MECCANICA dei FLUIDI

MECCANICA dei FLUIDI
La meccanica dei fluidi si occupa dello studio di liquidi e aeriformi in quiete o in movimento.
- L’IDROSTATICA studia le leggi che regolano lo stato dei liquidi in quiete.
- L’IDRODINAMICA studia i liquidi in moto.
- L’AEROSTATICA studia le condizioni di equilibrio degli aeriformi.
- L’AERODINAMICA studia il moto negli aeriformi.
IDROSTATICA
Per enunciare le leggi si considera un liquido perfetto; cioè un liquido che ha queste tre proprietà:
- fluidità: nei liquidi le molecole sono legate tra loro da forze di coesione minori che
nei solidi. Ciò permette agli strati di molecole dei liquidi di scorrere gli uni sugli
altri. Esistono liquidi più fluidi (acqua, alcool, benzina) e altri meno fluidi (gli oli
lubrificanti e sostanze affini); questi ultimi si dicono viscosi, infatti la viscosità è la
proprietà opposta della fluidità.
- incomprimibilità: sottoponendo un liquido anche a forti pressioni il suo volume
subisce variazioni molto piccole, cioè i liquidi hanno volume proprio. Nella
trattazione teorica si considerano liquidi perfettamente incomprimibili.
- elasticità: è facile modificare la forma di un liquido per esempio immergendovi un
oggetto, ma appena l’oggetto viene rimosso, la forma del liquido torna identica a
quella iniziale.
SUPERFICIE LIBERA DEI LIQUIDI
I liquidi assumono la forma del recipiente che li contiene; normalmente una parte del liquido, quella
che non è a contatto del recipiente, rimane libera. Questa superficie libera viene detta superficie di
livello: essa è perpendicolare in ogni suo punto alla direzione del filo a piombo.
PRESSIONE
Ogni forza, agendo perpendicolarmente su una superficie, esercita una pressione:
p=
F⊥
s
, cioè la
pressione è direttamente proporzionale alla componente della forza ortogonale alla superficie e
inversamente proporzionale alla superficie stessa.
N
L’unità di misura della pressione nel S.I. è il Pascal: 1 2 = 1 P a .
m
Esistono altre unità di misura storiche della pressione: atm, torr, bar, millibar, adottate in ambiti
specifici.
PRINCIPIO DI PASCAL
Se si esercita dall’esterno una forza su una porzione di superficie di un
liquido in quiete, la pressione così generata si trasmette inalterata a tutti
i punti del liquido.
Così il liquido eserciterà questa stessa pressione sulle pareti del
recipiente: questa pressione si manifesta come una forza perpendicolare
a ogni porzione di superficie considerata.
p=
F
s
F1 = ∆s ⋅ p
∆S1
F1
1
TORCHIO IDRAULICO
Si utilizza per ottenere una forza grande applicandone una piccola.
F1
S2
S1
F2
Sfrutta il principio di Pascal: p =
F1
F
; p= 2
S1
S2
F1 F2
=
S1 S 2
F2 =
S2
F1 quindi F2 >> F1 .
S1
PRESSIONE IDROSTATICA – LEGGE DI STEVINO
Una pressione si sviluppa spontaneamente in un liquido per effetto del peso degli strati superiori su
quelli inferiori: tale pressione si dice pressione idrostatica.
S
h
V
_____________
Calcoliamo la pressione idrostatica a profondità h. Ricordiamo le
relazioni tra peso specifico, peso, massa, densità.
m = d ⋅V
P = psV
P = mg
P ps
=
=g
m d
P = ps ⋅V = dgV = dgSh
p=
dgSh
= dgh
S
La pressione idrostatica è direttamente proporzionale alla densità
del liquido e alla profondità.
Se pratico una serie di fori in un recipiente, ad altezze diverse, la
forza di uscita del getto aumenterà man mano che scendo verso il
fondo, poiché la pressione aumenta con la profondità.
Poiché in genere si aggiunge alla pressione idrostatica la pressione atmosferica agente sulla
superficie del liquido si avrà che:
p = patm + dgh .
PRINCIPIO DEI VASI COMUNICANTI
Nel caso si abbiano dei recipienti tra loro
comunicanti, anche di diversa forma, contenenti lo
stesso liquido, il livello raggiunto dal liquido nei
vasi è sempre lo stesso.
Ipotizziamo che il livello del liquido in due vasi comunicanti sia
diverso.
La pressione idrostatica genera due forze sulla superficie S, una
da destra e una da sinistra, ortogonali ad S.
1
S
2
2
p1 = dgh1
p2 = dgh2
F1 = dgh1S
F2 = dgh2 S
essendo h1>h2 anche F1>F2. La risultante delle forze sarà parallela e concorde a F1.
Essa tenderà a far spostare il liquido dal vaso di sinistra al vaso di destra, fino a che le due forze
saranno uguali in modulo, cioè fino a quando le due altezze saranno uguali.
Nel caso di liquidi non miscibili le altezze che i due liquidi raggiungono nei due vasi, in situazione
di equilibrio, sono inversamente proporzionali alle densità: F1 = F2 → d1h1 = d 2 h2
h1 d 2
=
.
h2 d1
PRINCIPIO DI ARCHIMEDE
Un liquido esercita su un corpo in esso immerso una spinta, applicata nel baricentro del corpo,
diretta verticalmente verso l’alto, pari al peso del volume di liquido spostato.
F A = p slV C
Considero un corpo cilindrico immerso in un liquido. La pressione p1 sulla superficie superiore sarà
minore di quella p2 sulla superficie inferiore, quindi F2>F1.
superiore
F1 = p1 ⋅ S
F1 = dgh1 ⋅ S
inferiore
F2 = p2 ⋅ S
F2 = dgh2 ⋅ S
Le forze agenti sulla superficie laterale si annullano a coppie per la simmetria
della figura. La forza di Archimede è la risultante tra F1 e F2, quindi è diretta
verso l’alto.
FA = F2 − F1
ma dg = ps e
FA = dgh2 S − dgh1S
FA = p Sl ⋅ S ⋅ ( h2 − h1 ) = p SlVC
infatti
h2 − h1 = altezzaCilindro
Sh = Volum eC ilindro
CONDIZIONI DI GALLEGGIAMENTO
Consideriamo un corpo pieno immerso in un liquido. Su di esso agiscono due forze che
raffiguriamo applicate nel baricentro: la forza peso e la forza di Archimede.
____________________ CASO 1: Peso > Forza di Archimede, cioè
peso specifico del corpo > peso specifico del liquido.
In tal caso la risultante delle forze è rivolta verso il basso, il
corpo affonda.
CASO 2: Forza di Archimede > Peso, cioè
peso specifico del liquido > peso specifico del corpo
In tal caso la risultante delle forze è rivolta verso l’alto, il
corpo galleggia.
CASO 3: Peso = Forza di Archimede
peso specifico del liquido = peso specifico del corpo.
Si parla di equilibrio indifferente, il corpo sta in qualunque posizione venga messo all’interno del
liquido, è come se fosse composto del liquido stesso.
3
GALLEGGIAMENTO: percentuale di corpo immersa.
Se il corpo galleggia, la Forza di Archimede > Peso.
Essendo il corpo in equilibrio quando emerge in parte dalla superficie
del liquido, le due forze agenti devono comunque essere uguali e
opposte. Il peso del corpo sarà allora uguale alla forza di Archimede
agente sulla sola parte immersa nel liquido..
psc ⋅ Vc = psl ⋅ Vimm
Vi
ps
= c
Vc
psl
Se il corpo presenta delle cavità, il peso dipenderà non dall’intero volume esterno ma dal volume
“pieno” o “pesante”. Quindi :
Vi
ps
= c.
V p psl
FORZE AGENTI TRA LE MOLECOLE DI UN LIQUIDO
Oltre alla forza di gravità, all’interno di un liquido, agiscono altri tipi di forze dette di coesione e di
adesione.
Le forze di coesione sono forze attrattive che tendono a tenere le molecole del liquido compatte. (Se
sono trascurabili siamo in presenza di un aeriforme, se sono molto alte siamo in presenza di un
solido. Nei liquidi hanno valori intermedi e fanno sì che il liquido abbia volume proprio ma non
forma propria).
Le forze di adesione sono forze attrattive fra le molecole del liquido e le pareti del recipiente;
tendono ad allontanare le molecole della superficie fra loro per attirarle verso le pareti del
recipiente.
• Le forze di coesione sono evidenti in vari fenomeni: formazione di gocce, bolle di sapone, il
fatto che la superficie del liquido si comporti come una membrana tesa.
• Le forze di adesione si notano osservando la forma che assume per esempio l’acqua ai bordi
della superficie libera.
Possiamo dividere i liquidi in due tipi.
A. Liquidi che bagnano le pareti del recipiente: in questi casi le forze di adesione sono più grandi di
quelle di coesione e la superficie libera in un recipiente è concava vicino alla parete (acqua).
B. Liquidi che non bagnano le pareti del recipiente: le forze di coesione sono maggiori di quelle di
adesione e la superficie libera ha forma convessa vicino alla parete (mercurio).
Queste caratteristiche sono ancora più accentuate nei vasi capillari (del diametro di 1 mm o meno)
dove la superficie libera assume forma di menisco concavo o convesso. Inoltre nei vasi capillari non
vale il principio dei vasi comunicanti.
I liquidi che bagnano le pareti
raggiungono un livello più
alto nei capillari.
I liquidi che non bagnano le pareti,
nei capillari, raggiungono livello più
basso che negli altri vasi.
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IDRODINAMICA
Studia le proprietà del moto di liquidi in tubi o condotte.
Legge di CASTELLI o equazione di continuità
Consideriamo un liquido, che, a regime, scorre in un tubo, senza turbolenze, in modo che ogni
sezione del condotto è attraversata dal liquido con una velocità media v.
Si definisce portata in volume del liquido nel condotto il rapporto fra il
volume del liquido che passa in una data sezione del tubo e il tempo impiegato
ad attraversarla (analogamente: il volume di liquido che attraversa la sezione
nell’unità di tempo); essa è anche uguale al prodotto della sezione per la
velocità.
∆V A ⋅ ∆s
La portata è P =
=
= A⋅v
∆t
∆t
m3 litri
Si misura in
;
.
s
s
In condizioni di regime, la portata è costante, di conseguenza le velocità del liquido, in un condotto
a sezione variabile, sono inversamente proporzionali alle aree delle sezioni del condotto.
A1 v2
=
A2 v1
A1v1 = A2 v2
Teorema di BERNOULLI
Il teorema di Bernoulli è il principio di conservazione dell’energia per l’idrodinamica.
Consideriamo una massa ∆m di liquido, che si sposta in un tubo di sezione variabile e con un
dislivello, in due momenti diversi del suo percorso. Nei due punti considerati il liquido avrà, in
generale, pressioni e velocità diverse. Essendo il volume ∆V costante (il liquido è incomprimibile),
variando la sezione, varierà anche ∆x , cioè la lunghezza della porzione di liquido considerata.
Per il teorema dell’energia cinetica, la variazione di
1
1
energia cinetica, ∆K = ∆m ⋅ v22 − ∆m ⋅ v12 , è uguale
2
2
al lavoro totale svolto dalle forze agenti: forza di
gravità, forze di pressione.
L1 = ∆m ⋅ gh1 − ∆m ⋅ gh2
L2 = p1S1∆x1 − p2 S 2 ∆x2
S1∆x1 = S 2 ∆x2 = ∆V elementodivolume
∆K = L1 + L2
∆V =
∆m
ρ
∆/m
/ ⋅ gh1 − ∆/m/ ⋅ gh2 + p1
∆/m
/
ρ
1
2
− p2
∆/m/
ρ
=
1
1
2
2
∆/m
/ ⋅ v2 − ∆/m
/ ⋅ v1
2
2
1
2
ρ gh1 + p1 + ρ v12 = ρ gh2 + p2 + ρ v22
da cui, essendo le posizioni 1 e 2 scelte a caso, si evince che: p + ρ gh +
1 2
ρ v = cos tan te .
2
5
Nei diversi punti del condotto è costante la somma della pressione piezometrica, della pressione
cinetica e della pressione di gravità.
Nel caso in cui nel condotto non vi siano variazioni di altezza, il teorema si riduce a
1
p + ρ v 2 = cos tan te ; questo implica che, se la velocità aumenta, la pressione diminuisce.
2
Sappiamo dalla legge di Castelli che la velocità è maggiore dove la sezione è più piccola, quindi la
pressione è più bassa dove il tubo ha dei restringimenti, a differenza di quanto si potrebbe ipotizzare
intuitivamente (paradosso idrodinamico).
Vedi pag. 464 del libro per alcune applicazioni del teorema.
Teorema di TORRICELLI
La velocità di effluvio di un liquido da un foro è pari alla velocità che acquisterebbe la massa di
liquido cadendo dall’ altezza h. E’ facile dimostrarlo applicando il teorema di Bernoulli.
v = 2gh
Vedi libro pag. 466.
REAZIONE DEL GETTO FLUIDO
La forza con cui un getto fluido esce da un foro è proporzionale alla densità del fluido, alla sezione
del foro e al quadrato della velocità di efflusso: F = ρ Av 2 .
Per il principio di azione e reazione, se il contenitore del fluido è libero di muoversi, esso sarà
spinto in avanti con una forza uguale opposta. Questa è la base del funzionamento di un motore a
reazione.
∆q
F=
∆t
∆q = ∆(mv)
seconda legge della dinamica
m = ρ∆V
ρ∆Vv
F=
= ρ Pv = ρ ( Av)v
∆t
quindi F = ρAv , avendo considerato v costante ed m e V variabili.
2
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AEROSTATICA
L’aerostatica studia il comportamento di gas e vapori in situazione di equilibrio. I gas in condizioni
normali sono sotto forma di aeriforme; i vapori invece, in condizioni normali, sono liquidi.
Le caratteristiche dell’aeriforme perfetto sono:
- FLUIDITA’: gli aeriformi sono molto più fluidi dei liquidi, nel senso che le forze di coesione delle
molecole sono trascurabili.
- COMPRIMIBILITÀ ed ESPANDIBILITÀ: un aeriforme non ha né forma né volume propri e
tende ad occupare tutto lo spazio a sua disposizione. Viceversa, anche applicando forze di scarsa
intensità, è possibile diminuire o aumentare il volume di un aeriforme.
- ELASTICITÀ: è possibile cambiare la forma che un aeriforme acquisisce in un recipiente,
applicando una forza, ma, al cessare di questa, l’aeriforme riprende la forma iniziale.
Per gli aeriformi valgono, come per i liquidi, il principio di Pascal e la legge di Archimede. Non
vale la legge di Stevino. La pressione atmosferica, ad esempio, varia con l’altitudine con legge più
complessa. La pressione atmosferica è la pressione esercitata dal peso dello strato di aria che
circonda la Terra. Esso è alta circa 500 km, ma è molto più densa nei primi 100 km.
Esperimento di TORRICELLI
Torricelli misurò la pressione atmosferica ideando un celebre
esperimento.
Rovesciò una canna barometrica piena di mercurio, tenendola
inizialmente tappata, in una bacinella, anch’essa contenente
mercurio. Osservò che rimanevano 76 cm di mercurio nel
tubo; alla base della colonna di mercurio, sulla sua sezione S,
agiscono da una parte il peso del mercurio presente nella
canna (verso il basso), dall’altra la forza generata dalla
pressione dell’aria sulla superficie libera del mercurio (verso
l’alto). Le due forze si uguagliano in modulo quando l’altezza
del mercurio è di 76 cm, consentendo al liquido di stare in
equilibrio. Agendo entrambe le forze sulla medesima superficie S (la sezione della canna), saranno
uguali le pressioni esercitate.
La pressione atmosferica è cioè uguale alla pressione idrostatica di 76 cm di mercurio:
patm = dgh = 1atm = 101325 Pa = 760Torr = 760mmHg = 76cmHg al livello del mare.
L’esperimento fece scalpore soprattutto in quanto nella parte sovrastante il mercurio si era generato
il vuoto assoluto. Se ne discusse molto in ambito filosofico e teologico, dove molti studiosi
sostenevano ancora la teoria aristotelica dell’Horror vacui (la natura rifugge il vuoto).
BAROMETRI E MANOMETRI
Esistono due tipi di strumenti per la misura della pressione: i barometri per misurare la pressione
atmosferica e i manometri per misurare la pressione degli aeriformi in un recipiente.
AERODINAMICA
Studia le forze che intervengono nel moto relativo tra un fluido aeriforme e un corpo solido.
Gli esperimenti relativi, infatti, vengono spesso svolti nelle gallerie del vento, dove il corpo solido è
fermo ed è il fluido a muoversi..
Per basse velocità la legge che descrive la forza di attrito che oppone un fluido viscoso al moto di
un oggetto in esso è nota come legge di Stokes:
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F = Kη v
dove K è un coefficiente che dipende dalla forma geometrica del corpo, η è il coefficiente di attrito
viscoso tra il solido e il fluido considerato, v è la velocità con cui si muove il corpo. La forza di
attrito , quindi a differenza dell’attrito solido-solido, aumenta con la velocità.
Nel caso di un corpo sferico, si ha:
F = 6π rη v .
Se il corpo è in caduta nel fluido, il corpo accelera a causa della gravità, la forza di attrito viscoso
aumenta fino a che la forza peso è uguagliata dalla forza di attrito. In realtà l’uguaglianza delle due
forza è ottenuta solo dopo un tempo infinito, ma in pratica le due forza differiscono, da un certo
momento, di un termine trascurabile. Il copro quindi, da un certo istante, cade di moto pressoché
mg
uniforme con velocità v =
.
6π rη v
(per approfondimenti vedi paragrafo 9 pag. 467, per futuri medici…) e:
[Quando un corpo si muove all'interno di un fluido (liquido o gas) è soggetto ad una forza di attrito dovuta
all'interazione del corpo con le molecole del fluido. Tale forza di attrito è legata ad un numero adimensionale detto
numero di Reynolds
in cui
è la dimensione caratteristica dell'oggetto, nel caso di un sistema isotropo (uguale in tutte le direzioni) il
raggio della sfera,
la sua velocità scalare,
la densità del fluido e
la viscosità del fluido.
Se il corpo si muove a bassa velocità, nel flusso prevalgano le forze di viscosità rispetto a quelle d'inerzia (regime di
Stokes), ovvero per
, allora la forza di attrito è proporzionale alla velocità del corpo nel fluido; nel caso di una
sfera, la forza di attrito è data in questo caso dalla legge di Stokes,
Se la velocità del corpo è superiore,
fluido è detto laminare fino a
, le forze d'inerzia prevalgono rispetto alla viscosità ed il moto relativo del
oppure turbolento per
.
In tale caso è possibile approssimare la forza di attrito con la formula
dove S è l'area della sezione frontale del corpo e cr un coefficiente aerodinamico di resistenza (adimensionale) che tiene
conto della forma e del profilo del corpo in moto nel fluido. I valori di cr riportati per una sfera variano tra 0,4 e 0,5,
mentre si hanno valori maggiori di 1 per oggetti di forma irregolare. Per un profilo alare cr può anche essere
significativamente minore di 0,1. La velocità in questo caso è lungo l'asse della direzione di avanzamento principale e
è proporzionale all'angolo di attacco del mezzo.]
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