Dai sistemi formali ai teoremi di Gödel Uno degli effetti dirompenti per l’epoca (XIX secolo) della scoperta delle Geometrie non Euclidee fu quello di mettere in crisi il concetto classico di assiomatica. Un assioma non acquista legittimità dalla sua apparente autoevidenza, ed il compito del matematico puro è quello di derivare teoremi da ipotesi postulate senza preoccuparsi di controllare che esse siano “vere” e che le conclusioni siano “vere”. L’unica preoccupazione deve essere quella di verificare che le conclusioni siano, di fatto, le conclusioni logiche necessarie delle ipotesi iniziali. Si profila così il carattere astratto e formale della matematica: astratto perché in linea di principio si possono fare affermazioni matematiche su cose di natura assolutamente arbitraria; formale perché la validità di una dimostrazione riposa sulla struttura delle affermazioni e non sul loro contenuto specifico. Questo è il senso del famoso epigramma di Russell “la matematica pura è quella scienza in cui non sappiamo di che cosa stiamo parlando o se ciò che diciamo è vero.” Quindi, la veridicità o meno di una teoria perde di significato e deve essere sostituita da qualcosa di profondamente diverso. La scelta, in qualche modo più naturale, cade sulla nozione di consistenza (o coerenza o non-contraddittorietà), cioè sulla necessità che in una teoria non debba essere possibile dedurre una proposizione e contemporaneamente la sua negazione. Questo perché si continua a rimanere nell’ambito di una logica a due valori di verità, convenzionalmente chiamati vero e falso, e si accettano i seguenti principi: 1. “tertium non datur” per cui una proposizione è vera oppure è falsa e non ci sono altre possibilità, 2. “ex falso quod libet” per cui è vera una proposizione che afferma “il falso implica il falso” o “il falso implica il vero”, 3. “non contraddizione” per cui una proposizione non può essere vera e falsa contemporaneamente. Ma la sostituzione della veridicità con la consistenza sposta semplicemente il problema alla dimostrazione della consistenza di una teoria, problema che non era stato avvertito per la geometria Euclidea, i cui assiomi erano stati ritenuti veri perché autoevidenti nello spazio fisico. Le geometrie non Euclidee sono in una posizione completamente diversa, perché i loro assiomi sono tutt’altro che evidenti nello spazio fisico, e la soluzione del problema della consistenza è importante per la loro stessa esistenza. Si giunge così alla ricerca della determinazione di modelli e, più tardi, all’introduzione dei sistemi formali. Tuttavia, il problema della formalizzazione non era nuovo anche se, fino a quel momento, non era stato un problema solo della Matematica. Nell’opera La ricerca della lingua perfetta, (pagg. 8-9), Umberto Eco, nel considerare i progetti di lingue vere e proprie, li raggruppa nelle seguenti quattro categorie: i) lingue storiche ritenute originariamente o misticamente perfette, come l’ebraico, l’egizio, il cinese. ii) lingue postulate come originarie, ovvero lingue madri più o meno fantasmatiche, compreso quel modello da laboratorio che è stato l’indoeuropeo. iii) lingue costruite artificialmente, che possono avere tre fini: 1. Perfezione o per funzione o per struttura, come le lingue filosofiche a priori del XVII e XVIII secolo, che dovevano servire a esprimere perfettamente le idee e a scoprire eventualmente nuove connessioni tra gli aspetti della realtà. 2. Perfezione per universalità, come le lingue internazionali a posteriori del XIX secolo. 3. Perfezione per praticità, sia pure presunta, come le poligrafie. iv) lingue più o meno magiche, siano esse riscoperte o costruite, le quali aspirano a una perfezione sia per effabilità mistica sia per segretezza iniziatica. Inoltre, in quanto derivanti da progetti della categoria iii)1., prende in considerazione le lingue formali a ristretto ambito di impiego, come quelle della chimica, dell’algebra o della logica. Che il problema non fosse nuovo e che l’intreccio tra Matematica e Filosofia fosse profondo, è confermato dalla presenza di diversi contributi già a partire dal 1600. Vediamone alcuni a partire dal 1600: Lettera di Cartesio a Mersenne, Leibniz Leopardi Frege, Boole, Peano, Russell Linguaggi spaziali ed Intelligenza artificiale