equazioni - Comune di Bologna

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EQUAZIONI
Un’EQUAZIONE è una uguaglianza in cui cerchiamo il valore numerico da dare alle incognite
perché risulti VERA.
E’ quindi composta di
I  membro
II  membro

 

un' espression e  un' espression e
Le due espressioni possono contenere numeri e lettere uniti da segni di operazione.
Con 1 sola lettera (incognita) → equazione in una incognita
EQUAZIONE LETTERALE
se come incognita si considera 1 sola lettera
Con più lettere
EQUAZIONE IN PIU’ INCOGNITE se
tutte le lettere rappresentano valori da
trovare
EQUAZIONI IN 1 INCOGNITA


Togli tutte le parentesi
Elimina i denominatori (ponendo le condizioni di esistenza se contengono l’incognita)
 Riconosci se è di 1° - 2° - ….. grado
1° grado
vedi Equaz. di 1° grado
2° grado
vedi Equaz. di 2° grado
EQUAZIONI DI 1° GRADO
1.
2.
Porta tutti i termini con l’incognita al I° membro e gli altri al II° , applicando la LEGGE DEL TRASPORTO (i
termini trasportati da un membro all’altro cambiano segno) . Riduci i termini simili
FORMA NORMALE:
ax  b
a e b sono numeri
Se
Se anche
b0
Se
b0
a  0  0x  b
Se
a  0 dividi tutto per a (coeff. di x) ,
ax b

a
a

x
0x  0
0x  N 
ottieni la
INDETERMINATA
IMPOSSIBILE
SOLUZIONE
b
a
EQUAZIONI DI 2° GRADO
1.
Porta tutti i termini al I° membro
2. FORMA NORMALE:
ax 2  bx  c  0
FORMULA RISOLUTIVA
FORMULA RIDOTTA (se
x
b 
2a
b è un numero PARI)
Se  >0 due soluz reali diverse
,
  b 2  4ac
Se  = 0 due sol. reali uguali
Se  < 0 nessuna soluz reale
    2  ac
x
a
con

b
2
EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE

Abbassabili di grado
1. Porta tutto al I° membro
quindi il II° membro è = 0
2. Cerca di scomporre in fattori il polinomio al I° membro (usa i vari metodi di scomposizione:
raccoglimento totale o parziale, riconoscimento di prodotti notevoli ed eventualmente la regola
di Ruffini)
Es: 2x  1x  3  0
3. Poni ogni fattore = 0 (LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO: un prodotto è = 0 se e solo se
almeno uno dei fattori è 0)
1
2 x  1  0  2 x  1  x  
prima soluzione
2
2x  1x  3  0
seconda soluzione
x 3  0  x  3


Binomie si possono portare alla forma normale: x n  a (n intero positivo e a numero reale )
a negativo
NON HA SOLUZIONI REALI
a positivo
x   n a (2 soluzioni)
n PARI
xn  a
x a
n
n DISPARI

+ se
a è positivo
– se
a è negativo
1 soluzione
Trinomie
ax 2 n  bx n  c  0
(l’incognita compare due volte con esponenti uno il doppio dell’altro)
zx
si pone
(incognita ausiliaria)
viene un’equazione di II° grado
si risolve con la formula e, se ∆ > 0 si ottengono 2 soluzioni
az 2  bz  c  0
n
z1 e z 2
e poi si risolvono le equazioni BINOMIE
x n  z1
e
x n  z2
Caso Particolare: EQUAZIONI BIQUADRATICHE (sono di 4°grado)
Contengono potenze dell’incognita che sono l’una il doppio dell’altra
Es: ax  bx  c  0
4
Poni x 2  t  x 4  t 2
Si risolve con la formula
z1 e z 2
quindi
x   z1
2
ottieni un’equazione di 2° grado
e, se ∆ > 0 si ottengono 2 soluzioni
e si risolvono le equazioni BINOMIE
x   z2
x n  z1
che hanno soluzione se
e
x n  z2 ,
z1 e/o z 2 sono POSITIVI
EQUAZIONI ESPONENZIALI
(l’incognita compare all’esponente)

EQUAZIONI ESPONENZIALI ELEMENTARI
quozienti, potenze).
ax  b
Caso più semplice:
(in essa non compaiono somme algebriche, ma solo prodotti,
(solo se
a > 0, quindi a x è sempre un numero positivo)
RISOLUZIONE:


se b  0 è IMPOSSIBILE
se b  0 :
1° caso: se b è esprimibile come potenza di a : a x  a n
2° caso:
Def. di LOGARITMO:
x  log a b
log a b è l’ESPONENTE da dare ad a per avere b
NOTA BENE: Per ricondurre un’equazione esponenz. Elementare al tipo
PROPRIETA’ DELLE POTENZE:
a x  b bisogna conoscere bene le
a m  a n  a m n
am : an 
a 
m n


ax  b
se b non è potenza di a :
 xn
a m  b m  a  b 
m
a
 a mn
n
a
am  a 
 
bm  b 
 a m n
m
m
EQUAZIONI ESPONENZIALI NON ELEMENTARI
Ne esaminiamo solo alcuni tipi:
1° tipo : riconducibili ad equazioni elementari mediante INCOGNITA AUSILIARIA e
RACCOGLIMENTO:
2 x  2 x 3  9  0
Es :
2 x  2 x  23  9  0
Pongo 2 x  y
y
y  y 8  9
9
9
cioè
2x  1
x0
2° tipo : riconducibili a equazioni di 2° grado, mediante la sostituzione a x  y
Es :
22x  2  2 x  8  0
y2  2y  8  0
Pongo: 2 x  y
(equaz. di 2° grado, formula risolvente………)
2  2  IMPOSSIBILE
x
2 4
x
y1  2 ; y 2  4
EQUAZIONI LOGARITMICHE
Def. di LOGARITMO in base a di b: è l’ESPONENTE da dare ad a per avere b
( Condiz.di esistenza a>0,a  1 ; b>0)
Proprieta’ dei logaritmi
:
log a b  log a c  log a d  ...  log a b  c  d  ...
b
log a b  log a c  log a
2) differenza di log.
c
m  log a b  log a b m
3) prodotto di un numero per un log.
1) somma di log.
4) cambiamento di base
log a N 
log b N
log b a
Le equazioni logaritmiche, quando è possibile, vanno trasformate in:
log a Ax   log a Bx 
Con
Ax   Bx 
Ax e Bx polinomi in x
è l’equazione che contiene le SOLUZIONI
della precedente
 A x   0
e risolvere questo

Bx   0
sistema di disequazioni per scartare le soluzioni estranee.
Bisogna però porre la Condizione di esistenza dei Logaritmi:
Oppure fare la Verifica
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