Teorema di Gödel, Logica Fuzzy e Negazione

ALFREDO GIVIGLIANO
Teorema di Gödel, Logica Fuzzy e Negazione*
In quelle testimonianze contrastanti si celava una
meravigliosa ironia. Provenivano tutte da persone
professionalmente interessate a teorie di epistemologia (i
fondamenti del sapere), comprensione e verità. Eppure,
riguardavano una serie di eventi in cui tutti coloro che
erano in disaccordo fra loro avevano assistito di persona a
cruciali questioni fattuali.
D. Edmonds, J. Eidinow 2001
0. La logica ed il mondo. «Anche in ambito logico possiamo parlare di una logica
universale quale ideale regolativo generale e delle logiche effettivamente costruibili non
appena venga determinato l’insieme dei funtori e degli operatori che vi intervengono. La
logica universale, in tal senso, dovrà poter essere la logica di ogni situazione, reale o meno,
possibile o meno, includendovi anche le situazioni illogiche, inconsistenti o paradossali.»1.
Con queste parole R. Poli introduce un argomento ed una distinzione fondamentale all’interno
dell’universo delle considerazioni riguardo la logica e ciò che essa deve essere non solo in
relazione alla filosofia, ma allo stesso linguaggio. L’idea che se ne può derivare è quella di
una logica come architettura generale di riferimento a livello cognitivo, ma che è allo stesso
tempo strumento e tecnica di analisi, studio, indagine. Distinzione che viene ulteriormente
specificata e che ci introduce in quello che sarà l’oggetto di questo lavoro; usando ancora le
parole di Poli
La logica universale così non è di per sé connessa alla tesi secondo cui il mondo di cui essa è
logica è consistente o secondo cui il modo di conoscere il mondo deve essere tale. La
restrizione della logica universale ad una logica costruita rispettando un postulato di
consistenza comporta la conseguenza che ciò che viene descritto da tale logica o ciò che tale
logica permette di conoscere risulta descritto o conosciuto in modo consistente.
(Poli 1992: 271)
Ci si trova, quindi, di fronte alla necessità di costruzione di una logica e nell’affrontare le
determinazioni derivanti dall’analisi della negazione Poli sceglie di utilizzare le logiche
paraconsistenti quale strumento per gestire i paradossi, anzi rende più forte la sua posizione
affermando che solo a patto che la logica sia paraconsistente il paradosso in una teoria
formale la rende interessante2. Questa non sarà la scelta qui adottata, le logiche paraconsistenti
trattano il problema della compresenza di A e ¬A mantenendo inalterata una struttura con
valori di verità dicotomica sotto l’egida del Principio del Terzo escluso3
Le logiche in merito sono dette paraconsistenti. Esse sono caratterizzate dalle due tesi secondo
cui (i) ci sono proposizioni tali che sia esse che la loro negazione sono teoremi del calcolo e (ii)
esiste una proposizione ben formata che non è una tesi del calcolo. […] Una teoria T è
paraconsistente quando c’è almeno una formula A tale che sia A che ¬A sono teoremi della
teoria e contemporaneamente esiste almeno una formula B non provabile nella teoria.
(Poli 1992: 277)
*
Il presente articolo consiste nella sistemazione della relazione tenuta nell’ambito dei Seminari Dottorali del
Dipartimento di Filosofia dell’Università degli studi della Calabria il 18 Aprile 2001.
L’analisi che verrà qui presentata sulla negazione parte, tuttavia, da alcuni punti in
comune con le linee sopra descritte, ma mette in dubbio la bivalenza e, come apparirà chiaro
modifica in parte le assunzioni alla base delle logiche paraconsistenti.
1. Il Teorema di incompletezza di Gödel (1931). Come si pone oggi la relazione tra la
logica ed il mondo reale? La risposta che C. Cellucci fornisce per questa domanda è
decisamente interessante
La necessità di un nuovo paradigma logico emerge, in primo luogo, da campi come
l’informatica, l’intelligenza artificiale, la scienza cognitiva, la linguistica, la sociologia,
l’economia che si imbattono continuamente in problemi come: in termini di quali strutture dei
dati si deve analizzare la realtà? E come si possono utilizzare tali dati per ottenere un sistema di
conoscenze adeguato rispetto alla realtà. La logica matematica risolve il primo problema
assumendo che tutte le conoscenze debbano essere espresse nel linguaggio della logica dei
predicati, e il secondo assumendo che ogni sistema di conoscenze debba essere organizzato
sotto forma di un sistema assiomatico. Ma si tratta di soluzioni innaturali, goffe, contorte,
insufficienti e in ultima analisi fallimentari. Per trovarne di più soddisfacenti occorre un nuovo
paradigma logico. (Cellucci 1998: XXI)
L’idea che la logica classica fosse costantemente messa sotto scacco da ‘mostri’
denominati incompletezza, incoerenza, paradossi e contraddizioni fu alla base di tutta una
serie di studi per cercare di dare certezza, verità, fondatezza alle sue determinazioni
particolari. Il risultato fu sbalorditivo, si ebbe l’esatto contrario. D. Hilbert che auspicava a
gran voce la risoluzione di tutti quei problemi che tanta parte avevano nel proliferare dei
dubbi e delle incertezze propose la sua ricetta: costruire sistemi formali dotati di simboli,
formule, dimostrazioni e teoremi, sistemi in grado di operare meccanicamente sui simboli
stessi in maniera tale da eliminare il problema del significato e dell’interpretazione,
eventualmente, utilizzando, oltre al calcolo, assiomi o inferenze aggiuntive; seconda parte
della ricetta provare la coerenza interna del sistema formale stesso. Un programma
sicuramente audace, interessante, faticoso, che nel momento in cui raggiunge il culmine della
prima parte, trova anche la completa disfatta della seconda e quindi della sua totalità (per lo
meno teorica). Ecco l’epitaffio del cosiddetto Programma di Hilbert scritto da K. Gödel
Per ogni classe ricorsiva e !-coerente " di FORMULE esistono SEGNI DI CLASSE ricorsivi r tali
che né # Gen r né Neg (# Gen r) appartengono a Flg ("). (Gödel 1931: 127)
In altre parole, dato un sistema formale assiomatizzato, almeno come l’aritmetica di
Peano, è possibile costruire, partendo dagli assiomi del sistema, una proposizione vera, ma né
dimostrabile né non dimostrabile per mezzo degli stessi assiomi. Hilbert assumeva di poter
sempre descrivere in modo completo e preciso i concetti elementari di una disciplina
scientifica e le loro relazioni reciproche attraverso un sistema assiomatico formalizzato, Gödel
interviene esattamente su questo formalizzando al massimo grado possibile. Infatti quello che
deriva dal teorema è che
La verità di A discende dal fatto che A è un enunciato che esprime la propria indimostrabilità in
S. Questo risultato mostra che il concetto di verità matematica non è esaurito da alcun sistema
formale adeguato S per un dato campo della matematica, quindi stabilisce l’inadeguatezza di S
rispetto alla verità matematica. (Cellucci 1998: 236.)
Ma cos’è che fa di preciso Gödel? Cosa si nasconde dietro la formulazione del Teorema
VI che già di per se stesso mostra la compresenza di A e ¬A (A e la sua negazione formale in
ottica bivalente) in modo tale da rendere incompleto un qualsiasi sistema formalizzato
secondo i dettami della logica classica?
Per prima cosa istituisce una isomorfismo tra un metalivello ed i numeri naturali, una
rappresentazione biunivoca indipendente dalla scelta degli oggetti primitivi, scelta che ricade
su un sistema formale, i numeri naturali, proprio per seguire i dettami di Hilbert
I concetti (proposizioni) metamatematici divengono in tal modo concetti (proposizioni) sui
numeri naturali e su loro successioni9 e questi possono essere (almeno in parte) espressi con i
segni del loro stesso sistema PM. (Gödel 1931: 114)
Nella nota 9 spiega che tutte le argomentazioni metamatematiche possono essere prodotte
all’interno del sistema dei numeri naturali, “l’immagine isomorfa”, quindi, bisognerà sempre
identificare gli oggetti della dimostrazione con quelli dell’“immagine isomorfa”. Isomorfismo
che prenderà il nome di gödelizzazione, numeri naturali che assumono la doppia natura di
numero e di etichetta (di codice) ad ogni oggetto corrisponderà un numero in maniera tale da
raggiungere il massimo grado di formalizzazione possibile nel momento in cui ad oggetti
distinti corrispondono numeri naturali distinti.
In secondo luogo definisce un concetto centrale all’interno della logica, e della scienza in
generale, quello di “funzione ricorsiva” e, quindi, di “relazione ricorsiva”
una funzione numerica25 $(x1, x2,…, xn) si dice definita ricorsivamente dalle funzioni
numeriche % (x1, x2,…, xn-1) e µ (x1, x2,…, xn+1) se per ogni x1, x2,…, xn,k26 vale
$(0, x2,…, xn) = % (x2,…, xn),
$(k+1, x2,…, xn) = µ (k, $(k, x2,…, xn), x2,…, xn)
(2)
Una funzione numerica $ si dice ricorsiva se esiste una successione finita di funzioni
numeriche $1, $2,…, $n, che termina con $ e ha la proprietà che ogni funzione $k della
successione è definita ricorsivamente da due funzioni che la precedono, o è ottenuta per
sostituzione27 sempre da funzioni che la precedono, o infine è una costante o la funzione
successore x+1. La lunghezza della più breve successione di $i che determina la funzione
ricorsiva $ è detta il suo grado. Una relazione fra numeri naturali R(x1,…, xn) si dice ricorsiva28
se esiste una funzione ricorsiva $(x1,…, xn) tale che per ogni x1, x2,…, xn,
R(x1,…, xn) ~ [$(x1,…, xn) = 0]
(Gödel 1931: 120)4
Aprendo una brevissima parentesi, si può vedere come il concetto di ricorsività riguardi
anche un argomento che risulterà centrale all’interno di questo lavoro. M. Prampolini, infatti,
scrive
Per quanto concerne la sua definizione, possiamo dire che vaghezza è un termine squisitamente
riflessivo, autereferenziale (o autocontenuto); esso può essere addotto come esempio del
paradosso che Russell formulò nel 1901 sugli insiemi o concetti che contengono se stessi: il
concetto di vaghezza appartiene alla classe dei concetti intrinsecamente vaghi; vaghezza, come
definiendum, finisce per essere termine contenuto nella propria definizione. In altre parole, una
penombra si allunga sui definientes che compaiono nella definizione della vaghezza: quando
non si ricorre a termini con valenza metaforica, tra i quali si possono annoverare quelli che
esprimono un «grado» o «gradiente» di certezza, si ricorre a formule che esprimono una
contraddizione. (Prampolini 1997: 99.)
Chiudendo la parentesi si arriva ad uno dei punto nodali dell’analisi. Gödel inizia la vera e
propria dimostrazione fornendo una serie di teoremi all’interno dei quali compaiono i concetti
logici di negazione, disgiunzione, uguaglianza, congiunzione. Concetti applicabili anche alle
relazioni ricorsive in modo tale da formare altre relazioni ricorsive5, conseguenza del fatto che
i concetti logici ¯,!, = corrispondenti alle funzioni numeriche !(x),
"(x),
precisamente
!(0) = 1, !(x) = 0 per x $ 0
"(0, x) = "(x, 0) = 0, "(x, y) = 1 se x, y sono entrambe $ 0
#(x, y) = 0 se x = y, #(x, y) = 1 se x $ y
sono, come si può facilmente notare, ricorsivi. (Gödel 1931: 121)
#(x)
È interessante notare come la formalizzazione del connettivo della negazione data qui da
Gödel sia interpretabile come il contrario di quella di G. Boole.
A questo punto manca solo il secondo strumento che utilizza Gödel per la sua
dimostrazione costruttiva, la diagonalizzazione, metodo ideato da Cantor, per mezzo della
quale, dopo aver assegnato un numero naturale ad ogni oggetto, riesce a costruire una
proposizione che è si vera, ma allo stesso tempo né dimostrabile né non dimostrabile, la
proposizione G: “G non è dimostrabile”. Hilbert aveva eliminato la verità informale
formalizzando, Gödel utilizza la nozione “più debole” di dimostrabilità formalizzandola a sua
volta. Non solo, ma dimostra, anche, come non sia possibile costruire un sistema formale
adeguato al concetto di verità matematica, sempre come voleva Hilbert. Viene meno, quindi,
anche il progetto di formalizzare una qualsiasi scienza in modo tale da avere un sistema
assiomatico capace di contenere una descrizione consistente delle relazioni tra i costituenti
ultimi della scienza in questione.
Accanto al Teorema di incompletezza vi sono altri 3 teoremi che completano il quadro
della disfatta della ricerca della certezza, della verità, della coerenza. Il Teorema di
indefinibilità della verità di A. Tarski6 che pone fine all’idea di Hilbert di costruire un
linguaggio formale capace di contenere tutta la matematica; il II Teorema di Incompletezza
dello stesso Gödel7, che rende vani i tentativi di Hilbert di dimostrare la coerenza di un
sistema formale attraverso gli strumenti dell’aritmetica finitaria, dimostrando la non
adeguatezza del sistema nei confronti della verità metasistemica; il Teorema di ChurchRosser8.
Una proposizione vera che non è né dimostrabile né non-dimostrabile, la negazione di una
proprietà e la sua affermazione compresenti all’interno del teorema mettono in crisi la Logica
Classica. Il concetto logico di negazione come utilizzato e formalizzato fino al 1931 apre una
falla che le Logiche Paraconsistenti tentano di chiudere, ma ciò che è importante sottolineare
è che non si può risolvere un problema sul piano delle determinazioni particolari di una
logica, sul piano delle logiche particolari derivanti da una universale se il problema deriva
dalla strutturazione stessa di quest’ultima dai suoi principi cardine e dalle sue assunzioni
fondamentali, quale nello specifico la determinazione di due valori di verità assoluti.
Le determinazioni del I Teorema di Incompletezza di Gödel coinvolgono anche i concetti
di “completezza empirica”9 di G. Frege e di “completezza metasistemica”10 di Hilbert,
all’interno di un gioco tra logica e mondo, tra verità e realtà che arriva fino ad una
conseguenza fondamentale del II Teorema di Incompletezza
Il secondo teorema di incompletezza di Gödel implica che non in ogni dimostrazione in S di un
enunciato reale si possono rimpiazzare tutti gli enunciati ideali con enunciati reali,
trasformando tutte le formule critiche in formule vere. Questo significa che, usando enunciati
ideali, si possono dimostrare in S enunciati reali non dimostrabili nell’aritmetica finitaria. Per
la nozione di verità ciò ha un’importante conseguenza: poiché non in ogni dimostrazione in S
di un enunciato reale si possono rimpiazzare tutti gli enunciati ideali con enunciati reali,
trasformando tutte le formule critiche in formule vere, ne segue che in generale la
dimostrabilità di un enunciato reale nel sistema S non è una condizione sufficiente per la sua
verità. (Cellucci 1998: 251)
2. La complessità del sociale. La relazione tra logica e mondo, come emersa dalla analisi
precedente risulta, quindi, essere estremamente problematica se analizzata nei termini della
Logica Classica.
Prendendo in considerazione una scienza in particolare, alla quale lo stesso Cellucci
faceva riferimento in uno dei primi passi riportati, si può vedere come il framework logico di
tale disciplina scientifica debba necessariamente essere analizzato ed eventualmente
modificato, proprio in relazione a considerazioni riguardanti la negazione . La scienza in
questione è la Sociologia, nella sua determinazione di studio delle relazioni sociali. Varie
sono stati e continuano ad essere le formalizzazioni del concetto di ‘insieme delle relazioni
sociali’, in altre parole di quello che è la realtà sociale composta da individui che la vivono, la
costruiscono, ne sono modificati e a loro volta ne provocano il mutamento. Si è passati dalle
analisi positivistiche11 a quelle della ‘Teoria dell’Azione’ di Max Weber12, dall’approccio
fenomenologico13 a quello dell’interazionismo simbolico14, sempre, tuttavia, andando avanti
per categorie e concetti mutuamente escludentisi. Una sorta di dentro o fuori, di si o no, che
non può non avere il suo nume nel Principio del Terzo Escluso. E. Durkheim propone la sua
descrizione della società, è questa la parola magica che accomuna tutti, come un qualcosa di
altro rispetto all’uomo, che nello stesso tempo ne fa parte attraverso il suo riversare le proprie
esperienze in quelle forme chiamate ‘fatti sociali’ che costituiscono le determinazioni della
società stessa con il loro essere esterni e costrittivi nei confronti degli individui. Con questa
connotazione l’oggetto ‘fatto’ apre, tuttavia, la strada all’oggetto ‘evento’, come un possibile
concretizzarsi di una fattispecie astratta15 passando da un mondo altro a quello della vita di
ogni giorno. Come questo sia più problematico di quello che sembra in apparenza, lo si può
notare analizzando, ad esempio, la concezione di evento di J. Kim16
La nozione di evento di Kim è infatti strettamente connessa con la nozione di spiegazione (una
connessione che fornisce a Kim la principale motivazione per sviluppare la sua teoria).
Secondo Kim (1969, pp. 199 ss.), una spiegazione riguarda sia proposizioni, perché ciò che
spiega deve implicare deduttivamente ciò che è spiegato, sia eventi, come quando vogliamo per
esempio spiegare perché un edificio è crollato. La connessione tra i due aspetti è data dal fatto
che, secondo Kim, quando qualcosa (chiamiamolo “X”) spiega la verità di una proposizione,
esiste une evento che è ciò cui si “riferisce” la proposizione e che viene spiegato anch’esso da
X. La proposizione da spiegare attribuisce comunemente una proprietà a un oggetto, cosicché
un evento può essere definito come un’esemplificazione di una proprietà da parte di un oggetto
a un certo istante8. (Laudisa 1999: 22)
Nella nota 8 F. Laudisa spiega come la clausola temporale debba essere inserita per
garantire l’univocità, come identificazione, degli eventi. Questa formulazione della nozione di
evento, intrecciata con uno dei problemi ‘storici’ delle cosiddette scienze sociali, quello della
spiegazione, sembrerebbe tener conto di tutta una serie di problematiche fondamentali
(riassunte nella tripla costitutiva: oggetto, proprietà, tempo) in modo tale da fornire un
concetto adeguato per lo studio e l’analisi anche delle dinamiche sociali. Ma dietro la cenere il
fuoco è ancora acceso e scalpita per ‘emergere’.
una rappresentazione intuitiva di evento come di un particolare concreto localizzato nello
spazio e nel tempo deve tuttavia affrontare svariati problemi, come quello della costruzione di
eventi complessi: se sono infatti considerati semplici degli eventi come l’accensione di un
lampione o il rompersi di un vetro, non è immediatamente chiaro quale sia il particolare
concreto localizzato nello spazio e nel tempo e corrispondente all’evento complesso dato, per
esempio dalla congiunzione (qualunque cosa ciò significhi) dell’accendersi del lampione e
dell’infrangersi del vetro. (Laudisa 1999: 23)
Una considerazione che merita di essere fatta riguarda la possibilità utilizzando la
definizione di evento di Kim di non poter più disporre di caratterizzazioni differenti per lo
stesso evento. Quella proposta rischia di essere una strada verso una forma totalizzante ed
assolutizzante di essenzialismo, che rischierebbe di far nascere più problemi di quanti non ne
risolva17. Non solo, ma compare qui, non un termine, ma una intera galassia di problematiche
data dalla identificazione di un qualcosa come ‘complesso’. Tralasciando la relazionedistinzione spesso dimenticata, se non addirittura ignorata (più o meno volutamente), tra
‘semplice’, ‘complicato’ e ‘complesso’18, basti ricordare come sia ‘complicato’ l’opposto di
‘semplice’ e non ‘complesso’, l’introduzione di questo concetto permette di analizzare il reale
in modo da tale da poter forse rispondere alla affermazione già ricordata di Cellucci.
La strada da seguire è quella della identificazione della realtà sociale come una rete di
interazioni-relazioni di tipo complesso. Non si intende riproporre una visione appartenente
alla costellazione della cosiddetta network analysis di tipo tradizionale19, o meglio, non solo
ed esclusivamente appartenente ad essa, lo studio degli atteggiamenti e delle proprietà di
relazione come proposta da questo approccio costituisce una delle direttrici, ma non l’unica e,
soprattutto, all’interno di questo modello ciò che non rimane immutato è sia la logica di fondo
che quella della dimensione euristica.
Identificare il mondo delle relazioni sociali, come una rete complessa, vuol dire assumere
che non ci si muove più all’interno di un’unica dimensione spaziale di tipo cognitivo
dominata da una causalità lineare ed inserita all’interno del semplice tempo fisico, con,
eventualmente, la specificazione del tempo proprio di ogni individuo. Lo spazio-tempo di tipo
einsteiniano non può che essere un punto di partenza. Ogni dimensione relazionale è costituita
da una serie di interazioni (quelle proprie delle cornici precedenti) che diventano relazioni nel
momento in cui gli individui coinvolti non solo modificano le loro emissioni di significati
all’interno di uno schema classico di retroazione, ma vengono essi stessi modificati nel loro
portato esistenziale da ciò che producono. La compresenza dell’essere
costruttore/modificatore e costruito/modificato in relazione ed in termini di produzionescambio-categorizzazione di significati (necessariamente anche sociali20) diventa una
caratteristica strutturale, in funzione dello spazio e del tempo proprio di ogni relazione. Si è di
fronte ad una effettiva distinzione-congiunzione tra tempo e spazio, ad una pluralità di spazi
socialmente identificati, corrisponde una pluralità di tempi relazionali, ognuno proprio della
corrispondente relazione, il tutto inserito all’interno dello spazio-tempo fisico. Dimensioni
sulle quali si muovono gli individui che diventano un insieme di punti, una coordinata e non
più un semplice punto su una retta; dimensioni, quindi, che identificano ogni singola
relazione, non in maniera statica o linearmente determinata, nemmeno nei termini in cui W.
Salmon descrive il suo “marchio”21. Il principio secondo cui ad una minima variazione dello
stato iniziale corrisponde una non necessaria identità nello sviluppo dei fenomeni, implica
l’assunzione di una caratterizzazione non.lineare dell’intera rete relazionale.
Visivamente la si può interpretare secondo la seguente figura22:
E
R
Ogni singola componente è compresa all’interno del tutto che a sua volta è compreso in
ogni sua parte23. La singola rete “emerge” dalle proprie dimensioni. L’essere una proprietà
emergente è ciò che la caratterizza come unica, come “complessa”, intendendo per
“emergenza” ciò che intende E. Morin, una proprietà che identifica un insieme, non la
semplice somma delle caratteristiche delle parti.24
Si è finora parlato di semplici individui, quasi volendo rifuggire l’utilizzo dei caratteristici
termini sociologici di “attore sociale” e “soggetto sociale”. Questo perché all’interno di tale
approccio vi è una differenza estremamente significativa tra le due espressioni. La prima
viene ad indicare un individuo che inserito all’interno di un flusso comunicativo, di
significati, continuo e complesso, non riesce a gestire in pieno la complessità di senso che
contribuisce a co-costruirlo e modificarlo, ma di cui lui stesso è costruttore/modificatore, non
riesce a gestire la sua collocazione lungo gli assi dimensionali dell’esperienza. Il ‘soggetto
sociale’ è invece in grado di attribuire in maniera adeguata i pesi, alle singole componenti ed
al tutto, che costituiscono il suo essere nel mondo. Le relazioni sociali sono quindi un
continuo scambio-produzione-modifica di senso, l’‘attore sociale’ lo categorizza in maniera
tradizionale non riuscendo a cogliere la complessità del reale, il ‘soggetto sociale’ lo
categorizza in maniera non più rigida, ma secondo un’architettura fuzzy.
A questo punto sembrerebbe che la coppia ‘attore sociale’ - ‘soggetto sociale’ sia una
dicotomia di tipo classico, costruita, strutturata e operante secondo la Logica Classica, quasi
che uno sia la negazione dell’altro. In realtà il tutto è “complesso”. ‘Attore’ e ‘soggetto’
coesistono. Non è necessariamente determinato che un individuo sia condannato nella
condizione di ‘attore’ per tutta la vita, o che sia tanto buono (o tanto sciagurato) da diventare
‘soggetto’ dall’oggi al domani. Dal momento che ogni singolo individuo è un insieme di
posizioni all’interno della rete sociale, su alcune dimensioni riuscirà a gestire il flusso
informativo, su altre meno, su altre ancora no. Le singole dimensioni sfumano le une nelle
altre in modo tale da non creare barriere rigide, i singoli comportamenti sono, quindi, la
risultante complessa di queste relazioni, con la decisiva componente del vissuto esistenziale di
ogni singolo. La dicotomia che sembra escludere rigidamente è invece un qualcosa che rende
compresenti entrambi, in maniera di volta in volta differente, a seconda della posizione lungo
lo specifico asse dimensionale (e di conseguenza lungo tutto gli assi).
È, quindi, evidente come la Logica Classica non sia in grado di essere cornice e strumento
efficaci per l’analisi delle relazioni sociali. Lo potrà anche essere, ma in determinati casi che
non possono essere altro che una fattispecie particolare di un qualcosa di più ‘complesso’. Ciò
che si deve evidenziare è la non adeguatezza della Logica Classica nel gestire la vaghezza.
Distinzione d’obbligo la ‘vaghezza’ non si può identificare con l’‘incertezza’, la prima
riguarda la totalità complessa del senso, lo sfumare continuo dei sensi che costituiscono
un’unità complessa, la seconda è la presenza di un deficit, una qualcosa che manca per la
comprensione, la gestione. La Logica Classica non è in grado di dare risposte sugli stati di
equilibrio semi-stabili attraverso i quali gli attori diventano soggetti e viceversa (o, anche,
mantengono la loro capacità di gestione dei significati).
Interessante notare come in tema di vaghezza M. Black proponga una lettura che
ripropone, quanto meno nella forma, un’espressione che si è già incontrata
anche per lui la vaghezza va lette in termini di contraddizione logica. Vaga è un’espressione
(proposizione o giudizio) che contiene un termine T, che ha il valore di una variabile
predicativa, quando per essi ci sono oggetti x tali che non si può asserire né T(x) né –T(x).
(Prampolini 1997: 100)
quindi introduce il suo concetto di “frangia”
definisce frangia (fringe) del campo di applicazione di un simbolo «l’insieme di tutti gli
oggetti per i quali è intrinsecamente impossibile decidere l’applicazione del simbolo».
(Prampolini 1997: 101)
3. La Logica Fuzzy, appartenere o non appartenere questo è il problema. Per tentare di
studiare la rete sociale complessa c’è bisogno di un qualcosa che sia in grado di fare della
analisi della vaghezza la propria caratteristica principale. Nel 1965 esce l’articolo di L. A.
Zadeh sui fuzzy sets25 è forse questa la risposta? La Logica Fuzzy mette in discussione il
principio che fino a questo punto a provocato le perplessità riguardo la negazione, la sua
formalizzazione, la sua struttura e ciò che potrebbe essere identificato come oggetto di
negazione. Non è necessariamente detto che un oggetto possieda una proprietà e ‘nonpossieda’ la corrispondente ‘non-proprietà’.
Il concetto base dei Fuzzy Sets, di conseguenza, della Logica Fuzzy risulta essere il
concetto di funzione di appartenenza. La Logica Classica individua e lavora con insiemi,
classi, categorie, soggetti ad un costruzione “estensionale”, il tutto determina ed individua gli
oggetti che costituiscono le sue parti in maniera certa. Un oggetto appartiene o non appartiene
ad una collezione di oggetti in maniera esclusiva rispetto alla collezione che identifica la
negazione della prima. Il tutto formalizzabile attraverso le cosiddette funzioni caratteristiche,
proprie dell’insiemistica di Cantor
1 se x % A
f ( x) ' $#
" 0 se x & A
Ma se la realtà sociale è per sua natura vaga, come è possibile utilizzare questi strumenti?
Come si può stabilire la distinzione tra l’essere all’interno di una categoria sociale e l’essere
nella ‘non-categoria’ visto che la compresenza non è possibile? Nel momento in cui le
categorie sfumano le une nelle altre, i cosiddetti “casi di confine”, che risultano essere tanto
problematici, vengono si risolti, ma la cornice logica e la strumentazione corrispondente (la
“logica universale” e le “logiche particolari” di Poli) devono essere modificate.
La Logica Fuzzy si basa sul concetto di Fuzzy Set un insieme che ha tra le sue
caratteristiche quella della costruzione “intensionale”. Non è più l’insieme che individua gli
oggetti sulla base della “funzione caratterisitica” in relazione ad una proprietà, ma sono questi
che costruiscono l’insieme in base al ‘quanto’ possiedono la proprietà. L’oggetto non sarà
semplicemente dentro o fuori un determinato insieme, ma sarà all’interno in una determinata
posizione non necessariamente destinata a rimanere immutata nel tempo. Non solo, ma non
necessariamente non potrà possedere la ‘non-proprietà’, quindi non far parte del ‘noninsieme’. Si ha così una costruzione di insiemi che sfumano gli uni negli altri, rendendo
ragione della vaghezza del reale e del senso emergente dalle relazioni sociali. In luogo della
formalizzazione utilizzata per le funzioni caratteristiche si avrà per le funzioni di
appartenenza
!=e
dove ‘e’ indica l’“evidenza”, la quota di appartenenza della proprietà all’oggetto, quindi,
dell’oggetto all’insieme, ‘e’ che varia tra 1 e 0, dove 1 è al totale appartenenza, 0 la totale non
appartenenza. Sfumando gli uni negli altri gli insiemi possono anche determinare situazioni
nelle quali lo stesso oggetto appartiene, con evidenze differenti, a due insiemi che in logica
classica sarebbero considerati antitetici.
Un pericolo a questo punto può essere riscontrato nell’identificazione degli insiemi
classici, “estensionali”, con i cosiddetti “insiemi chiusi”, mentre i fuzzy sets, “intensionali”
con i cosiddetti “insiemi aperti”. Pericolo subito rientrato nel momento in cui si considera che
se da un lato gli insiemi propri della Logica Classica devono necessariamente essere “chiusi”,
dall’altro quelli della Logica Fuzzy possono essere sia chiusi, che aperti, più in generale sono
complessi. La dicotomia classica aperto/chiuso viene ad essere ridefinita proprio in funzione
delle cosiddette “proprietà emergenti” di cui si è parlato in precedenza. Gli insiemi classici
devono essere chiusi per evitare i rischi dell’incertezza, della incompletezza e dell’incoerenza,
il Teorema di Gödel ha fornito un oggetto che non rientra né in un insieme né nel
corrispondente ‘non-insieme’. Per quanto riguarda l’analisi della rete sociale si può vedere
come le evidenze, oggetto per oggetto, forniscono i gradi di appartenenza del singolo
all’insieme, il quanto vi appartiene, di conseguenza la sua posizione lungo l’asse relazionale e
l’insieme delle sue posizioni all’interno della rete. Non sono valide sempre, in ogni tempo ed
in ogni spazio, ma variano con il mutare delle dinamiche relazionali dell’individuo, sono stati
di equilibrio semistabili, l’entropia26 del sistema non vuole, quindi, indicare uno stadio di
disordine27, ma il numero degli stati di possibile evoluzione del sistema sulla base delle
relazioni stesse.
Negli insiemi così individuati, con bordi vaghi, sfumati, i casi di confine non sono fonte di
perdita di informazione in quanto vanno comunque inseriti all’interno di un raggruppamento,
ma da loro proviene una fonte aggiuntiva di informazione. Le contraddizioni vengono
sfruttate per gestire meglio il passaggio da uno stadio ad un altro, non evitate, nascoste,
dimenticate. La posizione del singolo individuo, in relazione anche alle sue costruzioni
concettuali, viene così ad essere identificata come
(
(
s
x
i
j
dove si risulta essere:
s
i
' f
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l’insieme, la sommatoria significativa, delle appartenenze delle proprietà ‘ir’ in uno spazio ‘jr’
ed in un tempo ‘kr’ di relazione (con n soggetti) a sua volta compreso nello spazio e tempo
fisici.” (Givigliano 2000)
Gli insiemi concettuali diventano quindi sfumati.
Il fatto che anche i sistemi concettuali possano essere analizzati con la Logica Fuzzy da un
lato ed appartengano alla Logica Fuzzy dall’altro ci fa compiere un altro passo in avanti, ma
prima di approfondirlo va eliminato un altro pericolo.
Ritornando alla descrizione degli eventi di Kim ed alla sua relazione problematica con la
complessità nei termini anche di una descrizione dei fatti, si deve notare che
I fatti hanno una naturale interpretazione proposizionale, sono cioè normalmente concepiti
come equivalenti a proposizioni, e possono dunque essere combinati secondo le regole di
formazione di un comune linguaggio logico: la congiunzione di «il fatto che il lampione si è
acceso» e di «il fatto che il vetro si è rotto» ha un carattere tanto proposizionale quanto quello
dei singoli congiunti. Alla luce inoltre dello sviluppo di teorie probabilistiche della causalità,
sono i fatti e non gli eventi a poter ricevere un valore di probabilità: dire che un certo evento ha
una certa probabilità K di verificarsi significa in realtà dire che la probabilità del fatto che
l’evento si verifichi ha probabilità K10. (Laudisa 1999: 23)
Nella nota 10 Laudisa spiega
10
La natura proposizionale dei fatti permette inoltre di assumere insiemi di proposizioni chiusi
rispetto a congiunzione, disgiunzione e negazione come strutture di eventi, intesi in questo caso
nel senso tecnico della teoria matematica della probabilità, vale a dire come elementi di un
opportuno spazio sul quale è definita una misura di probabilità (Laudisa 1999: 24)
Ed è proprio la formalizzazione della negazione come finora strutturata che contribuisce e
sotto alcuni aspetti fa nascere un misunderasting riguardo la coincidenza tra Logica Fuzzy e
Teoria della Probabilità.
4. Logica Fuzzy vs. Probabilità. Si è visto come le “evidenze”, i gradi di appartenenza,
abbiano come intervallo di variazione del loro valore l’intervallo compreso tra 0 e 1, tra la
totale appartenenza e la totale non-appartenenza. Si avranno, quindi, casi nei quali una
determinata proprietà sarà posseduta con una “evidenza” 0.5; 0.2; 0.9; etc. niente di più
immediato, quindi, che associare, o meglio, identificare le “evidenze” con le probabilità.
Inoltre la negazione all’interno delle formalizzazioni oggi esistenti della Logica Fuzzy viene
ad essere identificata con il complemento ad 1 dell’evidenza data dalla funzione di
appartenenza da negare, quindi, il grado della ‘non-proprietà’ diventa il complemento ad 1 del
grado della proprietà. Formalizzando si avrà
! = e1
¬ ! = e2
e2 = 1 – e 1
esattamente quello che succede per le probabilità all’interno dell’assiomatizzazione data
da Kolmogorov
Nel sistema assiomatico il concetto di probabilità è introdotto come nozione primitiva,
implicitamente definita dagli assiomi che ne governano l’uso. I principi poc’anzi elencati
possono essere sintetizzati nei seguenti quattro assiomi che costituiscono il nucleo essenziale di
ogni sistema di calcolo delle probabilità:
1. Gli eventi sono sottoinsiemi di uno spazio % e formano una sottoclasse additiva &.
2. Ad ogni E % & è assegnato un numero reale non negativo p(E), detto probabilità di E.
3. p (%) = 1
4. Se A1B = 2, allora p(A3B) = p(A) + p(B)
(Sandrini 1998: 52-53)
Quello che si ottenne con la costruzione assiomatica della teoria delle probabilità ce lo
illustra ancora M. G. Sandrini
Kolmogorov credeva che l’assiomatizzazione del calcolo ponesse fine alle accese polemiche
tra i sostenitori delle diverse concezioni della probabilità. In realtà così non è stato, né poteva
esserlo. I sistemi assiomatici hanno il merito di sviluppare nel modo più rigoroso tutti i teoremi
del calcolo delle probabilità, a partire da un piccolissimo numero di assiomi, che condensano,
come si è detto, i principi classici del calcolo e che formano il nucleo essenziale ed
indiscutibile di ogni approccio al calcolo delle probabilità. (Sandrini 1998: 58-59)
Ricapitolando, la teoria della probabilità è un sistema concettuale chiuso, assiomatizzato,
che segue la Logica Classica e che propone una netta distinzione tra l’appartenere ad un dato
raggruppamento piuttosto che al suo contrario. Tutte qualità che potrebbero essere
apprezzabilissime, ma che la identificano, al pari della logica di fondo che utilizza, come un
caso particolare di quelli trattabili in termini di Logica Fuzzy. Si può anche aggiungere che
ciò che la Teoria della Probabilità tenta di minimizzare è proprio l’incertezza in luogo di un
trattamento della vaghezza che si ha con la Logica Fuzzy.
Differenze sintattiche e differenze semantiche tra Logica Fuzzy e Teoria della Probabilità
di intrecciano. Il punto nodale può essere interpretato come segue. La Logica Fuzzy è
incentrata sul concetto di funzione di appartenenza che identifica di volta in volta, a secondo
del contesto nel quale si sta operando, un concetto, una proprietà, un dato. La formazione
delle funzioni di appartenenza non è vincolata se non dal sistema concettuale (anche esso
sfumato) di chi le costruisce, dal suo portato esistenziale, dall’insieme delle sue categorie
(anche esse sfumate). Non necessariamente la funzione di appartenenza che individua una
‘non-proprietà’, un ‘non-concetto’ deve fornire come risultato nell’applicazione ad un oggetto
il complemento ad 1 dell’“evidenza” ricavata applicando la funzione che identifica il
concetto, la proprietà. Sono funzioni differenti, la negazione formale viene a diventare una
nuova funzione di appartenenza. Ad esempio utilizzando insiemi propri della Sociologia si
può essere ‘devianti’ con una evidenza 0.3 e ‘non-devianti’ con un evidenza 0.6, la cui somma
non corrisponde ad 1. L’attribuzione delle evidenze dipende in toto dalla costruzione delle
funzioni di appartenenza. “Bianco” non è il contrario di “Nero” sempre e comunque. In
questo modo non risulta valido come assioma quello che Kolmogorov elenca come terzo, in
base al quale la probabilità associata all’intero universo deve essere uguale ad 1. Le funzioni
di distribuzione di probabilità possono, quindi, essere un caso particolare delle funzioni di
appartenenza.
5. La Logica Fuzzy al cospetto di Gödel. Si è visto come la negazione all’interno della
Logica Fuzzy porti alla costruzione di una differente funzione di appartenenza28, la proprietà e
la ‘non-proprietà’ possono contemporaneamente essere godute dallo stesso oggetto con
evidenze differenti e non necessariamente l’una il complemento ad 1 dell’altra. In questo
modo il Teorema di Gödel risulta essere pienamente organico, anzi fondamentale,
nell’orizzonte della Fuzzy Logic. A patto che non la si intenda in termini chiusi, ma
complessi.
Riprendendo le funzioni di appartenenza, ad ognuna di esse corrisponderà nell’“immagine
isomorfa” un numero di Gödel ben preciso, con una tensione continua tra componente
sintattica e componente semantica, quindi, la funzione e la ‘non-funzione’ avranno due
numeri differenti. Non vi è più, quindi, un problema dato dalla contraddizione tra “né
dimostrabile” e né “non-dimostrabile”, una proposizione vera con una data “evidenza” sarà
dimostrabile con una seconda “evidenza” e non-dimostrabile con una terza “evidenza”.
L’intuizione di Gödel di costruire un isomorfismo può essere benissimo estesa ad ogni
sistema concettuale chiuso, contenente teorie, quindi, teoremi. È sempre e comunque
possibile instaurare tra gli elementi di questa e l’aritmetica una relazione attraverso il processo
di gödelizzazione, quindi ogni insieme concettuale chiuso è necessariamente incompleto. Le
cose diventano più complicate in relazione ai linguaggi, vi è una tensione tra semplicità e
complicatezza, tra ‘forma’ e ‘contenuto’ che merita analisi più approfondite.
NOTE
1
R. POLI, 1992, Ontologia formale, Genova, Marietti, p. 271.
R. POLI, 1992, Ontologia…, op. cit., p. 277-279.
3
Il Principio di non contraddizione, al contrario, viene ad essere gestito in maniera differente, nelle parole di M.
L. Dalla Chiara citata da Poli «due individui che usano logiche diverse possono comprendersi purché siano in
grado almeno di descrivere la sintassi. Si chiarisce così l’infondatezza di un pregiudizio filosofico molto diffuso,
secondo cui anche chi non accetta il principio di non contraddizione in realtà ne fa necessariamente uso», R.
POLI, 1992, Ontologia…, op. cit., p. 278. Il risultato sembra quello auspicato, lo sarà anche la strada percorsa per
arrivare alla meta?
4
Estremamente interessanti le note 25-28 nelle quali Gödel approfondisce: «25 Il cui dominio di definizione è,
quindi, la classe degli interi non negativi (o delle n-uple di interi non negativi) e i cui valori sono interi non
2
negativi.»; «26 In ciò che segue, le lettere minuscole corsive (con o senza indici) indicheranno sempre variabili
per interi non negativi (a meno che non sia specificato il contrario).»; «27 Per essere più precisi: mediante
sostituzione di funzioni che la precedono al posto degli argomenti di una delle funzioni che la precedono, per
esempio, $k(x1, x2) = $p[$q(x1, x2), $r(x2)] (p, q, r < k). Non è richiesto che nel lato destro compaiano tutte le
variabili che occorrono nel lato sinistro (lo stesso vale anche per lo schema di ricorsione (2)).»; «28
Consideriamo le classi come casi particolari delle relazioni (a un posto). Le relazioni ricorsive R hanno
ovviamente la proprietà che per ogni data n-upla di numeri si può decidere se valga o meno R(x1,…, xn).», K.
GÖDEL, 1931, Über formal unentscheidbare Sätze der “Principia mathematica” und verwandter Systeme I, in
“Monatshefte für Mathematik und Physik”, 38, pp. 173-198, trad. it di E. Ballo, Proposizioni formalmente
indecidibili dei “Principia Mathematica” e di sistemi affini I, in K. GÖDEL, Opere. Vol. I 1929-1936, Torino,
Bollati Boringhieri, 1999, pp. 113-138, p. 120.
5
Il secondo Teorema afferma infatti che «II. Se R e S sono relazioni ricorsive, lo stesso vale per4R e R!S (e
quindi anche R&S).», K. GÖDEL, 1931, Über formal…, op. cit., p.120.
6
«Per ogni sistema formale adeguato S, l’insieme di tutti gli enunciati veri di S non è definibile in S. Dunque il
concetto di verità matematica per S non può essere espresso in S. Ne segue che non può esistere alcun sistema
formale adeguato S in cui si possano esprimere tutti i concetti matematici. Infatti, se un tale sistema S esistesse,
il concetto di enunciato vero di S dovrebbe essere esprimibile in S, il che è impossibile.», C. CELLUCCI, 1998, Le
ragioni della logica, Roma-Bari, Laterza, p. 236.
7
«Per ogni sistema formale adeguato S, l’enunciato CoerS che esprime in modo naturale la coerenza di S non è
dimostrabile in S. Quindi, anche se S è coerente, la sua coerenza non può essere stabilita in S. Per stabilirla si
dovrebbe ricorrere a un sistema formale S’ più potente di S, la cui coerenza a sua volta non potrebbe essere
stabilita in S’ ma solo in un sistema formale S’’ più potente di S’, e così via all’infinito.», C. CELLUCCI, 1998, Le
ragioni…, op. cit., p. 236.
8
«Ogni sistema formale adeguato S è indecidibile, cioè non esiste alcun algoritmo che permetta di stabilire in un
numero finito di passi, per ogni enunciato A di S, se A sia o non sia dimostrabile in S. […] Come è stato
dimostrato da Church, non esiste alcun procedimento che permetta di stabilire per ogni enunciato A, se A sia o
non sia una verità logica.», C. CELLUCCI, 1998, Le ragioni…, op. cit., pp. 236-237.
9
«Completezza in senso empirico. Un sistema concettuale chiuso si dice completo in senso empirico quando
permette di dimostrare tutti i risultati noti del campo della matematica corrispondente. Questa è la nozione di
completezza di Frege. Che un sistema sia completo in questo senso non esclude che in futuro si possano trovare
nuovi risultati matematici non dimostrabili in esso, ma ciò per Frege non sarebbe sconvolgente, significherebbe
soltanto che dobbiamo demolire il sistema e costruirne un altro. Noi possiamo andare avanti con l’ideografia
finché risulta adeguata, ma se incontriamo qualche verità aritmetica, cioè logica, non dimostrabile in essa, allora
dobbiamo chiederci «se ci siamo imbattuti in una verità che proviene da una fonte conoscitiva non logica, se si
deve ammettere un nuovo modo di inferenza, o se forse il passo proposto non dovrebbe essere compiuto affatto».
Se ci convinciamo che tale verità proviene dalla fonte conoscitiva logica ed è stata ottenuta con un passo
legittimo, allora il sistema dell’ideografia deve essere demolito e sostituito con un altro.», C. CELLUCCI, 1998, Le
ragioni…, op. cit., p. 211.
10
«Completezza in senso metasistemico. Un sistema concettuale chiuso si dice completo in senso metasistemico
se permette di dimostrare non solo tutti i risultati noti, ma tutti i risultati possibili nel campo della matematica
corrispondente. Questa è la nozione di completezza di Hilbert. A suo parere, la completezza in senso empirico è
inadeguata perché permette solo di «affermare su base empirica che in tutte le applicazioni questo sistema di
assiomi ha sempre avuto successo». Ciò non fornisce alcuna prova conclusiva dell’adeguatezza degli assiomi.
Perciò la nozione di completezza in senso empirico è insoddisfacente e dev’essere rimpiazzata con quella di
completezza in senso metasistemico. Più precisamente, secondo Hilbert, la completezza deve essere intesa nel
senso forte che un sistema è completo quando, aggiungendogli come assioma un enunciato non dimostrabile in
esso, si ottiene un sistema incoerente.», C. CELLUCCI, 1998, Le ragioni…, op. cit., p. 212.
11
Cfr. A. COMTE, 1830-1842, Cours de philosophie positive, Paris, Bachelier, (trad. it. parz. a cura di F.
FERRAROTTI) Corso di Filosofia Positiva, Torino, UTET, 1967; E. DURKHEIM, 1895-1901, Les règles de la
méthode sociologique, Paris, F. Alcan, trad. it. di F. Airoldi Namer Le regole del metodo sociologico, Milano,
Edizioni di Comunità, 1996; E. DURKHEIM, 1924, Sociologie et philosophie, Paris, F. Alcan, trad. it. di F. Airoldi
Namer Sociologia e filosofia, Milano, Edizioni di Comunità, 1996.
12
Cfr. M. WEBER, 1958, Il metodo delle scienze storico-sociali, a cura di P. Rossi, Torino, Einaudi; M. WEBER,
1922, Wirtschaft und Gesellschaft, Tübingen, Mohr, trad. it. Economia e società, Milano, Edizioni di Comunità,
1999.
13
Cfr. A. SCHÜTZ, 1973, Collected Papers. Vol. I. The problem of Social Reality, The Hague, Martinus Nijhoff;
A. SCHÜTZ, Collected Papers. Vol. II. Studies in Social Theory, The Hague, Martinus Nijhoff; A. SCHÜTZ,
Collected Papers. Vol. III. Studies in Phenomenological Philosophy, The Hague, Martinus Nijhoff.
14
Cfr. H. BLUMER, 1969, Symbolic Interactionism, Berkeley, University of California Press.
Cfr. F. LAUDISA, 1999, Causalità, Roma, Carocci.
16
Cfr. J. KIM, 1969, Events and Their Descriptions: Some Considerations, in N RESCHER (ed.), 1969, Essays in
Honor of Carl G. Hempel, Dordrecht, Reidel, pp. 198-215; J. KIM, 1973, Causations, Nomic Subsumption and
the Concept of Event, in “Journal of Philosophy”, 70, pp. 570-572; J. KIM, 1976, Events as Property
Exemplifications, in M. BRAND, D. WALTON (eds.), Action Theory, Dordrecht, Reidel, pp. 159-177.
17
Sarà chiaro in seguito come la tripla oggetto, proprietà, tempo, verrà ad essere modificata nelle sue
determinazioni strutturali da una differente connotazione logica.
18
Cfr. E. MORIN,1977, La Méthode. 1. La Nature de la Nature, Paris, Éditions du Seuil, trad.it. di G. Bocchi, A.
Serra, Il metodo. 1. La natura della natura, Milano, Raffaello Cortina, 2001
19
Cfr. A. M. CHIESI, 1999, L’analisi dei reticoli, Milano, Franco Angeli.
20
«Tutte le pratiche umane hanno carattere intersoggettivo, ma gli abiti non linguistici ricapitolano meno
intersoggettività pregressa di quelli linguistici.», D. GAMBARARA, Nota sull’articolo precedente. Stazione eretta,
abiti e linguaggio, in “Bollettino Filosofico”, 16, 2000, pp. 318-329, p. 328.
21
« Sia P un processo che, in assenza di interazioni con altri processi, rimarrebbe uniforme rispetto ad una
caratteristica Q che si manifesterebbe consistentemente lungo un intervallo che include i punti dello spaziotempo
A e B (A$B). Allora, un marchio (cioè una modifica di Q in Q’) che è stato introdotto in un processo P per
mezzo di una singola interazione locale al punto A, è trasmesso al punto B se P manifesta la modifica Q’ a B e in
tutti gli stadi del processo tra A e B senza interventi aggiuntivi.», W. SALMON, 1984, Scientific Explanation and
the Causal Structure of the World, Princeton, Princeton University Press, p. 148 trad. it. in F. LAUDISA,
Causalità, op. cit., p. 97.
22
A. GIVIGLIANO, 2000, Fuzzy Logic, Analogy and Methods of Research: A Complex Multidimensional
Approach, in J. BLASIUS, J. HOX, E. DE LEEUW, P. SCHMIDT (eds.), 2000, Social Science Methodology in the
New Millennium. Proceedings of the Fifth International Conference on Logic and Methodology, Köln, TTPublikaties, (CD-ROM).
23
All’interno della definizione di rete sociale complessa sono chiaramente identificabili i 3 principi della
complessità delineati da E. Morin, cfr. E. MORIN,1977, La Méthode. 1…, op. cit.; come anche la struttura frattale
della stessa rete cfr. B. B. MANDELBROT, 1975, Les objects fractal: forme, hasard et dimension, Paris,
Flammarion, trad. it. Gli oggetti frattali. Forma, caso e dimensione, Torino, Einaudi, 1987.
24
cfr. E. MORIN,1977, La Méthode. 1…, op. cit.
25
L. A. ZADEH, 1965, Fuzzy Sets, in “Information and Control” 8, pp. 338-353.
26
Entropia parole chiave nella analisi tradizionale dei sistemi chiusi e di quelli aperti, «In un sistema fisico
chiuso lo stato finale del sistema è completamente determinato dalle sue condizioni iniziali, perciò vi è una
rigida connessione tra le condizioni iniziali e lo stato finale. Un aspetto di tale connessione è dato dal secondo
principio della termodinamica, che trae origine dall’osservazione che in ogni processo meccanico macroscopico
una parte dell’energia viene dissipata sotto forma di calore. In base a tale osservazione Clausius introdusse il
concetto di entropia come dissipazione di calore. Formulato in termini di tale concetto, il secondo principio della
termodinamica stabilisce che, in un sistema fisico chiuso, l’entropia del sistema continua a crescere tendendo a
un massimo. Tale massimo corrisponde a uno stato di equilibrio del sistema, il suo stato finale, in cui non si
verificano più cambiamenti delle sue caratteristiche macroscopiche.», C. CELLUCCI, 1998, Le ragioni…, op. cit.,
p. 193.
27
ordine e disordine coesistono all’interno di questa dinamica complessa, non ci potrebbe essere il primo senza il
secondo contemporaneamente dal primo nasce il secondo.
28
Interessante notare cosa scriveva Platone «STRANIERO: «Quando diciamo il «non-ente», come sembra, non
diciamo qualcosa di contrario all’ente, ma soltanto qualcosa di diverso.» TEETETO: «Come?»
STRANIERO«Per esempio, quando diciamo qualcosa «non-grande», ti sembra che in tal caso noi esprimiamo
con questa espressione il piccolo piuttosto che l’uguale?» TEETETO: «E come?» STRANIERO: «Quando si
dica che una negazione significa opposizione noi non lo concederemo, ma <ammetteremo> soltanto questo, [C]
che le particelle negative, preposte, indicano qualcosa d’altro rispetto ai nomi che le seguono, o meglio, rispetto
alle cose a cui si riferiscono i nomi pronunciati dopo la negazione.» TEETETO: «Proprio così» STRANIERO:
«Riflettiamo su questo, se anche tu sei del medesimo parare.» TEETETO:«Su che cosa?» STRANIERO: «A me
sembra evidente che la natura del diverso sia articolata come la scienza.», PLATONE, Sofista, in PLATONE. TUTTI
GLI scritti, a cura di G. Reale, Milano, Bompiani, 2000, 257B-257C.
15
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