Dai sistemi formali ai teoremi di Gödel

Dai sistemi formali ai teoremi di Gödel
Uno degli effetti dirompenti per l’epoca (XIX secolo) della scoperta
delle Geometrie non Euclidee fu quello di mettere in crisi il concetto
classico di assiomatica.
Un assioma non acquista legittimità dalla sua apparente
autoevidenza, ed il compito del matematico puro è quello di derivare
teoremi da ipotesi postulate senza preoccuparsi di controllare che
esse siano “vere” e che le conclusioni siano “vere”. L’unica
preoccupazione deve essere quella di verificare che le conclusioni
siano, di fatto, le conclusioni logiche necessarie delle ipotesi iniziali.
Si profila così il carattere astratto e formale della matematica:
astratto perché in linea di principio si possono fare affermazioni
matematiche su cose di natura assolutamente arbitraria;
formale perché la validità di una dimostrazione riposa sulla struttura
delle affermazioni e non sul loro contenuto specifico.
Questo è il senso del famoso epigramma di Russell “la matematica
pura è quella scienza in cui non sappiamo di che cosa stiamo parlando o
se ciò che diciamo è vero.”
Quindi, la veridicità o meno di una teoria perde di significato e deve
essere sostituita da qualcosa di profondamente diverso. La scelta, in
qualche modo più naturale, cade sulla nozione di consistenza (o
coerenza o non-contraddittorietà), cioè sulla necessità che in una teoria
non debba essere possibile dedurre una proposizione e
contemporaneamente la sua negazione. Questo perché si continua a
rimanere nell’ambito di una logica a due valori di verità,
convenzionalmente chiamati vero e falso, e si accettano i seguenti
principi:
1. “tertium non datur” per cui una proposizione è vera oppure è
falsa e non ci sono altre possibilità,
2. “ex falso quod libet” per cui è vera una proposizione che afferma
“il falso implica il falso” o “il falso implica il vero”,
3. “non contraddizione” per cui una proposizione non può essere
vera e falsa contemporaneamente.
Ma la sostituzione della veridicità con la consistenza sposta
semplicemente il problema alla dimostrazione della consistenza di
una teoria, problema che non era stato avvertito per la geometria
Euclidea, i cui assiomi erano stati ritenuti veri perché autoevidenti
nello spazio fisico. Le geometrie non Euclidee sono in una posizione
completamente diversa, perché i loro assiomi sono tutt’altro che
evidenti nello spazio fisico, e la soluzione del problema della
consistenza è importante per la loro stessa esistenza.
Si giunge così alla ricerca della determinazione di modelli e, più
tardi, all’introduzione dei sistemi formali.
Tuttavia, il problema della formalizzazione non era nuovo anche se,
fino a quel momento, non era stato un problema solo della
Matematica. Nell’opera La ricerca della lingua perfetta, (pagg. 8-9),
Umberto Eco, nel considerare i progetti di lingue vere e proprie, li
raggruppa nelle seguenti quattro categorie:
i) lingue storiche ritenute originariamente o misticamente perfette, come
l’ebraico, l’egizio, il cinese.
ii) lingue postulate come originarie, ovvero lingue madri più o meno
fantasmatiche, compreso quel modello da laboratorio che è stato l’indoeuropeo.
iii) lingue costruite artificialmente, che possono avere tre fini:
1. Perfezione o per funzione o per struttura, come le lingue filosofiche
a priori del XVII e XVIII secolo, che dovevano servire a esprimere
perfettamente le idee e a scoprire eventualmente nuove
connessioni tra gli aspetti della realtà.
2. Perfezione per universalità, come le lingue internazionali a
posteriori del XIX secolo.
3. Perfezione per praticità, sia pure presunta, come le poligrafie.
iv) lingue più o meno magiche, siano esse riscoperte o costruite, le quali
aspirano a una perfezione sia per effabilità mistica sia per segretezza
iniziatica.
Inoltre, in quanto derivanti da progetti della categoria iii)1., prende in
considerazione le lingue formali a ristretto ambito di impiego, come
quelle della chimica, dell’algebra o della logica.
Che il problema non fosse nuovo e che l’intreccio tra Matematica e
Filosofia fosse profondo, è confermato dalla presenza di diversi
contributi già a partire dal 1600. Vediamone alcuni a partire dal
1600:
Lettera di Cartesio a Mersenne,
Leibniz
Leopardi
Frege, Boole, Peano, Russell
Linguaggi spaziali ed Intelligenza artificiale