LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI – VOLUME 1
Unità 8
Esercizi per il recupero
ARGOMENTO: I quadrilateri. Teorema di Talete
CONTENUTI:
Il trapezio isoscele
I parallelogrammi
Il piccolo teorema di Talete
I parallelogrammi particolari
INDICAZIONI DI LAVORO
→
Utilizzando lo schema riassuntivo rivedi con cura gli enunciati dei teoremi studiati
→
Controlla se conosci i termini inseriti nel glossario
→
Rifai gli esercizi svolti del libro di testo, controllando se fai errori
→
Svolgi i seguenti esercizi
→
Correggili, utilizzando la correzione
ESERCIZIO 1 GUIDATO
Siano P e Q i punti medi dei lati AB e BC di un triangolo qualunque ABC. La retta parallela ad AQ condotta
dal punto P interseca il lato BC nel punto N e la retta del lato AC nel punto M. Dimostra che il segmento BN è
congruente alla quarta parte del segmento BC e che il segmento AQ è congruente a
C
2
del segmento MN.
3
Ipotesi
Q
A
Tesi
N
1. BN ≅ 1 BC
4
2. AQ ≅ 2 MN
3
P
M
B
Dimostrazione
Nel triangolo ABQ, P è il punto medio del lato AB
e la retta rPN è parallela ad AQ
ne segue che N è il punto medio di BQ
per ………
per……
Teorema: ……..
Q è il punto medio del lato BC
per …….
⇒ BQ ≅ 1 BC
2
ed essendo BN ≅ 1 BQ
2
per precedente deduzione
⇒ BN ≅ 1 BC
4
CVD1
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1
LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI – VOLUME 1
Il quadrilatero MPQA ha i lati AQ e MP paralleli
per ……….
inoltre, essendo PQ il segmento che unisce i punti medi
dei lati AB e BC del triangolo ABC, risulta che il segmento
PQ è parallelo ad AC
Teorema:
ed essendo M un punto della retta rAC, i lati AM e PQ
sono paralleli.
Teorema: Condizione sufficiente affinché un
⇒ MPQA è un parallelogramma
quadrilatero sia un parallelogramma è che …..
Teorema: Condizione necessaria affinché un
quadrilatero sia un parallelogramma è che …..
⇒ MP≅AQ
Essendo PN ≅ 1 AQ
Teorema:
2
ne segue che
essendo MN ≅ MP + PN
perché i punti M,N,P sono allineati per ipotesi
per …….
⇒ MN ≅ AQ + 1 AQ ≅ 3 AQ
2
2
⇒ AQ ≅ 2 MN
3
CVD2
ESERCIZIO 2 GUIDATO
In un trapezio isoscele la base minore è congruente ai lati obliqui e la diagonale AC è perpendicolare al lato
obliquo BC. Dimostra che anche l’altra diagonale è perpendicolare al lato obliquo e che congiungendo gli
estremi della base minore col punto medio M della base maggiore si formano tre triangoli equilateri
congruenti e che il punto O ottenuto dall’intersezione delle diagonali del trapezio è il baricentro del triangolo
DMC.
D
A
Ipotesi
C
M
B
Tesi
1.
2.
3.
Dimostrazione
Il trapezio isoscele ha un asse di simmetria che
coincide con l’asse delle basi
Teorema:
Tale simmetria trasforma l’angolo AĈB nell’angolo
AD̂B
perché vertici e lati sono corrispondenti nella
simmetria
⇒ AĈB ≅ AD̂B
perché la simmetria conserva …..
⇒AD⊥DB
CVD1
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2
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Nota: Si poteva giungere alla stessa conclusione
dimostrando che i triangoli ABC e ABD sono
congruenti
per il …… criterio di congruenza dei triangoli.
Il triangolo ABC è rettangolo in C e M è il punto
medio dell’ipotenusa AB
⇒AM≅MC≅MB
Il triangolo ABD è rettangolo in D e M è il punto
medio dell’ipotenusa AB
⇒AM≅MD≅MB
I triangoli ADM, DMC, CMB sono fra loro congruenti
avendo ordinatamente congruenti tutti i lati
Essendo il lato obliquo AD congruente alla base
minore CD
il triangolo ADC è isoscele
⇒ DÂC ≅ DĈA
essendo poi DĈA ≅ BÂC
⇒ DÂC ≅ BÂC
per ……
Teorema:
per …..
Teorema:
per il …… criterio di congruenza dei triangoli
per ipotesi
per definizione
Teorema:
perché angoli …………………… formati dalle rette
parallele rAB e rCD con la trasversale rAC
per la proprietà ………………………………
⇒ BÂC ≅ 1 BÂD
2
⇒ BÂC ≅ 1 AB̂C
2
Il triangolo rettangolo ABC, avendo gli angoli acuti
uno doppio dell’altro,
è metà di un triangolo
equilatero e risulta AB≅2CB.
⇒CB≅MB≅MC
il triangolo CMB è equilatero e così pure DMC e
ADM.
CVD2
Il quadrilatero AMCD, essendo AM//CD e AM≅CD
è un parallelogramma
⇒le diagonali AC e DM si intersecano nel loro punto
medio
Analogo discorso per il quadrilatero MBCD le cui
diagonali BD e MC si intersecano nel loro punto
medio.
Il punto O, comune alle diagonali del trapezio AC e
BD, non è altro che il punto comune a due mediane
del triangolo DMC e perciò è il baricentro di DMC
CVD3
perché gli angoli alla base di un trapezio isoscele
sono congruenti.
per ……
Teorema:
Teorema:
Teorema
ESERCIZIO 3 GUIDATO
Sia dato un trapezio ABCD, di base maggiore AB, con le diagonali perpendicolari. M, N, P e Q sono
rispettivamente i punti medi dei lati AB, BC, CD e DA.
Dimostra che
a) MNPQ è un rettangolo (come deve essere il trapezio affinché MNPQ sia un quadrato? Rispondi
motivando)
b) il perimetro del trapezio è congruente al doppio della somma dei segmenti OP, OQ, OM e ON,
essendo O il punto di intersezione fra AC e BD
c) i punti C, D, A’, M’ sono allineati, essendo A’ ed M’ i simmetrici di A ed M rispetto a N;
d) M’ è il punto medio del segmento CA’
e) il triangolo PMM’ è isoscele
f) essendo R il punto di intersezione fra BM’ e A’N, R è ........................ per il triangolo A’BC (quale
punto notevole?)
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LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI – VOLUME 1
g) i punti C ed R sono allineati con il punto W che è punto medio di A’B
h) il segmento AA’ è congruente al triplo del segmento A’R.
Ipotesi
AB//DC∧ AB>DC∧AC⊥BD
AM≅MB ∧ M∈AB
BN≅NC ∧ N∈BC
CP≅PD ∧ P∈DC
DQ≅QA ∧ Q∈AD
SN: A↔A’ ∧ M↔M’
{O} = AC ∩ BD
{R} = BM’ ∩ A’N
BW≅WA’ ∧ W∈A’B
Tesi
a) MN//PQ, MN≅PQ, QM ⊥ QP
b) BA+BC+CD+DA≅2(OP+OQ+OM+ON)
c) M’∈ rDC ∧ A’ ∈ rDC
d) CM’≅M’C
e) PM’≅PM
f) R è il baricentro di A’BC
g) W ∈ rCR
h) AA’≅3A’R
a) Consideriamo il triangolo ADC. Poiché il segmento QP
congiunge i punti medi dei suoi lati AD e DC risulta
Teorema1 …………..
QP // AC e QP≅ ½ AC
Consideriamo ora il triangolo ABC; per dimostrazione
analoga risulta
MN//AC e MN ≅ ½ AC
e
per proprietà
QP ≅ MN e QP // MN
Teorema2 Condizione sufficiente affinché un
Quindi PQMN è un parallelogramma.
quadrilatero sia un parallelogramma è che …..
Consideriamo ora ABD, nel quale risulta che QM // BD
Teorema1
e, poiché AC⊥BD e QM // BD e QP // AC, ne segue che
QM ⊥ QP
Assioma: Date due perpendicolari, ogni ……..
e questo implica che PQMN sia anche un rettangolo
Teorema: È un rettangolo ogni …………
poiché ha una coppia di lati consecutivi perpendicolari
CVDa
RISPOSTA: Abbiamo dimostrato che ogni lato del
rettangolo PQMN è congruente a metà di una delle due
diagonali del trapezio. Affinché PQMN sia anche rombo,
e perciò quadrato, è sufficiente che le diagonali del
trapezio siano congruenti e questo accade se il trapezio è
isoscele.
b) Consideriamo il triangolo AOD, rettangolo in O e con
per …….
Q quale punto medio dell’ipotenusa
Risulta
Teorema3 In un triangolo rettangolo la mediana
AD≅2OQ
relativa all’ipotenusa è …………..
Ripetendo identica considerazione su DOC, COB, AOB
ne risulta
DC≅2OP, BC≅2ON, AB≅2OM
e sommando membro a membro le quattro congruenze si
ottiene
BA+BC+CD+DA≅2(OP+OQ+OM+ON)
CVDb
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LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI – VOLUME 1
c) Consideriamo la simmetria con centro nel punto N
SN : B ↔ C
quindi
SN : rAB ↔ rCD
poiché …….
Visto che
SN : A ↔ A’ ∧ M ↔M’ e che A, M, B sono punti di rAB
allora A’, M’, C sono punti di rCD
per ……
Teorema4 La simmetria centrale conserva
………….
poiché la retta rAB si trasforma nella sua
parallela per C che è appunto rCD per ipotesi
CVDc
d) Nella simmetria con centro nel punto N risulta
SN : AB ↔ A’C
perché gli estremi sono …………..
per ………
Teorema: Se due segmenti si corrispondono in
una isometria………….
e che M è il punto medio di AB
allora M’ è il punto medio di A’C
CVDd
per ……..
e) M’ è l’immagine di M nella SN
perché la simmetria centrale è ……….
per ……..
perciò risulta
MN ≅ NM’
PQMN è un rettangolo
Teorema: in un rettangolo i lati sono ……….
perciò risulta
PN ⊥ MM’
Segue che la retta rPN, essendo perpendicolare al per …….
segmento MM’ nel suo punto medio, è l’asse di MM’
e da ciò si deduce che
Teorema5 Se un punto appartiene all’asse di
un segmento allora forma …………..
PM’ ≅ PM
CVDe
per ……… …… e per ……..
f) M’ è punto medio di CA’ e N è punto medio di CB,
allora R è punto di intersezione di due mediane del Teorema6: Le mediane di
triangolo A’BC ed è quindi il suo baricentro.
………………………….
un
triangolo
CVDf
g) Nel triangolo A’BC la mediana CW congiunge il vertice
C con W, punto medio del lato opposto
per …………..
e contiene il baricentro R
Teorema6
pertanto W ∈ rCR.
CVDg
h) Il baricentro R divide la mediana A’N in modo che
A’R ≅ 2RN
Teorema: il baricentro di un triangolo divide
………………………………………………………
essendo A’N ≅ AN
risulta
AA’ ≅ AN + A’N ≅ 2 A’N ≅ 2 ( A’R+ RN) ≅ 2 ( A’R+ ½ A’R)
≅ 2 ( 3 A’R) ≅ 3 A’R
perché la simmetria centrale è ……………..
per ……….
2
CVDh
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LA GEOMETRIA DEL PIANO E LE TRASFORMAZIONI – VOLUME 1
ESERCIZIO 4
Nel triangolo ABC con AB>AC, sia M il punto medio del lato AC. La retta parallela ad AB condotta per il
punto M interseca la retta che contiene l'altezza relativa ad AC nel punto D e la retta perpendicolare in C ad
AC nel punto P. Dimostra che il quadrilatero BPCD è un parallelogramma, considerando prima il caso che
l’angolo in C sia un angolo acuto poi che sia un angolo ottuso.
ESERCIZIO 5
Sia ABCD un trapezio rettangolo in A e D con base maggiore AB. Preso sulla base AB un punto E tale che
AE≅DC e detto M il punto medio del lato BC, dimostra che:
a) i segmenti AC e DE sono congruenti
b) il segmento che ha come estremi il punto M e il punto di intersezione delle diagonali di AECD è
congruente a metà della base maggiore
c) i triangoli AMD e EMB sono isosceli.
ESERCIZIO 6
ABCD è un parallelogramma in cui il lato AB è congruente al doppio del lato BC. Dimostra che:
a) i segmenti DE e CE sono fra loro perpendicolari, detto E il punto medio di AB;
b) è un rombo il quadrilatero AEFD, avendo tracciato da A la retta parallela a CE e detto F il suo
punto di intersezione con DC;
c) AF e FB sono perpendicolari e formano un rettangolo intersecando DE e EC.
ESERCIZIO 7
ABCD è un quadrato e L,M,N, P sono i punti medi rispettivamente dei lati AB, BC, CD, DA. Dimostra che:
a) i segmenti AN e CL sono paralleli
b) il quadrilatero LMNP è un quadrato che ha lo stesso centro di ABCD
c) AN e CL, intersecando DL e BN, formano un rombo.
ESERCIZIO 8
Nel triangolo ABC rettangolo in B l’ipotenusa AC è congruente al doppio del cateto AB. La simmetria di asse
rCB trasforma A in A’ e la simmetria di asse rAB trasforma C in C’. Sia M la proiezione ortogonale di A su CA’ e
sia M’ la proiezione ortogonale di A su C’A’. Dimostra che:
a) Il quadrilatero ACA’C’ è un rombo;
b) I segmenti AM e CB sono congruenti;
c) Il triangolo AMM’ è equilatero;
d) Il punto B è il baricentro di AMM’;
e) dette N e N’ le proiezioni ortogonali di A’ rispettivamente su AC e su AC’ , il quadrilatero
MNN’M’ è un rettangolo.
ESERCIZIO 9
Nel triangolo ABC rettangolo in A il cateto AB è maggiore di AC e la bisettrice dell’angolo A interseca BC nel
punto D. Dal punto D traccia la retta parallela ad AC che interseca AB nel punto H e poi traccia, sempre da
D, la retta parallela ad AB che interseca AC nel punto K. Dimostra che:
a) i segmenti DA e KH sono congruenti e fra loro perpendicolari;
b) il quadrilatero ABA’B’ è un parallelogramma, avendo indicato con B’ il simmetrico di B rispetto
a D e con A’ il punto di intersezione tra la retta rAD e la retta tracciata da B e parallela ad AB’;
c) il quadrilatero HBFK è un trapezio isoscele essendo F il punto di intersezione fra la retta rAC e
la retta condotta dal punto B e perpendicolare ad AD
d) i segmenti AG e A’F sono perpendicolari, essendo G il punto di intersezione fra la retta rBF e
A’B’ .
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