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Appunti
Gli appunti che seguono sono soltanto una bozza preliminare, sono pubblicati
come ausilio per lo studio, ma possono contenere errori e mancanze, quindi
non fanno testo per l’esame.
Brevissimi cenni di logica elementare
Definizione 1. Una proposizione è una espressione a cui si può assegnare
un valore di verità: VERO o FALSO, 1 o 0, TRUE o FALSE.
Esempi
• 2 = 1 + 1 è VERA;
• 2 = 2 + 3 è FALSA;
• 2 + 1 non è una proposizione.
Date delle proposizioni p, q, . . . è possibile generarne altre attraverso i
connettivi logici :
• not p è vera se p è falsa;
• p and q è vera se p e q sono entrambe vere;
• p or q è vera se almeno una proposizione tra p e q è vera.
Esempi
• (1 < 2) or (1 < 3) è vera;
• (1 < 2) and (1 < 3) è vera;
• (1 < 2) or (1 > 3) è vera;
• (1 < 2) and (1 > 3) è falsa;
1
2
• not (1 > 3) è vera.
Introduciamo ora altri due connettivi logici, l’implicazione logica e la
doppia implicazione:
• implicazione logica: “p ⇒ q” (se p allora q). è falso se p è falso e q è
vera, mentre è vera in tutti gli altri casi.
• doppia implicazione: “p ⇔ q”. è equivalente a “(p ⇒ q) and (q ⇒
p)”.
Ultimi oggetti da presentare sono i quantificatori. Iniziamo col dire che
se un’espressione contiene una variabile e, una volta sostituita la variabile,
l’espressione diventa una proposizione, essa viene detta proprietà.
Esempi Sono delle proprietà le seguenti espressioni:
• n è un numero primo
• n è divisibile per r.
Abbiamo detto che una proprietà diventa una proposizione una volta sostituite le variabili in essa contenute. Verifichiamo con gli esempi appena
visti:
• sostituiamo n con 4 nella prima espressione: “4 è un numero primo”. è
falso.
• sostituiamo n con 6 e r con 3 nella seconda espressione: “6 è divisibile
per 3”. è vero.
Un altro modo di trasformare una proprietà in una proposizione è mediante l’utilizzo dei cosiddetti quantificatori :
• quantificatore universale: “per ogni”, ∀ (per ogni n, vale la proprietà
p(n));
• quantificatore esistenziale: “esiste”, ∃ (esiste n tale che p(n)).
Esempi
• “Per ogni n intero, n è primo è falsa”.
• “Esiste n intero tale che n è primo è vera”.
3
Teoria ingenua degli insiemi
Definizione 2. Viene chiamato insieme ogni collezione di oggetti che siano
determinati e distinguibili. Gli oggetti vengono chiamati elementi dell’insieme.
Esempi
• X = {1, 2, 3};
• Y = {n intero : n ≥ 1};
• Data una proprietà p(n), Z = {x : p(x) vero}.
Dati due insiemi A e B, possiamo definire l’inclusione (A ⊂ B), la loro
intersezione (A ∩ B), la loro unione (A ∪ B), ... .
Gli elementi di Euclide
Definizione 3. La linea retta (per noi segmento) è la brevissima estensione
da un punto a un altro.
Definizione 4. Un angolo piano è l’inclinazione di due linee quando si incontrano sullo stesso piano e non giacciono sulla stessa retta. Se le due linee
che formano l’angolo sono rette, l’angolo è chiamato rettilineo.
Definizione 5. Quando una linea retta ne interseca un’altra formando angoli
adiacenti uguali, questi vengono chiamati angoli retti e la prima linea retta
chiamata perpendicolare.
C
b
b
A
b
b
B
Definizione 6. Due linee rette sullo stesso piano si dicono parallele se,
prolungate all’infinito in ogni direzione, non si incontrano mai.
Stabiliamo che siano validi i seguenti cinque postulati:
1) è possibile tracciare un segmento che congiunge due punti dati;
4
2) è possibile prolungare un segmento dato;
3) è possibile tracciare una circonferenza con un qualsiasi centro e raggio
dati;
4) tutti gli angoli retti sono uguali;
5) se una linea retta ne interseca altre due formando dalla stessa parte
due angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora le
due rette prolungate all’infinito dalla parte dei due angoli considerati
si incontrano; (in altre parole, se α + β < 180◦ , allora le due rette si
incontrano dalla parte destra).
b
b
b
α
β
b
Equivalente al quinto postulato è il seguente:
5) (alternativo) Data una retta e un punto esterno ad essa, esiste una e
una sola retta parallela alla retta data passante per il punto.
b
A
Presentiamo ora cinque nozioni comuni:
1) cose uguali alla stessa cosa sono uguali;
2) se aggiungiamo cose uguali a cose uguali, le somme sono uguali tra loro;
3) se togliamo cose uguali a cose uguali, i resti sono uguali tra loro;
4) cose che coincidono una con l’altra sono uguali tra loro;
5) l’intero è più grande della parte.
Osservazione 1. Euclide intende la parola uguale come una generica relazione di equivalenza pensando in particolare alla congruenza e alla equivalenza (di aree).
5
Definizione 7. In un insieme X è definita una relazione di equivalenza (∼)
tra coppie di suoi elementi se sono soddisfatte le seguenti proprietà:
i) a ∼ a (proprietà riflessiva, corrisponde alla nozione comune 4);
ii) a ∼ b ⇒ b ∼ a (proprietà simmetrica);
iii) a ∼ b, b ∼ a ⇒ a ∼ c (proprietà transitiva).
(le ultime due proprietà corrispondono alla nozione comune 1).
Da un punto di vista moderno, la struttura che stiamo studiando è costituita da una coppia (S, L), dove S è l’insieme dei punti e L è l’insieme delle
rette che soddisfano i seguenti postulati di incidenza:
I0 : le linee rette sono insiemi di punti (∀L ∈ L ⇒ L ⊂ S);
I1 : dati due punti distinti esiste una e una sola linea che li contiene;
I2 : ogni linea contiene almeno due punti, il piano contiene almeno tre punti
non sulla stessa retta.
A questo punto occorre aggiungere altri postulati, tra cui il “postulato
del righello”: i punti di ogni retta possono essere messi in corrispondenza
biunivoca con i numeri reali. Da questo postulato derivano le nozioni di
semiretta, angolo, segmento, triangolo, poligono, congruenza tra segmenti.
Un altro postulato fondamentale è il “postulato del goniometro”, il quale ci
permette di misurare gli angoli e di definire una nozione di congruenza tra
gli stessi. Un altro approccio possibile, senza l’introduzione di questi ultimi
due postulati, è quello sintetico di Hilbert, che si basa su altri postulati.
Definizione 8. Due triangoli △ABC e △DEF sono congruenti se esiste
una corrispondenza tra i vertici A ↔ D, B ↔ E C ↔ F tale che
AC ∼
= DF ;
CB ∼
= F E;
AB ∼
= DE;
[ ∼
\
CAB
DE;
=F
[ ∼
\;
ABC
= DEF
[ ∼
\
D.
BCA
= EF
6
b
C
F
b
A
D
b
b
B
b
b
E
Proposizione 1 (LAL, Prop. I.4 di Euclide). Se due triangoli hanno due
lati e l’angolo compreso congruenti, allora sono congruenti.
b
A
b
B
D
E
b
b
b
C
b
F
Per dimostrare questa proposizione Euclide sposta il triangolo △ABC sul
triangolo △EDF compiendo una operazione non prevista dai suoi postulati.
In realtà questo primo criterio di congruenza dovrebbe essere considerato un
ulteriore postulato, dal momento che è indipendente dai postulati precedenti.
Definizione 9. Si definisce triangolo isoscele un triangolo con almeno due
lati congruenti.
Proposizione 2 (Prop. I.5 di Euclide). I triangoli isosceli hanno angoli alla
base congruenti.
Dimostrazione. Ipotesi AB ∼
= AC;
[ ∼
[
Tesi ABC
= ACB.
Per la dimostrazione prolunghiamo i lati AB e AC rispettivamente di
due segmenti congruenti BF e CG e congiungiamo poi B con G e C con
7
b
A
B
b
F
b
b
C
b
G
F . Consideriamo i triangoli △BAG e △CAF che hanno: AG ∼
= AF per
[ ∼
[
costruzione (somme di cose uguali....), AB ∼
= AC per ipotesi, BAG
= CAF
essendo lo stesso angolo. Pertanto questi due triangoli sono congruenti e di
[ ∼
[
[ ∼
[ Per il primo criterio
C e ACF
conseguenza BG ∼
= CF , AGB
= AF
= ABG.
[ ∼
[
di congruenza (BG ∼
C) si ha che △F BC ∼
= CF , BF ∼
= CG, AGB
= AF
=
∼
\
\
△BGC e quindi F CB = GBC. Per differenza di angoli congruenti si ha
[ ∼
[
allora la tesi: ABC
= ACB.
Dimostrazione. (Alternativa) Supponiamo di considerare, a partire dal triangolo △ABC con base BC, due triangoli, mettendo in corrispondenza i
vertici nel seguente modo:
A↔A
B↔C
C ↔ B.
Abbiamo allora:
[ (stesso angolo);
[ ∼
• BAC
= CAB
• AC ∼
= AB (triangolo isoscele);
• AB ∼
= AC (triangolo isoscele);
[ ∼
e quindi per il primo criterio △ABC ∼
=
= △ACB. Di conseguenza ABC
[
ACB.
Proposizione 3. Un triangolo con due angoli congruenti è isoscele.
8
Dimostrazione.
[ ∼
[
Ipotesi: ABC
= ACB.
Tesi: AB ∼
= AC.
b
A
D
b
B
b
b
C
Procediamo per assurdo. Sia D tale che BD ∼
= AC. Consideriamo i trian∼
\∼
[
goli △ACB e △DBC. Abbiamo: BD = AC per costruzione, DBC
= ABC
per ipotesi, il lato BC in comune. Quindi per il primo criterio questi due
\∼
[ ma per ipotesi abbiamo
triangoli sono congruenti. Pertanto DCB
= ABC,
∼
∼
[ = ACB.
[ Perciò DCB
\ = ACB.
[ E questo è assurdo perché l’intero è
ABC
più grande della parte. Proposizione 4 (ALA). Triangoli con due angoli e il lato tra essi compresi
congruenti sono congruenti.
Dimostrazione.
[ ∼
\ , BCA
[ ∼
\
Ipotesi: AC ∼
D.
= DF , BAC
= EDF
= EF
∼
Tesi: △ACB = △DF E.
b
B
b
b
A
b
b
C
D
b
B′
E
b
F
Sia B ′ tale che DB ′ ∼
= AB. Per LAL si ha allora △ABC ∼
= △DF B ′ .
′ F D e, essendo per ipotesi BCA
′F D ∼
[ ∼
\
[ ∼
\
\
Quindi BCA
D, si ha B
=B
= EF
=
′
\
EF D. Perciò B = E e i due triangoli sono congruenti. Proposizione 5 (LLL). Triangoli con tutti i lati congruenti sono congruenti.
9
Dimostrazione.
Ipotesi: AB ∼
= DE, BC ∼
= EF , AC ∼
= DF .
Tesi: △ABC ∼
△DEF
=
B
b
A
b
b
b
b
E
D
C
b
b
F
B′
\′ ∼
\ e AB ′ ∼
Costruiamo AB ′ in modo che CAB
= EDF
= ED. Poiché anche
′
∼
∼
AC = DF , per LAL si ha △AB C = △DEF . Quindi B ′ C ∼
= EF ∼
= BC.
′
′
′
∼
\ = CB
\
Perciò △B CB è isoscele e CBB
B. Analogamente si dimostra che
′
′
′
∼
∼
\ = AB
\
[ = AB
\
ABB
B e quindi ABC
C. Per LAL △ABC ∼
= △AB ′ C ∼
=
△DEF . Proposizione 6. Angoli opposti al vertice sono congruenti.
Dimostrazione.
b
γ
α
b
β
b
Dobbiamo dimostrare che α = β. Abbiamo che α + γ = 180◦ e β + γ =
180◦ . Quindi α = β. 10
Proposizione 7. In un triangolo qualunque ogni angolo esterno è maggiore
di ciascuno degli angoli interni a esso non adiacenti.
\ > CBA
[ e che BCD
\>
Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che BCD
[
BAC.
b
B
F
b
E
b
A
b
b
b
D
C
Sia E tale che EC ∼
EC
= EB e AF tale che AE ∼
= EF . Gli angoli F[
[ sono opposti al vertice, quindi sono congruenti. Di conseguene BEA
[ Quindi DCE
\ > F[
[
za △AEB ∼
CE ∼
CE = CBA.
= △CEF e F[
= CBA.
Per dimostrare la seconda tesi basta ripetere la dimostrazione appena fatta
costruendo non sul lato BC ma su AC. Proposizione 8. In ogni triangolo lato maggiore sottende angolo maggiore.
Proposizione 9. Angolo maggiore è sotteso da lato maggiore.
Proposizione 10. In ogni triangolo la somma di due lati è maggiore del lato
restante.
Proposizione 11 (AAL). Due triangoli con due angoli e un lato, che non
sia quello compreso tra i due angoli, congruenti sono congruenti. Quindi due
triangoli, aventi rispettivamente congruenti un lato e due angoli, ugualmente
disposti rispetto al lato, sono congruenti.
[ ∼
\ e BCA
[ ∼
\
Dimostrazione. Sia AB ∼
D.
= DE, BAC
= EDF
= EF
b
A
b
B
b
b
C
D
b
E
b
F′
b
F
Supponiamo per assurdo che AC non sia congruente a DF . Allora esiste
su DF un punto F ′ tale che AC ∼
= DF ′ e quindi △ABC ∼
= △DEF ′ . Di
11
′D ∼
\
[ ∼
\
conseguenza EF
F ′ . Ma questo è assurdo per il teorema
= BCA
= EF
dell’angolo esterno. Proposizione 12. Se due rette, tagliate da una trasversale, formano una
coppia di angoli alterni interni congruenti, allora sono parallele.
Dimostrazione. Ipotesi: α = β.
α
b
β
Procediamo per assurdo. Se non fossero parallele, si incontrerebbero o a
destra o a sinistra. Supponiamo che si incontrano a destra. Si forma cosı̀ un
triangolo.
α
β
Per il teorema dell’angolo esterno allora si avrebbe che α > β. Ma questo
è assurdo. Quindi le due rette sono parallele. 12
Proposizione 13. Se due rette, tagliate da una trasversale, formano una
coppia di angoli corrispondenti (interni o esterni) congruenti, allora sono
parallele.
β
α
Proposizione 14. Se due rette di un piano sono parallele, esse, tagliate da
una trasversale, formano angoli alterni interni congruenti.
Dimostrazione.
α
γ
β
Supponiamo per assurdo che α > β. Allora α + γ > β + γ. Ma
α + γ = 180◦ . Quindi β + γ < 180◦ . Per il quinto postulato le due rette si
dovrebbero incontrare a destra e quindi non possono essere parallele. Riassumendo possiamo dire:
• se abbiamo angoli alterni interni congruenti, allora le due rette sono
parallele;
• se le rette sono parallele, allora gli angoli alterni interni sono congruenti
(solo sotto la validità del quinto postulato).
13
Proposizione 15. Il parallelismo tra rette è una relazione di equivalenza.
c
b
a
Quindi:
• a k a;
• a k b ⇒ b k a;
• a k b, b k c ⇒ a k c.
Proposizione 16. La somma degli angoli interni di un triangolo è 180◦ .
Dimostrazione.
B
b
α
δ
A
b
β
ε
γ
b
C
Esiste una sola retta parallela a AB passante per C. Di conseguenza
α = δ perché alterni interni e β = ǫ perché corrispondenti. Quindi si ha
α + β + γ = 180◦ . 14
Proposizione 17. Linee rette che congiungono linee rette (segmenti) congruenti e parallele sono congruenti e parallele.
Abbiamo come ipotesi che AB ∼
= CD e AB k CD. La tesi è invece che
AC ∼
= BD con AC ∼
= BD.
b
b
A
b
C
b
b
B
D
La figura cosı̀ ottenuta prene il nome di parallelogramma. Il parallelogramma è un esempio di superficie piana limitata (parte di piano limitata
da una linea chiusa). Due superfici aventi la stessa estensione sono dette
equivalenti. è intuitivo che due superfici piane congruenti sono equivalenti.
Inoltre possiamo dire che somme di superfici equivalenti sono equivalenti.
Proposizione 18. Parallelogrammi con la stessa base e tra le stesse parallele
sono equivalenti.
Dimostrazione.
D
C
b
b
A
b
b
b
F
b
E
B
Osservando la figura, si può facilmente dimostrare che △AF D ∼
= △BEC.
Se consideriamo poi il trapezio ABED, togliendo ad esso i due triangoli otteniamo i due parallelogrammi. Da questa proposizione si può dedurre la seguente
Proposizione 19. Parallelogrammi tra le stesse rette parallele e con basi
congruenti hanno la stessa area.
b
15
Un’altra conseguenza è la seguente
Proposizione 20. Triangoli sulla stessa base e tra le stesse parallele hanno
la stessa area.
b
b
b
b
A
B
Proposizione 21. Triangoli con basi congruenti e tra le stesse parallele
hanno la stessa area.
Proposizione 22 (Teorema di Pitagora). In ogni triangolo rettangolo il
quadrato dell’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati dei due cateti.
Dimostrazione.
b
b
b
A
b
E
b
B
b
b
D
b
b
H
K
b
b
C
16
Consideriamo il triangolo △ABC e tracciamo i segmenti EC e DA. Abbiamo cosı̀ ottenuto i triangoli △BEC e △ABD. Essi risultano congruenti in
\∼
\ perché somma di angoli uguali, BC ∼
quanto hanno EBC
= BD per= ABD
chè lati dello stesso quadrato e EB ∼
= AB perché lati dello stesso quadrato.
Come si può notare, il triangolo △EBC è equivalente a △EBA dal momento
che hanno la stessa base e sono compresi tra le rette parallele AC e EB. Il
triangolo △ABD risulta equivalente a △BHD perché hanno la stessa base
e sono compresi tra le rette parallele BD e AH. Quindi risultano equivalenti
anche i triangoli △EBA e △BHD e di conseguenza il rettangolo BHKD
ha la stessa area del quadrato costruito sul lato AB. In modo analogo si
dimostra l’equivalenza tra il quadrato costruito su AC e la restante parte del
quadrato costruito sull’ipotenusa. Proposizione 23. Se in un triangolo di lati a, b e c, vale la relazione a2 +
b2 = c2 , allora il triangolo è rettangolo.
Costruzioni con riga e compasso: luoghi dei punti e
poligoni regolari
Presentiamo in questo paragrafo definizioni e concetti che possono risultare
utili per costruire figure geometriche con riga e compasso.
Definizione 10. Il luogo dei punti di un piano equidistanti dai lati di un
angolo convesso è la bisettrice dell’angolo.
b
b
b
b
b
b
Definizione 11. Il luogo dei punti di un piano equidistanti da due punti dati
è l’asse del segmento che ha per estremi i due punti.
17
b
b
b
b
Supponiamo ora di avere tre segmenti a, b e c: vogliamo costruire il
triangolo avente come lati questi segmenti.
b
b
b
b
c
b
b
a
Data la retta su cui si vuole costruire il triangolo, riportiamo su di essa i
tre segmenti. Tracciamo le due criconferenze aventi come centro gli estremi
del segmento centrale e raggi gli altri due segmenti. Il punto di intersezione
delle circonferenze sarà il terzo vertice del triangolo.
Data una retta vogliamo ora costruire la parallela passante per un punto
E esterno ad essa.
b
b
A
E
b
b
B
b
C
F
b
D
18
Costruiamo il triangolo △CDF congruente a △ABE. La retta passante
per E e F è la retta cercata.
Vogliamo ora inscrivere in una circonferenza un esagono regolare.
b
E
b
F
D
b
O
b
b
A
C
b
b
B
Data la circonferenza di centro O, a partire da un qualunque punto A,
prendiamo una corda AB congruente al raggio. L’arco che sottende tale corda è uguale alla sesta parte della circonferenza, dal momento che il triangoo
[ risulta uguale a un terzo di ango△AOB è equilatero e quindi l’angolo AOB
lo piatto. Portando, quindi, a partire da B, altre cinque corde congruenti al
raggio, la circonferenza risulta essere divisa in sei parti congruenti: si ottiene
in questo modo un esagono regolare.
Quando un poligono regolare di n lati può essere inscritto in una circonferenza? Questo è possibile solo in due casi:
h
• se n è un numero primo, esso deve essere della forma (2)2 + 1 con h
numero naturale;
• se n non è un numero primo, essere deve risultare un prodotto di una
potenza di 2 per un certo numero di fattori primi distinti, ciascuno della
h
forma (2)2 + 1.
Proporzioni e similitudini
Prima di parlare di proporzioni, introduciamo qualche nozione sulle classi di
grandezze, di cui fanno parte l’insieme delle lunghezze dei segmenti, l’insieme
delle ampiezze degli angoli e l’insieme delle aree delle superfici piane. Se A e
B sono due grandezze omogenee, tra di esse si può stabilire una delle seguenti
relazioni: A > B, A = B, A < B. Ciascuna di esse, ovviamente, esclude le
altre due. 9Per ogni classe di grandezze si ammettono due postulati:
• Ogni grandezza è divisibile in quante si vogliano parte uguali;
19
• Date due grandezze della stessa classe esiste sempre una grandezza
multipla della minore che supera la maggiore, cioè, se A > B, esiste un
numero intero positivo m per cui risulta mB > A (e un numero intero
positivo n per cui n1 A < B).
Le grandezze di una stesso tipo possono essere misurate tra loro. Dati due
segmenti, quando la misura del primo rispetto al secondo, scelto come unità,
è un numero razionale, si dice che i segmenti sono commensurabili. Quando,
invece, la misura del primo rispetto al secondo è un numero irrazionale, i due
segmenti si dicono incommensurabili. Un esempio sono il lato e la diagonale
di un quadrato.
Proposizione 24. La diagonale e il lato l di un quadrato sono incommensurabili.
√
In particolare si ha che la diagonale misura 2l. Di√conseguenza il rapporto tra la diagonale e il lato è sempre uguale e pari a 2. Quindi, dati due
quadrati diversi, si ha:
b
C
b
F
b
b
a
c
A
b
b
B
D
b
b
E
d
b
Quindi:
a
c √
= = 2.
b
d
Possiamo dire che valgono le seguenti implicazioni:
a
n
c
a
n
c
=
< ⇔
< ∀n, m = 1, 2, . . .
⇔
b
d
m
b
m
d
⇔ (nb < ma ⇔ nd < mc ∀n, m = 1, 2, . . .)
⇔ nAB < mAC ⇔ nDE < mDF ∀n, m = 1, 2, . . . .
Quest’ultima è la definizione di Euclide del concetto di proporzione:
AC : AB = DF : DE.
20
Secondo il criterio generale di proporzionalità, condizione necessaria e
sufficiente affinchè le grandezze di due insiemi in corrispondenza biunivoca
siano direttamente proporzionali è che:
1) a grandezze uguali dell’uno corrispondano grandezze uguali dell’altro;
2) alla somma di due o più grandezze qualunque del primo insieme corrisponda la somma delle grandezze corrispondenti del secondo insieme.
Conseguenza diretta è che se due insiemi di grandezze tutte della stessa specie sono direttamente proporzionali, la somma di quante si vogliano
grandezze del primo insieme sta alla somma delle corrispondenti del secondo
come ogni grandezza del primo sta alla corrispondente del secondo.
Proposizione 25 (Teorema di Talete). Un fascio di rette parallele determina
sopra due trasversali due insiemi di segmenti direttamente proporzionali.
Dimostrazione. Per la dimnostrazione sfruttiamo il criterio generale di
proporzionalità.
r
A
b
r′
b
A′
a
B
b
b
B′
b
c
C
b
d
D
b
b
C′
b
D′
Si può facilmente vedere che sono soddisfatte entrambe le condizioni del
criterio di proporzionalità. Infatti sappiamo già a segmenti congruenti su una
trasversale corrispondono segmenti congruenti sull’altra trasversale. Inoltre
alla somma di segmenti su r corrisponde la somma di segmenti corrispondenti
di r′ :
AB + BC = AC
21
A′ B ′ + B ′ C ′ = A′ C ′ . Un concetto collegato alle proporzioni è quello della similitudine.
Definizione 12. Due triangoli △ABC e △DEF sono simili se esiste una
corrispondenza
A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F
tale che
b
C
b
F
b
e
D
b
f
b
b
a
c
A
d
b
E
B
b
[ ∼
\
• CAB
DE
=F
[ ∼
\
• ABC
= DEF
[ ∼
\
• BCA
D
= EF
• a/d = b/e = f /c
Presentiamo ora i criteri di congruenza.
Proposizione 26 (AA). Due triangoli con due angoli congruenti (di conseguenza tre) sono simili.
Dimostrazione.
b
A′
b
B′
b
b
C′
D
b
A
b
E
B
b
b
C
22
Dobbiamo dimostrare che AB : A′ B ′ = AC : A′ C ′ = BC : B ′ C ′ . Incominciamo a dimostrare che AB : A′ B ′ = AC : A′ C ′ , supponendo che
AB > A′ B ′ . Segniamo su AB il punto D tale che AD ∼
= A′ B ′ e si conduca
la retta DE parallela al lato BC. Per Talete si avrà che
AB : AD = AC : AE
′ A′ C ′ ,
\∼
. Consideriamo i triangoli △ADE e △A′ B ′ C ′ : essi hanno DAE
= B\
′ B ′ C ′ . Infatti ADE
\ ∼
\ ∼
[ perché corAD ∼
= A′ B ′ e l’angolo ADE
= A\
= ABC
rispondenti delle rette parallele DE e BC tagliate dalla trasversale AB.
Quindi i due triangoli sono congruenti e in particolare si ha AE ∼
= A′ C ′ .
Essendo poi AD ∼
= A′ B ′ , la proporzione precedente può essere riscritta nel
seguente modo:
AB : A′ B ′ = AC : A′ C ′ .
Abbiamo cosı̀ dimostrato la prima relazione. Ragionando in modo analogo,
costruendo un segmento su BC congruente a B ′ C ′ , si dimostra facilmente
che
AB : A′ B ′ = BC : B ′ C ′ .
Si arriva cosı̀ alla tesi. Da questo criterio di similitudine segue che due triangoli rettangoli sono
simili se hanno un angolo acuto congruente.
Proposizione 27 (LLL). Due triangoli sono simili se hanno i tre lati rispettivamente proporzionali.
Dimostrazione.
b
A
b
D
α
c
b
δ
E′
σ
d′
b
F′
Come ipotesi abbiamo
E
b
a
e
f
d
= = .
a
b
c
b
b
d
γ
B β
b
e
f
e′
f′
b
C
F
23
Dobbiamo dimostrare che gli angoli corrispondenti sono congruenti. Sia
AE ′ ∼
= DE e E ′ F ′ k BC. Essendo E ′ F ′ k BC, si ha β ∼
=δeγ∼
= σ. Quindi
′
′ ′
△AE F è simile △ABC per il criterio AA. In particolare si ha fc = da . Per
′
ipotesi si ha fc = ad e quindi da = ad , cioè d = d′ . Analogamente si trova e = e′
e quindi per il criterio di congruenza LLL △AE ′ F ′ ∼
= △DEF . Ma △AE ′ F ′
è simile a △ABC che quindi è simile a △DEF . Proposizione 28 (LAL). Due triangoli sono simili se hanno un angolo
congruente compreso fra lati proporzionali.
Dimostrazione.
b
A
b
D
α
c
b
δ
E′
σ
d′
b
b
F′
E
b
b
b
F
d
γ
B β
e
f
e′
f′
b
C
a
[ ∼
\ , f = e . Costruiamo il triangolo
Come ipotesi abbiamo che BAC
= EDF
c
d
△AE ′ F ′ come nella dimostrazione precedente. Si deduce quindi che △ABC
′
è simile a △AE ′ F ′ . Di conseguenza eb = fc . Ma per ipotesi fc = eb , da cui
e = e′ . Per il criterio di congruenza LAL si ha △AE ′ F ′ ∼
= △DEF che quindi
risulta simile a △ABC. 24
Applicazioni
Equazione della retta.
C
b
4
B
b
3
b
2
A
b
D
b
E
1
1
2
3
4
5
6
7
8
Supponiamo che i punti abbiano le seguenti coordinate: A = (a, b), B =
(c, d), C = (x, y), D = (c, b), E = (x, b). I triangoli △ABC e △ACE sono
[ in comune (criterio AA).
simili perché sono rettangoli e hanno l’angolo CAE
Quindi si ha
y−b
x−a
=
.
d−b
c−a
Secondo teorema di Euclide. In un triangolo rettangolo l’altezza relativa
all’ipotenusa è media proporzionale alla proiezione dei cateti sull’ipotenusa.
A
b
b
c
h
B
b
b
f
H
b
C
g
Consideriamo i triangoli △ABH e △CAH. Essi sono simili perché sono
\ e CAH
\ congruenti in quanto complemenrettangoli e hanno gli angoli ABH
\ Perciò i lati opposti agli angoli congruenti
tari dello stesso angolo BAH.
sono in proporzione e in particolare si ha che
h
f
= .
h
g
25
Teorema di Pitagora.
A
b
b
c
h
a1
B
b
b
a2
H
b
C
a
Abbiamo che a1 + a2 = a. I triangoli △ABH e △ABC sono simili perché
[ in comune. Quindi possiamo dire che
sono rettangoli e hanno l’angolo ABC
a1
c
c2
= ⇒ a1 = .
c
a
a
Analogamente, i triangoli △AHC e △ABC sono simili e quindi
b
b2
a2
= ⇒ a2 = .
b
a
a
Sommando si ha
a = a1 + a2 =
c 2 b2
+
⇒ a2 = b 2 + c 2 .
a
a
Basi e altezze in triangoli simili. In triangoli simili le basi stanno tra
loro come le rispettive altezze.
b
A
D
b
b′
c
b
h
h′
E
b
H′
b
a′
B
b
b
H
b
C
a
Per ipotesi abbiamo △ABC ∼ △DEF . Quindi si ha
a′
b′
= .
a
b
b
F
26
Abbiamo anche che △AHC ∼ △DH ′ F :
b′
h′
= .
b
h
Di conseguenza
h′
b′
= .
b
h
Aree di triangoli simili. I rapporti tra le aree di triangoli (o poligoni)
simili sono uguali ai rapporti tra i quadrati di lati corrispondenti.
b
A
D
b
b′
c
b
h
h′
E
b
H′
b
b
F
a′
B
b
b
H
b
C
a
Sia A l’area del traingolo △ABC e A′ quella di △DEF . Abbiamo:
1
ah
a h
A
2
=
1 ′ ′ = ′ · ′.
′
A
a h
ah
2
Per il teorema precedente sappiamo che il rapporto tra le basi è uguale al
rapporto tra le altezze. Quindi
A
a a
a2
=
·
=
.
A′
a′ a′
a′2
Perimetri di triangoli simili. Il rapporto tra i perimetri di due triangoli
simili è uguale al rapporto tra lati corrispondenti.
27
La circonferenza
Definizione 13. La circonferenza è il luogo dei punti di un piano che hanno
da un punto dato la stessa distanza.
Proposizione 29. Ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.
Dimostrazione.
A
b
β α
b
O
b
B
C
b
b
D
\ = α + β. Il triangolo ABO è isoscele quindi
Supponiamo di avere BAD
i suoi angoli alla base valgono entrambi β. Il triangolo ACO è isoscele e i
\ e COD
\ sono angoli esterni
suoi angoli alla base misurano α. Gli angoli BOD
[ e DOA.
\ Quindi
dei due triangoli rispettivamente supplementari di BOA
\ = 2α + 2β =
valgono rispettivamente 2β e 2α. Di conseguenza si ha BOC
[ 2(α + β)2BAC.
28
Corollario 1. L’angolo alla circonferenza che insiste sul diametro è retto.
b
b
b
b
Indichiamo ora con Pk il perimetro del poligono regolare con k lati inscritto in una circonferenza. Più il numero di lati è grande, più il perimetro
del poligono regolare inscritto si avvicina al valore della lunghezza della
circonferenza.
Definizione 14. Definiamo come lunghezza di circonferenza il limite
C = lim Pk .
k→+∞
29
Consideriamo ora due circonferenze con lo stesso centro.
C
b
B
B′
C′
b
l
O
l′
b
b
A′
b
A
Possiamo subito notare che △OAB ∼ △OA′ B ′ per il criterio di similitudine LAL: essi infatti hanno l’angolo in O in comune e i lati sono proporzionali. In particolare
r′
l′
= .
l
r
′
Siano l e l i lati di due poligoni regolari di k lati inscritti. Allora
Pk′
kr′
r′
kl′
=
= .
=
Pk
kl
kr
r
Come si vede il rapporto tra i perimetri è uguale al rapporto tra i raggi. Per
k → +∞ si ha
C′
r′
= .
C
r
Quindi il rapporto tra le lunghezze delle circonferenze è uguale al rapporto
dei rispettivi raggi:
C′
C
=
.
2r′
2r
Questo è un rapporto costante indipendentemente dalla circonferenza considerata. Tale rapporto viene chiamato π:
C
= π = 3.14159 · · · .
2r
30
Per quanto riguarda l’area del cerchio, invece, si ha che
′ 2
A′
r
.
=
A
r
Quindi
A
A′
=
= π,
r2
r′2
da cui
A = πr2 .
Cerchiamo ora di approssimare la costante π.
b
A
C
l
b
H
b
a
χ
b
b
b
B
O
Sia r = 1, AB = l, CB = x, OH = b, HC = a. Allora
2
2
• x2 = a2 + 2l = (1 − b)2 + 2l
2
• b2 = 1 − 2l .
Quindi sostituendo si ha
s
2
2
2 2
√
l
l
l
l
2
2
x = 1−2b+b +
= 1−2 1 −
+1−
+
= 2− 4 − l2
2
2
2
2
da cui
x=
q
2−
√
4 − l2 .
Supponiamo di avere un esagono regolare inscritto con l6 = 1. Allora
P6 = 6 e P26 = 3. Raddoppiamo il numero di lati. Abbiamo
q
q
√
√
P12
=6 2− 3∼
l12 = 2 − 3
= 3.105.
2
31
Raddoppiamo ancora:
r
q
l24 =
2−
Raddoppiamo:
s
r
l48 =
2−
2+
√
3
q
√
2+ 2+ 3
P24
= 12
2
r
P48
= 24
2
s
2−
q
2−
r
2+
2+
√
3∼
= 3.132.
q
2+
√
3∼
= 3.139.
Raddoppiamo:
v
v
s
s
u
u
r
r
u
u
q
q
√ P96
√
t
t
l96 = 2 − 2 + 2 + 2 + 3
= 48 2 − 2 + 2 + 2 + 3 ∼
= 3.141.
2
Volumi
Il volume è una funzione che associa ad ogni solido un numero reale non
negativo. Ha tre proprietà principali.
• Dati due solidi disgiunti M e N (oppure con solo facce, spigoli o vertici
in comune) si ha v(M ∪ N ) = v(M ) + v(N ).
• Volume di un prisma retto si calcola facendo il prodotto tra l’area di
base e l’altezza.
• Principio di Cavalieri. Se le aree delle sezioni di due solidi tagliati
da piani paralleli sono tutte uguali, allora anche i volumi dei due solidi
sono uguali.