2004. Suppletivo. LAG 2014 - PROBLEMA n.2 di GEOMETRIA

ESAME di STATO 2004
Sessione suppletiva
Disegni a cura del prof. Cristiano DOMENICHELLI
Testi della prof.ssa Tiziana LA TORELLA
LICEO SCIENTIFICO “GALILEO FERRARIS”
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO DI ORDINAMENTO
Sessione 2004
suppletiva
Indirizzo: SCIENTIFICO
Tema di: MATEMATICA
Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario.
PROBLEMA 2
Una piramide ha per base il quadrato ABCD di lato lungo
. Anche l’altezza VH della
piramide è lunga
e il suo piede H è il punto medio del lato AB.
Condurre per la retta AB il piano
che il
che formi con il piano della base della piramide un angolo
e indicare con EF la corda che il piano
tale
intercetta sulla faccia VCD della
piramide.
a. Spiegare perché il quadrilatero convesso ABEF è inscrivibile in una circonferenza
b. Tale quadrilatero è anche circoscrivibile ad una circonferenza?
c. Calcolare i volumi delle due parti in cui la piramide data è divisa dal piano .
d. Dopo aver riferito il piano ad un conveniente sistema di assi cartesiani Oxy,determinare
l’equazione della circonferenza .
Breve introduzione:
Il problema è diviso in quattro punti e presenta :
nel primo a
la costruzione geometrica di un quadrilatero convesso che è un trapezio isoscele ed è
inscrivibile in una circonferenza
nel secondo b
;
il calcolo delle misure dei lati del trapezio e la dimostrazione che il quadrilatero non è
circoscrivibile ad una circonferenza;
nel terzo c
l’uso della trigonometria per il calcolo dei due volumi componenti la piramide;
nel quarto d
l’equazione della circonferenza
circoscritta al trapezio isoscele.
Una piramide ha per base il quadrato ABCD di lato lungo
. Anche l’altezza VH della
piramide è lunga
e il suo piede H è il punto medio del lato AB.
Condurre per la retta AB il piano
tale che il
che formi con il piano della base della piramide un angolo
e indicare con EF la corda che il piano
intercetta sulla faccia VCD
della piramide.
a) Spiegare perché il quadrilatero convesso ABEF è inscrivibile in una circonferenza
CARATTERISTICHE :
 Il triangolo
è isoscele per costruzione.
 Il triangolo
è isoscele per il teorema delle tre perpendicolari :
“Dal piede (H) di una perpendicolare (VH) ad un piano (ABCD) , si traccia la perpendicolare
HM ad una qualsiasi retta (CD) del piano, quest’ultima (CD) risulta perpendicolare al piano
individuato da VH e HM”.
 I triangoli VCM e VMD risultano congruenti perché rettangoli (
congruenti (M punto medio di CD).
con i lati MC e CD
 I triangoli VBC e VAD sono rettangoli (per il teorema delle tre perpendicolari) e congruenti.
 Il quadrilatero ABFE ha due lati paralleli AB e EF , perché appartenenti al piano
forma con il piano della base ABCD della piramide un angolo
, tale che il
 I triangoli BFC e AED sono congruenti per il secondo criterio :
e
,
quindi i lati AE e BF del quadrilatero ABFE sono congruenti.
 ABFE con due lati paralleli e due lati obliqui uguali è un trapezio isoscele.
, che
.
Ogni trapezio isoscele ha gli angoli opposti supplementari quindi è inscrivibile in una
circonferenza. punto a).
b) Tale quadrilatero è anche circoscrivibile ad una circonferenza?
Il quadrilatero è circoscrivibile
MA
la base minore è
La base minore è
La base maggiore è
ma
dal grafico è già visibile che il trapezio non è
circoscrivibile ad una circonferenza.
Il quadrilatero è circoscrivibile
MA
la base maggiore è
 Un quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenza se la somma dei lati opposti è uguale.
 I lati hanno le seguenti misure :
.
 Per trovare BF si applica il teorema di Eulero (dei seni) al triangolo HKM
 Si determina la base minore EF considerando in triangoli simili CDV e FEV

perché il triangolo HMV è rettangolo e isoscele.
 Si considera il teorema di Eulero (teorema dei seni) per il triangolo VHK :
Se
 Per trovare BF, troviamo la semidifferenza delle basi
Applichiamo il Teorema di Pitagora . BF =
 I lati opposti hanno somme diverse :
e
quadrilatero ABFE non è circoscrivibile ad una circonferenza. punto b).
PROPRIETA’ GEOMETRICHE :
.
c. Calcolare i volumi delle due parti in cui la piramide data è divisa dal piano .
 Il volume della piramide ABCDV è
 Il piano
quindi
.
divide la piramide in due solidi:
-
è possibile calcolare il volume
del primo solido
(è una nuova piramide avente come base il trapezio isoscele ABEF e come altezza il
segmento perpendicolare alla base, uscente dal vertice V).
-
Il volume
del secondo solido si calcola come differenza
.
 Nella piramide
-
l’area del trapezio isoscele di base è
-
l’altezza , interna al triangolo VHK, è il segmento perpendicolare alla base uscente dal vertice
V. Si calcola considerando il teorema sui triangoli rettangoli
;
-
.

.
e
punto c).
d. Dopo aver riferito il piano ad un conveniente sistema di assi cartesiani Oxy,
determinare l’equazione della circonferenza .
 Il conveniente sistema di assi cartesiani Oxy avrà come origine il punto A , come asse x
la retta per i punti A e B e come asse y la retta perpendicolare alla base AB.
 La circonferenza
passerà per i punti
, B
,
.
 Si risolve il seguente sistema :
 Si ottengono
 L’equazione della circonferenza
è
punto d).