sui numeri primi di chen

SUI NUMERI PRIMI DI CHEN
E LE LORO PROPORZIONI IN π(N)
Gruppo “B. RIEMANN”*
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle
loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa
Abstract
In this paper we show Chen’s prime numbers, forms 6k +1
and π(N).
Riassunto
In questo lavoro vedremo come, tra tutti i numeri primi
fino a N, quanti sono in percentuali approssimative i numeri
primi di Chen; e poi, tra questi, quanti sono quelli di
forma 6k -1 e quelli di forma 6k+1. Si trova che circa due
terzi (circa il 70%) sono numeri primi di Chen e un terzo
invece no; e che tra questi due terzi di numeri primi di
Chen, di nuovo due terzi sono di forma C - = 6k-1 e un
1
terzo di forma C + = 6k +1, e con rapporto C- /C+ ≈ 2 .
Queste proporzioni si ritrovano poi nei numeri primi
supersingolari, fattori degli ordini dei gruppi sporadici di
Lie (in modo particolare il “mostro”, con 15 numeri primi
come fattori, e tutti numeri primi di Chen).
°°°°°°°°
Circa i già noti numeri primi di Chen (p e p + 2 se p+2 ha
due soli fattori primi) rimandiamo alle relative voci di
Wikipedia “ Numero primo di Chen”, “Chen prime” ecc.
In questo breve lavoro tratteremo delle proporzioni dei
numeri primi di Chen e non di Chen tra tutti i π(N) numeri
primi fino ad N, e , tra i numeri primi di Chen, le
proporzioni tra quelli di forma C- = 6k – 1 e quelli di
forma C+ = 6k+1, riscontrando, come vedremo, delle
regolarità interessanti ( due terzi di π(N) sono di Chen, e tra
2
questi, due terzi sono di tipo C- , e con rapporto
C-/C+ ≈ 2 ). Al crescere di N, tali proporzioni subiscono
piccolissime variazioni quantitative, e quindi si possono
considerare come regolarità matematiche esprimibili con
apposite formule generali per ogni N e apposite tabelle,
come vedremo; ma anche, eventualmente in futuri
possibili approfondimenti, anche con appositi grafici.
Il tutto allo scopo di individuare qualche elemento utile,
per esempio, un possibile collegamento tra i numeri di
Chen e i gruppi sporadici di Lie, importanti in fisica
(Modello Standard, teorie di stringa, cosmologia ecc.).
Tanti fenomeni naturali sembrano infatti collegati ai numeri
primi, e ci potrebbe essere qualche motivo per il quale la
Natura potrebbe o dovrebbe preferire numeri primi
particolari, come per esempio i numeri primi di Chen, e tra
3
questi, preferibilmente, quelli di forma C- = 6k - 1.
Ma andiamo con ordine. Se un numero primo normale è
di forma 6k+1(l’altra possibilità è 6k - 1), allora 6k + 1+ 2
diventa 6k + 3, forma che contiene tutti i multipli di 3 (il
più piccolo fattore primo dispari), e quindi 3 è uno dei suoi
fattori; se 6k + 3 , oltre al numero primo tre, contiene un
solo altro fattore primo p’ , ovviamente più grande, allora
p = 6k + 1 iniziale è anche un numero primo di Chen, per
definizione (p + 2 con due soli fattori primi, e quindi
p + 2= 6k + 3 = 3*p’); se invece p + 2 = 6k + 3 = 3*p’*p’’,
p non è ovviamente un numero primo di Chen, poiché ha
tre fattori primi 3, p’ e p’’.
Premesso questo, vediamo con la Tabella 1 i primi
numeri primi di Chen in base alle suddette forme generali
6k + 1 applicate ai numeri di Chen, per comprendere
meglio la loro formazione al crescere di N, e quindi le
4
proporzioni (di Chen e non di Chen) in π(N) , somma di
entrambi.
TABELLA 1
(6k-1+2)
k 6k -1
6k +1
6k +3 e suo numero di fattori
1
5 si
7 si
9 = 3 * 3 = due fattori primi
2
11 si
13 si
15 = 3 * 5 = due fattori primi
3
17 si
19 si
21 = 3 * 7 = due fattori primi
4
23 si
25 = 5 * 5 due fattori primi
5
29 si
31 si
33 = 3 * 11 = due fattori primi
6
35=5*7 37
39 = 3 * 13 = due fattori primi
7
41 si
43 no
45 = 3 * 3 * 5 = tre fattori primi
8
47 si
49 = 7 * 7 due fattori primi
9
53 si
55 = 5*11 due fattori primi
10 59 si
61 no
63 = 3 * 3 * 7 = tre fattori primi
…
…
…
…
…
43 e 61 sono quindi i due più piccoli numeri non di Chen fino a
N = 61, con π(61) = 18, di cui 16 di Chen e 2 non di Chen, in
pratica 2 (18/3) = 12, che con i numeri primi 2 e 3 fa 14; mentre
solo due, 43 e 61 non sono di Chen; circa le forme 6k-1 e 6k+1,
nove sono della prima forma e quattro della seconda, con rapporto
9/4= 2,25, rapporto che si mantiene, come vedremo in seguito,
5
approssimativamente simile, ≈ 2, per tutti gli N successivi, anche
considerando che se 2/3 sono di forma 6k - 1 e 1/3 sono di forma
6k+1, il rapporto 2/3 : 1/3 = 2/3 * 3/1 = 6 / 3 = 2
Per stabilire se un numero primo (di Chen o no) è di forma 6k - 1
o 6k + 1, c’è un semplice metodo: si sommano le cifre del
numero primo, se tale somma è di forma 3n - 1 la forma del
numero primo è 6k -1, se invece la somma è di forma 3n + 1, la
forma del numero primo è 6k + 1 Per esempio, i numeri primi
gemelli:
59 = 6 * 10 -1 e 61 = 6 * 10 +1:
5 + 9 = 14, 1 + 4 = 5 = 3 * 2 - 1, quindi 59 è di forma 6k - 1;
6 + 1 = 7 = 3 * 2 + 1, 61 è di forma 6k + 1; la somma delle cifre
conserva il segno - o
+ della forma 6k + 1 del numero primo
in esame; l’altro metodo è ovviamente quello classico:
se (p + 1)/6 è intero, la forma è 6k - 1 e viceversa, se (p - 1)/6
è intero, la forma del numero è 6k + 1:
esempio per 59:
(59+1)/6 = 60/6 = 10
6
esempio per 61:
(61-1)/6 = 60/6 = 10
in questo modo il segno + o - è quello opposto al segno tra
parentesi di (p +1) o di (p - 1); il metodo della somma è più
veloce.
TABELLA 2
per le prime potenze di 10 e per N = 409,
per le quantità dei numeri di Chen e non di Chen
π(10^n) n.ro di numeri primi n.ro di numeri p. rapporto
primi
C di Chen
non di _Chen___ C / no C
1
10
4
4
0
2 100
25
20
5
4
409
80
57
23
2,47
3 1000
168
115
53
2,16
4 10000 1229
819*
409*
2,0024*
5 100000 9592
6394*
3197*
2*
… …
…
…
…
…
n
10^n
* Valori stimati rispettivamente con le formule
2π(N)/3,
π(N)/3
e C/ no C, valide approssimativamente per qualsiasi N ≈ 10^3 = 1000
TABELLA 3
per i numeri di Chen di forma C- = 6k -1 e C+ = 6k + 1
7
N
Totale C *
C- = 6k -1
10
2
1
100
18
12
409
55
37
1000
110*
74**
1000
113*val.reale
80 reale
10000 817*
544**
100000 6392*
4263**
…
…
…
C+ = 6k +1 rapporto C-/C+
1
1
6
2
18
2,055
37**
2**
33 reale
2,42 reale
272**
2**
2131**
2,00046**
…
…
(Per N = 1000 valori reali controllati su lista OESIS A109611 dei numeri
primi di Chen fino al 34076° = 1159517)
*
tranne i due primi numeri primi 2 e 3, non di forma 6k + 1
** valori stimati come nella Tabella 2
Dalla Tabella 2 notiamo facilmente che i numeri primi di
Chen sono sempre più numerosi dei numeri primi N’ non
di Chen, con rapporto medio C/N’ ≈ 2 .
Questo perché i numeri primi di Chen sono mediamente
in gran parte (circa 2/3) di forma 6k -1, e il resto (circa 1/3)
di forma 6k + 1, poiché per p = 6k +1, p + 2 = 6k + 3 ha
spesso più di due fattori, e quindi p = 6k + 1 non può
essere numero primo di Chen con la stessa maggiore
8
frequenza di p = 6k - 1, vedi TABELLA 1.
Le proporzioni medie e realistiche di C+ rispetto a Csono quindi, visto che anche i numeri di Chen sono a loro
volta i 2/3 del totale π(N), i 2/3 di 2/3 , e cioè
2/3 * 2/3 = 4/9, con rapporto C+ / C- = 9/4 = 2,25, vedi
Tabella 3, e con rapporto C-/C+ = 4/9 = 0,44 ≈ 0,5 = 1/2.
Poiché ancora 9/4 ≈ 8/3 = 2,66 = Ф^2, ecco un possibile
coinvolgimento del numero aureo e dei numeri di
Fibonacci, presenti in molti fenomeni naturali e anche nella
formazione degli ordini dei gruppi di Lie (vedi pagine
successive). E’ anche possibile che, per N molto più
grande, il rapporto C- / C+ tenda a crescere, avvicinandosi
sempre più a 2,66 = Ф^2 (vedi per N = 1000, tale rapporto
è già 2,42) mentre il rapporto analogo C/N’ della Tabella 1
decresce e tende a 2, altra costante matematica. Per fare un
9
esempio, fino a 409 ci sono 57=C numeri primi di Chen in
tutto (compresi il 2 e il 3) , di cui:
(togliendo il 2 e il 3, non di forma 6k + 1, ne restano 55)
C- ≈ 2C/3 = 2 * 55/3 = 36,66 ≈ 37 valore reale, di forma 6k-1;
C+ ≈ C/3 = 18,3 ≈
18 valore reale, di forma 6k+1,
con rapporto stimato 36,66/18,3 = 2,003 e 37/18 = 2,055 = valore reale;
mentre π(409) = 80, e 80 / 57 = 1,40, 80/ 37=2,16 e 80 /18 = 4,44;
essendo mediamente N’ = 31% di π(N), abbiamo:
80 * 0,31 = 24,8 ≈ 23 numeri primi N’ non di Chen (vedi TAB. 1)
80 * 0,46 = 36,8 ≈ 37 numeri di Chen C- di forma 6k -1
80 * 0,23 = 18,4 ≈ 18 numeri primi di Chen di forma 6k +1
100% 78 numero dei numeri di Chen di forma 6k +1
02
(i numeri primi 2 e 3 non di forma 6k+1
80 numero totale dei numeri primi fino a 409.
Percentualmente, sull’intero valore di π(N), abbiamo,
quindi, mediamente:
31% di numeri primi N’ non di Chen;
46% di numeri primi C- di Chen di forma 6k-1
23% di numeri primi C+ di Chen di forma 6k+1 e quindi
il 23 +46 = 69% di numeri primi C di Chen complessivi:
10
(80 * 0,69 = 55,2 ≈ 57 valore reale di C complessivo.
Per cui, per ogni π(N), basta calcolare queste percentuali
per avere valori stimati e approssimativi per ogni gruppo di
numeri primi N’ non di Chen e C di Chen, e tra questi
ultimi, il numero di quelli di forma 6k - 1 e di quelli di
forma 6k + 1.
Circa i rapporti tra le percentuali, abbiamo:
100/31 = 3, 22 ≈ π = 3,14… costante matematica
14
26
32
con 3,22/3,14 = 1,025…≈ 1,030… =√1,618 ≈ √2,718 ≈ √ 3,14
100/69 = 1,4492 ≈ √2 = 1,4142…
100/46 = 2,17 ≈ 1,4142^2
69/46
= 1,5 ≈ Ф = 1,618… costante matematica
69/23 =
3 ≈
π = 3,14
46/23 =
2, con √2 = 1,4142 = costante matematica
costante matematica
Tali costanti si trovano poi in molte formule di fisica, e
11
potrebbero avere parziale origine anche nelle suddette
proporzioni tra numeri primi, numeri primi di Chen ecc.
tra le quali la Natura sceglie quelle più idonee (in
particolare 1,618…) a dare stabilità e regolarità ai suoi
fenomeni. Sceglie infatti tra i numeri primi, di forma
6k + 1, specialmente tra i numeri primi di Chen, e tra questi
preferisce quelli di forma C- come fattori dei gruppi di Lie
(numeri supersingolari); ma sceglie anche tra quelli di
forma 6k (che comprendono i fattoriali n!), per quanto
riguarda i gruppi di simmetria legate alle permutazioni di n
elementi, e quindi n!, e combinando i fattoriali con i
numeri di Fibonacci (e quindi 1,618 = Ф) con la nostra
formula
Em = k · n! + k’ · Fi
(1)
per determinare gli ordini Em dei gruppi di Lie, importanti
in fisica (modello standard, cosmologia, ecc.). Per esempio
12
il gruppo di Lie detto “Mostro” ha come fattori 15 numeri
di Chen e loro potenze fino a 71, e togliendo il 2 e il 3
iniziali, rimangono 13 numeri di Chen di cui 9 di forma
6k - 1 e 4 di forma 6k + 1, con rapporto 9/4 = 2,25, come
da proporzioni medie tra i due tipi di numeri primi di Chen.
Qualche esempio della (1):
G2 = 14 = 6 + 8 = 3! + 8 = 1! + 13
F4 = 52 = 18 + 34 = 3 * 3! + 34 = 6 * 3! + 2 * 8
E7 = 133 = 120 + 13 = 5! + 13 = 5 * 4! + 13
E8 = 248 = 240 + 8 = 2 * 5! + 8 , e cosi via.
La natura sembra scegliere i numeri di cui abbisogna
proprio dalle forme 6k + 1 per i numeri primi, e quelli di
Chen in particolare come fattori dei gruppi di Lie, e dalla
forma 6k per i fattoriali , anch’essi collegati ai gruppi di
Lie per via dei fattoriali n! come numero delle
13
permutazioni di n elementi connessi alle simmetrie (molto
importanti in fisica), e ai numeri di Fibonacci F (e quindi
alla costante Ф = 1,618 che connette indirettamente le due
forme con la formula (1). Inoltre i numeri primi sono
coinvolti nella funzione zeta di Riemann e relativa ipotesi,
e anch’essa sembra essere coinvolta in fenomeni di fisica,
come le stringhe.
Conclusione
Le tre forme 6k - 1, 6k + 1 e 6k sembrano, per quanto
sopra detto, preferite dalla natura come sorgente dei numeri
(primi, con i soli fattori banali 1 e p; o, al contrario,
N = 6k, con molti fattori) per le sue necessità matematiche,
forse anche perché tali forme hanno certe funzioni
complementari con i valori più bassi ( la funzione φ(n) di
Eulero,) o più alti (funzione σ(n) ) rispetto alle altre forme
14
numeriche (trascurate) 6k +2, 6k +3 e 6 + 4, tra tutte le
sei forme possibili che comprendono tutti i numeri naturali.
Riferimenti
1. “Numero primo di Chen”
Wikipedia
2. “Chen prime”
Wikipedia
3. Di Noto Francesco e Nardelli Michele, “DAI NUMERI
PRIMI ALLE TEORIE DI STRINGA- Un ponte tra numeri
e fisica tramite i numeri primi supersingolari” sul
database Solar del CNR.
4. “Dai numeri primi alla realtà fisica”, su questo sito
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