Esercizi sulla gravitazione. Corso di Fisica per Informatica, 08.06.2010
1) Compito 20.12.2006 Soluzione nella pagina del Corso
Un astronauta sulla Luna osserva che un grave lasciato cadere da fermo da una altezza h = 5 m impiega un
tempo t = 2.5 s per arrivare al suolo. Sapendo da osservazioni astronomiche che il raggio medio della Luna R
è uguale a 1.74x106 m, che la costante di gravitazione universale = 6.67x10-11 m3 kg-1 s-2, e considerando
trascurabile l’effetto di attrazione della Terra:
• Stimare da questo esperimento la massa della Luna.
• Stimare inoltre il periodo di rotazione di una navicella spaziale che orbiti intorno alla Luna ad una quota
trascurabile rispetto al raggio della Luna.
[Risposta: M ≅ 7.3 x 1022 kg; P ≅ 6.6 x103 s ]
2) Compito 28.03.2007 Soluzione nella pagina del Corso
Sia To il periodo di un pendolo semplice misurato alla superficie terrestre. Quale sarebbe il suo periodo se
venisse portato:
a) sulla superficie di un pianeta che abbia stessa massa della Terra ma diametro doppio;
b) sulla superficie di un pianeta che abbia stessa densità media della Terra ma diametro quadruplo.
(Si assuma in tutti i casi che la massa dei pianeti sia distribuita con simmetria sferica).
[Risposta: a) il doppio; b) la metà]
3) Compito 31.01.2008 Soluzione nella pagina del Corso
Si determini, lungo il segmento che unisce il centro della Terra al centro della Luna, la posizione in cui la
forza risultante dovuta ai campi gravitazionali della Terra e della Luna è nulla. Si esprima il risultato in
termini di distanza dalla superficie lunare. (Si assuma che la massa della Terra sia MT = 6.0×1024 kg, la massa
della Luna: ML = 7.4×1022 kg, la distanza tra i centri della Terra e della Luna: d = 3.8×108 m, e il raggio
della Luna: RL = 1.7×106 m. [Risposta: ≅ 36000 km]
4) Compito 31.01.2008 Soluzione nella pagina del Corso
Una cometa percorre un’orbita ellittica intorno al Sole con periodo pari a 27 anni. All’afelio, la distanza dal
Sole è pari a 16 unità astronomiche. Confrontando con i parametri dell’orbita della Terra, si ricavi la distanza
della cometa dal Sole al perielio. Si esprima il risultato in unità astronomiche. Si ricorda che 1 unità
astronomica è pari alla distanza media Terra-Sole: 1 AU = 1.5×1011 m. Si calcoli inoltre l’accelerazione della
cometa al perielio sapendo che la massa del Sole è Ms = 2.0×1030 kg e la costante di gravitazione universale
è = 6.7×10−11 m3 kg−1 s−2.
[Risposta: rP = 2 AU = 3.0×1011 m; a p ≅ 1.5×10−3 m/s2]
5) Compito 23.06.2008 Soluzione nella pagina del Corso
Un pianeta di massa m compie un’orbita ellittica attorno ad una stella
di massa M = 1031 kg. L’ellisse ha il semiasse maggiore a = 4×1011 m
e il semiasse minore b = 2×1011 m. Quando il pianeta transita nel
punto di intersezione tra l’asse minore e l’orbita (punto P in figura), la
sua distanza d dalla stella è (per una nota proprietà dell’ellisse) pari al
semiasse maggiore: d = a. Determinare in tale punto:
a) l’accelerazione del pianeta;
b) la componente normale di tale accelerazione.
Sapendo che l’energia totale del pianeta è data dall’espressione: E = −γ
P
d=a
α
b
a
M
mM
, dove γ è la costante di
2a
gravitazione universale, si determini:
c) velocità del pianeta nel punto P;
d) raggio di curvatura dell’orbita nel punto P.
[Risposta: A ≅ 4.17×10–3 m/s2 ; An ≅ 2.08×10–3 m/s2; V ≅ 4.08×104 m/s ; r = 2a = 8×1011 m]
1
6) Compito 21.07.2008
L’accelerazione di gravità sulla superficie di un pianeta è di 25 m/s2 e la velocità di fuga dallo stesso pianeta
è 6×104 m/s. Determinare il raggio e la massa di tale pianeta. [Risposta: R ≅ 7.2×107 m; M ≅ 1.9 × 1027 kg]
7) Compito 26.11.2008
Determinare modulo e direzione della forza risultante agente sulla luna (L) dall’attrazione gravitazionale
della Terra (T) e del Sole (S) nella situazione mostrata in figura. Si esprima la direzione della forza risultante
mediante l’angolo che tale forza forma con la direzione Sole-Luna.
Siano:
L
SL = distanza Sole-Luna = 1.5×1011 m
TL = distanza Terra-Luna = 3.8×108 m
30
MS = Massa del Sole = 2.0×10 kg
MT = Massa della Terra = 6.0×1024 kg
ML = Massa della Luna = 7.3×1022 kg
[Risposta: 4.8×1020 N; 25°]
α
α = 90°
S
T
8) Compito 17.02.2009 Soluzione nella pagina del Corso
Un pianeta compie un’orbita circolare di raggio R1 = 8.0×107 km e periodo T1 = 90 giorni intorno ad una
stella. Determinare il periodo orbitale di un secondo pianeta la cui orbita ha invece un raggio R2 = 3.2×108
km. Determinare inoltre la massa Ms della stella e, sapendo che il raggio della stella è Rs = 1.2×106 km, si
calcoli anche l’accelerazione di gravità sulla superficie della stella. Si ricorda che la costante di gravitazione
universale è = 6.67×10 -11 m3/(kg s2)
[Risposta: T2 = 8 T1 = 720 giorni; Ms ≅ 5.0×1030 kg; g ≅ 232 m/s2]
9) Compito 18.06.2009 Soluzione nella pagina del Corso
Sapendo che il raggio della terra è RT = 6370 km, determinare a quale quota dalla superficie terrestre
l’accelerazione di gravità è metà del valore (go = 9.8 m/s2) misurato in superficie. Determinare inoltre il
periodo di rivoluzione di un satellite che orbiti intorno alla terra a tale quota costante. Se la massa del
satellite è di 500 kg, quanta energia minima bisognerebbe fornire al satellite perchè possa allontanarsi
indefinitamente? [Risposta: h ≅ 2640 km; P ≅ 8520 s; ∆E ≅ 1.1 × 1010 J]
10) Compito 07.07.2009 Soluzione nella pagina del Corso
Un corpo di massa m = 103 kg descrive un’orbita circolare di raggio r = 8000 km intorno ad un pianeta di
massa M = 1025 kg. A causa dell’attrito con l’atmosfera del pianeta, nel corso degli anni l’energia del corpo
diminuisce di 5×109 J. Supponendo che l’orbita resti ancora circolare, determinare il nuovo raggio
dell’orbita. Determinare inoltre il periodo orbitale iniziale e quello finale.
[Risposta: r’ ≅ 7140 km; P ≅ 5500 s; P’ ≅ 4600 s]
11) Compito 13.07.2009 Soluzione nella pagina del Corso
Una sfera S1 di massa M = 6 kg e raggio R = 5 cm è
S1
S2
poggiata su un piano orizzontale. Si supponga di poter
ottenere una condizione per cui il coefficiente di attrito
statico tra la sfera ed il piano è estremamente piccolo:
−9
s = 10 . Un’altra sfera S2 (avente stessa massa e
stesso raggio) viene lentamente avvicinata alla prima.
Determinare per quale distanza tra i centri di S1 e S2 la
prima sfera inizia a muoversi per effetto dell’attrazione gravitazionale tra i due corpi.
Se per attrito la seconda sfera resta ferma, e trascurando l’attrito dinamico, con quale velocità S1 urterà S2 ?
[Risposta: r ≅ 0.20 m; V ≅ 6.4 × 10 −5 m/s]
2
12) Compito 21.07.2009
Una cometa compie un’orbita ellittica attorno ad una stella S. Il semiasse
maggiore dell’orbita è: a = 2 × 1012 m e la distanza della cometa al
perielio è di 4 × 1011 m. Nel punto Q (intersezione tra l’asse minore e
l’orbita) la velocità della cometa è V = 5 km/s. Ricordando che, per ogni
punto dell’ellisse, la somma delle distanze dai due fuochi è pari a 2a,
determinare l’angolo tra V e il raggio vettore r. Da tale informazione,
utilizzando la costanza del momento angolare, ricavare la velocità della
cometa al perielio e all’afelio.
Q
V
r
S
Sapendo inoltre che l’energia totale per un’orbita ellittica è data dall’espressione: E = −γ
mM
(dove m è la
2a
massa del corpo orbitante) si ricavi la massa M della stella.
[Risposta: Vp = 15 km/s; Va ≅ 1.7 km/s ; M ≅ 7.5 × 1029 kg]
13) Compito 10.09.2009 Soluzione nella pagina del Corso
Un’astronave viene lanciata dalla superficie di un pianeta con velocità iniziale Vo = 3.2 km/s. Il pianeta ha
massa M = 2×1023 kg e raggio R = 2000 km. Quando l’astronave giunge alla massima quota, vengono
accesi per un breve istante dei razzi per immettere l’astronave in orbita circolare attorno al pianeta. Se
l’astronave ha una massa m = 3×103 kg, determinare l’impulso che devono fornire i razzi. Determinare
inoltre il periodo di rotazione dell’orbita circolare che l’astronave percorrerà.
[Risposta: J ≅ 3.73 × 106 N s ; P ≅ 43400 s]
14) Compito 25.09.2009 Soluzione nella pagina del Corso
Due pianeti, entrambi di massa m = 3.0×1025 kg, percorrono orbite circolari intorno ad una stella. I periodi
orbitali dei due pianeti sono in rapporto 8:1. La forza di attrazione tra i due pianeti differisce di 8.0×1016 N
tra le posizioni di minima e massima distanza reciproca. Determinare i raggi delle due orbite.
[Risposta: R1 ≅ 2.3×1011 m ; R2 ≅ 9.2×1011 m]
15) Compito 09.10.2009 Soluzione nella pagina del Corso
Una cometa compie un’orbita ellittica attorno ad una stella con periodo di rivoluzione P = 1.79×109 s. Il
semiasse maggiore dell’orbita è A = 3.00 × 1012 m. All’afelio l’accelerazione della cometa è 2.30×10–5 m/s2.
Determinare:
- massa della stella;
- distanza cometa–stella all’afelio;
- distanza cometa–stella al perielio.
Sapendo che l’energia totale è data dall’espressione E = −
γ mM
2A
(dove m è la massa della cometa, M è
la massa della stella, e γ è la costante di gravitazione universale), ricavare la velocità orbitale all’afelio e al
perielio.
[Risposta: M ≅ 4.99×1030 kg; ra ≅ 3.80×1012 m ; rp ≅ 2.20×1012 m ; Va ≅ 8.00 km/s; Vp ≅ 13.9 km/s]
16) Compito 11.12.2009
Un sistema binario è costituto da due stelle di uguale massa che orbitano di
moto circolare uniforme intorno ad un centro comune (centro di massa del
sistema) come mostrato in figura. La distanza tra le due stelle è 3.0×1012 m
ed il periodo di rotazione è di 50.0 anni. Calcolare la massa delle due stelle.
[Risposta: M = 3.2×1030 kg]
S1
C
S2
3
17) Compito 09.02.2010
Un razzo viene lanciato verticalmente con una velocità iniziale Vo = 2.5 km/s dalla superficie di un pianeta
di raggio R = 5000 km. Il razzo, soggetto solo alla forza di attrazione gravitazionale del pianeta raggiunge la
quota massima h = 9000 km dalla superficie del pianeta.
Determinare:
• la massa del pianeta;
• il periodo di oscillazione di un pendolo semplice di lunghezza 2 m posto sulla superficie del pianeta.
[Risposta: M = 3.64×1023 kg; P = 9.0 s]
18) Compito 24.02.2010
Due pianeti P1 e P2 percorrono orbite circolari (giacenti nello stesso piano)
intorno alla stella S. Ad un certo istante si ha la posizione di allineamento
mostrata in figura. Tale allineamento si ripete dopo che P1 ha compiuto 3
rivoluzioni complete intorno a S e P2 2 rivoluzioni complete. Sapendo
che la distanza di P1 da S è r1 = 3×1012 m, determinare:
• la distanza di P2 da S.
Se la massa della stella è 1000 volte più grande della massa di P1,
determinare:
• il rapporto tra le forze di attrazione esercitate da S e P1 su P2 nella
posizione di allineamento.
[Risposta: r2 = 3.93×1012 m; FS,P2 / FP1,P2 = 56]
S
P1
P2
19) Compito 07.05.2010
Un’astronave percorre un’orbita circolare intorno ad un pianeta ad una quota trascurabile rispetto al raggio
del pianeta. Il periodo orbitale è P = 95 min. Dopo essere sceso sul pianeta, l’astronauta osserva che un
pendolo semplice di lunghezza L = 90 cm ha un periodo di oscillazione T = 3.0 s. Determinare:
• l’accelerazione di gravità sulla superficie del pianeta;
• il raggio del pianeta;
• la massa del pianeta.
[Risposta: g = 3.95 m/s2; R = 3.25×106 m; M = 6.3 ×1023 kg]
4
