinazioni di valori di verità (che in questo caso sono
quattro, essendo due le variabili proposizionali coinvolte: a variabili uguali devono ovviamente corrispondere valori uguali, donde l’identità delle colonne 1a e 1c, e di 1b e
1d); le colonne con i numeri successivi indicano il valore delle rispettive funzioni applicate ai loro argomenti nel corretto ordine di precedenza (2a è applicato a 1a; 2b a 1c;
2c a 1d; 3a a 2a; 3b a 1b e 2b; 4 a 3b e 2c); la colonna 5 il valore finale dell’espressione (che è l’implicazione applicata alle colonne 3a e 4). Che in quest’ultima colonna sia
presente solo il valore v mostra che la proposizione è un teorema, cioè che è vera indipendentemente dal valore di p e q.
40
4.2.4. La logica dei predicati
Un fondamentale ampliamento del calcolo proposizionale viene effettuato quando le proposizioni vengono considerate nella loro struttura interna, cioè
distinte in soggetto e predicato. In questo modo una proposizione come «il libro
è bianco» non sarà più semplicemente simboleggiata da p, ma da B(l), in cui l è
il soggetto e B il predicato. Ciò è particolarmente utile perché permette l’uso di
variabili che riguardano individui (e non più, come prima, solo proposizioni). Si
potrà dunque scrivere B(x): essa non è propriamente una proposizione (è impossibile infatti dire se sia vera o falsa), ma una funzione o forma proposizionale, che diventa una proposizione appena il posto della variabile venga preso da
un nome individuale. C’è però anche un altro modo per trasformare una forma
proposizionale in proposizione, che è poi quello più interessante: quantificare la
variabile, cioè asserire che la proprietà in questione vale per tutti i possibili soggetti o almeno per uno. Così, la scrittura [x P(x) significa che qualsiasi soggetto
gode della proprietà P (o in altre parole che una proposizione di forma P(x) è
sempre vera), mentre la scrittura x P(x) significa che almeno un soggetto gode
della stessa proprietà. La variabile x che cade sotto l’influenza di un quantificatore viene detta «vincolata», in contrapposizione alle altre (eventuali) variabili «libere».
La sillogistica aristotelica può essere considerata un sottoinsieme della logica
dei predicati. Il sillogismo barbara per esempio risulta così formalizzato: ([x (P(x) 
Q(x)) ‚ [x (Q(x)  R(x)))  ([x (P(x)  R(x)), che letto dettagliatamente è: «se per
qualsiasi cosa l’essere P implica l’essere Q e per qualsiasi cosa l’essere Q implica l’essere R, allora per qualsiasi cosa l’essere P implica l’essere R». D’altra parte va detto
che lo sviluppo della logica dei predicati, piuttosto che «riscoprire» la sillogistica di Aristotele, ha mostrato proprio che essa riguardava solo alcuni casi particolari, e che dunque era ingiustificato il posto di assoluta supremazia che le era stato riconosciuto per
quasi due millenni.
L’ampliamento viene effettuato da Frege aggiungendo tre regole alle due
già stabilite. La prima è la regola di degeneralizzazione: essa stabilisce che se si
è affermata la proposizione [x α(x) si può ovviamente affermare anche α(a), intendendosi con «a» un termine individuale qualsiasi. La seconda è la regola di
generalizzazione: se si è affermato α  β(a), è possibile affermare anche α 
[x β(x), a condizione che il termine individuale «a» non compaia in α (o se vi
compaia sia vincolato da un quantificatore). Il senso di questa regola e il motivo
della restrizione possono essere così spiegati: se si è dimostrato qualcosa per un
termine individuale «a caso», la dimostrazione vale in universale; il passaggio
all’universale non vale però se su tale termine individuale vengono fatte particolari assunzioni. La terza regola è una regola di sostituzione analoga a quella
prima vista, questa volta valida però per i termini individuali: se si è affermata la
41
proposizione α, si può affermare anche la proposizione che si ottiene sostituendo in α tutte le occorrenze di un termine individuale x con un altro termine y,
purché y non occorra «vincolato» in α (ciò porterebbe infatti alla confusione degli ambiti di differenti quantificazioni). In sintesi:
3. [x α(x) L α(a)
4. α  β(a) L α  [x β(a/x)purché a non occorra libera in α
5. α(x) L sost [α(x), x/y]
purché y non occorra vincolata in α
Queste regole riguardano soltanto il quantificatore universale. Il quantificatore
esistenziale viene introdotto da Frege per definizione, analogamente a ciò che avveniva per le funzioni logiche diverse dall’implicazione:
x P(x)
¬ [x ¬ P(x)
Per quanto riguarda il compito di fondazione della matematica, la logica
dei predicati è importante soprattutto perché permette una definizione del concetto di numero. Il primo passo consiste nell’applicare anche al predicato la distinzione tra senso e significato. Il senso (o intensione) è ovviamente costituito
dal concetto che viene pensato in ciascun predicato. Il significato (o estensione)
coincide invece con la classe degli oggetti che godono della proprietà espressa
dal predicato. Il significato del predicato «essere pari» sarà per esempio la classe dei numeri pari {0, 2, 3, 4...}. In questo modo la logica dei predicati diventa
una traduzione «intensionale» della logica delle classi. Per ammettere questa
equivalenza basta ammettere il cosiddetto «assioma di comprensione»: che
cioè ogni proprietà individui effettivamente la classe di tutti e soli gli elementi
che godono di quella certa proprietà. Il numero naturale potrà a questo punto
essere definito — in maniera analoga alla «potenza» in Cantor — come il concetto che può essere attribuito a tutti i predicati che denotano una classe «equinumerosa». Con ciò, anche al concetto fondamentale della matematica viene
assicurata una base puramente logica.
L’illusione però di aver sostanzialmente terminato il compito di fondazione della matematica durò poco. Nel 1902 il giovane logico Bertrand Russel comunicò infatti a Frege di aver scoperto nel suo sistema un’«antinomia» (nota
appunto come «antinomia di Russel»), cioè una contraddizione dedotta dalle
premesse, che mostrava come la logica di Frege era in realtà difettosa. Eccola
nelle parole di Russel:
Sia w la classe di tutte le classi che non sono membri di sé stesse. Allora, qualunque
sia la classe x, «x è un w» è equivalente a «x non è un x». Quindi, dando a x il valore w, «w è
un w» è quivalente a «w non è un w» (FL 48.11).
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In termini più semplici: la classe di tutte le classi che non hanno sé stesse
come elemento, ha o no sé stessa come elemento? È chiaro che qualsiasi risposta porta ad una contraddizione. Ciò mostrava che l’«assioma di comprensione», che svolgeva un ruolo essenziale di collegamento tra logica e matematica,
non poteva in realtà essere accettato. Frege riconobbe che ciò significava il fallimento del suo programma di fondazione, e in generale di tutti quelli che facevano uso di una qualche teoria degli insiemi («Ad uno scrittore di scienza — scrisse — ben poco può giungere più sgradito del fatto che, dopo aver completato
un lavoro, venga scosso uno dei fondamenti della sua costruzione»). Ciò non toglieva però evidentemente nulla al valore della logica di Frege in sé, che è rimasta per il Novecento un punto di riferimento fondamentale.
La scoperta dell’antinomia di Russel non significava neanche che la teoria degli
insiemi fosse da abbandonare in quanto irrimediabilmente contraddittoria. Era possibile infatti aggiungere condizioni aggiuntive che evitassero l’antinomia. Una prima soluzione venne elaborata dallo stesso Russel con la cosiddetta «teoria dei tipi»: secondo essa l’espressione «appartenere a sé stessi» è scorretta, in quanto ogni classe
dev’essere di «tipo» differente dai suoi elementi. Tale correzione venne integrata nei
Principia Mathematica (1910-13), l’opera di Russel (in collaborazione con Alfred North
Whitehead) che, ispirata da vicino a Frege, più di ogni altra si avvicinò all’ideale di
un’esposizione globale dei fondamenti della matematica dal punto di vista logicista.
Altre soluzioni si diressero invece verso l’«indebolimento» dell’assioma di comprensione (in questa direzione andò la successiva più importante sistemazione della teoria
degli insiemi, effettuata da Ernst Zermelo nel 1908). In questo modo però le pretese
«fondamenta» della matematica parevano diventare meno semplici e intuitive della
matematica stessa, e dunque quasi vanificate nel loro ruolo. Ma il seguito degli sviluppi del problema dei fondamenti porterà alla luce difficoltà ancora più gravi, come si
vedrà.
43
4.3. David Hilbert (1862-1943)
4.3.1. L’assiomatica
David Hilbert rappresenta, assieme a Frege, l’altro maggiore protagonista
della rifondazione della matematica e della logica all’inizio del Novecento. La
prima fondamentale opera di Hilbert è costituita dai Fondamenti della geometria (1900). In essa egli intraprende il compito di riesporre la geometria euclidea
dandole perfetto rigore. Tale compito era urgente per almeno due fatti nuovi:
anzitutto l’elaborazione, avvenuta verso la fine dell’Ottocento, delle «geometrie
non euclidee», che pur non accettando il quinto postulato («Per un punto passa
una ed una sola parallela ad una retta data») risultavano cionondimeno
perfettamente coerenti; poi la nascita della logica matematica. Entrambe queste circostanze attiravano l’attenzione sulla necessità di precisare nel modo migliore gli assiomi di una certa costruzione logica. In particolare, Hilbert mise in
evidenza tre caratteristiche cui questi dovevano soddisfare. La prima e più importante è la coerenza o non contraddittorietà: dagli assiomi dev’essere impossibile dedurre due teoremi contraddittori. La seconda era la completezza: gli assiomi devono permettere di dimostrare tutte le proposizioni vere e respingere
tutte quelle false (in altre parole, non devono esistere proposizioni «indecidibili»). La terza era l’indipendenza: gli assiomi devono essere ciascuno indipendente da tutti gli altri, o altrimenti detto nessun assioma deve poter essere dimostrato tramite gli altri. Obbedendo a questi criteri, Hilbert introdusse venti assiomi (contro i cinque originari di Euclide), formulando anche quelle proprietà che
parrebbero «evidenti» (per esempio: «Di tre punti qualsiasi di una retta ce n’è
al massimo uno che giace fra gli altri due»). In realtà, per Hilbert l’«evidenza»
non deve giocare alcun ruolo nella definizione degli assiomi: essi vanno considerati il punto di partenza per una costruzione puramente formale, indipendentemente dal fatto che essa abbia poi un qualche rapporto con la «realtà». Il che significa anche che è privo di senso richiedere che gli assiomi siano «veri» in sen-
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so realistico: la loro verità consiste nella capacità di individuare oggetti ideali, e
ciò è assicurato dalla coerenza.
Tali stesse idee vengono applicate da Hilbert anche alla matematica e al
problema della sua fondazione, venendo a definire quella posizione chiamata
«formalismo»:
Tutto ciò che costituisce la matematica nel senso comunemente accettato del termine viene formalizzato rigorosamente, cosicché la matematica propriamente detta, o matematica nel senso più ristretto, diventa un insieme di formule. [...]
Oltre alla matematica propriamente detta, formalizzata in questo modo, c’è, per così
dire, una nuova matematica, una meta-matematica, che serve a fondare la prima su basi sicure. [...] Nella meta-matematica si opera con le dimostrazioni della matematica propriamente detta, che costituiscono esse stesse l’oggetto delle inferenze che tengono conto dell’argomento su cui vertono. In questo modo, lo sviluppo della scienza complessiva della matematica viene ottenuto mediante un continuo scambio, che è di due tipi: da una parte, l’acquisizione di nuove formule derivabili dagli assiomi mediante l’inferenza formale, dall’altra
l’aggiunta di nuovi assiomi parallelamente alla dimostrazione della loro non-contraddittorietà [...].
Gli assiomi e le proposizioni derivabili, cioè le formule, che nascono in questo processo di scambio sono rappresentazioni dei pensieri che costituiscono i procedimenti usuali della matematica quali sono stati finora concepiti, ma non esono essi stessi verità in senso assoluto. Sono piuttosto le informazioni fornite dalla mia teoria della dimostrazione riguardo alla
derivabilità e alla non contraddittorietà che devono essere considerate verità assolute (FL
38.28).
Anche Hilbert, così come Frege, vede quindi uno stretto rapporto tra logica e matematica; esso viene individuato però nel fatto che entrambe deducono
o derivano, a partire da un insieme di assiomi, delle «formule», cioè sequenze
di simboli, indipendentemente dall’interpretazione che se ne possa dare. Spetta
poi ad una «meta-matematica» giustificare la coerenza del sistema.
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4.3.2. Gli assiomi di Peano
L’approccio assiomatico al problema della fondazione si mostrò particolarmente promettente dopo la scoperta dell’antinomia di Russel, che aveva
mostrato i gravi pericoli di un approccio «intuitivo» alla fondazione della matematica. Fu allora che Hilbert sostenne la necessità di ricorrere ad un vero e proprio sistema di assiomi da cui dedurre tutte le proposizioni matematiche. In ciò
egli trovò un fondamentale lavoro preparatorio nel lavoro di Giuseppe Peano, il
quale aveva costruito un sistema di questo tipo. La definizione di numero (naturale) che viene presupposta è la seguente: «zero è un numero; se x è un numero, è un numero anche il successore di x». Si tratta di una definizione puramente formalistica, che indica quale successioni di simboli vadano considerate numeri senza proporre alcuna loro identificazione intuitiva. Gli assiomi di Peano
possono essere così formalizzati (indicando con «´» la funzione di «successore»):
1. [x (¬ x´ = 0)
2. [x[y (x´ = y´  x = y)
3. α(0) ‚ [x (α(x)  α(x´))  [x α(x)
4. [x[y (x + 0 = x ‚ x + y´ = (x + y)´)
5. [x[y (x × 0 = 0 ‚ x × y´ = (x × y) + x)
In termini discorsivi gli assiomi affermano: 1. non esiste alcun numero naturale il cui successore sia 0; 2. due numeri naturali il cui successore è eguale
sono uguali; 3. se 0 gode di una certa proprietà e si può dimostrare che se un
numero naturale gode di quella proprietà ne gode anche il successore, allora
tutti i numeri naturali godono di quella proprietà (questo è l’importantissimo
«principio di induzione matematica»); 4. la somma di x con y è eguale a x se y è
0, altrimenti è eguale al successore della somma di x e del predecessore di y; 5.
il prodotto di x per y è eguale a 0 se y è 0, altrimenti è eguale alla somma di x
con il prodotto di x per il predecessore di y. Benché paiano estremamente pove-
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ri, tali assiomi consentono effettivamente di derivare tutti i teoremi dell’aritmetica, e dunque di assicurare un sostegno all’intera matematica.
Si notino negli assiomi di Peano le definizioni della somma e del prodotto; esse
possono sembrare scorrette, in quanto citano al loro interno proprio l’operazione che
definiscono. Ma in realtà la circolarità è evitata dal fatto che esse «convergono» verso
il caso più elementare (in cui un argomento è 0) il cui valore viene direttamente indicato. Si tratta quindi di definizioni «ricorsive», o anche «induttive» in quanto sfruttano
un principio analogo a quello del principio d’induzione. Proprio tale tipo di definizione
avrà un’importanza centrale, come si vedrà, nello sviluppo della teoria della computabilità. Peraltro, definizioni ricorsive di funzioni sono lecite in quasi tutti i moderni linguaggi di programmazione per calcolatori (per esempio Pascal, C, Lisp). Ecco come
come possono essere rappresentati i due assiomi di Peano in Pascal, sotto forma di
funzioni:
function sum (x, y: integer): integer;
begin
if y = 0 then sum := x
else sum := succ (sum (x, pred (y)))
end;
function prod (x, y: integer): integer;
begin
if y = 0 then prod := 0
else prod := sum (prod (x, pred (y)), x)
end;
Il sistema assiomatico della matematica sarà in conclusione costituito dalla logica dei predicati «arricchita» con gli assiomi di Peano. Ma — come visto —
per Hilbert è un compito fondamentale dimostrare (in ambito meta-matematico) la coerenza e la completezza di tale sistema di assiomi: solo in questo modo
sarà scongiurato il pericolo di incontrare in futuro un’antinomia simile a quella
che ha fatto franare il programma di Frege, e solo in questo modo agli assiomi
poteva essere riconosciuta una loro «verità». L’antinomia di Russel, inoltre,
avendo messo in questione anche la teoria degli insiemi di Cantor, esigeva secondo Hilbert che tale dimostrazione non facesse alcun ricorso ai numeri «transfiniti» che di lì provenivano; nella terminologia di Hilbert, la dimostrazione doveva essere effettuata con mezzi esclusivamente «finitisti». In un certo senso,
bisognava effettuare la dimostrazione restando all’interno dell’aritmetica. Questo costituisce il nocciolo del celebre «programma di Hilbert».
Si noti che la coerenza e la completezza sono facili da dimostrare quando è in
questione la sola logica proposizionale, meno facili ma comunque appurate quando è
in questione la logica dei predicati. Il programma di Hilbert si presentava dunque come estremamente ragionevole.
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4.4. Kurt Gödel (1906-1978)
4.4.1. Gödelizzazione e diagonalizzazione
È verso il programma di Hilbert che si dirige il rivoluzionario lavoro di Kurt
Gödel, «Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia mathematica e
di sistemi affini, I» (1931). I teoremi dimostrati da Gödel si basano su due scoperte preliminari, estremamente importanti quanto al loro significato logico. La
prima scoperta è questa: ogni proposizione matematica può essere rappresentata da un numero, e quindi ogni affermazione meta-matematica su proposizioni può essere tradotta in un’affermazione matematica su numeri:
Le formule di un sistema formale [...] sono successioni materiali finite di simboli primitivi (variabili, costanti logiche e parentesi o segni di interpunzione), ed è facile specificare
esattamente quali successioni di simboli primitivi sono formule dotate di significato e quali
non lo sono. Analogamente, dal punto di vista formale le dimostrazioni sono soltanto successioni finite di formule (con proprietà definite che si possono enunciare). Dal punto di vista
della meta-matematica è naturalmente indifferente quali oggetti siano scelti come simboli
primitivi, e noi optiamo per l’uso di numeri naturali [Cioè, associamo a ogni simbolo primitivo un numero naturale in modo biunivoco]. Di conseguenza, una formula diventa una successione finita di numeri naturali e una dimostrazione diventa una successione finita di successioni finite di numeri naturali. I concetti (teoremi) meta-matematici diventano così concetti
(teoremi) sui numeri naturali o su loro successioni, e sono quindi esprimibili (almeno in parte) coi simboli dello stesso sistema dei Principia Mathematica [In altre parole, la procedura
descritta fornisce un modello isomorfo del sistema PM nel dominio dell’aritmetica e tutte le
considerazioni meta-matematiche possono essere trattate altrettanto bene in questo modello isomorfo] (Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter
Systeme, I).
Ciò equivale a dire che la matematica, una volta che siano state stabilite
le opportune convenzioni, è in grado di «parlare di sé stessa». Ciò non vìola affatto la distinzione di principio tra linguaggio e meta-linguaggio, in quanto il procedimento individuato da Gödel crea all’interno del linguaggio oggetto un mo48
dello del metalinguaggio. In questo modo sarà per esempio possibile definire
una proprietà matematica con argomento numerico che indichi se il suo argomento è un numero che rappresenta o no una formula dotata di significato per
la matematica stessa. Il procedimento tramite cui le proposizioni vengono tradotte in numeri venne successivamente chiamata, in ricordo del suo ideatore,
«gödelizzazione», e i numeri associati vengono detti «gödeliani».
Non c’è bisogno di dare esempi concreti della gödelizzazione, un procedimento
che può essere condotto in innumerevoli modi differenti e che oltretutto è concettualmente analogo ai familiari procedimenti di codifica degli attuali calcolatori (si
pensi per esempio ai codici ASCII o Unicode). È opportuno piuttosto attirare l’attenzione su una caratteristica particolare della gödelizzazione: in essa gli elementi di un certo sottoinsieme dei simboli matematici (i numeri, e probabilmente — secondo la particolare codifica scelta — neanche tutti) vengono posti in relazione biunivoca con gli
elementi dell’intero insieme delle espressioni matematiche, compresi i numeri stessi.
Questa — come già visto — è la caratteristica propria degli insiemi infiniti.
La seconda scoperta è costituita dalla dimostrazione di quello che è chiamato «teorema di diagonalizzazione» (in quanto sfrutta un metodo simile al
procedimento diagonale di Cantor). Esso afferma che, per ogni proprietà definibile nel linguaggio, è possibile costruire una proposizione che afferma che il suo
proprio gödeliano gode di quella proprietà. Insomma, non soltanto la matematica è in grado di parlare di sé stessa in generale, ma esistono anche proposizioni
che parlano proprio di sé stesse.
Vediamo come ciò è possibile, con un procedimento lievemente differente da
quello originario di Gödel. È anzitutto necessario definire una funzione numerica sost.
Essa ha come argomenti tre numeri e come valore il gödeliano della proposizione ottenuta sostituendo, nella proposizione rappresentata dal primo argomento, la variabile rappresentata dal secondo numero con il terzo numero (indichiamo con {φ} il
gödeliano della formula φ). Ad esempio: sost ({x > y}, {x}, 15) = {15 > y}.
Ora, data una qualsiasi proprietà propr, consideriamo anzitutto la seguente formula α: propr (sost (x, {x}, x)). Poi sostituiamovi la variabile x con il gödeliano {α}. Otteniamo così la proposizione β: propr (sost ({α}, {x}, {α})). (Si osservi che {x} non è una
variabile, ma un numero, e quindi non va sostituito.) Ora, qual è il gödeliano {β}? Basta controllare la definizione della funzione sost per comprendere che esso è uguale a
sost ({α}, {x}, {α}). La proposizione β è stata infatti ottenuta proprio sostituendo in α le
occorrenze di x con {α}. Dunque, la proposizione β afferma propr ({β}).
4.4.2. I due teoremi di limitazione
Poste le due premesse, possiamo ora comprendere il meccanismo dei
due teoremi di Gödel. Anzitutto si può mostrare facilmente che è possibile defi49
nire una proprietà dim ({α}) che indica se α è dimostrabile. Ma se è definibile
dim lo è ovviamente anche ¬ dim, e per il teorema di diagonalizzazione sarà
possibile costruire una proposizione γ che afferma ¬ dim ({γ}) (detto in termini
semplici, una proposizione che afferma: «io sono indimostrabile»). Ecco dunque
il punto cruciale:
Dimostriamo ora che l’enunciato γ è indecidibile in PM. Infatti, supponendo che
l’enunciato γ sia dimostrabile, esso sarebbe anche vero, cioè, per quel che è stato detto [...]
varrebbe ¬ dim ({γ}), contro l’ipotesi. Se però, al contrario, la negazione di γ fosse dimostrabile, allora [...] si avrebbe dim ({γ}). Quindi, sia γ sia la sua negazione sarebbero dimostrabili, il
che è di nuovo impossibile. [...]
Dall’osservazione che γ afferma la propria indimostrabilità segue immediatamente
che γ è vera, perché γ è effettivamente indimostrabile (in quanto indecidibile). L’enunciato
che afferma che essa è indecidibile nel sistema PM è stato così deciso mediante considerazioni meta-matematiche (Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und
verwandter Systeme, I [simbologia modificata]).
In questo modo si è mostrato che esiste almeno una proposizione vera
che tuttavia è indimostrabile: dunque il sistema della matematica è incompleto
(tutto ciò, ovviamente, sotto l’ipotesi che la matematica sia non-contraddittoria). Con il suo primo teorema Gödel dimostrò così che la nozione di verità andava distinta da quella di dimostrabilità nel caso della matematica e di tutti i sistemi formali di una simile «ricchezza»:
Il metodo di dimostrazione ora esposto può essere applicato ad ogni sistema formale
che, in primo luogo, disponga, una volta interpretato, di mezzi espressivi sufficienti a definire
i concetti che compaiono nelle precedenti considerazioni (in particolare, quello di «formula
dimostrabile») e in cui, in secondo luogo, ogni formula dimostrabile, una volta interpretata,
sia vera.
Ciò significa anche che la matematica è essenzialmente incompleta: l’incompletezza non deriva infatti da una «povertà» dei suoi assiomi, ma al contrario dalla sua «ricchezza» espressiva: un sistema è necessariamente incompleto appena esso (come abbiamo visto nei due passi preliminari) diventa in grado
di parlare di sé stesso. Per questo motivo, Gödel stesso riconobbe che il suo teorema poteva essere considerato una versione raffinata dell’antica «antinomia
del mentitore».
Il secondo teorema di Gödel riguarda la coerenza della matematica. Il primo passo consiste nel definire una proposizione coer che afferma la coerenza
(ovvero non contraddittorietà) della matematica. Ora, il ragionamento che prima abbiamo condotto per dimostrare l’indimostrabilità di γ può essere «tradotto» all’interno della matematica con questa implicazione: coer  γ. Si era infatti
concluso che se la matematica è coerente allora γ è indimostrabile, e γ afferma
appunto la propria indimostrabilità. Ma la verità di questa implicazione ci as50
sicura che, se coer fosse dimostrabile, allora lo sarebbe anche γ. Ma ciò è contro
l’ipotesi dell’indimostrabilità di γ e, in ultima analisi, della coerenza della matematica. Bisogna quindi concludere che, se la matematica è coerente, allora la
sua coerenza è indimostrabile all’interno della matematica stessa. Il programma
di Hilbert si mostrava quindi definitivamente illusorio.
Bisogna fare attenzione all’ultima precisazione: all’interno della matematica
stessa. Nulla infatti vieta che tale coerenza venga dimostrata al suo esterno, cioè facendo uso di ipotesi aggiuntive che non fanno parte della matematica così com’è fino
a quel momento definita. Questo è in effetti proprio ciò che venne fatto nel 1936 da
Gerhardt Gentzen (1909-1945) usando ipotesi aggiuntive tratte dalla teoria degli insiemi di Zermelo e Fraenkel, e dunque non più con i soli metodi «finitisti» che auspicava
Hilbert. Si noti però che, in maniera analoga a quanto abbiamo detto riguardo al primo teorema, non si può credere di aggirare del tutto il problema aggiungendo ulteriori ipotesi agli assiomi della matematica: la stessa difficoltà si ripresenta infatti ad un livello più alto, perché è impossibile dimostrare la coerenza di questo insieme «arricchito» di assiomi senza ammetterne ancora altri, e così all’infinito. I teoremi di Gödel sono stati per questo spesso invocati per sostenere la superiorità del pensiero umano
sui procedimenti di calcolo formale. Questa interpretazione pare in realtà arbitraria. I
teoremi di Gödel pongono infatti un limite di natura oggettiva: essi cioè dimostrano
che — raggiunto un certo livello di ricchezza espressiva — è oggettivamente impossibile costruire un sistema deduttivo in grado di giustificare sé stesso, ovvero tale che in
esso non esistano funzioni non computabili; e ciò non per limiti connessi a colui (o a
ciò) che calcola, ma per la contraddizione che altrimenti ne nascerebbe. Purtroppo (o
fortunatamente) le domande sull’uomo non possono ricevere risposta da un teorema
logico, neppure se il suo risultato è negativo come nel caso di quelli di Gödel.
51
4.5. Alan M. Turing (1912-1954)
4.5.1. Computabilità e tesi di Church
La dimostrazione del teorema di incompletezza di Gödel, tutt’altro che
frenare la ricerca logico-matematica, le diede un nuovo impulso. Una volta infatti accertato che la nozione di verità andava distinta da quella di deducibilità
— o che in altre parole esistevano funzioni non calcolabili — si apriva il problema di definire in maniera esatta il campo delle funzioni calcolabili o computabili, il cui valore cioè per ogni argomento o n-upla di argomenti fosse univocamente determinabile con una sequenza di passi finita. Gli studi si concentrarono intorno ad un’idea di base già intuìta negli anni ’20: definire la computabilità sulla
base della ricorsività, cioè del criterio che già negli assiomi di Peano era stato
usato per definire le operazioni di somma e prodotto. In poche parole, si dichiaravano cioè computabili tutte (e sole) le funzioni che fossero definibili stabilendo una condizione di partenza e una condizione induttiva. Tale definizione attraversò differenti tappe. In un primo momento si giunse alla definizione della cosiddetta ricorsività primitiva; quando però nel 1928 il matematico Wilhelm Ackermann scoprì una funzione evidentemente calcolabile ma non ricorsiva primitiva, il concetto di ricorsività venne esteso, ad opera di diversi matematici tra i
quali Kurt Gödel e Alonzo Church, con la formulazione della cosiddetta ricorsività generale (formulata in tempi successivi in alcune varianti tra loro equivalenti, note come ε-ricorsività, λ-ricorsività, μ-ricorsività, σ-ricorsività).
I particolari delle definizioni di ricorsività sono notevolmente complessi; intuitivamente e in termini informatici moderni, le funzioni ricorsive primitive sono quelle
calcolabili da un programma per calcolatore che dispone solo di cicli finiti (del tipo
«for i := 1 to n do ...», con n predeterminato all’esterno del ciclo); le funzioni ricorsive
generali sono quelle calcolabili con l’ausilio di cicli indefiniti (del tipo «while ... do ...»,
con condizione di uscita determinata all’interno del ciclo). Questa caratterizzazione
della ricorsività generale si avvicina particolarmente alla nozione di μ-ricorsività, in cui
μ è appunto l’operatore che indica la ricerca indefinita di un valore minimo. Si noti che
52
un ciclo «indefinito» è cosa ben diversa da un ciclo «infinito»: affermare l’esigenza di
quest’ultimo equivarrebbe infatti a dichiarare una funzione non computabile.
Diversamente da quanto era avvenuto con la ricorsività primitiva, nei confronti della ricorsività generale non si riuscì malgrado gli sforzi a scoprire alcun
controesempio: nessuna funzione cioè che rispondesse ai criteri intuitivi di computabilità senza però poter essere definita in maniera ricorsiva generale. Nel
1936 Alonzo Church formulò quindi la congettura nota appunto come «tesi di
Church»: la classe delle funzioni intuitivamente computabili coincide con la classe delle funzioni ricorsive generali. È chiaro che tale congettura è per principio
non passibile di dimostrazione giacché uno dei suoi concetti, quello di «computabilità», rimane formulato ad un livello solo intuitivo.
4.5.2. Il modello di Turing e Post
Nello stesso anno avvenne però un ulteriore passo decisivo: Alan Turing
ed Emil Post, indipendentemente l’uno dall’altro ma in termini pressoché identici, effettuarono un approccio del tutto differente al problema della computabilità. Piuttosto che cercare modelli matematici, essi elaborarono un modello
meccanico che rispondesse al concetto intuitivo di procedimento di calcolo. Intuitivamente, colui che calcola (per esempio una comune somma) ha a sua disposizione della carta, in quantità indefinita; usa un certo alfabeto di simboli (le
dieci cifre e qualche segno aggiuntivo); può spostare il suo occhio in un punto
qualsiasi, leggere e scrivere i simboli; segue nelle sue operazioni un insieme univoco e finito di istruzioni (che dicono appunto «come si fa» a sommare due
numeri); termina l’operazione quando ha scritto sulla carta il risultato. Turing e
Post cercarono dunque di semplificare il più possibile queste condizioni, creando un modello puramente meccanico di calcolo, tramite il quale sarebbe stato
più semplice studiare il concetto di computabilità. Tale modello è da allora noto
per lo più come «macchina di Turing». Seguiamo però la più semplice descrizione di Post:
Lo spazio dei simboli deve essere costituito da una sequenza di celle infinita da ambo
le parti, ordinalmente simile alla serie degli interi ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... . Il risolutore del
problema o esecutore deve muoversi e lavorare in questo spazio dei simboli, avendo la capacità di trovarsi ed operare in una sola cella per volta. Inoltre, a prescindere dalla presenza
dell’esecutore, una cella deve potersi trovare solo in una di due possibili condizioni, cioè essere vuota o non contrassegnata oppure avere un singolo contrassegno, per esempio un tratto verticale. Una cella deve essere individuata e chiamata punto di partenza.
Assumiamo, inoltre, che un problema specifico debba essere assegnato in forma simbolica mediante un numero finito di celle contrassegnate da un tratto. Similmente, la risposta deve essere fornita mediante un’opportuna configurazione di celle contrassegnate. Per
essere precisi, la risposta deve essere la configurazione di celle contrassegnate lasciata alla
conclusione del processo di soluzione.
53
Si assuma che l’esecutore sia in grado di effettuare le seguenti azioni primitive:
(a) contrassegnare la cella in cui si trova (supposta vuota),
(b) cancellare il contrassegno nella cella in cui si trova (supposta contrassegnata),
(c) spostarsi nella cella alla sua destra,
(d) spostarsi nella cella alla sua sinistra,
(e) determinare se la cella in cui trova è o no contrassegnata.
L’insieme di istruzioni che, va notato, è lo stesso per tutti i problemi specifici e perciò
corrisponde al problema generale, deve essere della seguente forma. Deve essere intestato:
Parti dal punto di partenza ed esegui l’istruzione 1. Deve quindi essere costituito da
un numero finito di istruzioni che debbono essere numerate 1, 2, 3, ..., n. L’i-esima istruzione
deve avere una delle seguenti forme:
(α) esegui l’operazione Oi [ = (a), (b), (c) o (d)] e passa all’istruzione j,
(β) esegui l’operazione (e) e, a seconda che la risposta sia sì o no passa all’istruzione j'
o j",
(γ) fèrmati.
Chiaramente occorre solo un’istruzione di tipo (γ). Notiamo anche che lo stato dello
spazio dei simboli influenza direttamente il processo solo tramite istruzioni di tipo (β) (Finite
combinatory processes. Formulation 1).
Si noti che in tale modello viene supposto un alfabeto composto di soli
due simboli (casella vuota o contrassegnata). È evidente infatti che qualsiasi altro insieme di simboli più ricco può sempre essere «tradotto» in questo alfabeto minimo; tutti i numeri naturali per esempio possono essere scritti in sistema
binario anziché decimale. Si osservi inoltre l’importante distinzione tra problema generale e problema specifico: problema generale è per esempio «sommare
due numeri», problema specifico è «sommare 5 e 7»: il problema generale è individuato da un certo insieme di istruzioni (il procedimento è uguale per tutte le
somme), il problema specifico è contraddistinto da un diverso stato di partenza
dello spazio dei simboli (come sarebbe un foglio di carta su cui fosse scritto «5 +
7 =»). Ma a quale scopo elaborare tale modello meccanico? La spiegazione di
Post è molto chiara:
Lo scrivente si aspetta che la presente formulazione si riveli equivalente alla ricorsività nel senso dello sviluppo di Gödel e Church. La sua intenzione, comunque, è non solo di
presentare un sistema di una certa potenza logica, ma anche, nel suo campo ristretto, di fedeltà psicologica. In quest’ultimo senso sono contemplate formulazioni sempre più estese.
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D’altra parte, sarebbe nostra intenzione mostrare che tutte queste sono logicamente riconducibili alla formulazione 1.
Noi offriamo questa conclusione, al momento attuale, come un’ipotesi di lavoro. E
per noi questo è il significato dell’identificazione di Church tra la calcolabilità effettiva e la ricorsività. [...]
Il successo del precedente programma dovrebbe, per noi, cambiare questa ipotesi
non tanto in una definizione o in un assioma, quanto in una legge naturale. Solo così, sembra
a chi scrive, il teorema di Gödel sull’incompletezza della logica simbolica di un certo tipo generale e i risultati di Church sull’irresolubilità ricorsiva di certi problemi possono essere trasformati in conclusioni riguardanti tutta la logica simbolica e tutti i metodi di risolubilità (Finite combinatory processes. Formulation 1).
L’anno successivo lo stesso Turing dimostrò appunto ciò che anche Post si
aspettava: la computabilità nel senso del loro modello meccanico (detta anche
τ-ricorsività) equivale alle definizioni di ricorsività generale. Ciò in effetti non significa ancora aver dimostrato la tesi di Church, ma perlomeno averla resa altamente plausibile: per contestarla bisognerebbe infatti anzitutto immaginare
una «maniera» di calcolo effettivo che sia essenzialmente differente e più ampio di quello schematicamente rappresentato dalla macchina di Post-Turing: il
che — come osserva Post — è almeno «psicologicamente» difficile (e di fatto
non è a tutt’oggi né avvenuto né ritenuto probabile). D’altra parte, la dimostrazione dell’equivalenza tra τ-ricorsività e ricorsività generale ha qualcosa di sorprendente: essa infatti significa che qualsiasi problema risolubile (sotto l’ipotesi
di Church) è risolubile da una macchina tanto semplice, purché ovviamente
provvista di un insieme di istruzioni adeguato, che potrà essere anche estremamente complesso (anzi, in generale è intuitivo che la complessità delle istruzioni
cresce contemporaneamente alla semplicità di una macchina). Ciò si può esprimere anche dicendo che la macchina di Post-Turing è in grado di «simulare»
qualsiasi altra macchina calcolatrice in senso lato.
4.5.3. Informatica e pensiero artificiale
Con gli studi di Church, Turing e Post furono in effetti inconsapevolmente
gettate le basi dell’informatica (o computer science). Con le loro macchine infatti Post e Turing prepararono il modello al quale negli anni ’40 ci si ispirò per costruire i primi calcolatori numerici (o «digitali», dall’inglese digit, «cifra»). Non si
trattava delle prime macchine calcolatrici in assoluto: già in secoli precedenti
erano stati progettati strumenti di questo tipo, a volte anche notevolmente raffinati e complessi (da ricordare le calcolatrici di Pascal [1642], Leibniz [1673] e
soprattutto la «macchina analitica» di Charles Babbage [1822], quest’ultima così complessa che solo nel 1991 potè essere costruita in base ai progetti originali,
con una spesa di 300 000 sterline, e trovata perfettamente funzionante). Si trattava però sempre di calcolatori destinati a risolvere un’unica classe di problemi
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(tipicamente, certe operazioni matematiche). Fu solo con il modello teorico di
Turing e Post che si comprese la possibilità di costruire un calcolatore «universale», estremamente semplice nella sua architettura ma versatile al punto da poter effettuare qualsiasi calcolo (o più genericamente qualsiasi elaborazione di
dati) il cui algoritmo sia stato correttamente individuato e codificato. L’essenziale infatti sta nel distinguere la macchina in sé dalle istruzioni che essa esegue
e dai dati sui quali opera.
È evidente che il modello di Post e Turing lascia la più ampia libertà nelle modalità di realizzazione fisica di una macchina calcolatrice: qualsiasi risultato che sia «isomorfo» al modello originario è infatti accettabile. In effetti, molto differenti sono le
tecnologie finora usate: il primo calcolatore (Mark I, terminato nel 1943) era di tipo
elettromeccanico; successivamente si passò a circuiti elettronici a valvole («prima generazione», 1946-54); quindi le valvole furono sostituite da transistor («seconda
generazione», 1955-64); i transistor furono quindi riuniti nei circuiti integrati («terza
generazione», 1965-74, «quarta generazione», 1975-1980, «quinta generazione», dal
1981). Tutte queste differenti realizzazioni hanno incrementato la velocità di calcolo,
l’ampiezza della memoria, la facilità di programmazione e dunque la capacità pratica
di calcolo: ma dal punto di vista teorico sono equivalenti all’originario modello di Post
e Turing.
In comune tra le diverse generazioni di calcolatori è inoltre la scelta del sistema
binario (suggerito già da Post), di per sé per nulla obbligata, ma che rende molto più
semplice non solo la costruzione delle macchine, ma anche il loro progetto: in questo
modo infatti i circuiti di base della macchina (a prescindere dalle particolarità dei circuiti sequenziali, ovvero contenenti elementi di memoria) sono isomorfi alle operazioni della logica proposizionale, che opera anch’essa su due soli valori (vero e falso). Nella moderna «elettronica digitale» (in cui cioè sono previsti due soli possibili segnali,
«alto» e «basso») il funzionamento dei componenti di base («porte logiche») è in effetti descritto da tavole di verità e portano gli stessi nomi (in inglese) delle funzioni logiche corrispondenti. Una porta AND è per esempio un circuito che ha un’uscita «alta» solo se entrambi i suoi ingressi sono «alti». Ecco le porte praticamente usate con i
loro simboli (i tratti a sinistra equivalgono agli argomenti della funzione, il tratto a destra al suo valore, in modo che lo schema di circuiti complessi ricorda un po’ la Begriffsschrift di Frege):
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nome
simbolo
funzione logica corrispondente
NOT
negazione
AND
congiunzione
OR
disgiunzione
XOR
alternativa
NAND
negazione della congiunzione
NOR
negazione della disgiunzione
XNOR
negazione dell’alternativa
L’elaborazione dei modelli meccanici di Post e Turing apriva implicitamente un problema che lo stesso Turing affrontò in modo pionieristico nel 1950: le
macchine possono pensare? Le macchine di Turing-Post sono infatti in grado di
eseguire qualsiasi procedura di elaborazione di simboli che sia stata definita e
programmata. Ma non è proprio questo ciò che si intende con «pensiero»? Per
fornire una risposta di principio a questo interrogativo, Turing descrive una prova immaginaria effettuata tramite un gioco, che da allora è nota come «test di
Turing»:
Vi sono tre giocatori: un uomo, una donna e l’interrogante, che può essere dell’uno o
dell’altro sesso. L’interrogante sta in una stanza da solo, separato dagli altri due. Scopo del
gioco per l’interrogante è determinare quale delle due persone sia l’uomo e quale la donna.
Egli le conosce tramite le etichette X e Y, e alla fine del gioco dirà X è uomo e Y è donna, oppure X è donna e Y è uomo. [...] Scopo dell’uomo nel gioco è quello d’ingannare l’interrogante e far sì che fornisca l’identificazione errata. [...] Per evitare che il tono della voce possa aiutare l’interrogante, le risposte dovrebbero essere scritte, o meglio ancora battute a
macchina. [...] Scopo del gioco per la donna è aiutare l’interrogante. [...]
Chiediamoci ora: Che cosa accadrà se in questo gioco una macchina prenderà il posto
dell’uomo? L’interrogante sbaglierà altrettanto spesso in questo caso di quando il gioco è effettuato fra un uomo e una donna? Queste domande sostituiscono la nostra domanda originaria: Le macchine possono pensare? (Computing Machinery and Intelligence).
In breve, Turing propone di chiamare «pensante» una macchina che riesce ad ingannare sulla propria identità, facendo appunto credere di essere un
uomo, a prescindere dall’aspetto fisico. Ma è possibile comprendere tanto bene
il concetto di pensiero (per lo meno in alcune sue componenti) da poterlo «programmare»? e se sì non bisognerà forse dire che la relativa macchina simula soltanto il pensiero? Queste sono alcune obiezioni che da allora vengono sollevate
contro l’adeguatezza del test di Turing, e la loro discussione è lungi dall’essere
esaurita. Questi interrogativi hanno contribuito a ridare vitalità a temi che a volte parevano isteriliti: per esempio il problema del rapporto tra la mente e il corpo. Ma è chiaro che a loro volta tali questioni superano nettamente il campo
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della logica, perché esigono che prima sappiamo chi siamo noi che ci poniamo
queste domande.
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