D - UnivPM

FISICA SPERIMENTALE I
Esercitazione n° 4
(C.L. Ing. Edi.)
(Prof. Gabriele Fava) A.A. 2010/2011
Dinamica del punto materiale
1. Un corpo viene lanciato lungo un piano liscio inclinato di ° rispetto
all’orizzontale con velocità v0 = 2,4 m/s e dopo T = 1,8 s la sua velocità si
annulla. Calcolare °.
x
v0 = 2,4 m/s
T = 1,8 s  v = 0
° = ?
v0
Rn
x
Pn
α P
Pt
Le forze agenti sul corpo sono:
il peso


P  mg
la reazione del vincolo

Rn
Applicando il 2° Principio della dinamica si ha:
  
ma  P  Rn
Proiettando questa equazione lungo gli assi si ottiene:
Rx = max = - mg sen  ax = - g sen = cost (A)
Ry = 0 (B)
1
quindi il corpo si muove lungo l’asse x di M.R.U.A. con
v0 e a di verso opposto.
Si ha:
v = v0 + ax t  0 = v0 + ax T  ax = - v0 / T (C).
Infine per confronto tra (A) e (C) si ottiene:
sen  = v0 / gT   = arcsen v0 / gT  8°
2. Un corpo viene lanciato verso l’alto lungo un piano scabro inclinato di 15°
rispetto all’orizzontale con una velocità iniziale pari a v0 = 4,5 m/s e, dopo
aver percorso uno spazio d = 1,7 m, si ferma. Calcolare il coefficiente di
attrito dinamico d .
y
Rn
x
v0
Rt
Pn
α P
Pt
v0 = 4,5 m/s
d = 1,7 m  v = 0
° = 15° d = ?
Applicando il 2° Principio della dinamica si ha:

  
ma  P  Rn  Rt
2
Proiettando questa equazione lungo gli assi si ottiene:
(A) Lungo asse x  max = - mg sen - Rt
(B) Lungo asse y  0 = Rn - mg cos  Rn = mg cos
Ricordando che Rt = d Rn, dalle (A) e (B) si ottiene:
max = - mg sen - d mg cos

(C) ax = - g (sen + d cos) = costante (M.R.U.A.)
Dai dati del problema si ricava:
2
v
v 2  v02  2as  0  v02  2ax d  a x   0 (D)
2d
v02
Dalle (C) e (D)   g ( sen   d cos  ) da cui si ricava
2d
v02
d 
 tg  0,36
2dg cos 
3
3. Una scatola di massa m = 85 kg viene
trascinata come in figura su un piano
scabro con d = 0,40. Calcolare
il valore della tensione della fune
affinché:
(a) il moto del corpo sia uniforme;
(b) il moto sia uniformemente accelerato con a = 1,8 m/s2.
y
Rn
T
Tn
Rt
Tt
m = 85 kg d = 0,40
Ta = ? Tb = ?
x
P
(a) Moto uniforme  Risultante delle forze nulla
Lungo asse x  Tt - Rt = 0  T cos - Rt = 0 (I)
asse y  Tn + Rn - P = 0  T sen + Rn – mg = 0 (II)
e, dato che Rt = d Rn, dalle (I) e (II) si ottiene:
Ta 
mg d
 d sen  cos
(b) Moto uniformemente accelerato
La relazione (II) non cambia, mentre la (I) diventa
T cos - Rt = max e la tensione ora deve valere :
Tb 
m (ax  g d )
 d sen  cos 
4
CONCLUSIONE
Con i valori dati si ottiene:
333,2
Ta 
0,40 sen  cos
486,2
Tb 
0,40 sen  cos
un risultato che, ovviamente, dipende dall’angolo 
Ad esempio per  = 30° si hanno i valori:
Ta = 313 N
Tb = 456 N
4. Tre corpi, rispettivamente di massa m1 = 1,2 kg, m2 = 2,4 kg, m3 = 3,1 kg,
sono collegati mediante un filo inestensibile e di massa trascurabile come in
figura e vengono trascinati su un piano orizzontale liscio da una forza T 3 =
6,5 N. Calcolare: (a) l’accelerazione del sistema; (b) le tensioni T1 e T2 .
s
(a) Dato che la fune è tesa l’accelerazione è comune ai tre corpi e si
ottiene dal 2° Principio della dinamica: T3 = (m1 + m2 + m3) a, da
cui si ricava a = 0,97 m/s2.
(b) Calcoliamo le tensioni:
T1 = m1 a = 1,2 N;
T2 – T1 = m2 a
T2 = T1 + m2 a = 3,5 N
5
5. Due masse m1 = 10 kg e m2 = 5 kg sono fissate agli estremi di un filo
inestensibile di massa trascurabile e vengono trascinate su un piano
orizzontale, applicando a m 1 la forza costante F = 100 N che forma con
l’orizzontale un angolo θ = 30°. Sapendo che i coefficienti di attrito cinetico
tra il piano e le masse valgono rispettivamente μ1 = 0,3 e μ2 = 0,15, calcolar
l’accelerazione delle masse e la tensione del filo.
m2
T
T
m1
μ2
F
μ1
s
La forza F nella direzione del moto ha componente F cosθ, e in
direzione ortogonale F senθ, per cui il 2° principio della dinamica
applicato a ciascuna delle due masse fornisce:
massa m1
F cosθ – μ1 (m1 g – F senθ) - T = m1 a
massa m2
T – μ2 m2 g = m2 a
Dalle due equazioni si ricavano a = 4,3 m/s2 ; T = 29 N .
6. Due corpi di massa m1 e m2 sono sovrapposti. Il coefficiente di attrito tra m 1
e il piano d’appoggio vale 1 , mentre tra i due corpi vale 2 . Studiare il moto
del sistema che si determina applicando a m1 una forza orizzontale F.
m2
μ2
F
m1
μ1
F2Attr
m2
2
F
F12Attr
F2Attr
m1
1
6
S
Ci sono 3 casi possibili:
(1)
I corpi restano fermi ; (2) I corpi si muovono con accelerazioni
diverse ; (3) I corpi si muovono con la stessa accelerazione.
(1)
se F  F12Attr= 1 (m1 + m2)g i corpi rimangono fermi
(2)
Se i corpi si muovono con accelerazioni diverse, le equazioni
del moto sono: per m1  F - 1 (m1 + m2)g - 2m2g = m1a1
per m2  2m2g = m2a2
Da esse si ricavano le seguenti accelerazioni:
a1 
F 1 (m1  m2 ) g   2 m2 g

m1
m1
a2   2 g
FUNZIONE CRESCENTE di F
COSTANTE
N.B. Risulta a1 > a2 se F > (1 + 2) (m1 + m2)g > F12Attr .
(3) Per F12Attr < F  (1 + 2) (m1 + m2)g i due corpi si muovono
con la stessa accelerazione, pari a :
a1  a2 
7
F  F12 Attr
m1  m2
7. Si consideri lo stesso sistema precedente, però con la forza F applicata al
corpo m2 .
F
F2Attr
m2
2
F2Attr
F12Attr
m1
1
Le forze d’attrito sono: F12Attr = 1 (m1 + m2)g
S
F2Attr = 2m2g
1^ IPOTESI : F2Attr > F12Attr
Allora se F  F12Attr non c’è moto.
Se, invece, F12Attr < F  F2Attr i due corpi si muovono assieme con
accelerazione
a1  a2 
F  1 (m1  m2 ) g
m1  m2
Infine, se F > F2Attr le due equazioni del moto sono:
per m2  F - 2m2g = m2a2
per m1  2m2g - 1(m1 +m2)g = m1a1
dalle quali si ricavano le due accelerazioni. (Risulta a2 > a1)
2^ IPOTESI : F2Attr < F12Attr
m1 non si muove mai, m2 non si muove se F  F2Attr , in caso contrario
assume una accelerazione pari a:
a
F   2 m2 g
m2
8
8. Un dischetto è posto alla distanza r = 10 cm dall’asse di una piattaforma
ruotante con velocità angolare ω0 = 2 rad/s, restando fermo rispetto ad essa.
Imprimendo alla piattaforma una accelerazione angolare α = 2 rad/s2 si
osserva che, dopo un intervallo di tempo ΔT = 1,5 s, il dischetto inizia a
muoversi. determinare il coefficiente di attrito statico μS .
ω
Rn
FA
P
Nel sistema di riferimento solidale a terra le forze che agiscono sul
dischetto sono il peso P = mg e la reazione normale del vincolo Rn,
entrambe dirette parallelamente all’asse di rotazione e che si fanno
equilibrio (Rn = P) , e l’attrito statico FA = μS Rn = μS m g , parallelo
alla piattaforma e diretto verso il centro di rotazione (è una forza
centripeta).
All’equilibrio si ha:
FA = μS Rn = μS m g = m a0 = m ω02 r, essendo a0 = an = ω02 r.
Dopo il tempo Δt si ha:
2
2
4
2
ω = ω0 + α Δt = 5 rad/s ; an = ω2 r ; at = α r ; a  an  at  r   
perciò FA = μS m g = m a
S 
a r

 4   2  0,26
g g
9
9 . Un corpo di massa M = 4 kg è collegato come in figura a un corpo di massa m.
Sapendo che la costante elastica della molla vale k = 100 N/m e che i coefficienti di
attrito statico e dinamico tra corpo e piano sono rispettivamente μS = 0,5 e μd = 0,2,
determinare per quale valore di m il sistema si pone in moto e il corrispondente
allungamento della molla.
s
Quando il sistema è in quiete si ha:
FA = μS M g ; Fe = k Δx = T, per cui applicando a ciascuna delle due
masse il 2° Principio della dinamica si hanno le relazioni seguenti
T – FA = k Δx – μS M g = Ma = 0
T = FA
m g – k Δx = ma = 0
k Δx = μS M g (I)
m g = k Δx (II)
Immaginiamo ora di appendere alla molla l’opportuno valore di m, in
corrispondenza del quale l’allungamento della molla diventa Δx1 e il
sistema per inerzia è ancora in equilibrio, cosicché:
k Δx1 = μS M g (Ia)
;
m g = k Δx1 (IIa)
Dalla (Ia) e dalla (IIa) si ricava il minimo valore di m che mette in
moto il sistema m = μS M = 2 kg, e, in corrispondenza a tale valore di
m, si ha Δx1 = 0,196 m ≈ 0,20 m.
Quando il sistema è in moto si ha FA’ = μd M g per cui le equazioni del
moto diventano: T – FA’ = k Δx – μd M g = Ma ;
m g – k Δx = ma
da cui
mg M 1  d 
x 
 0,8 x1  0,16 m
k mM
10
10. Una scimmia di massa m = 11 kg si arrampica lungo una fune di massa
trascurabile passata senza attrito per il ramo di un albero. All’altro capo della fune
è fissata una massa M = 15 kg. (a) Calcolare la minima accelerazione con cui la
scimmia deve arrampicarsi in modo da sollevare da terra la massa M. (b) Una
volta sollevata M, la scimmia si ferma e rimane appesa alla fune. Calcolare in
queste condizioni l’accelerazione della scimmia e la tensione della fune.
(a)
Per poter sollevare la massa M la fune deve esercitare su essa
una forza F > Mg = 147 N. Il peso della scimmia è mg = 108 N,
insufficiente per sollevare M.
Se la scimmia applica alla fune una forza F > 147 N, la massa M
F  Mg
a

M
sale con accelerazione
e per il “3° Principio della
M
dinamica” la fune esercita sulla scimmia una forza uguale e
contraria a F, per cui anche la scimmia sale, ma con accelerazione
F  mg
M m
am 
a

g  3,56 m / s 2 .
e poiché F > Mg, risulta m
m
m
(b)
Se la scimmia si ferma le due masse si muovono con la stessa
accelerazione a che si ricava dalla Mg – mg = (M + m) a, cioè
M m
a
g  1,51 m / s 2
M m
La tensione si può ricavare o da Mg – T = Ma
2mM
g  124 N .
in ogni caso si ottiene T 
M m
11
o da T – mg = ma,
11. Una slitta di massa m = 100 kg, a partire dalla quiete, viene trainata da una
forza F = 400 N che forma un angolo θ con l’orizzontale e deve percorrere su
un piano un tratto s = 50 m. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico tra
slitta e piano è μd = 0,3, determinare l’angolo θ affinché il tempo di percorrenza
sia minimo.
y
Rn
F
θ
Fx
Rt
Fy
P
x
Il problema va risolto mediante il 2° Principio della dinamica F = ma,
equazione opportunamente proiettata sugli assi x e y, ottenendo:
F cosθ – Rt = max
F cosθ – μd (mg – F senθ) = max
(I)
F senθ – mg + Rn = may = 0 ( Il moto si svolge lungo l’asse x) (II)
F cos    d sen    d mg
.
m
Affinché il tempo di percorrenza sia minimo occorre
d
a x   F sen  F d cos   0
l’accelerazione sia massima:
d
da cui si trae tgθ = μd = 0,3
θ = 16,7° .
Dalla (I) si ha : a x 
12.
che
Due corpi di massa m1 = 200 g e
m2 = 400 g sono collegati come in figura. Il piano è inclinato di θ = 37° ed è
liscio; la molla ha costante elastica k = 3,84 N/m e lunghezza a riposo x0 =
0,10 m. All’istante t = 0 il corpo m 1 dista d = 0,08 m da O ed è in quiete; il
corpo m2 dista h = 0,20 m da terra. Determinare le leggi di moto dei due
corpi e i valori massimo e minimo della tensione del filo.
z
ROSSO P2 ; AZZURRO T ; VERDE P1 ; VIOLA Fel
12
Le equazioni del moto dei due corpi sono rispettivamente
– m1 g senθ – k (x – x0) + T = m1 a ; m2 g – T = m2 a
Sommando membro a membro si ricava
kx  m2 g  m1 g sen
k
x 0
  2 x  c avendo posto
m1  m2
m1  m2
kx  m2 g  m1 g sen
k
2
2 
 64 rad / s  ; c  0
 10,97 m / s 2 .
m1  m2
m1  m2
a
d 2x
2


x  c la cui soluzione è
L’equazione del moto di m1 è dunque
dt 2
x
c

2
 A sen  t    , moto armonico con centro in x 
c
2
 0,17 m .
A e φ si determinano mediante le condizioni iniziali
x 0 
Ad 
c
2
; 

2
c
2
v 0   A cos   0 da cui
 A sen   d
3

d
;



2
2
c 
c 
x  2   d  2  cos  t
 
 
oppure A 
c
, in ogni caso
c 

Dato che  d  2   0,09 m  x  0,17  0,09 cos 8t
 

con xmin = 0,08 m = d ; xMAX = 0,26 m .
Per quanto riguarda m2, poiché quando x = d = 0,08 m è z = h = 0,20 m
e poiché Δx = − Δz, la coordinata z è legata alla x da z = -x + 0,28 per
cui la legge del moto è: z = 0,11 + 0,09 cos 8t, oscillazione armonica di
ampiezza 0,09 intorno al punto z = 0,11 m.
La tensione del filo è data da:


d 2x 
d 2z 
T  m2 g  a   m2  g  2   m2  g  2   0,392  0,230 cos 8t con
dt 
dt 


Tmin = 0,16 N (quando x = xmin) ; TMAX = 0,62 N (quando x = xMAX).
13
13. Tre corpi di massa m1 = 4 kg, m2 = 5 kg, m3 = 3 kg sono connessi come in
figura. Tra m2 e il piano d’appoggio c’è attrito con coefficiente di attrito
dinamico d = 0,30.
Calcolare l’accelerazione dei corpi e le tensioni dei fili.
L’equazione che regola il moto del sistema è:
m1g – T1 + T1 – Fattr – T2 + T2 = (m1 + m2 + m3) a

a
m1   (m2  m3 ) g  1,31 m
m1  m2  m3
s2
Applicando ora il 2° principio della dinamica,
separatamente, al corpo m1 e al corpo m3, si ottiene:
T1 = m1(g – a) = 34 N
14
T2 = m3a = 3,9 N