Il linguaggio della logica - Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Il linguaggio della logica
Proposizioni semplici e composte
Le frasi che formano i discorsi del nostro linguaggio naturale possono
essere dichiarative, descrittive, esclamative, interrogative, possono esprimere
sollecitazioni, ordini, esortazioni. Al tipo dichiarativo o al tipo descrittivo
appartengono frasi che esprimono opinioni, giudizi, credenze, valutazioni,
situazioni di fatto.
Ci occupiamo solo di queste ultime.
Sono esempi di frasi che indicano situazioni di fatto:
1)
Antonio abita a Roma.
2)
Lucia ha rubato un biscotto.
3)
Paola sta lavorando a maglia.
4)
5 è un numero primo.
5)
Mario è maggiorenne.
6)
Oggi piove.
7)
Il cane è un quadrupede.
8)
Il rettangolo è un parallelogramma.
Tutte queste frasi hanno due caratteristiche fondamentali:
Sono frasi semplici perché non contengono altra frase come
componente;
Di ciascuna di esse si può obiettivamente dire se è vera o se è falsa
ossia è possibile attribuirle uno ed uno solo dei due valori di verità: vero,
falso.
Per questa seconda caratteristica, sono chiamate proposizioni e, in tal
modo, distinte da frasi d’altro tipo.
I termini “non”, “e”, “o” (o anche “oppure”), “se... allora...”, sono
continuamente usati nel linguaggio naturale, in questa o in altre forme, per collegare
proposizioni semplici e formare proposizioni composte. In grammatica questi termini
sono chiamati congiunzioni proposizionali; spesso sono anche indicati col nome di
connettivi del linguaggio o, anche, connettivi logici.
Sono esempi di proposizioni composte:
Non è vero che Lucia ha rubato un biscotto.
Antonio abita a Roma e lavora a Fossombrone.
Paola sta lavorando a maglia o ascoltando la radio.
Se Lucia ha rubato un biscotto, allora sarà punita.
La prima proposizione è stata ottenuta negando la precedente proposizione 2;
la seconda, collegando con il connettivo e la proposizione 1 con un'altra proposizione
semplice; la terza, collegando la proposizione 3 con un'altra, pure semplice, mediante
il connettivo o; l'ultima è stata ottenuta collegando due proposizioni semplici, di cui
la prima è ancora la 2, con il connettivo se..allora... .
Non ci dobbiamo tuttavia limitare alla costruzione di proposizioni composte
mediante i connettivi logici. Dobbiamo anche stabilire il loro valore di verità, cosa
che si ottiene solo a partire dal valore di verità delle proposizioni componenti.
La ricerca del valore di verità delle proposizioni composte è il primo degli
oggetti di studio di un capitolo della logica chiamato calcolo delle proposizioni o
algebra delle proposizioni.
Quando, nel linguaggio naturale, si esprime una proposizione composta, al
posto dei connettivi sopra indicati, si usano spesso altri termini aventi la stessa
funzione ma che conferiscono al discorso maggiore efficacia e lo rendono più
espressivo.
Tuttavia la ricchezza di sfumature, resa possibile dall'uso di questi termini,
comporta il pericolo della poca precisione e di una non univoca interpretazione.
Nel linguaggio della logica invece, l'uso dei connettivi è strettamente limitato
alle loro forme essenziali che, se fanno perdere in potere espressivo appiattendo ogni
sfumatura, fanno tuttavia guadagnare in rigore.
Per altro verso, le proposizioni composte del linguaggio naturale sono solo
quelle nelle quali esiste un nesso tra le componenti.
Ad esempio, possono avere uno stesso “soggetto” che compie due azioni
diverse, contemporanee o successive, come nella proposizione:
“Roberto prese la patente e guidò auto d’ogni cilindrata”
La congiunzione presente in questa proposizione ha significato di successione
temporale perciò se si scambiano le due proposizioni fra loro si ottiene una
proposizione che nel linguaggio naturale si riterrebbe assurda:
«Roberto guidò auto d’ogni cilindrata e prese la patente»
Nel linguaggio logico invece, poiché non ci si preoccupa del significato ma
solo dei loro valori di verità, le due proposizioni sono entrambe corrette.
Le seguenti frasi non sono proposizioni.
Chi dorme non piglia pesci.
Cerca di comportarti onestamente.
Sbrigati altrimenti perderai il treno.
Voglio essere la migliore della classe.
Laura è una ragazza bella e spiritosa.
La matematica è una disciplina difficile.
Il tuo cinismo mi addolora.
Toccare ferro porta fortuna
Hai superato l'esame per la patente guida?
Correre in bicicletta mi diverte molto.
Smettila d’essere maleducato!
Come fa freddo oggi!
(è un proverbio, una sentenza)
(è un’esortazione)
(è una sollecitazione)
(Indica un’aspirazione)
(è un giudizio)
(Indica un’opinione)
(Esprime un sentimento)
(é una credenza)
(è una domanda)
(Esprime una sensazione)
(è un ordine)
(è un’esclamazione)
La negazione di proposizioni è
un’operazione logica unaria perché opera su
una sola proposizione.
Si ottiene il risultato dell'operazione
anteponendo “non è vero che” alla
proposizione che si vuole negare oppure
premettendo un “non” al suo predicato
come si fa nel linguaggio naturale. Le
proposizioni si rappresentano di solito con
lettere
maiuscole
dell'alfabeto
internazionale. Per indicare l'operazione di
negazione sono in uso vari simboli; fra
questi adottiamo quello che occupa minor
spazio: se con “p” indichiamo una
qualsiasi proposizione semplice, con “non
p” indicheremo la sua negazione che
leggeremo: “non è vero p” oppure “non
p”. La funzione dell'operatore di
negazione è di cambiare il valore di verità
della proposizione a cui si applica:
se “p” è vera, allora “non p” è falsa;
se “p” è falsa, allora “non p” è vera.
P
Non
P
1
0
0
1
Tabella di verità
La congiunzione di proposizioni è
un’operazione logica binaria che consiste nel
collegare due proposizioni con il connettivo
”e”. Quando si compongono due proposizioni
con un connettivo logico entrano in gioco i
valori di verità di entrambe le proposizioni
componenti e questi danno luogo a quattro
possibili coppie di valori di verità: (V, V),
(V, F), (F, V), (F, F)
Il simbolo usato per la congiunzione è: “
∧
“.
Se P e Q sono due proposizioni semplici,
l’operazione di congiunzione permette di
costruire la proposizione composta (P e Q).
I
risultati
dell’operazione
congiunzione sono raccolti nella tabella:
di
P
Q
P∧Q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Tabella di verità
La disgiunzione inclusiva è pure
un’operazione binaria che consiste nel
collegare due proposizioni con il
connettivo “o inclusivo”, la “o debole”,
che traduce il “vel” latino, termine che
probabilmente ha prestato la sua lettera
iniziale per il simbolo di questa
operazione: “ ∨ “.
Se “P”, “Q” sono due proposizioni
semplici qualsiasi, la disgiunzione
inclusiva permette di costruire la
proposizione composta “P v Q” (legge “P
o Q”) sempre vera tranne nel caso in cui
entrambe le proposizioni componenti sono
false. I risultati dell'operazione di
disgiunzione inclusiva sono pertanto quelli
raccolti nella tabella
P
Q
1
1
0
0
1
0
1
0
P∨Q
1
1
1
0
Il connettivo “o” è usato nel linguaggio naturale
anche con altri significati che ora esaminiamo.
La disgiunzione esclusiva, la “o forte”, che
traduce l'”aut” latino. Il simbolo che, di solito, si
usa per questa disgiunzione è “ >-< “.
La tavola di verità di figura seguente mostra che
la composizione di due proposizioni con questo
connettivo è vera solo nei casi in cui una sola
delle due proposizioni componenti è vera.
Ad esempio, ha significato esclusivo la “o” della
espressione “frutta o formaggio” scritta nei menù
dei ristoranti; precisa che il ristorante mette a
disposizione, nel prezzo convenuto per il menù
scelto, “o frutta o formaggio ma non entrambe le
cose”.
P
Q
P aut
Q
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
P
Q
¬P
¬Q
P∧(¬Q)
¬P∧Q
P∧(¬Q)∨
(¬P∧Q)
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
L'implicazione è un’operazione logica binaria che permette di
collegare due proposizioni, di cui la prima (P) è detta antecedente
e la seconda (Q) è detta conseguente, per formare la proposizione
composta “P → Q”
(si legge: “se P allora Q”, o anche “P implica Q”)
Non si deve confondere l’operazione ora definita con
l’affermazione:
da P si deduce logicamente Q. Infatti la verità della proposizione P
→ Q dipende soltanto dai valori di verità di P e Q. (Implicazione
materiale)
La tavola di verità di figura seguente mette in evidenza che la
proposizione “P => Q” è sempre vera tranne nel caso in cui da una
premessa vera segue una conseguenza falsa.
P
Q
P→Q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Analizziamo questa tavola alla luce di un esempio.
Consideriamo la proposizione:
“se ho la febbre, allora sono ammalato” formata dalle proposizioni
semplici:
P: ho la febbre
Q: sono ammalato
Delle situazioni descritte nelle proposizioni seguenti quale di esse
non può verificarsi:
(a) se
ho la febbre allora
sono ammalato;
(b) se
ho la febbre allora non sono ammalato;
(c) se non ho la febbre allora
sono ammalato;
(d) se non ho la febbre allora non sono ammalato.
Le situazioni indicate in (a) e in (d) si verificano certamente;
può verificarsi anche la (c) perché ci possono essere malattie
che non comportano febbre.
L'unica situazione che non può verificarsi è la (b) che
corrisponde al caso in cui da una premessa vera segue una
conseguenza falsa:
è falso dire di non essere ammalati quando si ha la febbre.
Come si può verificare vale la seguente equivalenza:
( P → Q ) equivale a ( non P v Q )
confrontando le tabelle di verità.
P
Q
P→Q ¬P
¬P v Q ¬(P∧
∧¬Q)
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
Il senso dell’implicazione materiale P → Q lo ritroviamo nei
seguenti casi:
se ABC e’ un triangolo equilatero, allora ABC e’ un triangolo
isoscele.
L’implicazione non è commutativa:
P → Q e Q → P non hanno lo stesso valore di
verità.
Se si compongono le precedenti proposizioni
con una congiunzione
(P→Q) ∧ (Q→P)
si ottiene una nuova proposizione chiamata
doppia implicazione
P⇔Q
Che è vera solo quando le implicazioni
componenti sono entrambe vere o entrambe
false.
P ∧(Q∧R)
(P∧Q)∧R
P∨(Q∨R)
(P∨Q)∨R
(Commutative ) associative.
Proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione;
P ∧ ( Q ∨ R ) equivale a (P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ R )
Proprietà distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione;
P ∨ ( Q ∧ R) equivale a ( P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ R )
Gli unici connettivi logici essenziali sono: la negazione, la disgiunzione
inclusiva,
la congiunzione.
A B C (A∧B)∨C (A∨C)∧
(A∨B)∧C (A∧C)∨
(B∨C)
(B∧C)
0 0 0 0
0
0
0
0 0 1 1
1
0
0
0 1 0 0
0
0
0
0 1 1 1
1
1
1
1 0 0 0
0
0
0
1 0 1 1
1
1
1
1 1 0 1
1
0
0
1 1 1 1
1
1
1
Leggi di De Morgan
A B ¬(A∧B) (¬A)∨(¬B) ¬(A∨B) (¬A)∧(¬B)
0 0 1
1
1
1
0 1 1
1
0
0
1 0 1
1
0
0
1 1 0
0
0
0
La disgiunzione esclusiva
A: al gioco si vince
B: al gioco si perde
A>-<B
A xor B: al gioco si vince o si perde
E
non è vero che
si vince si perde allo stesso tempo.
A B A∨B
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
A∧B
1
0
0
0
Non(A∧B) (A∨B)∧non(A∧B)
0
0
1
1
1
1
1
0
AB
la disgiunzione dell’incompatibilità
Prendere una medicina due o tre volte al giorno
ABAB
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 1
non(A ∧ B)
0
1
1
1
Una medicina si può prendere:
due volte
tre volte
nessuna volta ( se si è guariti)
mentre non è vero che una medicina si possa
prendere due volte e tre volte
A: al gioco si vince
Non A: al gioco non si vince
A ∧ (non A): (al gioco si vince) e (non si vince)
1
0
0
1
0
0
proposizione sempre falsa.
Esprime il principio di contraddizione.
-----------------------------------------------------------non (A ∧ (non A)): non è vero che
(al gioco si vince) e (non si vince)
proposizione sempre vera.
esprime il principio di non contraddizione: una
proposizione non può essere vera e falsa allo
stesso tempo.
------------------------------------------------------------
A ∨ nonA: (al gioco si vince) o (non si vince)
1
0
0
1
1
1
proposizione sempre vera.
Esprime il principio del terzo escluso.
Una proposizione o è vera o è falsa e non esiste
una terza possibilità.
Esercizi sulla logica
•
Dare la tabella di verita delle seguenti espressioni
o Q and (not P)
o ((P and Q) or (Q and not R)
o not P and not Q and not R
o (R OR NOT R) AND (NOT Q OR (P AND NOT P))
o (z OR NOT(y AND NOT x)) AND NOT x
o (x OR y) AND (NOT z OR NOT y)
•
Dire quali delle seguenti espressioni si equivalgono:
o
o
o
o
o
o
•
(x AND NOT z) OR (y AND NOT x) OR (z AND NOT y)
(x OR y) AND (NOT z OR NOT y)
(z OR NOT(y AND NOT x)) AND NOT x
NOT y AND (z OR NOT(x AND NOT y))
NOT(x AND y AND z) AND (x OR y OR z)
((x OR NOT y) AND NOT(y AND NOT z))
Semplificare il piu possibile le seguenti espressioni:
o (R OR NOT R) AND (NOT Q OR (P AND NOT P))
o (x AND NOT z AND y) OR NOT x
o NOT(x AND y AND z) AND (x OR y OR z)
o not P and not Q and not R