11.1 In un circuito trifase con carico equilibrato a stella le correnti di linea si ricavano con le formule (11.11) del libro. In questo caso l’impedenza è 20+j10 = 500 ∠26,56°; sostituendo si ricava: V I rms = rms ≅ 9,84 A; gli angoli sono -26.56°, -146.56°, 93.44°. ZL 11.2 Il modulo dell’impedenza è 220/2,95 = 74,57 Ω; l’angolo è 57,5°. Pertanto Z = 74,57 cos(57,5°) + j 74,57 sen(57,5°) = 40 + j 62,9 Ω. 11.3 La resistenza di linea è in serie all’impedenza di carico che diventa 4+j10 = 10,77∠68° Ω. Quindi Ia = 20,42∠-68° A rms, Ib = 20,42∠172° A rms, Ia = 20,42∠52° A rms. 11.5 L’impedenza di carico è 10+j5 = 11,18∠26,56° Ω. Le correnti di linea sono il triplo di quelle che si avrebbero con il carico a stella, quindi: V I rms = 3 rms ≅ 33,5 A; gli angoli sono gli stessi -26.56°, -146.56°, 93.44°. ZL 11.7 Con la trasformazione triangolo-stella si ottiene una stella di impedenza 10 − j10 Ω. L’impedenza di linea è in serie, quindi l’impedenza complessiva è 11−j9 = 14,2∠-39,3° Ω. Il valore efficace delle tensioni di fase è 380/ 3 = 219,4 V. Quindi V I rms = rms ≅ 15,45 A; gli angoli sono 39.3°, -80.7°, 159.3°. ZL 11.8 Con la trasformazione triangolo-stella si ottiene una stella di impedenza 1+ j Ω. L’impedenza di linea è in serie, quindi l’impedenza complessiva è 2+j = 5 ∠26,56° Ω. Il valore efficace delle tensioni di fase è 380/ 3 = 219,4 V. Quindi 219,4 2 I rms = ; P = 3 I rms = 28,9 kW 5 11.9 Trasformando il triangolo in stella, e collegando le stelle in parallelo, si ottiene una stella equivalente di impedenza (5/3)//(10+j10): 50 (1 + j ) 10(1 + j ) 10 2 ∠45°−40,6° = 1,533∠4,4° Ω ZL = 3 = = 5 85 7 + j6 + 10 + j10 3 V I rms = rms ≅ 143,5 A; gli angoli sono -4.4°, -124.4°, 115.6°. ZL 11.10 Trasformando il triangolo in stella si ottiene un carico a stella con impedenza Z = (8+j10π)/3 Ω. Aggiungendo la resistenza di linea in serie si ottiene una stella di impedenza Z’ = (14+j10π)/3 Ω. Il modulo di Z’ è 11,46; l’angolo è circa 66°. Con le formule (11.11) del libro si ottiene: 1 Ia = 220 ∠-66° = 19.2 ∠-66° A rms, Ib = 19.2 ∠174° A rms, Ic = 19.2 ∠54° A rms] 11,46 11.13 Poiché le stelle sono equilibrate, i centri stella sono allo stesso potenziale, quindi le impedenze sono in parallelo: ZL = Z1//Z2 = 7,184∠55,2° Ω. V I rms = rms ≅ 30,62 A; gli angoli sono -55.2°, -175.2°, 64.8°. ZL 11.14 Alla linea sono collegati una stella ed un triangolo equilibrati. Conviene trasformare il triangolo in stella, con impedenza equivalente 1+j5 Ω. Combinando le stelle in parallelo abbiamo ZL = (1+ j5)//(1- j) = 1,61∠−29,74° Ω. V gli angoli sono 29.74°, -90.26°, 149.74°. I rms = rms ≅ 136,6 A; ZL 11.15 Le tensioni richieste si ricavano facilmente trasformando il triangolo in stella (figura seguente). a 2 + j4 Ia A + - Va (10−j20)/3 n Vc + n’ Vb + (10−j20)/3 b 2 + j4 Ib B Ic C (10−j20)/3 2 + j4 c Ia = Va ZL Ib = Vb ZL Ic = Vc ZL dove ZL = 8(2–j)/3 Ω è la somma delle due impedenze in serie. La tensione VAB è 10 − j 20 V AB = (I a − I b ) = H (Va − Vb ) = HVab 3 5 − j10 5 dove H = = ∠ − 36,87° . 4( 2 − j ) 4 Sostituendo l’espressione di Vab si ricava 5 V AB = H Vab = 3 ×220∠ -36,87°+30° ≅ 476∠-6,8° V rms 4 Analogamente si ricavano le altre due tensioni. 2 11.16 Va Vc Va − Vc − = . ZL ZL ZL Il fasore Va – Vc può essere ricavato facilmente per via grafica (figura seguente). Consideriamo ad esempio la corrente Ia; per la LKC abbiamo Ia = Iab – Ica = Vc Im Va 30° 60° -Vc Re Va -Vc Indicando con Vm il modulo dei vettori Va e Vc, abbiamo: Va − Vc = 2Vm sen(60°) = Vm 3 . Quindi Im = 3 Vm . ZL 11.18 Si usa la formula P = 3 Vl I l cos ϕ. Sostituendo i valori dati abbiamo I l = 20 × 10 3 0,7 × 250 3 ≅ 66 A. 11.20 ZL = 4 + j10 = 10,77∠68,2° Ω. I valori efficaci della tensione e della corrente di ogni bipolo sono legati dalla relazione Vf =10,77 If, inoltre cos ϕ = cos (68,2°)= 0,37. La potenza media è P = 3 Vf If cos ϕ = 11,95 If2 = 8 kW ⇒ I f = 25,87 Α. Nel carico a stella I l = I f , mentre Vl = V f 3 = 10,77×25,87× 3 = 482,6 V. 11.22 La potenza assorbita dal carico è P = 3 Vl I l cos ϕ ; sostituendo i valori dati si ricava I l = 168,8 A. La potenza dissipata sulla linea è 3×0,8× I l2 = 68,4 kW. 11.23 Il bipolo L//C è in risonanza alla pulsazione di 400 rad/s perciò equivale ad un c. aperto. La corrente I è uguale a V/(R+ jωL1); sostituendo i valori dati si ricava 250 I rms = = 0,58 Α 160 2 + 400 2 2 P = RI rms = 53,9 W 3 + V − I L C L1 R I 11.24 Circuito simbolico. Ia 200∠0° + − 10 n 200∠120° a − − + 200∠-120° + Ib 8 j1,57 j3,14 Iab b Ica c Ibc 10 -j3,183 Ic Utilizzando le formule (11.7) del libro si ricavano facilmente le correnti di fase: I ab = Vab 220 3e j 30° = 37,64∠21° A rms = 10 + j1,57 10 + j1,57 I bc = Vbc 220 3e − j 90° = = 36,31∠-72,34° A rms 10 − j 3,183 10 − j 3,183 I ca = Vca 220 3e j150° = = 44,34∠128,57° A rms 8 + j 3,14 8 + j 3,14 Quindi le correnti di linea si ricavano con la LKC: Ia = Iab – Ica = 37,64 cos(21°) – 44,34 cos(21°) + j[37,64 sen(21°) – 44,34 sen(128,57°)] = 62,78 - j 21,18 = 66,25∠-18,64° A rms Ib = Ibc – Iab = 36,31 cos(-72,34°) – 37,64 cos(21°) + j[36,31 sen(-72,34°) – 37,64 sen(21°)] = -24,12 - j 48 = 53,7∠-116,7° A rms Ic = Ica – Ibc = 44,34 cos(128,57°) – 36,31 cos(-72,34°) + j[44,34 sen(128,57°) – 36,31 sen(-72,34°)] = -38,66 + j 69,26 = 79,3∠119,2° A rms 4 11.25 Le correnti di linea si ricavano facilmente con la legge di Ohm: Ia = Va 220 = 110(1 + j ) = 1− j 1− j 1 Vb 220e − j120° 220 = = (1 − j 2) − − j 2 + j4 2 + j4 10 2 1 Vc 220e j120° 220 = = Ic = (1 − j 2) − + j 3 + j6 3 + j6 15 2 Ib = 110 3 =− (1 − j 2)(1 + j 3 ) 10 2 110 3 =− (1 − j 2)(1 − j 3 ) 15 2 Infine con la LKC si ottiene: I n = −(I a + I b + I c ) ≅ 161∠-119° A rms 11.26 La capacità di rifasamento per una stella di condensatori si ricava con la formula (11.39a) del libro: P (tan ϕ1 − tan ϕ 2 ) CS = u ωVl2 Abbiamo: tan ϕ1 = Q/Pu = 0,8; ϕ2 = cos-1(0,9) = 25,84° ⇒ tan ϕ2 = 0,484: 10 4 (0,8 − 0,484) = 69,6 µF 100π 380 2 Nel caso del triangolo la capacità è un terzo di CS. CS = 5