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Divisibilità e giustificazione di alcuni criteri di divisibilità
di Luciano Porta
Prima di affrontare alcuni criteri di divisibilità, solamente quelli che si possono giustificare senza
calcolo letterale essendo la lezione rivolta a studenti della prima classe della scuola secondaria di
primo grado, è opportuno che sia ben chiaro il concetto di divisibilità e dei termini associati:
es. 45 : 9 = 5 resto = 0
diciamo che 45 è divisibile per 9 o che 9 è divisore di 45, oppure
diciamo che 45 è multiplo di 9 e che 9 è sottomultiplo di 45.
Il metodo generale per stabilire se un numero è divisibile per un altro numero e quindi il dividere
tra di loro i numeri dati: se il resto è 0, il primo numero è divisibile per il secondo.
es. 300 è divisibile per 60 (300:60=5 resto 0) ; 144 non è divisibile per 11 (144:11=13 resto 1).
Dopo che avremo affrontato la scomposizione di un numero in fattori primi, potremo esporre il
criterio generale di divisibilità basato sulla fattorizzazione.
Per giustificare alcuni criteri di divisibilità dobbiamo ancora saper esprimere un numero in forma
polinomiale ed essere consapevoli che possiamo considerare la divisione una sottrazione ripetuta.
Nella forma polinomiale il numero è scritto in una forma esplicita e molto significativa:
es. 23437=2*10000+3*1000+4*100+3*10+7*1
es. 134506=1*100000+3*10000+4*1000+5*100+0*10+6*1
La divisione può essere scritta sotto forma di sottrazione:
es. 20:5=4
1) 20-5=15
2) 15-5=10
3) 10-5=5
4) 5-5=0
Possiamo addirittura sostituire il dividendo con 2 o più numeri, entrambi divisibili per 5, la cui
somma sia uguale al dividendo stesso: es. 20=15+5 e quindi,
1) 15-5=10 2)10-5=5 3)5-5=0
1) 5-5=0
3+1=4 e quindi 20:5=4
Addirittura possiamo sostituire il dividendo con 2 o più numeri non divisibili per 5, purché la loro
somma sia 20 e purché sommiamo i resti delle sottrazioni che effettuiamo: es. 20=12+8 e quindi,
1) 12-5=7 2) 7-5=2 (resto) 1) 8-5=3 (resto) 2+3=5
1)5-5=0 2+1+1=4 e quindi 20:5=4
Ricordiamo che i criteri di divisibilità sono quelle regole che ci permettono di stabilire se un
numero è divisibile per un altro numero senza dover eseguire prima la divisione.
Sono particolarmente significativi, perché utili e facilmente giustificabili senza ricorrere al calcolo
letterale, i criteri, cioè le regole di divisibilità, per alcuni numeri primi: 2, 3, 5. Ugualmente i criteri
per alcuni composti: 4, 9, 25 …
Secondo me è invece inopportuno nella didattica affrontare i criteri di divisibilità per 7, 11, 13 … di
laboriosa giustificazione ed esecuzione: il tempo occorrente può essere più utilmente impiegato per
affrontare altri contenuti.
Criterio di divisibilità per 2:
Per definizione i numeri pari sono divisibili per 2, ma il criterio deve essere giustificato perché
dobbiamo capire perché è pari un numero (espresso in base 10) che termina con 0, 2, 4, 6, 8.
Forse siamo sorpresi se veniamo a conoscenza che il numero 4 , in base 3, si scrive 11.
Scriviamo in base 10 per esempio il numero 15436 in forma polinomiale:
1
15436=1*10000+5*1000+4*100+3*10+6*1
Osserviamo che le ... le decine di migliaia, le migliaia, le centinaia, le decine sono sempre divisibili
per 2. Solo le unità possono o meno essere divisibili per 2. Lo sono se l’ultima cifra è 0, 2, 4, 6, 8.
Quindi un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è 2, 4, 6, 8, 0.
Criterio di divisibilità per 3:
Osserviamo che il più grande numero di ... cifre divisibile per 3 è ... 999999, che il più grande
numero di 4 cifre divisibile per 3 è 9999, che il più grande numero di 3 cifre divisibile per 3 à 999,
che il più grande numero di 2 cifre divisibile per 3 è 99 e che il più grande numero di 1 cifra
divisibile per 3 è 9. Dividendo 10000, 1000, 100, 10 per 3 il resto è 1. Le cifre che formano il
numero dato sono i resti di queste divisioni. Sommando questi resti, otteniamo un numero che se
multiplo di 3 (somma 3, 6, 9, 12 .. ) indica che il numero dato è divisibile per 3 (RESTO 0).
Scriviamo ad esempio il numero 82746 in forma polinomiale:
82746= 8*10000+2*1000+7*100+4*10+6*1 . I resti sono quindi:
R = 8*1
+2*1 +7*1 +4*1 +6*1 = 27
La somma dei resti è divisibile per 3 e quindi il numero dato è divisibile per 3 (RESTO 0).
Sono divisibili 207 (somma 9), 111 (somma 3), 43236 (somma 18).
Quindi un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3 (3, 6, 9, ...).
Criterio di divisibilità per 5:
Scriviamo per esempio il numero 17435 in forma polinomiale:
17435=1*10000+7*1000+4*100+3*10+5*1
Osserviamo che le ... le decine di migliaia, le migliaia, le centinaia, le decine sono sempre divisibili
per 5. Solo le unità possono o meno essere divisibili per 5. Lo sono se l’ultima cifra è 0 o 5.
Ugualmente è divisibile per 5 il numero 67320.
Quindi un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 5 o 0.
Esaminiamo ora velocemente altri criteri di divisibilità.
Criterio di divisibilità per 4:
scriviamo il numero in forma polinomiale e osserviamo che ... decine di migliaia, migliaia,
centinaia sono divisibili per 4. Solo il numero formato dalle ultime 2 cifre (decine e unità), può
essere o meno divisibile per 4.
Sono quindi divisibili 3524, 135720, 792108 perché il blocco delle ultime 2 cifre è divisibile per 4.
Quindi un numero è divisibile per 4 se il blocco delle ultime 2 cifre è divisibile per 4.
Criterio di divisibilità per 9:
Il criterio è simile a quello per 3 e la giustificazione è la stessa. Solo che la somma delle cifre deve
essere multiplo di 9 (9, 18, 27, 36, ... ). Pertanto sono divisibili 702, 1332, 183627.
Quindi un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 9 (9, 18, 27...).
Criterio di divisibilità per 25:
Il criterio è simile a quello per 4. Solamente il numero formato dalle ultime 2 cifre deve essere
divisibile per 25 (00, 25, 50, 75). Sono divisibili 2300, 1725, 450, 1275.
Quindi un numero è divisibile per 25 se il blocco delle ultime 2 cifre è divisibile per 25.
Criteri di divisibilità per 10, 15, 6 ... :
Essendo 10=2*5, un numero è divisibile per 10 se lo è sia per 2, sia per 5(es. 170, 1380, 2620 ...).
Essendo 15=3*5 un numero è divisibile per 15 se lo è sia per 3, sia per 5 (es. 405, 210, 765 ...).
Essendo 6=2*3 un numero è divisibile per 6 se lo è sia per 2, sia per 3 (es. 312, 1704, 2610 ... ).
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