Elementi sulle diseguaglianze tra numeri relativi

1
disequazioni
Elementi sulle diseguaglianze tra numeri relativi
Dati due numeri disuguali a e b risulta a>b oppure a<b a seconda che sia a-b>o oppure a-b<0
e viceversa.
Valgono inoltre le seguenti affermazioni:
aggiungendo ad ambedue i membri di una diseguaglianza uno stesso numero, si ottiene
una diseguaglianza dello stesso senso; cioè se per esempio è
a>b
è anche
a+m>b+m
qualunque sia il numero m.
•
•
due disuguaglianze dello stesso senso si possono addizionare tra loro ad ottenere una
disuguaglianza dello stesso senso ovvero:
se
a>b
e
c>d
si ottiene
a+c>b+d
•
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disuguaglianza per uno stesso numero
positivo, si ottiene una disuguaglianza dello stesso senso, quindi se m è un numero
positivo e a>b allora
ma>mb.
•
Moltiplicando o dividendo i due membri di una disuguaglianza per uno stesso numero
NEGATIVO, si ottiene una disuguaglianza di senso CONTRARIO, quindi se m è un
numero negativo e a>b allora
ma<mb.
•
Due diseguaglianze dello stesso senso tra numeri positvi moltiplicate membro a
membro danno una diseguaglianza dello stesso senso, perciò se vale
a>b
e
c>d
segue
ac>bd
•
Se a e b sono entrambi positivi o entrambi negativi dalla diseguaglianza a>b si deduce
che
1 1
<
a b
e da a<b che
1 1
>
a b
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disequazioni
•
•
Elevando a potenza (positiva e intera) i due membri di una diseguaglianza fra numeri
positivi si ottiene una diseguaglianza dello stesso senso ovvero
se a>b allora
an>bn
se a<b allora
an<bn
Elevando a potenza i due membri di una disuguaglianza tra numeri negativi si ottiene
una diseguaglianza dello stesso senso se n è positivo e dispari, di senso contrario se n è
pari, ovvero:
se a>b allora
an>bn
se n è dispari
an<bn
•
se n è pari.
Se m>n ed a è un numero positivo diverso da 1 allora vale:
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am>an
se a>1
am<an
se a<1.
3
disequazioni
Elementi sulle disequazioni di primo grado
Quando si risolve una disequazione di primo grado (l'esponente massimo della variabile x è =
ad 1) si vanno a ricercare tutti i valori assegnabili alla variabile x per i quali la disuguaglianza è
verificata. In definitiva si va a determinare una partizione dell'asse delle x in cui la
disequazione è verificata, ovvero, supponiamo di dover risolvere la disequazione
ax+b>0
con a>0, l'insieme delle soluzioni si ottiene effettuando le seguenti operazioni:
1.
si sposta la b oltre il segno > cambiando il segno (l'operazione equivale ad aggiungere
ad ambo i membri della disequazione il valore -b) ottenendo
ax>-b
2.
si dividono ambo i membri della disequazione per il coefficiente della x ottenendo
a
b
x >−
a
a
3.
che equivale a dire
x > −
b
a
graficamente il segno del binomio si riporta nel seguente modo distinguendo due casi:
o
caso a>0
X
−
b
a
+
o
caso a<0
X
−
-
b
a
+
DA RICORDARE:
SE CAMBIO IL SEGNO A TUTTI I TERMINI DELLA DISEQUAZIONE DEVO CAMBIARE IL VERSO
DELLA DISEGUAGLIANZA CIOE’ IL< DIVENTA > E VICEVERSA (ES: -3x>5
allora
3x<-5)
Esempio:
Risolvere
3x-5>2x-7
Portiamo al primo membro tutti i termini con la variabile x ed al secondo membro tutti i
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4
disequazioni
termini noti, ricordando di cambiare il segno ad ognuno dei termini che viene spostato da un
membro all'altro, si ottiene quindi
3x-2x>-7+5
da cui segue x>-2
Esercizio svolto.
Esercizi:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5(x + 2) + 1 > 2
3(x + 1) − 2 > 2x + 3
x − 2(x − 1) < 2x
7x + 15 > −6
−8x + 9 ≥ −7
1 
1
1


3
 x −  x +  − (x + 1)2 − 3(x 2 − 2) + x x 2 −  ≤ (x − 1) − x + 1
2
2
4





2
7.
1 
1 
1


2
 x − 3  + (2x + 1) − (2x − 1)(2x + 1) ≥ −1 − x 1 + x 
3
3
3 




2
2
2 
2
8


3
3 x −  + 2(− x + 1) − 3 x −  x +  ≥ (2x + 1)2 + 2x 2 (1 − x) +
3
3
3
3





1
9 x
x x
x x
9. 2 +  − 5 −  + x < 2x − (x + 3) + −
2
3
2
3
7
7
6




8.
2
2
2 
2


10. 2 x −  + 2 x −  x +  > (2x + 1)2
5
5
5




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5
disequazioni
Elementi sulle disequazioni di secondo grado
Una disequazione di secondo grado è sempre riconducibile ad una forma del tipo
ax2+bx+c > 0, oppure ax2+bx+c<0.
Per l'individuazione delle soluzioni di una disequazione di secondo grado vanno effettuate le
seguenti operazioni:
1. Si scrive l'equazione associata e si risolve applicando, quando è possibile la formula
risolutiva delle equazioni di secondo grado
2. Si studia il segno del trinomio di secondo grado tenendo presenti le considerazioni:
•
la curva rappresentata da una equazione di secondo grado è una parabola di equazione
y=ax2+bx+c con la concavità rivolta verso l'alto quando a>0, con la concavità rivolta
verso il basso quando a<0;
caso a>0
6)
se ∆=b2-4ac >0 vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e distinte x1 ed x2 che
rappresentano l'intersezione della curva descritta dal trinomio di secondo grado (la
parabola) con l'asse delle x e il segno della disequazione è rappresentato dal seguente
grafico:
2)
se ∆=b2-4ac =0 vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti x1 = x2
che rappresentano il punto di contatto della curva con l'asse delle x ed il trinomio risulta
essere sempre positivo eccetto nel punto x1 in cui si annulla (il segno del trinomio è
concorde con il segno del termine a).
Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente: vuol dire che
l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti x1 = x2 che rappresentano il punto di
contatto della curva con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre positivo
eccetto nel punto x1 in cui si annulla (il segno del trinomio è concorde con il segno del
termine a).
A cura di P. Paciulli
6
disequazioni
3)
se ∆=b2-4ac <0 vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva
non ha nessun punto di contatto con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere
sempre positivo. Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo
seguente: vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva non ha
nessun punto di contatto con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre
positivo. Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente:
caso a<0
(parabola con concavità verso il basso)
4)
se ∆=b2-4ac >0 ∆=b2-4ac >0 vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e
distinte x1 ed x2 che rappresentano l'intersezione della curva descritta dal trinomio di
secondo grado (la parabola) con l'asse delle x e il segno della disequazione è
rappresentato dal seguente grafico:
A cura di P. Paciulli
disequazioni
5)
se ∆=b2-4ac =0 vuol dire che l'equazione ha due soluzioni reali e coincidenti x1
= x2 che rappresentano il punto di contatto della curva con l'asse delle x ed il
trinomio risulta essere sempre negativo eccetto nel punto x1 in cui si annulla (il
segno del trinomio è concorde con il segno del termine a). Graficamente questa
situazione si rappresenta nel modo seguente: vuol dire che l'equazione ha due
soluzioni reali e coincidenti x1 = x2 che rappresentano il punto di contatto della
curva con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre negativo eccetto nel
punto x1 in cui si annulla (il segno del trinomio è concorde con il segno del
termine a). Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente:
6)
se ∆=b2-4ac <0 vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva
non ha nessun punto di contatto con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere
sempre negaitivo. Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo
seguente:
vuol dire che l'equazione non ha soluzioni reali e che la curva non ha nessun
punto di contatto con l'asse delle x ed il trinomio risulta essere sempre negativo.
Graficamente questa situazione si rappresenta nel modo seguente:
A cura di P. Paciulli
7
8
disequazioni
Si possono riassumere tali risultati nel seguente quadro:
>0
Soluzioni per ax2+bx+c
≥0
<0
≤0
∆>0
2 soluzioni reali e
distinte x1 e x2
+
+
x<x1 e x>x2
x≤x1 e x≥x2
x1<x<x2
x1≤x≤x2
-
∆=0 2 soluzioni
coincidenti = x1
+
+
a>0
+
Tutte le x con
x≠x1
Tutte le x
+
R
R
x1<x<x2
x1≤x≤x2
Nessuna
soluzione
Solo x=x1
Nessuna
soluzione
Nessuna
soluzione
∆<0 nessuna
soluzione
+
+
∆>0 2 soluzioni reali
e distinte
-
+
-
a<0
x<x1 e x>x2
x≤x1 e x≥x2
∆=0 2 soluzioni
coincidenti
0
-
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-
Nessuna
soluzione
Solo x=x1
Tutte le x con
x≠x1
Tutte le x
9
disequazioni
∆<0 nessuna
soluzione
-
-
-
Nessuna
soluzione
Nessuna
soluzione
R
R
Esempio:
1) Risolvere la seguente disequazione di secondo grado eseguendo le operazioni
indicate in precedenza:
Dopo aver risolto l'equazione associata si verifica che ci troviamo nel caso
a=1>0 (parabola con la concavità rivolta verso l'alto); ∆>0 (infatti abbiamo
trovato due soluzioni reali e distinte) quindi il grafico associato alla disequazione
sarà il seguente:
e le soluzioni della disequazione saranno x≤-3 e x>o=-2 in quanto in tale
intervallo i valori assunti saranno positivi che era quello che si stava cercando.
2) Risolvere la seguente disequazione di secondo grado eseguendo le operazioni
indicate in precedenza:
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disequazioni
Dopo aver risolto l'equazione associata si verifica che ci troviamo nel caso
a=1>0 (parabola con la concavità rivolta verso l'alto); ∆>0 (infatti abbiamo
trovato due soluzioni reali e distinte) quindi il grafico associato alla disequazione
sarà il seguente:
le soluzioni della disequazione sono date quindi dall'intervallo 1 ≤ x ≤ 3 ≤ x ≤ 3 in
cui il trinomio assume valori negativi, che è quanto stavamo cercando.
ESERCIZI
1. (x − 1)2 − (3x + 2)2 > −8x2
2. 4x2 ≤ 2(x − 1) (x + 3) + x(x + 3)
3. 3x 2 + 4x − 7 ≤ 0
4. 3x 2 + x − 14 ≥ 0
5. 8x 2 + 10x − 7 > 0
6. 6x 2 − 5x − 6 > 0
7. − 9x 2 − 6x − 1 ≤ 0
8. − 12x 2 − x + 1 < 0
9. − 2x 2 + 7x + 4 ≥ 0

10. 3 x +

2
1
1

 ≤  x − (x − 3)
3 
9

Elementi sulle disequazioni di grado superiore al secondo
disequazioni fratte
Una disequazione di grado superiore al secondo è sempre riconducibile ad una disequazione
data dal prodotto di due o più polinomi di primo o secondo grado. Per la determinazione del
segno di una disequazione di ordine superiore al secondo, quindi è necessario studiare il segno
di ogni polinomio facente parte del prodotto e, intervallo per intervallo applicare la regola dei
segni (ad esempio nell'intervallo I1 il polinomio 1 è positivo, il polinomio 2 è negativo risultato
il prodotto dei due polinomi sarà dato dal prodotto del segno del primo per il segno del
secondo (+*+=+, -*-=+, +*-=-, -*+=-)).
Le operazioni da effettuare per l'individuazione delle soluzioni di una disequazione di grado
superiore al secondo vanno effettuate le seguenti operazioni:
o
o
o
Si scompone l'equazione associata nel prodotto di due o più fattori di grado ≤ al secondo
Si studia il segno di ogni singolo fattore impostandolo ≥ a 0
si applica la regola per il calcolo del segno su ogni partizione dell'intervallo determinato da
ogni singolo fattore.
A cura di P. Paciulli
11
disequazioni
Per comprendere con più chiarezza le operazioni da svolgere è opportuno verificare il
procedimento da seguire mediante adeguati esempi:
•
risolvere la disequazione x³+2x²-3x<0
1) si pone x³+2x²-3x =0 e si scompone
x(x²+2x-3)=0
i due fattori individuati sono
I)
x>0
II )
x²+2x-3>0
Applicando per la I) lo studio del segno di una disequazione di primo grado si ottiene come
grafico:
applicando per la II) lo studio del segno di una disequazione di secondo grado si
ottiene:
a) x1=-3 ed x2=1 come soluzioni dell'equazione di secondo grado associata quindi ci
troviamo nel caso ∆ >0
b) a=1>0 quindi la parabola rappresentativa del trinomio di secondo grado ha la
concavità rivolta verso l'alto
c) il grafico che risulta per lo studio del trinomio sarà quindi il seguente:
A questo punto occorre verificare il segno del prodotto dei due fattori nei vari
intervalli determinati dallo studio dei singoli fattori e quindi si fa un grafico
riassuntivo in cui si applica la regola dei segni (da ricordare che il tratteggio
indica la negatività e la linea continua la positività). Si ottiene quindi il seguente
grafico riassuntivo:
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disequazioni
nel quale:
sulla riga orientata vengono riportati i valori di x in cui entrambi i fattori
ottengono come valore "0"; sulla prima riga si riporta il segno del primo fattore
(primo grafico); sulla seconda riga si riporta il segno del secondo
fattore(secondo grafico). Dopo aver eseguito lo studio del segno in ogni singolo
intervallino (ad esempio per x<-3 il primo fattore è negativo, il secondo fattore è
positivo, il prodotto tra i due sarà negativo, quindi la disequazione di partenza
sarà negativa) si riporteranno i valori ottenuti.
Per la scrittura della soluzione della disequazione occorrerà controllare il segno
che doveva assumere la disequazione di partenza
x³+2x²-3x<0
e, dal momento che si richiedeva che la disequazione fosse <0 gli intervalli che
soddisferanno tale condizione sono quelli in cui il prodotto dei due fattori è
negativo(<0), quindi la soluzione sarà x<-3 U 0<x<1.
studiare la disequazione (x-1)(x²+1)(x³-4x)>0
•
questa disequazione è di sesto grado, ma la sua forma è quasi perfetta per
poterne eseguire lo studio, dal momento che l'unico fattore di grado superiore al
secondo è l'ultimo, ovvero (x³-4x), occorre quindi procedere alla scomposizione
di tale fattore nel seguente modo:
(x³-4x)=x(x²-4)
quindi la disequazione da studiare sarà:
(x-1)(x²+1)x(x²-4)>0
composta dai seguenti fattori:
I)
x-1>0
II)
x²+1>0
III)
IV)
x>0
x²-4>0
Vediamo nel dettaglio lo studio del segno ed il grafico dei singoli fattori:
I)
da x-1>0 segue x>1 cioè x-1 è positivo solo per valori di x maggiori di 1
grafico sarà
II)
x²+1>0 tale fattore risulta essere sempre maggiore di zero dal momento che è
somma di x² (sempre positivo) al quale si aggiunge una quantità positiva; il suo
grafico sarà:
A cura di P. Paciulli
il suo
13
disequazioni
III)
x>0 : su questo fattore non occorre effettuare alcuna operazione perché x>0
quando x è positiva (x>0); il suo grafico sarà:
IV)
x²-4>0: questa si risolve applicando le regole per lo studio del segno di una
disequazione di secondo grado, quindi, dopo aver scritto l'equazione associata si
determinano
le
soluzioni
che
sono
x1=-2
ed
x2=2
(perciò
∆>0),
si verifica che il coefficiente di x2 è positivo, quindi il grafico sarà:
Il grafico riassuntivo determinerà gli intervalli in cui la disequazione assume valori positivi
e quelli in cui assume valori negativi, come vediamo di seguito:
La soluzione della disequazione sarà quindi data dai seguenti intervalli : x<-2 U 0<x<1 U
x>2.
A cura di P. Paciulli
14
disequazioni
N.B. Qualora la disequazione abbia come segno ≤ o ≥ allora nell'insieme
delle soluzioni vanno compresi anche i valori in cui i singoli fattori
diventano nulli.
DISEQUAZIONI FRATTE
Analogamente a quanto avviene per la soluzione di disequazioni di grado superiore al
secondo, per la soluzione di disequazioni fratte del tipo
f(x)/g(x)
occorre ridurre sia il numeratore, sia il denominatore in fattori di grado inferiore o uguale al
secondo e poi studiare il segno di ogni singolo fattore. La differenza rispetto al prodotto sta
nel fatto che bisogna ricordare di escludere dal denominatore tutti i valori che lo rendono
nullo (0 al denominatore determina un valore impossibile per la frazione!!!).
Esempio:
Risolvere la disequazione
x²-4
≤0
x-1
I fattori da studiare in questo caso sono già nella forma desiderata quindi occorrerà studiare
dapprima il numeratore e poi il denominatore:
N)
x²-4>=0
questa si risolve applicando le regole per lo studio del segno di una disequazione di
secondo grado, quindi, dopo aver scritto l'equazione associata si determinano le
soluzioni che sono x1=-2 ed x2=2 (perciò ∆>0),
si verifica che il coefficiente di x2 è positivo, quindi il grafico sarà:
D)
x-1>0
questa è una disequazione di primo grado la cui soluzione è data dai valori x>1 (in
questo caso il segno = non viene considerato perchè 0 al denominatore determina
un valore impossibile per la frazione!!!), il suo grafico sarà il seguente:
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15
disequazioni
Il grafico riassuntivo sarà quindi:
come si può notare il valore che annulla il denominatore è stato eliminato con una croce (il
punto non può far parte dell'insieme delle soluzioni), mentre i punti che annullano il
numeratore, indicati con una pallina vengono presi in considerazione nell'insieme delle
soluzioni qualora venga richiesto nel testo. Le soluzioni della nostra disequazione fratta
saranno quindi date da:
x≤-2 U 1<x≤2
dal momento che si richiedevano i valori di x affinchè la frazione fosse negativa (≤0).
Esercizi
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(2x − 1)(x2 − 25)(x − 1)2 < 0
− 9x2 − 12x − 4
2x2 − 5x + 2
x2 − 9x + 10
4x2 − 1
≤0
≤0
2x2 − x + 3
− 3x2 + 16x − 5
>0
(x + 4)(2x + 5)(x 2
+ 1)
2
x − 5x + 6
(3x − 2)(3x + 2)2
4x 2 − 9
≥0
>0
7.
− 3x2 + 12x − 9
≤0
x−2
8.
13
15
≤
x + 4 2x − 3
9.
(x − 5)2 − (2x + 3) − 55
≤0
(3x − 1)(x + 2)
10.
x2 − 7x − 8
≤0
(x − 2)(− 3x + 2)
2
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16
disequazioni
Elementi sui sistemi di disequazioni
Per risolvere un sistema di disequazioni occorre risolvere separatamente ogni disequazione
facente parte del sistema e determinare l'intervallo o gli intervalli in cui esse sono soddisfatte
contemporaneamente.
Esempio:
•
risolvere il seguente sistema di disequazioni
la prima operazione da eseguire è risolvere la prima disequazione come illustrato
nel paragrafo relativo alla soluzione delle disequazioni di primo grado si ottiene:
il cui grafico è
e la soluzione è x>2
Si procede quindi con la soluzione della disequazione fratta, per ottenere:
lo studio del segno del numeratore porterà alla determinazione delle soluzioni
dell'equazione associata nel seguente modo:
n:
x 2 − 4x ≥ 0
x(x − 4) = 0
x 2 − 4x = 0
quindi
x =0
e
x−4=0
quindi il grafico che corrisponderà alla disequazione sarà
A cura di P. Paciulli
ovvero
x =4
17
disequazioni
Si passa quindi alla determinazione del segno del denominatore, per ottenere:
D:
3x-1>0
x>1/3
il cui grafico è:
Si procede quindi ad eseguire il grafico della disequazione fratta riportando per
ogni intervallo della partizione determinata il segno ottenuto dalla frazione, nel
seguente modo
La soluzione della disequazione, dunque sarà (parte in giallo):
x≤0 U 1/3<x≤4≤0 U 1/3<x≤4
dal momento che la disequazione è verificata solo per valori di x che
determinano un valore negativo al massimo uguale a zero per la frazione.
A questo punto si determinano gli intervalli dell'asse delle x per i quali siano
verificate entrambe le disequazioni contemporaneamente, viene quindi eseguito
un grafico riassuntivo in cui non si riportano più positività o negatività ma solo
gli intervalli in cui ognuna delle disequazioni è verificata (una riga del grafico
corrisponde ad una disequazione, quindi per un sistema di tre disequazioni si
avranno tre righe, per un sistema di 4, quattro righe e così via). Quindi nel
nostro caso il grafico sarà il seguente:
e le soluzioni le seguenti:
2<x<4
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18
disequazioni
Esercizi:
1.
 − x2 + x + 6
≤0

x −2

(x − 2)(x − 6)(−x + 3) > 0
x+2

2.

5
2x

2
(3x + 1) ≤ x x −  + 1 +

3
3


2
4

(3x − 2 )x + x − 3 < 3 − 2x
3.
 − x2 − x + 20
≤0

x −2


2
 (x − 5) (2x − 6) > 0

(x + 2)2

4.
 − x2 + x + 6 (x + 1)
≤0

−x −2

x2 − 8x + 12 > 0

5.
 
1
3x 1
−
x x +  − 3x − 1 < −
2
2
4
 
 2
2
x
3
x
4
0
−
+
>

(
A cura di P. Paciulli
)